20 平面向量中的新定义问题-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■台占平 求解新定义问题,首先要对给出的新定 义内容进行深刻理解,可以圈出重点字词,尤 其是新定义内容中的数学概念和数学符号要 特别注意,然后要通过联想的方式将新定义 中的核心点与所学过的知识点进行融合,找 出共通的地方,这样新定义问题就“化生为 熟”了,如若题目中涉及新型运算法则,则要 严格按照运算法则进行计算。需要注意的 是,新定义题目一般在高考试卷的压轴位置, 往往设置三问,第一问的难度并不大,所以同 学们不要轻易放弃这类问题。 题型一:与线性运算有关的新定义 例1 对于n 个向量a1,a2,a3,…,an, 若存在n 个不全为0的实数k1,k2,k3,…, kn,使得k1a1+k2a2+k3a3+…+knan=0成 立,则称向量a1,a2,a3,…,an 是线性相关 的。按此规定,能使向量a1=(1,0),a2=(1, -1),a3=(2,2)是线性相关的实数为k1,k2, k3,则k1+4k3 的值为( )。 A.-1 B.0 C.1 D.2 解:依据线性相关的新定义将问题转化 为向量的线性运算,借助零向量的概念求解。 因为向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2, 2)是线性相关的,所以k1a1+k2a2+k3a3= 0,即k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0,所 以(k1+k2+2k3,-k2+2k3)=0,所 以 k1+k2+2k3=0, -k2+2k3=0。 据此两个方程相加得k1+ 4k3=0。应选B。 变式1:定义平面向量之间的一种运算 “☉”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q), 令a☉b=mq-np,有如下说法:①若a 与b 共线,则a☉b=0;②a☉b=b☉a;③对任意 的λ∈R,有(λa)☉b=λ(a☉b);④(a☉b)2 +(a·b)2=|a|2|b|2。 其中正确说法的序号是 。 提示:对于①,若a与b共线,则mq-np =0,即a☉b=0,①正确。对于②,因为a☉b =mq-np,b☉a=np-mq,所以a☉b≠b ☉a,②错误。对于③,(λa)☉b=λmq-λnp, λ(a☉b)=λmq-λnp,所 以 (λa)☉b= λ(a☉b),③正确。对于④,因为(a☉b)2+ (a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=m2q2+ n2p2+m2p2+n2q2=(m2+n2)(p2+q2),又 |a|2|b|2=(m2+n2)(p2+q2),所以(a☉b)2+ (a·b)2=|a|2|b|2,④正确。答案为①③④。 题型二:运算法则的新定义 例2 (多选题)定义:a,b两个向量的叉 乘a×b=|a|·|b|·sin<a,b>,则以下说法 正确的是( )。 A.若a×b=0,则a∥b B.λ(a×b)=(λa)×b C.若四边形ABCD 为平行四边形,则它 的面积等于AB→×AD→ D.若a×b= 3,a·b=1,则|a+b|的 最小值为 7 解:依据新定义a×b=|a|·|b|· sin<a,b>和两向量的数量积进行推理判断。 对于A,a×b=|a|·|b|·sin<a,b>=0,若 a,b至少有一个为零向量,则满足a∥b;若a,b 均不为零向量,则sin<a,b>=0,可知a,b同向 或反向,即a∥b,A正确。对于B,λ(a×b)= λ|a|·|b|·sin<a,b>,(λa)×b=|λa|· |b|·sin<λa,b>,若λ≥0,则(λa)×b=λ|a|· |b|·sin<a,b>,此时λ(a×b)=(λa)×b;若 λ<0,则(λa)×b=-λ|a|·|b|·sin<a,b>, 此时λ(a×b)≠(λa)×b,B错误。对于C, 若四边形ABCD 为平行四边形,则它的面积 等于|AB→|·|AD→|·sin<AB→,AD→>=AB→× AD→,C正确。对于 D,a×b=|a|·|b|· sin<a,b>= 3,a·b=|a|·|b|·cos<a,b> =1,两式平方相加得(|a|·|b|)2=4,即 |a|·|b|=2,而|a+b|= a2+2a·b+b2 = |a|2+|b|2+2 ≥ 2|a|·|b|+2 = 6,当且仅当|a|=|b|= 2时等号成立,所 以|a+b|的最小值为 6,D错误。应选AC。 83 创新题追根溯源 高一数学 2025年2月 变式2:对于非零向量a,b,定义a􀱇b= a·b·tan<a,b>。若a􀱇b=|a+b|= 3|a -b|= 3,则tan<a,b>= 。 提示:由a􀱇b=a·b·tan<a,b>= 3, 可得tan<a,b>= 3 a·b 。由|a+b|= 3|a- b|= 3,可得 |a|2+2a·b+|b|2=3, |a|2-2a·b+|b|2=1, 两式 相减 得 4a·b=2,即 a·b= 1 2 。所 以 tan<a,b>= 3 1 2 =23。 题型三:向量与三角函数结合的新定义 例3 给出定义:对于向量b=(sinx, cosx),若函数f(x)=a·b,则可以将向量 a称为 函 数f(x)的 伴 随 向 量,同 时 函 数 f(x)亦可以称为向量a的伴随函数。 (1)设向量 m=(3,1)的伴随函数为 g(x),若 g(α)= 10 13 ,且α∈ - π 6 ,π 3 ,求 cosα的值。 (2)已知点 A -1, 3 2 ,B(1,3),函数 h(x)的伴随向量为n=(0,1),请问函数 h(x)的图像上是否存在一点P,使得|AP→+ BP→|=|AB→|,若存在,求出点 P 的坐标;若 不存在,请说明理由。 解:依据f(x)为向量a的伴随函数的新 定义将问题转化为三角函数和三角变换,以 及向量运算问题求解。 (1)由题意得g(x)= 3sinx+cosx= 2sinx+ π 6 。由g(α)=2sinα+π6 =1013, 可得sinα+ π 6 =513。因为α∈ -π6,π3 , 所以α+ π 6∈ 0 ,π 2 ,所 以cosα+π6 = 1-sin2 α+ π 6 = 1213,所 以 cosα = cos α+ π 6 -π6 =cosα+π6 cos π6 + sinα+ π 6 sinπ6=123+526 。 (2)由题意得h(x)=cosx。 设点P(x,cosx),因为点 A -1, 3 2 , B(1,3),所以 AP→= x+1,cosx-32 ,BP→ =(x-1,cosx-3),AB→= 2,32 ,所以AP→ +BP→= 2x,2cosx-92 。由|AP→+BP→|= |AB→|,可 得 (2x)2+ 2cosx-92 2 = 22+ 32 2 ,即 cosx- 9 4 2 = 25 16-x 2。因 为-1≤cosx≤1,所以- 13 4≤cosx- 9 4≤ - 5 4 ,所以25 16≤ cosx- 9 4 2 ≤ 169 16 。又25 16- x2 ≤ 25 16 ,所 以 当 且 仅 当 x = 0 时, cosx- 9 4 2 和 25 16-x 2 同时等于 25 16 ,此时 cosx- 9 4 2 = 25 16-x 2 成立,所 以 在 函 数 h(x)的图像上存在一点P(0,1),使得|AP→ +BP→|=|AB→|。 变式3:已知对任意平面向量AB→=(x, y),把AB→ 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角 得到向量AP→=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ ycosθ),叫作把点B 绕点A 沿逆时针方向旋 转θ角得到点P。已知平面内点 A(1,2), B(1+ 3,4),把点B 绕点A 沿顺时针方向 旋转 π 3 后得到点P,则点P 的坐标为 。 提示:设O 为坐标原点。由AB→=(3, 2),可得 AP→= 3cos-π3 -2sin -π3 , 3sin - π 3 +2cos-π3 = 332 ,-12 。 因为点A(1,2),所以点P 的坐标为OP→ =OA→+AP→=(1,2)+ 33 2 ,- 1 2 = 332 +1, 3 2 ,即点P 332 +1,32 。 作者单位:银川市第三十一中学 (责任编辑 郭正华) 93 创新题追根溯源 高一数学 2025年2月