内容正文:
所以an=3n-1。
(2)由(1)得bn=
n
an
=
n
3n-1
。
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=
1
30
+
2
31
+
3
32
+…+
n
3n-1
=1+
2
31
+
3
32
+…+
n
3n-1
,所
以
1
3Tn=
1
3+
2
32
+
3
33
+…+
n-1
3n-1
+
n
3n
。
所以
2
3Tn=Tn-
1
3Tn=1+
1
31
+
1
32
+…
+
1
3n-1
-
n
3n
=
1-
1
3n
1-
1
3
-
n
3n
=
3
2 1-
1
3n -n3n=
3
2-
3
2+n 13n。
所以 Tn=
3
2
3
2-
3
2+n 13n =94-
2n+3
4·3n-1
。
点评:同 学 们 在 利 用 错 位 相 减 法 求 和
时,要善于识别题目类型,特别是等比数列
的公比为负数的情形。而在利用“一加、二
乘、三减、四除”四个步骤处理问题时,需特
别注意的是要将“Sn”与“qSn”的表达式“错
项对齐”,以 便 下 一 步 准 确 写 出“Sn-qSn”
的表达式。
总之,数列求和的综合应用问题,是基于
熟练理解与掌握等差或等比数列的求和方法
与公式的基础上,借助转化思想进行分组求
和法、错位相减法处理,或借助变形思想进行
裂项相消法、错位相减法处理等,在实现考查
同学们的数学基础知识的同时,全面考查数
学关键能力与数学核心素养等。
(责任编辑 王福华)
■陕西省渭南市富平县迤山中学 苏艳玲
高考中,数列模块知识的考查与应用,一
直沿着创新与改革的方向前进,由原来传统
的考查数列基础知识或数列递推关系式等问
题,变革成创新情景的设置,创新题型的应用
及交汇知识的融合等。特别是创新情景的设
置,以变化多端的形式引入数列,使得数列知
识对“四基”的落实与“四能”的要求更高,也
成为高考创新性与应用性方面的一个亮点。
一、创新定义
以创新定义的形式来创设情景,结合函
数与方程、不等式等相关知识来引入数列的
基本概念与基本性质等,进而借助定义的创
新来交汇,结合数列的相关知识来巧妙综合,
从而实现数列知识的创新考查。
例 1 (2024年广东省汕头市高考数
学模拟试卷)设数列{an}的前n 项和为Sn,
若
1
2≤
an+1
an
≤2(n∈N*),则称{an}是“紧密
数列”。
(1)若an=
n2+2n
4n
,判断{an}是否是“紧
密数列”,并说明理由;
(2)若数列{an}的前n 项和Sn=
1
4
(n2
+3n),判断{an}是否为“紧密数列”,并说明
理由;
(3)设数列{an}是公比为q的等比数列,
若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q 的
取值范围。
解析:(1)由an=
n2+2n
4n
,可得a1=
3
4
,
a2=
1
2
,a3=
15
64
。
由于
a3
a2
=
15
32<
1
2
,所以{an}不是“紧密数
列”。
(2)数列{an}为“紧密数列”。理由如下:
由于数列{an}的前n 项和Sn=
1
4
(n2+
41
解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2025年2月
3n),则当n=1时,a1=S1=
1
4
(1+3)=1;当
n≥2时,an=Sn-Sn-1=
1
4
(n2+3n)-
1
4
[(n-1)2+3(n-1)]=
1
2n+
1
2
。
又因为a1=1满足an=
1
2n+
1
2
,所以
an=
1
2n+
1
2
(n∈N*)。
所 以 对 任 意 的 n∈N*,都 有
an+1
an
=
1
2
(n+1)+
1
2
1
2n+
1
2
=
n+2
n+1=1+
1
n+1
,所以1
2<
an+1
an
=1+
1
n+1<2
,因此{an}为“紧密数列”。
(3)已知数列{an}是公比为q 的等比数
列,前n项和为Sn。
若q=1,则an=a1,Sn=na1,所以
1
2<
an+1
an
=1<2,
1
2<
Sn+1
Sn
=
n+1
n =1+
1
n<2
,满
足题意。
若 q ≠ 1,则 an = a1qn-1,Sn =
a1(1-qn)
1-q
。
因为{an}为“紧密数列”,所以
1
2≤
an+1
an
=q≤2,即
1
2≤q<1
或1<q≤2。
当
1
2≤q<1
时,Sn+1
Sn
=
1-qn+1
1-qn
>
1-qn
1-qn
= 1,
Sn+1
Sn
=
1-qn+1
1-qn
<
1-q2n
1-qn
=
(1+qn)(1-qn)
1-qn
=1+qn<2,所以
1
2<
Sn+1
Sn
=
1-qn+1
1-qn
<2,满足{Sn}为“紧密数列”;
当1<q≤2时,
S2
S1
=
1-q2
1-q
=1+q>2,
不满足{Sn}为“紧密数列”。
综 上 可 得,实 数 q 的 取 值 范 围 是
1
2
,1 。
点评:解决此类涉及数列的创新定义问
题,关键在于从创新定义入手,合理剖析问题
中创新定义的本质,回归定义的基本属性,借
助数列的函数性、不等式的性质及其他相关
的基本性质来解决数列中的创新定义问题。
二、创新数表
以创新数表的形式来创设情景,引入数
列中相关的数据信息,或对应的项,或对应的
排列等,进而借助数形的创新来提取数据信
息,并回归数列的本质,从而实现数列知识的
创新考查。
例 2 (2024年湖南省长沙市高考数
学调研试卷)将数列{an}中的所有项按每一
行比上一行多一项的规则排列成如下数表:
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
……
记数表中的第1列数a1,a2,a4,a7,…构
成的数列为{bn},b1=a1=1,Sn 为数列{bn}
的前n项和,且满足
2bn
bnSn-S2n
=1(n≥2)。
(1)证明数列 1Sn 是等差数列,并求数
列{bn}的通项公式;
(2)在上述数表中,若从第3行起,每一
行中的数从左到右的顺序均构成等比数列,
且公比为同一个正数,当a81=-
4
91
时,求数
表中第k(k≥3)行所有项的和。
解析:(1)当n≥2时,由
2bn
bnSn-S2n
=1,得
2(Sn-Sn-1)
(Sn-Sn-1)Sn-S2n
=1,即
2(Sn-Sn-1)
-Sn-1Sn
=1,整
理得
1
Sn
-
1
Sn-1
=
1
2
。
又因 为 S1 =b1 =a1 =1,所 以 数 列
1
Sn 是首项为1,公差为12的等差数列。
所以
1
Sn
=1+
1
2
(n-1)=
1
2
(n+1)。
所以Sn=
2
n+1
。
51
解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2025年2月
所以当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=
2
n+1
-
2
n=-
2
n(n+1)
。
综上可得,bn=
1,n=1,
-
2
n(n+1)
,n≥2。
(2)设数表中从第3行起,每行的公比都
为q,且q>0,由题意知数表中到第12行尾
共含数列{an}的前78项,所以a81 在数表中
的第13行第3列,得a81=b13q2=-
4
91
,b13=
-
2
13×14
,q=2。
记数表中第k(k≥3)行所有项的和为
T,则T=
bk(1-qk)
1-q
=-
2
k(k+1)×
1-2k
1-2=
2
k(k+1)
(1-2k)(k≥3)。
点评:此类涉及数列的创新数表问题,是
基于数列的新排列、数形的表格型等方式加
以创新与应用,由此产生新的数列或新的性
质特征,进而探寻数列的生成过程与变化规
律,关键在于构造数列生成过程中第n 次与
第n+1次之间的关联与变化情况,为问题的
切入与突破开创局面。
三、创新组合
以创新组合的形式来创设情景,是基于
原数列进行“插项方式”“重新排列(按一定次
序)”“删项方式”等的创设进行全新组合,合
理融入数列的基本概念、性质与公式,通过特
殊数列的构建来巧妙综合与应用,从而实现
数列知识的创新考查。
例 3 (2024年陕西省西安市高考数
学调研试卷)已知各项均为正数的数列{an}
满足a1=1,a2n+1-2Sn=n+1(n∈N*),其中
Sn 是数列{an}的前n项和。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在ak 和ak+1(k∈N*)中插入k个相
同的数(-1)k+1·k,构成一个新数列{bn}:
a1,1,a2,-2,-2,a3,3,3,3,a4,…,求数列
{bn}的前100项和T100。
解析:(1)当n=1时,可得a2=2。
当n≥2时,由a2n+1-2Sn=n+1得a2n-
2Sn-1=n,两式相减得a2n+1-a2n=2an+1,即
a2n+1=a2n+2an+1=(an+1)2。
因为数列{an}各项均为正数,所以an+1
-an=1。
又因为a2-a1=1,所以数列{an}为等差
数列,所以an=a1+(n-1)×1=n。
(2)设ak 和插入的k 个数(-1)k+1·k
构成一组数,则前k 组共有k+
k(k+1)
2 =
k2+3k
2
(个)数。
令
k2+3k
2 ≤100
,又k∈N*,解得k≤12。
当k=12时,
k2+3k
2 =90<100
,即数列
{bn}的前100项中包含前12组数和第13组
数的前10个。
所以T100=(a1+1)+(a2-22)+(a3+
32)+…+(a11+112)+(a12-122)+(a13+
13×9)=(a1+a2+…+a13)+(1-22+32-
42+…+112-122)+117=
13×(1+13)
2 -
(3+7+11+ … +23)+117=91-
6×(3+23)
2 +117=91-78+117=130
。
点评:此类涉及数列的创新组合问题,是
基于一个原始数列的基本概念、通项公式或求
和等的基础上,借助多个数列之间关系方式的
“插项”“删项”“重组”等创新组合形式加以联
系,由此来探究另一个数列的基本性质与综合
应用问题,同学们要合理比较,巧妙正确区分。
其实,涉及数列中的创新情景设置与应
用问题,是把数学基础知识与现实生活实际
巧妙联系起来的一些有效尝试,是探究与创
新的一个基本思维,更是考查同学们的创新
意识与创新应用的重要场所。此类创新问
题,是以数列基础知识为背景,融入创新元素
与创新意识,使得数学应用、创新应用在数学
思维、技巧方法等层面得以真正的发酵、发
生,引导同学们关注现实生活中无处不在的
数学与应用,真正体现创新应用与创新意识。
(责任编辑 王福华)
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2025年2月