06 依托场景设置，三角函数应用-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

■山东省济南市长清第一中学 王子静 三角函数的基础知识与综合应用,一直 是高考数学试卷中的一个基本知识点。涉及 三角函数的综合应用问题,是以三角函数为 主干知识,巧妙交汇其他相关知识,如函数与 方程、不等式、平面向量、解三角形等,是立足 基本,实现知识交汇与融合的一个重要应用 场景。每年考查的难度往往以中等为主,知 识要求比较基础。 一、三角函数图像与性质的综合问题 例 1 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< π 2 的部分图像,如图1 所示。 图1 (1)试确定函数f(x) 的解析式,以及函数f(x) 的单调递增区间; (2)把函数y=f(x) 图像上各点的横坐标扩大 到原来的2倍(纵坐标不 变),再向左平移π 6 个单位长度,得到对应函 数y=g(x)的图像,求关于x 的方程g(x) =m(0<m<2)在x∈ - π 3 ,11π 3 上所有的 实数根之和。 解析:(1)由图1知,A=2,最小正周期 T= 11π 12- - π 12 =π ,所以ω= 2π T=2 。 因为点 - π 12 ,0 在函数图像上,所以 2sin2× - π 12 +φ =0,即sinφ-π6 = 0。又因为- π 2<φ< π 2 ,所以- 2π 3<φ- π 6 < π 3 ,所以φ- π 6=0 ,即φ= π 6 。 所以函数f(x)=2sin2x+ π 6 。 令2kπ- π 2≤2x+ π 6≤2kπ+ π 2 ,k∈Z, 得kπ- π 3≤x≤kπ+ π 6 ,k∈Z。 所以 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 kπ- π 3 ,kπ+ π 6 ,k∈Z。 (2)依题意得g(x)=2sinx+ π 3 。 因为函数g(x)的最小正周期T=2π , 所 以 g (x)= 2sin x+ π 3 在 x ∈ - π 3 ,11π 3 内有2个周期。 令x+ π 3=kπ+ π 2 (k∈Z),得x=kπ+ π 6 (k∈Z),即函数g(x)=2sinx+ π 3 的图 像的对称轴为直线x=kπ+ π 6 (k∈Z)。 由x∈ - π 3 ,11π 3 ,得x+π3∈[0,4π]。 又因为0<m<2,所以g(x)=m 在x∈ - π 3 ,11π 3 内有4个实数根。 将实数根从小到大依次设为xi(i=1,2, 3,4),则 x1+x2 2 = π 6 ,x3+x4 2 = 13π 6 。 所以关于x 的方程g(x)=m(0<m< 2) 在x∈ - π 3 ,11π 3 上所有的实数根之和 为x1+x2+x3+x4= 14π 3 。 点评:解决此类涉及三角函数图像与性质 的综合问题时,首先根据已知条件得到三角函 数的解析式,然后利用数形结合思想研究函数 的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)。 二、三角函数与函数方程的交汇问题 例 2 已 知 函 数 f(x)=2 3· 71 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年2月 sin2 x+ π 4 +2sin2x- 3-1。 (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)记方程f(x)= 3 2 在 0, π 2 上的两 解分别为x1,x2,求cos(x1-x2)的值。 解析:(1)f(x)=2 3sin2 x+ π 4 + 2sin2x- 3-1= 3 2sin2 x+ π 4 -1 - cos 2x = - 3cos2x+ π 2 -cos 2x = 3sin 2x-cos 2x=2sin2x- π 6 。 由- π 2+2kπ≤2x- π 6≤ π 2+2kπ ,k∈ Z,可得- π 6+kπ≤x≤ π 3+kπ ,k∈Z。 所以 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 - π 6+kπ ,π 3+kπ (k∈Z)。 (2)设x1<x2,因为x∈ 0, π 2 ,所以 2x- π 6∈ - π 6 ,5π 6 。 由 f(x)=2sin 2x- π 6 = 32,可 得 sin2x- π 6 = 34,所 以 sin 2x1-π6 = sin2x2- π 6 =34。 因 为 正 弦 函 数 y =sin x 在 区 间 - π 6 ,π 2 上单调递增,在区间 π2,5π6 上单调 递减,所以π 6<2x1- π 6< π 2 ,π 2<2x2- π 6< 5π 6 ,所以cos2x1- π 6 = 1-sin22x1-π6 = 7 4 ,同理可得,cos2x2- π 6 =-74。 所以cos2x1-2x2 =cos 2x1- π 6 - 2x2-π6 = cos 2x1- π 6 cos 2x2-π6 + sin2x1- π 6 sin2x2-π6 = 7 4× - 7 4 + 34 2 = 1 8 。 因为0≤x1≤ π 2 ,0≤x2≤ π 2 ,且x1<x2, 所以- π 2≤x1-x2<0 ,则cos(x1-x2)≥0。 由cos(2x1-2x2)=2cos2(x1-x2)-1,可得 cos(x1-x2)= 1+cos(2x1-2x2) 2 = 3 4 。 点评:对于此类依托三角函数的基本性 质与函数方程交汇的综合应用问题,有时可 以直接利用题设条件中有关三角函数的单调 性来切入,有时要合理挖掘题设内涵来巧妙 转化,借助三角函数的单调性及对应的单调 区间来构建关系式或不等式(组),从而解决 相应的综合应用问题。 三、三角函数与平面向量的交汇问题 例 3 已知向量a= cos 3 2x ,sin 3 2x , 向量b=cos 1 2x ,-sin 1 2x ,x∈ 0,π2 。 (1)求a·b及|a+b|; (2)若f(x)=a·b-2t|a+b|的最小 值为- 3 2 ,求t的值。 解析:(1)由题意得,a·b=cos 3 2x · cos 1 2x-sin 3 2xsin 1 2x=cos 3 2x+ 1 2x = cos 2x。 因为|a|= cos2 3 2x+sin 2 3 2x =1 , |b|= cos2 1 2x+ -sin 1 2x 2 =1,所以|a +b|= (a+b)2 = a2+2a·b+b2 = 1+2cos 2x+1= 4cos2x。 又因为x∈ 0, π 2 ,所以cos x≥0,所以 |a+b|=2cos x。 (2)由(1)可得,f(x)=cos 2x-4tcos x =2cos2x-4tcos x-1。 因为x∈ 0, π 2 ,令m=cos x∈[0,1], 81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年2月 则g(m)=2m2-4tm-1 在[0,1] 上的最小 值为- 3 2 。 注意到函数g(m) 的图像开口向上,对 称轴为直线m=t。 若t≥1,则g(m)在[0,1]上单调递减, 所以当m=1 时,函数g(m) 取到最小值,即 g(1)=1-4t=- 3 2 ,解得t= 5 8 ,不符合题 意,舍去; 若0<t<1,则g(m)在[0,t)上单调递 减,在(t,1]上单调递增,所以当m=t 时,函 数g(m) 取到最小值,即g(t)=-2t2-1= - 3 2 ,解得t= 1 2 或t=- 1 2 (舍去); 若t≤0,则g(m)在[0,1]上单调递增, 所以当m=0时,函数g(m)取到最小值,即 g(0)=-1≠- 3 2 ,不符合题意,舍去。 综上可得,t= 1 2 。 点评:三角函数与平面向量的交汇综合 问题,往往以平面向量的相关概念与数量积 等来建立相应的三角函数关系式,结合三角 函数的基本公式与三角恒等变换公式等来综 合考查,难度一般为中等,真正实现考查能力 的目的。 四、三角函数与解三角形的交汇问题 例 4 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0,|φ|< π 2 的周期为π,且图像经过点 π 6 ,2 。 (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的 边分别是a,b,c,若af C 2+ π 6 +c=2b, c=4,S△ABC=33,求a的值。 解析:(1)由题意知, 2π ω=π ,则ω=2。 又f π 6 =2sin π3+φ =2,则π3+φ= π 2+2kπ ,k∈Z,所以φ= π 6+2kπ ,k∈Z。 又因为|φ|< π 2 ,所以φ= π 6 ,则f(x)= 2sin2x+ π 6 。 由- π 2+2kπ ≤2x+ π 6≤ π 2+2kπ ,k∈ Z,解得- π 3+kπ≤x≤ π 6+kπ ,k∈Z。 所以 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 - π 3+kπ ,π 6+kπ ,k∈Z。 (2)由 af C 2+ π 6 +c=2b,得2a· sinC+ π 2 +c=2b,即2acos C+c=2b。 结合正弦定理得2sin Acos C+sin C= 2sin B=2sin(A +C)=2sin Acos C+ 2cos Asin C,即sin C=2cos A·sin C。 因为sin C>0,所以cos A= 1 2 。 又A∈(0,π),所以A= π 3 ,sin A= 3 2 。 因为S△ABC= 1 2bcsin A= 3b=33,所 以b=3。 由余弦定理得a= b2+c2-2bccos A = 32+42-2×3×4× 1 2= 13 。 点评:解决此类涉及三角函数与解三角形 的综合应用问题时,主要借助三个基本步骤来 实现:(1)巧妙转化三角形中的边与角的关系 为三角函数问题;(2)利用解三角形、三角函数 中的基本定理、公式、性质等;(3)结合数学运 算与逻辑推理的结果,合理判断并确定对应的 结论,必要时可以进行合理的分类讨论等。 总之,在实际解答三角函数的综合应用 问题时,关键在于合理审题,挖掘问题的内涵 与实质,合理构建不同知识点之间的交汇与 融合,进而联系条件之间的内在关系,进行合 理的逻辑推理、数学运算与分析应用。特别 是涉及不同知识点之间的交汇、三角函数公 式的应用等,可以更加全面地考查同学们的 “四基”与“四能”,成为历年高考数学命题中 的一个基本题型与考查场所。 (责任编辑 王福华) 91 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年2月