21 2024年高考平面向量三类经典问题揭秘-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■张理飞 高考对平面向量的考查,一般考查平面 向量基本定理、坐标运算、平面向量数量积的 运算、化简、证明及数量积的应用等,凸显利 用向量的“数与形”双重身份求解问题的数学 素养。 经典一:向量平行或垂直条件的应用 例1 (2024年高考新课标卷)已知向量 a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( )。 A.-2 B.-1 C.1 D.2 解:根据向量垂直的坐标运算可求出x 的值。因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a) =0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0, 解得x=2。应选D。 揭秘:向量是数学的重要解题工具,高考 考查的热点是平面向量的线性运算及平面向 量的数量积问题。 跟踪训练1:(1)(2024年高考新课标卷) 已知向量a,b 满足|a|=1,|a+2b|=2,且 (b-2a)⊥b,则|b|= 。 (2)(2024年高考上海卷)已知k∈R, a=(2,5),b=(6,k),且a∥b,则k 的值为 。 提示:(1)因为(b-2a)⊥b,所以(b- 2a)·b=0,即b2=2a·b。又因为|a|=1, |a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2=1+ 6b2=4,解得|b|= 2 2 。 (2)利用向量平行的坐标表示,列方程可 求出k的值。由a∥b,可得2k=5×6,解得k =15。 经典二:向量与充要条件的交汇 例2 (2024年高考北京卷)已知向量 a,b,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b 或 a=-b”的( )。 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:由向量的数量积知(a+b)·(a-b) =0等价于|a|=|b|,再结合充分、必要条件 即可判断。由(a+b)·(a-b)=a2-b2= 0,可得a2=b2,即|a|=|b|,所以(a+b)· (a-b)=0等价于|a|=|b|。 若a=b或a=-b,则|a|=|b|,即(a+ b)·(a-b)=0,可知必要性成立;若(a+ b)·(a-b)=0,则|a|=|b|,无法得出a= b或a=-b,如a=(1,0),b=(0,1),满足 |a|=|b|,但a≠b且a≠-b,可知充分性不 成立。 综上所述,“(a+b)·(a-b)=0”是“a =b或a=-b”的必要不充分条件。应选A。 揭秘:充要条件的判断方法:“若p 则q” 是真命题,则p 是q的充分条件,q是p 的必 要条件;“若p 则q”的逆命题为真,则q是p 的充分条件,p 是q的必要条件;“若p 则q” “若q则p”均为真,则p 是q 的充要条件。 向量的“平行、垂直、线性表示、加减法运算、 夹角、数量积、向量的模”常与充要条件交汇 命题,值得同学们重视。 跟踪训练2:(2024年高考全国卷)已知 向量a=(x+1,x),b=(x,2),则( )。 A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件 C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+ 3”是“a∥b”的充分条件 提示:利用向量垂直和平行的坐标表示 列方程即可判断。对于A,当a⊥b 时,可得 a·b=0,所以x(x+1)+2x=0,解得x=0 或x=-3,即必要性不成立,A错误。对于 B,当a∥b时,可得2(x+1)=x2,解得x=1 ± 3,即必要性不成立,B错误。对于C,当 x=0时,a=(1,0),b=(0,2),可得a·b= 0,这时a⊥b,即充分性成立,C正确。对于 D,当x=-1+ 3时,不满足2(x+1)=x2, 04 经典题突破方法 高一数学 2025年2月 所以a∥b不成立,即充分性不成立,D错误。 应选C。 经典三:向量数量积的最值与函数最值 的转化 例3 (2024年高考天津卷)如图1,在边 长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,CE= 1 2DE ,BE→=λBA→+μBC→,则 λ+μ= ;若F 为线段BE 上的动点,G 为 AF 的中点,则AF→·DG→ 的最小值为 。 图1 解:以BA→,BC→ 为基底向量,利用向量的 线性运算求出BE→,即得λ+μ 的值;设BF→= kBE→,求出AF→,DG→,结合数量积即得 AF→· DG→的最小值。因为CE=12DE,所以CE →= 1 3BA →,所以BE→=BC→+CE→=13BA →+BC→,所 以λ= 1 3 ,μ=1,可得λ+μ= 4 3 。 由题意知|BC→|=|BA→|=1,BA→·BC→= 0。由 F 为线段BE 上的动点,可设 BF→= kBE→=13kBA →+kBC→,k∈ 0,1 ,则 AF→= AB→+BF→=AB→+kBE→= 13k-1 BA→+ kBC→。因为 G 为 AF 的 中 点,所 以 DG→= DA→+AG→=-BC→+12AF →=12 1 3k-1 BA→ + 12k-1 BC→。 所以AF→·DG→= 13k-1 BA→+kBC→ · 1 2 1 3k-1 BA→+ 12k-1 BC→ =12 13k- 1 2 +k 12k-1 =59 k-65 2 - 3 10 。 因为k∈[0,1],所以当k=1时,AF→· DG→ 取得最小值-518。 揭秘:求向量数量积的最值常见的三种 方法:一是建立坐标系,利用函数思想或基本 不等式求解;二是合理选择基底,构建变量的 函数求解;三是引入角参数作为变量,转化为 三角函数求最值。 跟踪训练3:在△ABC 中,A=60°,BC =1,点 D 为AB 的中点,点 E 为CD 的中 点,若AB→=a,AC→=b,则AE→ 可用a,b表示 为 ;若BF→=13BC →,则AE→·AF→ 的最大 值为 。 提示:因为E 为CD 的中点,所以2AE→ =AD→+AC→,所以2AE→=12a+b,所以 AE → = 1 4a+ 1 2b 。 因为BF→=13BC →,所以2FB→+FC→=0。 由 AF→+FC→=AC→, AF→+FB→=AB→, 可得 AF→+FC→+2(AF→ +FB→)=AC→+2AB→,所以3AF→=2a+b,所 以 AF→ = 23a + 1 3b 。故 AE→ ·AF→ = 1 4a+ 1 2b · 23a+13b =112(2a2+5a·b +2b2)。 记 AB=x,AC=y,则 AE→·AF→= 1 12 (2a2+5a ·b +2b2)= 1 12 (2x2 + 5xycos60°+2y2)= 1 122x 2+ 5xy 2 +2y 2 。 在△ABC 中,由余弦定理得BC2=x2+ y2-2xycos60°=x2+y2-xy=1。所以 AE→·AF→=1122xy+ 5xy 2 +2 =1129xy2 + 2 。由x2+y2-xy=1和基本不等式得1= x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,所以xy≤1, 当且仅当时x=y=1取等号。所以当x= y=1时,AE→·AF→=112 9xy 2 +2 ≤112 92+ 2 = 13 24 ,即AE→·AF→ 的最大值为1324。 作者单位:江西省萍乡市上栗中学 (责任编辑 郭正华) 14 经典题突破方法 高一数学 2025年2月