04 数列求和的三种常见技巧策略-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

■陕西省渭南市富平县迤山中学 马品绒 数列求和是数列模块的一个重要内容, 除自身是数列基础知识的综合体现外,还是 数列与函数、方程、不等式等综合交汇应用的 一个重要链接点,成为高考命题中的一个基 本考查点。而数列求和中,除特殊数列(等差 数列、等比数列及一些特殊易于求和的数列) 外,还有一些不易于直接处理的数列求和问 题,这就需要同学们掌握数列求和的一些常 见的技巧策略,合理把握分组求和法、裂项相 消法及错位相减法等,使得复杂数列的求和 问题迎刃而解。 一、分组求和法 分组求和法,主要适用于数列中的通项 是由明显差异的不同形式的几部分(以两部 分为主)构成,另外还适用于一些项放在一起 可以化简的数列或者分段数列问题等。 例 1 (2024年山东省济南市高考数 学三月模拟试卷)已知数列{an}满足a1=1, nan+1-(n+1)an=1。 (1)若数列{bn}满足bn= 1+an n ,求证:数 列{bn}是常数列; (2)若数列{cn}满足cn=sin an 2π+2 an, 求数列{cn}的前2n项和S2n。 解析:(1)由bn= 1+an n ,且nan+1-(n+ 1)an=1,可得bn+1-bn= 1+an+1 n+1 - 1+an n = n(1+an+1)-(n+1)(1+an) n(n+1) = n+nan+1-(n+1)-(n+1)an n(n+1) = n+1-(n+1) n(n+1) =0 。 所以bn+1=bn,所以数列{bn}是常数列。 (2)因为a1=1,所以b1= 1+a1 1 =2 ,由 (1)知{bn}是常数列,所以bn= 1+an n =b1= 2,所以an=2n-1。 故cn=sin an 2π+2 an=sin 2n-1 2 π+2 2n-1 =sinnπ- π 2 +22n-1=-cos nπ+22n-1。 所以 S2n =c1+c2+c3+ … +c2n = -(cos π+cos 2π+cos 3π+…+cos 2nπ)+ (21+23+25+…+24n-1)=-(-1+1- 1+…-1+1)+ 2(1-42n) 1-4 = 24n+1-2 3 。 点评:分组求和法往往是基于数列的通 项公式的恒等变形与转化,结合通项公式的 结构特征加以分析,确定各分组内的数列吻 合特殊数列或比较易于求和的数列,进而加 以分组处理。分组求和法的目的就是将复杂 数列简单化,借助分组转化,拆分处理,化难 为易,化复杂为简捷,进而转化为比较典型的 等差数列或等比数列等来求和。 二、裂项相消法 裂项相消法,主要适用于一些特殊数列 (经常是指数型、无理型、奇偶型及三角型 等),将其通项公式拆成两项之差(或和),即 裂项处理,进而在求和过程中实现中间的一 些项可以相互抵消,从而解决此类特殊数列 的求和问题。而有时数列并不能直接求和, 需要对数列的通项公式进行放缩变形后再利 用裂项相消法来处理。 例 2 (2024年江苏省南京市高考数 学三模试卷)已知数列{an}的前n 项和为 Sn,a1=2,(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证: 1 a21 + 1 a22 + 1 a23 +…+ 1 a2n < 7 16 。 解 析:(1)方 法 1(常 数 列 法):由 (n-2)Sn+1+2an+1=nSn,可得(n-2)· 21 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年2月 Sn+1+2(Sn+1-Sn)=nSn,整理得nSn+1= (n+2)Sn,即 Sn+1 n+2= Sn n ,即 Sn+1(n+1)(n+2)= Sn n(n+1) ,故 Sn n(n+1) 是常数列,且 Snn(n+1) = S1 1×2=1 ,所以Sn=n(n+1)。 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)- n(n-1)=2n。 当n=1时也满足,故an=2n。 方法2(累乘法):前面同方法1得nSn+1 =(n+2)Sn,即 Sn+1 Sn = n+2 n ,故Sn= Sn Sn-1 · Sn-1 Sn-2 ·Sn-2 Sn-3 ·…·S3 S2 ·S2 S1 ·S1= n+1 n-1 · n n-2 ·n-1 n-3 ·…·4 2 ·3 1 ·2=n(n+1)。 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)- n(n-1)=2n。 当n=1时也满足,故an=2n。 (2)方法1(放缩法1):由(1)可知an= 2n, 所 以 1 a2n = 1 4n2 < 1 4n2-1 = 1 (2n+1)(2n-1)= 1 2 1 2n-1- 1 2n+1 。 故当n≥2时, 1 a21 + 1 a22 + 1 a23 +…+ 1 a2n < 1 4+ 1 2 1 3- 1 5+ 1 5- 1 7+ …+ 1 2n-1- 1 2n+1 =14 + 1 2 1 3- 1 2n+1 <14+12×13=512<716。 又 1 a21 = 1 4< 7 16 ,所以1 a21 + 1 a22 + 1 a23 +…+ 1 a2n < 7 16 。 方法2(放缩法2):由(1)可知an=2n, 当n≥2时,因为 1 n2 < 1 n2-1 = 1 (n+1)(n-1) = 1 2 1 n-1- 1 n+1 ,所以112+122+132+…+ 1 n2 < 1 12 + 1 22-1 + 1 32-1 +…+ 1 n2-1 =1+ 1 2 1- 1 3+ 1 2- 1 4+ …+ 1 n-1- 1 n+1 =1+ 1 2 1+ 1 2- 1 n- 1 n+1 <1+12 1+12 =74。 当n=1时,上式也成立,故 1 12 + 1 22 + 1 32 +…+ 1 n2 < 7 4 ,所以1 a21 + 1 a22 + 1 a23 +…+ 1 a2n < 7 16 。 点评:裂项相 消 法 适 用 于 一 些 通 项 表 达式为分 式、根 式、对 数 式 或 三 角 式 的 数 列求和 问 题。特 别 涉 及 分 式 的 数 列 求 和 问题,若{an}是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列, 则 1 anan+1 = 1 d 1 an - 1 an+1 , 1anan+2 = 1 2d 1 an - 1 an+2 等;而有时数 列 并 不 能 直 接 求和,需对 通 项 放 缩 变 形 后 求 其 近 似 值, 常 见 的 有: 1 n(n+1)< 1 n2 < 1 n2-1 = 1 (n+1)(n-1)< 1 n(n-1) (n≥2)。 三、错位相减法 错位相减法,主要适用于数列中的通项 是由一个确定的等差数列与一个确定的等比 数列的乘积(或商式)构成。例如:数列的通 项吻合{an·bn}或数列 an bn 型,其中数列 {an}与{bn}分别是一个确定的等差数列与等 比数列,按照“一加、二乘、三减、四除”这四个 步骤来进行错位相减处理。 例 3 (2024年江苏省苏锡常镇四市 高考数学调研一模试卷)已知等比数列{an} 的各项均为正数,且a2+a3+a4=39,a5= 2a4+3a3。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn= n an ,求数列{bn} 的前n项和Tn。 解析:(1)设数列{an}的公比为q,q>0, 由a5=2a4+3a3,得a1q4=2a1q3+3a1q2。 因为a1q≠0,所以q2-2q-3=0,即 (q+1)(q-3)=0。 又因为q>0,所以q=3。 所以a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3= 3a1+9a1+27a1=39,解得a1=1。 31 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年2月 􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹 所以an=3n-1。 (2)由(1)得bn= n an = n 3n-1 。 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn= 1 30 + 2 31 + 3 32 +…+ n 3n-1 =1+ 2 31 + 3 32 +…+ n 3n-1 ,所 以 1 3Tn= 1 3+ 2 32 + 3 33 +…+ n-1 3n-1 + n 3n 。 所以 2 3Tn=Tn- 1 3Tn=1+ 1 31 + 1 32 +… + 1 3n-1 - n 3n = 1- 1 3n 1- 1 3 - n 3n = 3 2 1- 1 3n -n3n= 3 2- 3 2+n 13n。 所以 Tn= 3 2 3 2- 3 2+n 13n =94- 2n+3 4·3n-1 。 点评:同 学 们 在 利 用 错 位 相 减 法 求 和 时,要善于识别题目类型,特别是等比数列 的公比为负数的情形。而在利用“一加、二 乘、三减、四除”四个步骤处理问题时,需特 别注意的是要将“Sn”与“qSn”的表达式“错 项对齐”,以 便 下 一 步 准 确 写 出“Sn-qSn” 的表达式。 总之,数列求和的综合应用问题,是基于 熟练理解与掌握等差或等比数列的求和方法 与公式的基础上,借助转化思想进行分组求 和法、错位相减法处理,或借助变形思想进行 裂项相消法、错位相减法处理等,在实现考查 同学们的数学基础知识的同时,全面考查数 学关键能力与数学核心素养等。 (责任编辑 王福华) ■陕西省渭南市富平县迤山中学 苏艳玲 高考中,数列模块知识的考查与应用,一 直沿着创新与改革的方向前进,由原来传统 的考查数列基础知识或数列递推关系式等问 题,变革成创新情景的设置,创新题型的应用 及交汇知识的融合等。特别是创新情景的设 置,以变化多端的形式引入数列,使得数列知 识对“四基”的落实与“四能”的要求更高,也 成为高考创新性与应用性方面的一个亮点。 一、创新定义 以创新定义的形式来创设情景,结合函 数与方程、不等式等相关知识来引入数列的 基本概念与基本性质等,进而借助定义的创 新来交汇,结合数列的相关知识来巧妙综合, 从而实现数列知识的创新考查。 例 1 (2024年广东省汕头市高考数 学模拟试卷)设数列{an}的前n 项和为Sn, 若 1 2≤ an+1 an ≤2(n∈N*),则称{an}是“紧密 数列”。 (1)若an= n2+2n 4n ,判断{an}是否是“紧 密数列”,并说明理由; (2)若数列{an}的前n 项和Sn= 1 4 (n2 +3n),判断{an}是否为“紧密数列”,并说明 理由; (3)设数列{an}是公比为q的等比数列, 若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q 的 取值范围。 解析:(1)由an= n2+2n 4n ,可得a1= 3 4 , a2= 1 2 ,a3= 15 64 。 由于 a3 a2 = 15 32< 1 2 ,所以{an}不是“紧密数 列”。 (2)数列{an}为“紧密数列”。理由如下: 由于数列{an}的前n 项和Sn= 1 4 (n2+ 41 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年2月