22 平面向量及其应用常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■蒋兰芳 题型一:向量的基本概念 向量定义的核心是方向和长度;两个向 量不能比较大小,只可以判断它们是否相等, 但它们的模可以比较大小;大小与方向是向 量的两个要素,分别是向量的代数特征与几 何特征;向量可以自由平移,任意一组平行向 量都可以平移到同一直线上。 例1 下列说法错误的是( )。 A.长度为0的向量叫作零向量 B.零向量与任意向量都不平行 C.平行向量就是共线向量 D.长度等于1个单位长度的向量叫作单 位向量 解:对于A,规定长度为0的向量叫作零 向量,A正确。对于B,规定零向量与任意向 量都平行,B错误。对于C,平行向量就是共 线向量,C正确。对于D,长度等于1个单位 长度的向量叫作单位向量,D正确。应选B。 跟踪训练1:下列说法错误的是( )。 A.向量CD→ 与DC→ 长度相等 B.单位向量都相等 C.向量的模可以比较大小 D.任一非零向量都可以平行移动 提示:对于A,CD→ 和DC→ 长度相等,方向 相反,A正确。对于B,单位向量的长度都为 1,但方向不确定,B错误。对于C,向量的长 度可以比较大小,即向量的模可以比较大小, C正确。对于D,向量只与长度和方向有关, 与位置无关,故任一非零向量都可以平行移 动,D正确。应选B。 题型二:向量的相等或共线 判断两个向量是否共线的关键是看两个 向量所在的直线是否平行或重合;判断两个 向量是否相等,不仅要看两个向量所在的直 线是否平行或重合,还要看两个向量的模是 否相等、方向是否相同。 例2 下列命题中正确的是( )。 A.两个有共同起点且相等的向量,其终 点必相同 B.两个有公共终点的向量,一定是共线 向量 C.两个有共同起点且共线的向量,其终 点必相同 D.若AB→ 与CD→ 是共线向量,则点 A, B,C,D 必在同一条直线上 解:两个相等的向量方向相同且长度相 等,因此起点相同时终点必相同,A正确。两 个有公共终点的向量,可能方向不同,也可能 模长不同,B错误。两个有共同起点且共线 的向量可能方向不同,也可能模长不同,终点 未必相同,C错误。当 AB→ 与CD→ 是共线向 量时,有可能AB∥CD,D错误。应选A。 跟踪训练2:如图1,在等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分 别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且 EF∥ AB,则下列等式中成立的是( )。 图1 A.AD→=BC→ B.AC→=BD→ C.PE→=PF→ D.EP→=PF→ 提示:在等腰梯形ABCD 中,AD→、BC→ 不 平行,AC→、BD→ 不平行,A、B错误。由 AB∥ CD,可得 DP PB= CD AB= CP AP ,所以PB PD= PA PC ,所 以 PB+PD PD = PA+PC PC ,可得BD PD= AC PC ,即 PD BD= PC AC 。因为EF∥AB,所以 PE AB= PD BD= PC AC= PF AB ,所以PE=PF,即P 为EF 的中 点,所以EP→=PF→,C错误,D正确。应选D。 24 经典题突破方法 高一数学 2025年2月 题型三:向量共线定理的应用 向量共线的判断一般用其判定定理,即 a是一个非零向量,若存在唯一实数λ,使得 b=λa,则向量b 与非零向量a 共线。解题 时,需要把两个向量用共同的已知向量表示 出来,由此可判断向量共线。 例3 已知A,B,C 为三个不共线的点, P 为△ABC 所在平面内一点,若PA→+PB→= PC→+AB→,则下列结论正确的是( )。 A.点P 在△ABC 内部 B.点P 在△ABC 外部 C.点P 在直线AB 上 D.点P 在直线AC 上 解:因 为 PA→+PB→=PC→+AB→,所 以 PB→-PC→=AB→-PA→,所以CB→=AB→+AP→, 所以CB→-AB→=AP→,即CA→=AP→。故点P 在边AC 所在的直线上。应选D。 跟踪训练3:P 是△ABC 所在平面内一 点,CB→=λPA→+PB→,则点P 必在( )。 A.△ABC 内部 B.直线AC 上 C.直线AB 上 D.直线BC 上 提示:因为CB→=PB→-PC→,CB→=λPA→+ PB→,所 以 PB→ -PC→ =λPA→ +PB→,所 以 -PC→=λPA→,所以PC→∥PA→,所以PC→ 与PA→ 共线。所以点 P 一定在边AC 所在的直线 上。应选B。 题型四:向量的线性运算在三角形中的 运用 涉及向量的线性运算问题,可结合具体 条件,利用向量的线性运算,进行转化求解。 例4 “赵爽弦图”是我国古代数学的瑰 宝,它由四个全等的直角三角形和一个正方 形构成。现仿照“赵爽弦图”,用四个三角形 和一个小平行四边形构成如图2所示的图 形,其中 E,F,G,H 分别是DF,AG,BH, CE 的中点,若AG→=xAB→+yAD→,则2x+y 等于( )。 图2 A. 2 5 B. 4 5 C.1 D.2 解:由题意可得,AG→=AB→+BG→=AB→+ 1 2BH →=AB→+12(BC →+CH→)=AB→+12BC →+ 1 4CE →。因 为 EFGH 是 平 行 四 边 形,所 以 AG→=-CE→,所 以 AG→ =AB→ + 12BC → - 1 4AG →,所以 AG→=45AB →+25BC →。又因为 AG→=xAB→+yAD→,所以x=45,y= 2 5 ,所以 2x+y=2× 4 5+ 2 5=2 。应选D。 跟踪训练4:2021年是中国共产党建党 100周年,“红星闪闪放光彩”,国旗和国徽上 的五角星是革命和光明的象征。正五角星是 一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有 着紧密的联系,在如图3所示的五角星中,以 A、B、C、D、E 为顶点的多边形为正五边形, 且AT→= 5+12 TS →,设 ES→-AP→=λBQ→,则 λ=( )。 图3 A. 5+1 2 B. 5-1 2 C.- 5+1 2 D. 1- 5 2 提示:在正五角星中,因为ES→=RC→,AP→ =QC→,所以 ES→-AP→=RC→-QC→=RC→+ CQ→=RQ→,即RQ→=λBQ→。由AT→= 5+12 TS →, 可 得 RQ→ = 2 5+1 QB→ = 5-12 QB → = - 5-1 2 BQ →=1- 52 BQ →,所 以λ=1- 52 。 应选D。 34 经典题突破方法 高一数学 2025年2月 题型五:向量的投影 涉及向量的投影问题,可根据向量投影 的定义,结合具体条件进行求解。 例5 已知单位向量a,b满足|a+b|= 3,则a在b上的投影向量为( )。 A.a B. 1 2a C. 1 2b D.b 解:由题意知|a|=|b|=1。因为|a+ b|2=|a|2+2a·b+|b|2=2+2a·b=3,所 以a·b= 1 2 。所以|a|cos<a,b>= a·b |b|= 1 2 ,所以a 在b 上的投影向量为 1 2b 。应选 C。 跟踪 训 练 5:如 图 4,在 平 面 四 边 形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=120°,AB= CD,则向量 CD→ 在向量AB→ 上的投影向量 为( )。 图4 A.- 3 2AB → B.-12AB → C. 1 2AB → D.32AB → 提示:延长 AB,DC 交于点E(AF 为 AB 的 延 长 线)。因 为∠ABC=∠BCD= 120°,所 以 ∠CBE = ∠BCE =60°,所 以 ∠CEF=120°。又因为|CD→|=|AB→|,所以 向量 CD→ 在 向 量 AB→ 上 的 投 影 向 量 为 |CD→|·cos<AB→,CD→>· AB → |AB→| =cos∠CEF· AB→=cos120°·AB→=-12AB →。应选B。 题型六:求向量的夹角(夹角的余弦值) 求两个非零向量的夹角θ或其余弦值, 一般利用夹角公式cosθ= a·b |a||b| 求解。 例6 已知向量m,n 满足|m|=|n|= 2,且 m·n=-2 2,则 m 与n 的 夹 角 为( )。 A. π 6 B. π 4 C. 3π 4 D. 5π 6 解:设 m 与n 的夹角为θ。由|m|= |n|=2,可 得 m·n=|m||n|cosθ=2× 2cosθ=4cosθ=-22,解得cosθ=- 2 2 。 又θ∈[0,π],所以θ= 3π 4 。应选C。 跟踪训练6:已知|a|=1,|b|=2,a· b=- 1 2 ,则cos<a,a-2b>=( )。 A.0 B. 2 11 11 C. 2 13 13 D. 2 19 19 提示:已知|a|=1,|b|=2,a·b= - 1 2 。 |a-2b|= (a-2b)2 = a2-4a·b+4b2 = 12-4× - 1 2 +4×22= 19。 所以cos<a,a-2b>= a·(a-2b) |a|·|a-2b|= a2-2a·b |a|·|a-2b|= 12-2× - 1 2 1× 19 = 2 19 19 。 应选D。 题型七:已知向量的夹角求参数 解答这类问题,可根据题目条件,借助向 量的夹角公式cosθ= a·b |a||b| 进行转化求解。 例7 已知i,j为互相垂直的单位向量, a=-i+2j,b=3i-(λ-4)j,且a 与a-b 的夹角为锐角,则λ的取值范围为( )。 A.(0,+∞) B.(0,10)∪(10,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,-2)∪(-2,0) 解:因为a=-i+2j,b=3i-(λ-4)j, 44 经典题突破方法 高一数学 2025年2月 所以a-b=-4i+(λ-2)j。因为a与a-b 的夹角为锐角,所以4+2(λ-2)>0,且a 与 a-b不共线,解得λ>0。当a∥(a-b)时, 则a=k(a-b),所 以 -1=-4k, 2=k(λ-2), 解 得 k= 1 4 , λ=10, 所以当λ≠10时,向量a 与a-b 不 共线。综上可得,λ 的取值范围为(0,10)∪ (10,+∞)。应选B。 跟踪训练7:已知a 和b 是两个相互垂 直的单位向量,c=a+λb(λ∈R),则λ=1是 c与a的夹角为 π 4 的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 提示:由a⊥b,可得a·b=0,所以a·c =a·(a+λb)=|a|2+λa·b=1。 因 为|a|=1,|c|= (a+λb)2 = 1+λ2,所 以 cos<a,c>= a·c |a|·|c|= 1 1+λ2 。当λ=±1时,cos<a,c>= 2 2 ,则c 与a的夹角为 π 4 ,所以λ=1是c与a的夹角 为 π 4 的充分不必要条件。应选A。 题型八:向量的模 a·a=a2=|a|2 或|a|= a·a是求向 量的模及用向量求线段长度的依据。这种通 过求自身的数量积从而求模的思想是解决向 量的模的问题的主要方法。 例8 已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 2,|a+2b|=3,则|2a-b|=( )。 A.3 B.10 C.14 D.4 解:因为向量a,b满足|a|=1,|b|=2, |a+2b|=3,所以|a+2b|2=|a|2+4a·b +4|b|2=1+16+4a·b=9,所以4a·b= -8。所以|2a-b|2=4|a|2-4a·b+|b|2 =4+8+4=16,所以|2a+b|=4。应选D。 跟踪训练8:已知平面向量a,b,c 两两 之间的夹角均相等,且a·b=-1,b·c= -2,c·a=-3,则|a+b+c|=( )。 A. 13 3 B. 39 3 C. 76 6 D. 23 6 提示:因为平面向量a,b,c两两之间的 夹角均相等,且两两之间的数量积为负数,所 以a,b,c 两两之间的夹角均为 2π 3 。易得 |a+b+c|2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+ 2b·c+2c·a=|a|2+|b|2+|c|2-12。由 a,b,c 两 两 之 间 的 夹 角 为 2π 3 得 a·b= - |a||b| 2 =-1 ,b·c=- |b||c| 2 =-2 ,c· a=- |c||a| 2 =-3 ,据上三式平方,解得 |a|2=3,|b|2= 4 3 ,|c|2=12。所以|a+b+ c|2=|a|2+|b|2+|c|2-12= 13 3 ,即|a+b +c|= 39 3 。应选B。 题型九:向量数量积的最值问题 解答这类问题,可将向量数量积的最值 问题转化为函数的最值问题或几何量的最值 问题,利用求函数最值的基本方法求出最值, 或利用图形直观求出最值。 例9 已知向量a,b,|a|=1,|b|=2, 若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e| ≤ 6,则a·b的最大值为( )。 A. 1 2 B. 2 2 C.1 D.2 解:因为|a·e|+|b·e|≤ 6,所以|(a +b)·e|=|a·e+b·e|≤|a·e|+|b· e|≤ 6,所以|(a+b)·e|≤ 6恒成立,所以 |(a+b)·e|=|a+b|·|e||cos<a+b,e>| ≤ 6恒成立,所以|a+b|≤ 6,所以|a+b|2 =a2+b2+2a·b=5+2a·b≤6,所以a·b ≤ 1 2 ,所以a·b的最大值为 1 2 。应选A。 54 经典题突破方法 高一数学 2025年2月 跟踪训练9:已知△ABC 中,|AB→|=5, |AC→|=8,|BC→|=7,PQ 是以A 为圆心的单 位圆上的任意一条直径,则BP→·CQ→ 的最大 值为( )。 A.12 B.26 C. 87 2 D.44 提示:因为|AB→|=5,|AC→|=8,|BC→|= 7,所以BC→ 2 =(AC→-AB→)2=AB→ 2 +AC→ 2 - 2AB→·AC→,所以 AB→·AC→=20。由题意可 知,点A 为线段PQ 的中点,且|AP→|=1。 因为AP→=QA→,BP→=AP→-AB→,所以CQ→= AQ→-AC→=-AP→-AC→。所以 BP→·CQ→= (AP→-AB→)·(-AP→-AC→)=(AB→-AP→)· (AC→+AP→)=AB→·AC→-AP→ 2 +AP→·(AB→ -AC→)=19+AP→·CB→≤19+|AP→|·|CB→| =26,当且仅当AP→、CB→ 同向时等号成立,所 以BP→·CQ→ 的最大值为26。应选B。 题型十:用基底表示向量 用基底表示向量的基本方法有两种:一 种是运用向量的线性运算对所求向量不断地 进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通 过列向量方程(组),利用基底表示向量的唯 一性求解。 例10 如图5,在平行四边形 ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,E 为CD 的 中点,AE 与BD 交于点F,若AC→=a,BD→= b,则FE→=( )。 图5 A. 1 12a+ 1 4b B. 3 4a+ 1 4b C. 1 4a+ 1 12b D. 1 4a+ 3 4b 解:由平行四边形 ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,可得OC→=12AC →=12a,OD → = 1 2BD →=12b。由点E 为CD 的中点,可得 DE→=12DC →=12(OC →-OD→)=14a- 1 4b 。由 DE∥AB,可得 |FD→| |BF→| = |DE→| |AB→| = 1 2 ,所以FD→ = 1 3BD →=13b。所以FE →=FD→+DE→=13b + 1 4a- 1 4b= 1 4a+ 1 12b 。应选C。 跟踪训练 10:如 图 6,在 平 行 四 边 形 ABCD 中,BE→=12EC →,DF→=2FC→,设AE→= a,AF→=b,则AC→=( )。 图6 A. 6 7a+ 3 7b B. 3 7a+ 6 7b C. 3 4a+ 1 3b D. 1 3a+ 3 4b 提示:因为四边形 ABCD 为平行四边 形,所以 AC→=AB→+AD→,BC→=AD→,DC→= AB→。因为BE→=12EC →,DF→=2FC→,所以BE→ = 1 3BC →,DF→=23DC →,所以AE→=AB→+BE→= AB→+13BC →=AB→+13AD →,AF→=AD→+DF→= AD→+23DC →=AD→+23AB →。 由题 设 可 知,AE→=a,AF→=b,所 以 AB→+13AD →=a, AD→+23AB →=b, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 AB→=97a- 3 7b , AD→=97b- 6 7a , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以AC→=AB→+AD→=97a- 3 7b+ 9 7b- 6 7a= 3 7a+ 6 7b 。应选B。 题型十一:平面向量基本定理的应用 解答这类问题,可结合题目条件,利用平 面向量基本定理进行转化求解。 例11 如图7,已知 G 是△ABC 的重 心,点 D 满足BD→=DC→,若 GD→=xAB→+ yAC→,则x+y=( )。 64 经典题突破方法 高一数学 2025年2月 图7 A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D.1 解:因为BD→=DC→,所以 D 为BC 的中 点。 因为 G 是△ABC 的重心,所以 GD→= 1 3AD →。因为 D 为BC 的中点,所以 AD→= 1 2AB →+12AC →。 因为GD→=13AD →=13 1 2AB →+12AC → = 1 6AB →+16AC →,所以x=y=16,所以x+y= 1 3 。应选A。 跟踪训练11:如图8,在△ABC 中,D 为 边BC 的中点,E 在边AC 上,且EC=2AE, AD 与BE 交于点F,若CF→=λAB→+μAC→, 则λ+μ=( )。 图8 A.- 1 2 B.- 3 4 C. 1 2 D. 3 4 提示:以向量 AB→,AC→ 为基底向量进行 转化求解。因为B,E,F 三点共线,所以AF→ =xAB→+(1-x)AE→=xAB→+13(1-x)AC →。 又因为A,F,D 三点共线,且 D 为边BC 的 中点,所以 AF→=yAD→=12yAB →+12yAC →。 据上可得, x= 1 2y , 1 3 (1-x)= 1 2y , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x= 1 4 , y= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以AF→=14AB →+14AC →。 又 因 为 CF→ = AF→ - AC→ = 1 4AB →+14AC → -AC→=14AB→-34AC→,所以 λ= 1 4 ,μ=- 3 4 ,所以λ+μ=- 1 2 。应选A。 题型十二:平面向量的坐标运算 利用向量线性运算的坐标表示解题,主 要根据相等向量的坐标相同这一原则,通过 列方程(组)进行求解。 例12 在平行四边形ABCD 中,AC 为 一条对角线。若 AD→=(2,4),AC→=(1,3), 则BD→=( )。 A.(-2,4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(-3,-7) 解:在平行四边形 ABCD 中,已知 AD→ =(2,4),AC→=(1,3),则 AB→=DC→=AC→- AD→=(-1,-1),所以BD→=AD→-AB→=(2, 4)-(-1,-1)=(3,5)。应选C。 跟踪训练12:已知向量a=(2,-1),b= (1,6),c=(7,3),则c 可以用a 与b 表示 为( )。 A.3a+b B.a+3b C.3a+2b D.3a-b 提示:设c=xa+yb,x,y∈R,则(7,3) =(2x+y,-x+6y),所以 2x+y=7, -x+6y=3, 解 得 x=3, y=1, 所以c=3a+b。应选A。 题型十三:向量共线、垂直的坐标表示 向量共线、垂直的坐标表示的应用有两 类:一是判断向量的共线(平行)、垂直;二是 根据向量共线、垂直求参数的值。 例13 在平面直角坐标系中,已知向量 a=(1,-2),b=(3,4)。 (1)若(3a-b)∥(a+kb),求实数k 的 值。 (2)若(a-tb)⊥b,求实数t的值。 解:(1)因为a=(1,-2),b=(3,4),所 以3a-b=(0,-10),a+kb=(3k+1,4k- 2)。因为(3a-b)∥(a+b),所以-10(3k+ 1)=0,解得k=- 1 3 。 (2)a-tb=(1-3t,-2-4t)。因为(a 74 经典题突破方法 高一数学 2025年2月 -tb)⊥b,所以(a-tb)·b=3×(1-3t)+4 ×(-2-4t)=-25t-5=0,解得t=- 1 5 。 跟踪训练13:已知a=(1,0),b=(2,1)。 (1)当k 为何值时,ka-b 与a+2b 垂 直? (2)若 AB→=2a+3b,BC→=a+mb,且 A,B,C 三点共线,求m 的值。 提示:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)= (k-2,-1),a+2b=(5,2)。因为ka-b与 a+2b垂直,所以5×(k-2)+(-1)×2=0, 即5k-12=0,可得k= 12 5 。 (2)AB→=2a+3b=(8,3),BC→=a+mb =(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m)。因为A, B,C 三点共线,所以 AB→∥BC→,所以8m-3 ×(2m+1)=0,即2m-3=0,可得m= 3 2 。 题型十四:向量的坐标运算与三角函数 的交汇 解答这类问题,可利用平面向量数量积 的坐标运算(平面向量数量积的坐标表示、平 面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行 与垂直的坐标表示等),将所求问题转化为与 三角函数有关的问题(如化简、求值、证明 等),再利用三角函数知识求解。 例14 已知O 为坐标原点,向量OA→= (1,3),OB→=(cosα,sinα)。 (1)若α= π 3 ,求|OA→+OB→|的值。 (2)若α∈ 0, π 2 ,求OA→·OB→ 的取值 范围。 解:(1)当α= π 3 时,OB→= 1 2 ,3 2 ,所以 OA→+OB→= 3 2 ,33 2 ,所以|OA→+OB→|= 9 4+ 27 4=3 。 (2)OA→ ·OB→ = 3sinα+cosα= 2sinα+ π 6 。因为0≤α≤π2,所以π6≤α+ π 6≤ 2π 3 ,所以1≤2sinα+ π 6 ≤2,即OA→· OB→ 的取值范围为[1,2]。 跟踪训练14:已知a=(sinx+cosx, 2cosθ),b= 2sinθ, 1 2sin2x 。 (1)若c=(-3,4),且x= π 4 ,θ∈(0,π), a与c的夹角为钝角,求cosθ的取值范围。 (2)若θ= π 3 ,函数 f(x)=a·b,求 f(x)的最小值。 提示:(1)当x= π 4 时,a=(2,2cosθ)。 若a与c的夹角为钝角,则a·c<0且a与c 不能共线。由a·c=(2,2cosθ)·(-3,4) =-32+8cosθ<0,可得cosθ< 32 8 。因 为θ∈(0,π),所以cosθ∈(-1,1),所以 -1<cosθ< 32 8 。当a 与c共线时,42+ 6cosθ=0,即cosθ=- 22 3 ,所以当a与c不 共线时,cosθ≠- 22 3 。综上可得,cosθ∈ -1,- 22 3 ∪ -223 ,328 。 (2)f(x)=a·b=(sinx+cosx,1)· 3, 1 2sin2x = 3sinx + 3cosx + 1 2sin2x= 3 (sinx+cosx)+sinxcosx。 令t=sinx+cosx= 2sin x+ π 4 ∈ [- 2,2],则sinxcosx= t2-1 2 。所以函数 f(x)等价于g(t)= 3t+ t2-1 2 = 1 2 (t+ 3)2-2。而函数g(t)= 1 2 (t+ 3)2-2在 t∈[- 2,2]上为增函数,所以当t=- 2 时,g(t)有最小值 1 2- 6 。故函数f(x)的 最小值为 1 2- 6 。 作者单位:诸暨工业职业技术学校 (责任编辑 郭正华) 84 经典题突破方法 高一数学 2025年2月