19 知识交汇，综合应用——三角函数与平面向量-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■鞠 萍 三角函数与平面向量的交汇与综合应用 问题是近年高考的热点问题之一。利用平面 向量的工具性,结合三角函数的概念、性质及 公式进行恒等变换,综合考查三角函数的求 值、三角函数的图像与性质、三角函数的最值 等问题。 一、平面向量与三角函数的求角问题 以平面向量的性质入手,结合同角三角 函数关系式、诱导公式可以求解相应的角的 大小问题。 例1 已知向量a=(cosα,sinα),b= (cosβ,sinβ),0<β<α<π。 (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b。 (2)设向量c=(0,1),若a+b=c,求α, β的值。 解:(1)(方法1)由|a-b|= 2,可得 (cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2,整理得 cosαcosβ+sinαsinβ=0,所以a·b=0,所 以a⊥b。 (方法2)由题意得|a-b|2=2,即(a- b)2=a2-2a·b+b2=2。 因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2- 2a·b=2,所以a·b=0,所以a⊥b。 (2)由a+b=(cosα+cosβ,sinα+ sinβ)=c=(0,1),可得 cosα+cosβ=0, sinα+sinβ=1。 因为0<β<α<π,cosβ=-cosα= cos(π-α),所以β=π-α。代入sinα+sinβ =1得sinα+sin(π-α)=1,所以sinα= 1 2 , 所以α= π 6 或α= 5π 6 。 当α= π 6 时,由β=π-α,可得β= 5π 6 (不 符合题意,舍去);当α= 5π 6 时,由β=π-α,可 得β= π 6 。 综上可得,α= 5π 6 ,β= π 6 。 点评:本题主要考查平面向量的坐标运 算与向量的模的概念,考查向量垂直的条件 与三角函数的应用问题。 二、平面向量与三角函数的求值问题 以平面向量间的性质入手,结合三角公 式及三角恒等变换,可以求解相应的三角函 数的值。 例2 设向量a=(1,cosθ)与b=(-1, 2cosθ)垂直,则cos2θ等于( )。 A. 2 2 B. 1 2 C.0 D.-1 解:由题意知a⊥b,所以a·b=(1, cosθ)·(-1,2cosθ)=0,所以-1+2cos2θ =0。所以cos2θ=2cos2θ-1=0。应选C。 点评:本题主要考查平面向量的数量积的 概念和性质,考查三角恒等变换与求值问题。 三、平面向量与三角函数的图像与性质 问题 以平面向量的性质入手,把平面向量的 关系式转化为正弦(或余弦)型函数问题,利 用三角函数的图像与性质解决问题。 例3 已知向量a= cosx,- 1 2 ,b= (3sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=a·b。 (1)求函数f(x)的最小正周期。 (2)求函数f(x)在 0, π 2 上的最大值 和最小值。 解:(1)由题意得函数f(x)=a·b= cosx,- 1 2 · (3sin x,cos 2x)= 3cosxsinx- 1 2cos2x = 3 2 sin2x - 1 2cos2x=sin2x- π 6 ,所以函数f(x)的 63 创新题追根溯源 高一数学 2025年2月 最小正周期为T= 2π 2=π 。 (2)当 x∈ 0, π 2 时,可得2x-π6∈ - π 6 ,5π 6 。 由正弦函数的图像与性质可知,当2x- π 6= π 2 ,即x= π 3 时,函数f(x)取得最大值 1;当2x- π 6=- π 6 ,即x=0时,函数f(x) 取得最小值- 1 2 。 故函数f(x)在 0, π 2 上的最大值和最 小值分别为1,- 1 2 。 点评:本题主要考查平面向量与三角函 数的图像与性质,以及三角函数在给定区间 上的最值问题,考查推理与运算能力。 四、平面向量与三角函数的最值问题 以平面向量为问题场景,借助三角函数 解决平面向量中的最值或取值范围问题,是 解决此类问题中常用的一种技巧与方法。对 于这类问题,通过合理建立平面直角坐标系, 引入三角函数是解决问题的关键。 例4 在△ABC 中,AC=5,BC=12, C=90°,P 为△ABC 所在平面内的一动点, 且PC=2,则PA→·PB→ 的取值范围是 。 解:以C 为坐标原点,CB、CA 所在的直 线分别为x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系 Cxy,如图1所示,则点C(0,0),B(12,0), A(0,5)。 图1 因为P 为△ABC所在平面内的一动点,且 PC=2,所以点P 在以C为圆心,2为半径的圆 上。设点P(2cosθ,2sinθ),θ∈[0,2π)。 由上可得,PA→=(-2cosθ,5-2sinθ), PB→=(12-2cosθ,-2sinθ),所以PA→·PB→ =(12-2cosθ)(-2cosθ)+(-2sinθ)(5- 2sinθ)=-24cosθ+4cos2θ-10sinθ+4sin2θ =4-26sin(θ+φ),其中φ由tanφ= 12 5 所确定。 因为sin(θ+φ)∈[-1,1],所以PA →· PB→ 的取值范围是[-22,30]。 点评:解决平面向量的最值或范围问题 的四种常用方法:函数法,基本不等式法,三 角函数法和平面几何法。通过三角函数的引 入,将平面向量与三角函数知识加以交汇与 融合,利用三角函数的有界性,是确定平面向 量的最值或范围问题的一种常用方法。 (多选题)已知向量a=(2,1),b= (cosθ,sinθ)(0≤θ≤π),则下列命题正确的 是( )。 A.若a⊥b,则tanθ= 2 B.若b 在a 上的投影数量为- 1 2 ,则向 量a与b的夹角为 2π 3 C.存在θ,使得|a+b|=|a|+|b| D.a·b的最大值为 3 提示:若a⊥b,则a·b= 2cosθ+sinθ =0,即tanθ=- 2,A错误。若b在a上的 投影数量为- 1 2 ,且|b|=1,则|b|·cos<a, b>=- 1 2 ,可得<a,b>= 2π 3 ,B正确。|a+ b|2=a2+b2+2a·b,(|a|+|b|)2=|a|2+ |b|2+2|a||b|,若|a+b|=|a|+|b|,则 a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|,即cos<a, b>=1,可知存在θ=<a,b>=0,使得|a+b| =|a|+|b|,C正确。a·b= 2cosθ+sinθ = 3sin(θ+φ),因为0≤θ≤π,0<φ< π 2 ,所 以当θ+φ= π 2 时,a·b取得最大值 3,D正 确。应选BCD。 作者单位:江苏省泰州市姜堰区张甸中学 (责任编辑 郭正华) 73 创新题追根溯源 高一数学 2025年2月