01 夯实基础，明确思路，灵活应用，提升为主——数列问题的备考指向-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

■河南省实验中学 丁振楠 数列是高中阶段数学学习的核心内容之 一,属于高考必考内容,在高中数学学习过程 中有着举足轻重的地位。在2023年之前,数 列解答题着重考查数列的基本概念、通项公 式及几种常见的数列求和方法,题目难度一 般不大,属于高考中的简单题。而在高考改 革以后,各地市模拟试卷中的数列解答题朝 着两个方向分化:一种仍然是考查同学们对 基本知识的掌握和理解情况的基础题;另一 种是从题干获取信息并分析应用的新定义问 题,这类问题在平时考试和高考中一般都扮 演着压轴题的角色,难度相对较大。本文通 过对几道典型例题进行深入分析,帮助同学 们明确解决数列问题时的思路和切入点,以 求取得突破。 一、通项求解需熟练,求和掌握要全面 数列解答题中常见的基础题通常会涉及 数列的通项公式、数列的前n 项和公式、前n 项和与项之间的关系式或递推关系式的处 理,并且有的题目会将等差数列、等比数列等 隐含在题目条件中,需要同学们对题目信息 进行挖掘,从而解决相关问题。 例 1 设{an}是正项数列,Sn 是{an} 的前n项和,且an= Sn + Sn-1(n≥2), a1=4。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 1anan+1 的前n项和Tn。 解析:(1)因为an=Sn-Sn-1(n≥2),且 an= Sn + Sn-1 (n≥2),所 以 Sn + Sn-1=Sn-Sn-1(n≥2),即 Sn + Sn-1 =( Sn + Sn-1)( Sn - Sn-1)(n≥2), 所以 Sn- Sn-1=1(n≥2)。 因为 S1=a1=4,所 以 S1=2,所 以 { Sn}是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以 Sn =2+(n-1)=n+1,所以Sn= (n+1)2。 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n+1)2- n2=2n+1; 当n=1时,a1=4不符合上式,所以数 列{an}的通项公式为an= 4,n=1, 2n+1,n≥2。 (2)由(1)可知,当n≥2时, 1 anan+1 = 1 (2n+1)(2n+3)= 1 2 1 2n+1- 1 2n+3 。 所以 Tn= 1 4×5+ 1 5×7+ 1 7×9+ …+ 1 (2n+1)(2n+3) = 1 20 + 1 2 × 1 5- 1 7+ 1 7- 1 9+ …+ 1 2n+1- 1 2n+3 = 3 20- 1 4n+6 。 点评:本题通过给出Sn 与an 的关系式 进行试题的命制,提示同学们利用二者的关 系解决问题,为问题的处理提供了方向和切 入点。在将an 化为Sn-Sn-1 后,我们构造 了一个新的等差数列{ Sn },以此来求解数 列{an}的通项公式。如果我们按照常规思维 把式子an= Sn + Sn-1 (n≥2)中的n 换 成n-1,得到an-1= Sn-1+ Sn-2(n≥3), 再把两式相减,式子的结构就会十分混乱,同 学们也将无从处理。因此,在解决数学问题 时,一定要灵活应用,积极变通。同时本题也 提醒同学们在利用Sn 法求an 时需要检验首 项是否满足要求,从而判断通项公式是否需 要分段书写,这是数列问题中常见的易失分 点,值得同学们重点关注。 二、奇偶分类要完善,并项求和会计算 在解决与数列相关问题的过程中,有时 我们会遇到数列中的项呈正负交替的形式出 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年2月 现,这时通常会用到分奇偶讨论及并项求和 的做题方法,有时还需要用到等差数列、等比 数列的相关知识。 例 2 (河南省实验中学高三期中)记 Sn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1an 为数 列{an}的前n项交替和。 (1)若an=n2,求数列{an}的前n 项交 替和Sn; (2)若数列{bn}的前n 项交替和Tn= n2+1,求数列{bn}的前n项和Rn。 解析:(1)当n=2k,k∈N*时,Sn=1-4 +9-16+…+(n-1)2-n2=-3-7+…+ (1-2n)= -3+1-2n 2 × n 2=- n2+n 2 ; 当n=2k-1,k∈N* 时,Sn=Sn-1+an =- (n-1)2+(n-1) 2 +n 2= n2+n 2 。 所以Sn= - n2+n 2 ,n=2k, n2+n 2 ,n=2k-1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (k∈N*), 或Sn=(-1)n-1 n2+n 2 。 (2)当n≥2时,(-1)n+1bn=Tn-Tn-1 =2n-1,即bn=(-1)n-1(2n-1); 当n=1时,b1=T1=2,不符合上式。 所以bn= 2,n=1, (-1)n-1(2n-1),n≥2。 故Rn=2-3+5-7+…+(-1)n-1· (2n-1)。 当n=2k,k∈N*时,Rn=2-3+5-7+… -(2n-1)=-1-2-2-…-2=1-n; 当n=2k-1,k∈N*时,Rn=2-3+5- 7+…-(2n-1)+(2n+1)=2+2+…+ 2=n+1。 所以Rn= 1-n,n=2k, n+1,n=2k-1 (k∈N*)。 点评:本题通过一种新型的交替和定义 作为背景进行试题的命制,第(1)问是将式子 中相邻两项并项后转化为我们熟知的等差数 列求和问题;第(2)问是在已知交替和的情况 下类比了我们学习过的Sn 法求an。这启发 我们,在以后处理问题的过程中,如果遇到我 们没有见过的问题或题型,要有将题目中的 条件向所学知识和方法上靠拢的意识,利用 已有知识解决各种数学问题。 三、新型定义莫畏难,深入分析解谜团 近两年来,随着高考改革,新定义类问题 逐渐在高中数学试卷中崭露头角,受到诸多 命题专家的青睐,在各省市模拟考试中频频 出现。这类问题大多涉及高中数学中的数 列、导数、圆锥曲线、距离等知识,而其中以数 列为背景的新定义试题更是层出不穷,独占 鳌头,甚至在2024年的九省联考与新高考Ⅰ 卷中作为最后一道解答题进行压轴,其地位 与重要性不言而喻。与此同时,新定义数列 问题一般需要对所学知识迁移转化,对所学 方法灵活应用,这就需要同学们具有更强的 信息获取能力、逻辑思维能力、迁移应用能 力、猜想归纳能力、抽象思维能力,且需要在 考试的有限时间内快速从题干提炼并应用信 息。由于新定义题目的分值一般为17分,分 值较大,那么成绩稳定的同学要想有所突破, 就需要在这类问题上下功夫钻研。下面通过 对一道原创数列新定义试题进行剖析来说明 如何切入和攻破此类问题。 例 3 若至少含三项的有穷数列{an} 满足:对任意i,j∈N*(i≠j),总存在 m∈ N*,使得aiaj=am 成立,则称数列{an}为自 闭数列。 (1)若-2,a,b为自闭数列,求a+b的 值。 (2)若将自闭数列{an}中所有项构成的 集合记为S,设|S|为集合S 中的元素个数, Sn 表示自闭数列{an}的前n项和。 ① 证明:|S|≤4。 ②是否存在 p,q∈N* (p≠q),使 得 Sp=q,Sq=p? 若存在,分别求出p,q的值; 若不存在,请说明理由。 解析:(1)当a=0时,该数列为-2,0,b, 由自闭数列的定义知-2b也是数列中的项。 若-2b=-2,即b=1,则该数列为-2, 0,1,经检验,其为自闭数列; 若-2b=0,即b=0,则该数列为-2,0, 0,仍为自闭数列; 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年2月 若-2b=b,即b=0,数列为-2,0,0,与 上述情况重复。 当a=1时,该数列为-2,1,b,同理可 得,-2b也是数列中的项。 若-2b=-2,即b=1,则该数列为-2, 1,1,为自闭数列; 若-2b=1,即b=- 1 2 ,则该数列为 -2,1,- 1 2 ,为自闭数列; 若-2b=0,即b=0,则该数列为-2,1, 0,为自闭数列。 综上可得,a+b 的可能取值为0,1,2, 1 2 。 (2)①假设|S|>4,则S 中至少含有五 个不同元素a,b,c,d,e(由集合中元素的互 异性可知,这些元素各不相同)。 若a,b,c,d,e只含-1,0,1中的零项或 一项或两项,则必然能找到三个元素的绝对 值均不为0,1,则这三个元素中至少有两个 元素的绝对值同时小于或大于1,这里不妨 设元素a,b的绝对值同时大于1(若同时小 于1同理可证),即|a|>1,|b|>1,由自闭数 列的定义可知ab∈S;同理a×ab=ab2∈S; a×ab2=ab3∈S,以此类推abn∈S(n∈ N*),且易知a≠ab≠ab2≠…≠abn…,这样 该数列构成的集合S 中含有无穷多个不同的 元素,则该数列必然为无穷数列,这与题目条 件有穷数列{an}矛盾,故不成立。 若a,b,c,d,e这些元素中同时含有- 1,0,1,则该集合中存在一个元素,这个元素 的绝对值不为0且不为1,不妨设其为a,则 -1×a=-a∈S,-a×a=-a2∈S,-a2× a=-a3∈S,以此类推,-an∈S(n∈N*), 且易知-a≠-a2≠…≠-an≠…,同理,此 时数列构成的集合S 中含有无穷多个不同的 元素,则数列必然为无穷数列,也与题目条件 矛盾,故不成立。 综上可得,|S|≤4。 ②不存在。 假设存在这样的数列满足要求,即存在 p,q∈N*(p≠q),使得Sp=q,Sq=p,由于 p≠q,这里不妨设p>q(p<q同理可证),则 Sq=p>q,则前q项的平均数 Sq q >1,因此该 自闭数列中至少有一项大于1,假设该项为 ak,则ak>1。 同时由于Sp-Sq=q-p≤-1,即aq+1 +aq+2+…+ap≤-1,则数列中至少有一项 小于等于-1,设该项为al,即al≤-1。 根据自闭数列的定义知akal∈S,a2kal∈ S,a3kal∈S,以此类推得ankal∈S,且akal≠ a2kal≠…≠ankal≠…,此时该数列构成的集合 S中含有无穷多个不同的元素,则该数列必然 为无穷数列,与题目条件矛盾,故假设不成立。 因此,不存在满足题目要求的p,q。 点评:本题是一道典型的数列新定义问 题,给出了一种新型数列———自闭数列的概 念,并以此为背景命制试题。在遇到这类问 题时,同学们先要厘清定义,这是解决新定义 问题最重要的一步,也是我们获取信息的主 要来源。例如:在本题中,我们可以先举出几 个自闭数列的例子加深理解,在举例的过程 中,我们能够逐渐意识到运算过程中的一些 特殊数字-1,0,1,随后利用这些特殊数字进 行突破并解决问题。事实上,对于第(1)问, 我们也可以考虑a 和b 的所有特殊取值情 况,比如a=b=0,a=b=1,或者a 和b其中 一个为0,一个为1,这些都符合自闭数列的 定义,但在这种方法下,-2,1,- 1 2 这种情况 容易遗漏。新定义类问题重在考查同学们的 创新思维能力,做题方法不固定,在正面突破 无法解决问题或者处理困难时要有使用反证 法解题的意识,并掌握反证法解决问题的技 巧———一般是先假设成立,再推出矛盾。并 且各省市模拟试题及高考真题都为我们提供 了一条信息:最后一问的解决往往需要结合 并联系前两问去进行处理,同学们要逐渐培 养起来这种意识并能够进行应用。新定义问 题,难在定义新,突破在定义,因此,读懂题目 是关键,希望同学们多读、多做、多想、多研究 新定义问题,在此类问题中有所收获,掌握做 题规律,在高考中考出水平,考出风采。 (责任编辑 王福华) 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年2月