突破圆锥曲线中求轨迹方程问题的方法策略-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

中学生数理化高数学2025年2月 解题篇创新题追根溯源 突破圆锥曲线中求轨迹方程问题的 方法策略 ■江西省赣州市赣县中学 曾祥榕王有庆 在圆锥曲线中，求动点的轨迹方程是一 1十r=7,满足椭圆的定义。由|OO1|十 个难点问题，主要原因是问题具有高度的抽 |OO2|=2a=7求出a。结合已知焦点，可知 象性。解答这类问题通常需要从具体问题情 c=2。根据b2=a2一c2,求出b。从而确定椭 境中直观出曲线轨迹问题，从而顺利地把问 圆的方程。同学们在日常学习过程中要注重 题求解出来。基于此，文章归纳出常见的求 巩固基础，深入理解常见曲线的定义，加大抽 圆锥曲线的轨迹方程的方法策略，旨在帮助 象思维能力的培养和训练。 同学们突破这一难点。 二、代入法 一、定义法 该方法针对的题型主要是：题目有两个 在求动点P的轨迹方程时，根据动点P 动点，一个是要求的轨迹方程的动点，另外一 的运动规律，判断轨迹是否符合某种已知曲 个是在已知曲线上运动。解题的基本思路 线（椭圆、双曲线、抛物线等）的定义。若符 是：根据动点和定点之间的关系，将已知曲线 合，则可直接按照曲线定义进行求解。 上的动点坐标用要求轨迹方程的动点坐标代 例1已知两个定圆O1:(x十2)十y 换，即可得到要求的轨迹方程。 =36,O2:(x一2)2十y2=1,动圆O与两个定 例2在平面直角坐标系中，A是圆 圆O1,O2都相切。求动圆O的圆心轨迹方程。 O:x2十y2=4上一点，过点A作x轴的垂 解析：设O(x,y),动圆半径为r。由定 线，垂足记为M,AM的中点为C。求点C的 圆O1:(x十2)2十y2=36,O2:(x-2)2+ 轨迹方程。 y2=1,可知圆O,在圆O1内，则动圆O只能 解析：设C(x,y),A(xo,yo),由题意知 与圆O2外切，与圆O1内切。由条件知，圆 M(xo,0)。因为C是AM的中点，所以 O1的圆心为O1(一2,0)，半径为6；圆O2的 圆心为O,(2,0),半径为1。因为三个圆的半 x=x01 y。即 x0=x ”代人圆O:x2+y2=4, 径不变，所以|OO11+|OO,1=6一r+1+r y 2, y。=2y, =7,这符合椭圆的定义，所以动圆O的圆心 轨迹为桶圆，故可设方壁为二十茶-1。可 得x十(2)=4，整理得 4+y2=1。所以 知。，，O,为椭圆的左焦点和右焦点，则c三 点C的镜迹方程为+y=1。 2。根据001+00，=2a=7,得a=2 7 点评：该题是利用代入法求动，点的轨迹 方程。与其他方法一样，先是设点，把动点C 所以6=。--碧-4翠故动周0的 49 的坐标设为(x,y)。与此同时，动点A也需 网心轨迹方程为5+第-1。 要，但是不知道，所以也设为A(x。,y)。然 |x=x0 ,点评：本题是典型的动圆与两个定圆相 后根据中点坐标公式得 y。变换得 y= 切的问题，根据圆的位置关系知，圆)与圆 2, O2外切，与圆O1内切，则有|OO2|=6一r, x0=x, 将其代入圆的方程中，即可得到，点 OO1|=1+r,所以1OO1|+|OO2|=6-r+ y=2y, 24 然数学暂腰视器滑中学生表理化 C的桃连方程为号+y=1. C:行+苦-1的左，右顶点分别为A、B,点 三、参数法 P、Q在椭圆C上且关于x轴对称。若直线 该方法主要适用于动点的坐标本身依赖 AP与BQ相交于点M,求动点M的轨迹方 于一个或多个参数（如角度日、斜率k、长度d 程。 等)的情形。解题时需要引人参数来表示动 解析：设M(x,y),P(xo,yo),则Q(xo, 点坐标，建立参数满足的方程，然后消去参数 -y)。由题意知，A(一2,0)，B(2,0),则直 得到仅含x和y的轨迹方程。 例3已知在平面直角坐标系中，点 线AP的方程为y=十2x+2)。同理，直 A(年，1)(t∈R),动点P满足O庐=tO。 线BQ的方程为y=2(x一2)。两式相 求动点P的轨迹方程。 乘得y2=一y x8-4 (x2-4)。又因为P、Q在 解析：设点P(x,y),则OP=(x,y)。 因为A(年1)t∈R),所以O-(行，1) 横圆C上且关于？轴对称，所以+号 由o萨=0，得(x)=(年1)=（货，t) 1,代入y=（x-),得y=是(x x6一4 t 4),即y x- 43 =1。故动点M的轨迹方程为 所以 4” (t为参数)，进行消参得y= r'y y=t 43=1。 4x。故动点P的轨迹方程为y=4x。 ,点评：该题是典型的利用交轨法求动，点 点评：因为该题中的巴知点A(行)G∈R) 轨迹方程的题目。解题的一般步骤是：第一 步，设出动，点的坐标；第二步，利用斜截式把 中原本含参数，所以选择采用参数方程，通过 直线AP、BQ的方程求出来；第三步，两式相 消参的方式得到动，点的轨迹方程。参数法 的核心思想是引入捕助变量（参数）来表示 乘，这里乘的目的是为了与十普 3 =1的 动点坐标。虽然课程体系中关于参数方程 次数统一，以备消元处理；第四步，联立方程 的专门知识有所调整，但这种利用参数建立 组，进行消元处理；第五步，化简、整理，得出 关系并消参求轨迹的思想方法仍是重要的 动，点的轨迹方程。 解题工具。解题的一般步骤是：先设，点坐 总之，求曲线的轨迹方程是圆锥曲线中 标，然后根据已知条件至少建立两个方程， 的重点题型，也是难点。为了高考复习备考， 两个方程均包含参数、x和y,最后通过消 文章对求曲线的轨迹方程的题型进行梳理， 参化简即可。消参的过程类似于解方程组 根据题型进行分析得出求轨迹方程的方法， 消元，常用代入消参、加减消参、三角恒等式 分别是：定义法、代人法、参数法和交轨法。 消参等。关键目标是彻底消除参数，得到仅 文章将这些方法适用的题型、题型的识别、方 含变量x和y的方程。 法的主要依据、方法的操作过程，以及注意事 四、交轨法 项等展开了详细的描述，旨在帮助同学们突 当所求轨迹上的点是两条动曲线（通常 破求曲线的轨迹方程题型。 含有共同的参数)的交点时，可采用此法。解 注：本文系赣州市教育教学科学研究所 决这类问题时，通常采用联立方程组，通过解 重，点课题“新高考形势下高考题与教材、习题 方程组的方法把交点坐标求出来，然后按照 的关系的研究”（课题编号：GZSX2024-6)的 参数法求轨迹方程的方式处理即可。 阶段性研究成果。 例4在平面直角坐标系中，已己知椭圆 (责任编辑王福华) 25