03 六大定理在解三角形中的妙用-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

■河南省实验中学 宋苗珂 解三角形的题目在高考中会以各种形式 出现,选择、填空题主要考查三角形的基本计 算,如求边长、角度、面积等,难度相对较小; 解答题通常与三角函数、三角恒等变换、平面 向量、不等式等内容进行综合,难度中等或中 等偏上。下面重点梳理在新高考目标下,解 三角形题目中常见的六大定理。 一、双正弦定理 图1 例 1 如图1,某乡镇 绿化某一座山体,以地面为 基面,在基面上选取 A,B, C,D 四个点,使得 AD= 22BC,测得 ∠BAD =30°,∠BCD =40°, ∠ADC=120°。 (1)若B,D 选在两个村庄,两村庄之间 有一直线型隧道,且BD=10 2 km,CD= 20 km,求A,C 两点间的距离; (2)求tan ∠BCD 的值。 解析:(1)在△BCD 中,由正弦定理得 CD sin ∠CBD = BD sin ∠BCD ,即 20 sin ∠CBD = 102 sin 45° ,解得sin ∠CBD=1,所以∠CBD= 90°,则△BCD 为等腰直角三角形,所以BC =102,则AD=22BC=40。 在△ACD 中,由余弦定理得AC2=AD2 +CD2-2AD×CDcos∠ADC=1 600+400 -2×40×20× - 1 2 =2 800,故 AC= 207。 所以A,C 两点间的距离为207 km。 (2)设 ∠BDC =θ,根 据 题 意 可 知, ∠ADB=120°-θ,∠ABD=30°+θ。 在△ABD 中,由正弦定理得 BD sin ∠BAD = AD sin ∠ABD ,所以AD=2BDsin(30°+θ)。 在△BCD 中,由正弦定理得 BC sin ∠BDC = BD sin ∠BCD ,所以BC= 2BDsin θ。 因为AD=22BC,所以2sin(30°+θ) =2 2× 2sin θ⇒ 1 2cos θ+ 3 2sin θ= 2sin θ,解得tan θ= 4+ 3 13 ,即tan∠BDC= 4+ 3 13 。 点评:本题属于“凸”四边形的实际应用, 从长度切入,在△ABD,△BCD 中分别使用 正弦定理,比值可得三角方程sin(30°+θ)= 2sin θ,展开化简可得所求正切值。 二、双余弦定理 例 2 已知△ABC 中,BD→+CD→=0, 2∠CAD+∠BAD=180°,若AC= 2 4BC ,则 cos∠ABC=( )。 A. 2 2 B. 113 24 C. 32 8 D. 133 24 解析:因为BD→+CD→=0,所以D 为BC 的中点,所以 BD=CD。因为2∠CAD+ ∠BAD =180°,所 以 ∠BAC + ∠CAD = 180°,故 sin∠BAC=sin(π- ∠CAD)= sin∠CAD。在△ABC 和△ACD 中,由正弦 定理得 AB sin∠ACB= BC sin∠BAC , AD sin∠ACD= CD sin∠CAD ,两式相除可得AB AD= BC CD=2 。 设AD=x,AC=y,则 AB=2x,BC= 22y。在△ABD 和△ACD 中,分别运用余 弦定理,结合cos∠BDA+cos∠CDA=0,可 得 x2+2y2-4x2 2×x× 2y + x2+2y2-y2 2×x× 2y =0,化简得 x2= 3 2y 2,则cos∠ABC= 4x2+8y2-y2 2×2x×22y = 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年2月 133 24 。故选D。 点评:本题是双正弦定理与双余弦定理 的经 典 组 合,先 从 角 度 切 入,在△ABC 和 △ACD 中分别使用正弦定理得边长的比值 关系,然后在△ABD 和△ACD 中分别运用 余弦定理可得长度关系。 三、中线定理 定理1:在△ABC 中,若 M 是BC 的中 点,则 AM2= 2(AB2+AC2)-BC2 4 。(该定 理可以通过双余弦证得,属于双余弦的特例) 定理2:在△ABC 中,若 M 是BC 的中 点,则 AM2=AB2+AC2+2AB·AC· cos A。 例 3 在△ABC 中,内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,已知3acos C-asin C=3b。 (1)求角A 的大小; (2)若a=2,求BC 边上的中线AD 长度 的最小值。 解析:(1)已知 3acos C-asin C= 3b, 由正弦定理得 3sin Acos C-sin Asin C= 3sin B。 因为A+B+C=π,所以B=π-(A+ C),所以3sin Acos C-sin Asin C= 3sin(A +C)=3(sin Acos C+cos Asin C),化简得 -sin Asin C= 3cos Asin C。 因为sin C>0,所以tan A=- 3。 因为A∈(0,π),所以A= 2π 3 。 (2)在△ABC 中,由余弦定理得a2= b2+c2-2bccos 2π 3 ,即4=b2+c2+bc。 所以4-bc=b2+c2≥2bc,解得bc≤ 4 3 , 当且仅当b=c= 23 3 时取等号。 因为AD 为BC 边上的中线,所以AD→= 1 2 (AB→+AC→),所以|AD→|2=AD2→=14(AB → +AC→)2=14(c 2+b2-bc)= 1 4 (4-2bc)=1 - 1 2bc≥1- 1 2× 4 3= 1 3 ,所以AD≥ 3 3 ,所 以AD 长度的最小值为 3 3 。 点评:中线长对应的向量公式为 AD→= 1 2 (AB→+AC→),平方得“爪”模型对应的角度 形态公式。已知底边求中线,需要与余弦定 理联立,结合不等式可得最值。 四、斯库顿定理 图2 斯库 顿 定 理:如 图 2,在 △ABC 中,若AD 是∠BAC 的 平分线,则 AD2=AB·AC- BD·CD。(记忆方法:中方等 于上积减下积) 例 4 已知F1、F2 是椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1 (a>b>0)的左、右焦点,P 是椭圆上一点(异 于左、右顶点),过点P 作∠F1PF2 的平分线 交x轴于点M,若2|PM|2=|PF1|·|PF2|, 则椭圆的离心率为 。 解析:由库斯顿定理可得PM2=PF1· PF2-MF1·MF2。又2|PM|2=|PF1|· |PF2|,所以 MF1·MF2= 1 2PF1 ·PF2。 由角平分线定理可知 MF1 MF2 = PF1 PF2 ,于是 MF1 = 2 2 PF1 ,MF2 = 2 2 PF2 ,所 以 PF1 = 2MF1,PF2= 2MF2。由椭圆的定 义 得 PF1+PF2= 2(MF1+MF2),即 2a= 22c,所以e= c a= 2 2 。 点评:本题属于角平分线定理与斯库顿 定理在圆锥曲线中的综合应用,联立方程可 得 MF1= 2 2PF1 ,MF2= 2 2PF2 ,结合椭圆 的定义可得离心率。 五、张角定理 图3 张角 定 理:如 图 3,在 △ABC 中,∠BAD = α, ∠CAD=β,则 sin(α+β) AD = 01 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年2月 sin α AC + sin β AB 。 例 5 已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足 3c+bsin A= 3acos B。 (1)求角A 的大小; (2)若D 是边BC 上一点,且AD 是角A 的平分线,求BC AD 的最小值。 解析:(1)已知 3c+bsin A= 3acos B, 由正 弦 定 理 得 3sin C+sin Bsin A = 3sin A sin B,即 3sin(A+B)+sin Bsin A = 3sin Acos B,即 3(sin Acos B + cos Asin B)+sin Bsin A= 3sin Acos B, 化简得 3cos Asin B+sin Bsin A=0。 因为B∈(0,π),所以sin B ≠0,所以 3cos A+sin A=0,所以tan A=- 3。 又因为A∈(0,π),所以A= 2π 3 。 (2)在△ABC 中,由余弦定理得 BC= b2+c2-2bccos A= b2+c2+bc。 又因为S△ABD+S△ACD=S△ABC,所以 1 2c · ADsin 60°+ 1 2b ·ADsin 60°= 1 2bcsin 120°, 化简得AD= bc b+c 。 所以 BC AD= b2+c2+bc bc b+c ≥ 2bc+bc bc b+c = 3· b+c bc ≥ 3· 2 bc bc =23,当且仅当b= c时,等号成立。 所以 BC AD 的最小值为23。 点评:本 题 是 张 角 定 理 与 余 弦 定 理 的 结合,通过 两 次 使 用 不 等 式 构 造 齐 次 式 可 得最值。 六、托勒密定理 托勒密定理:在四边形ABCD 中,若A、 B、C、D 四点共圆,则AC·BD=AB·CD+ AD·BC。 例 6 古希腊数学家托勒密在他的名 著《数学汇编》里给出了托勒密定理,即圆的 内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条 对角线的乘积。已知AC,BD 为圆的内接四 边形ABCD 的两条对角线,且sin∠CBD∶ sin∠BDC∶sin∠BAD=1∶1∶ 3,AC=4, 则△ABC 面积的最大值为 。 图4 解析:如图4,可知∠BAD +∠BCD=180°。 由诱导公式知sin∠BAD =sin∠BCD,故sin∠CBD∶ sin∠BDC ∶sin∠BAD = sin∠CBD∶ sin ∠BDC ∶ sin ∠BCD=1∶1∶ 3。 在△BCD 中,由正弦定理得CD∶BC∶ BD=1∶1∶3,故∠BCD=120°,∠BAD=60°。 设CD=k,则BC=k,BD=3k,由托勒密 定理得CB·AD+CD·AB=AC·BD,即k· AD+k·AB=3k·4,即AD+AB=43。 又S△ABD= 1 2AB ·AD·sin∠DAB= 3 4AB ·AD≤ 3 4 · AD+AB 2 2 =33,当 且仅当AB=AD 时,等号成立,所以△ABD 面积的最大值为33。 点评:本题先通过正弦定理得到CD∶ BC∶BD=1∶1∶ 3,再结合托勒密定理求 出AD+AB 的值,最后由面积公式及基本不 等式即可求出最大值。 通过本专题的梳理,可以帮助同学们轻 松拿下双正弦、双余弦、角平分线、中线,以及 相关长度与最值问题。其中,中线定理与斯 库顿定理建立了三边长与中线、角平分线的 直接关系,大题秒杀思路,小题秒杀结果。托 勒密定理可以解决压轴试题中关于圆内接四 边形的面积及相关最值问题。 注:本文系河南省科学规划课题“每日一 题在高中数学教学中的实践与研究”(课题编 号:2024YB1511)的阶段性成果。 (责任编辑 王福华) 11 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年2月