17 平面向量及其应用典型易点剖析&18 一道平面向量问题的多视角解法-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■伍宏生 易错点1:忽视0 例1 给出下列4个命题:①若a=-b, 则|a|=|b|;②若|a|<|b|,则a<b;③若 a=b,则a∥b;④若a∥b,b∥c,则a∥c。其 中正确命题的个数是 。 错误解答:由a=-b,可知a,b 互为相 反向量,根据相反向量的定义,可得两个向量 a,b 的模相等,①正确。根据向量的有关概 念,向量不能直接比较大小,可以比较模的大 小,②错误。若a=b,则向量a,b 为相等向 量,所以a∥b,③正确。若a∥b,b∥c,则a∥ c,④正确。故有3个命题是正确的。 重难点分析:向量的平行不能和直线的 平行混淆,需要注意的是直线的平行具有传 递性,因为直线不存在方向,而向量平行时要 注意零向量,零向量的方向是任意的,且与任 何向量平行。④中,若b=0,则无法确定a,c 是否平行。 正确解答:因为a=-b,所以向量a,b互 为相反向量,所以|a|=|b|,①正确。向量不 能直接比较大小,②错误。若a=b,则向量a, b为相等向量,即方向相同,模也相等,所以a ∥b,③正确。当b=0时,向量a,c的方向无 法确定,④错误。故有2个命题是正确的。 变式1:下面3个命题:①若两个非零向 量起点相同且模相等,则其终点必相同;②若 a∥b,则a 与b的方向相同或相反;③若a= b,则2a>b。其中正确命题的个数是 。 提示:对于①,两个非零向量有共同起点 且模相等,但方向不确定,其终点不一定相 同,①不正确。对于②,当两个向量之一是零 向量时,无法说明它们的方向究竟是相同还 是相反,②不正确。对于③,向量无法比较大 小,但可以比较模的大小,③不正确。正确命 题的个数为0。 易错点2:向量数量积运算与数乘运算 理解不深刻,区分不清楚 例2 设a,b,c是三个向量,以下命题 正确的是( )。 A.若a≠0,b≠0,c≠0,则(a·b)c= a(b·c) B.若a·b=0,a≠0,则b=0 C.若a·b=b·c,且b≠0,则a=c D.a·b=b·a 错误解答:一看条件a≠0,b≠0,c≠0, 再看结论(a·b)c=a(b·c),直接把向量的 点乘和数乘,当成实数 乘 法 运 算(ab)c= a(bc)。应选A。 重难点分析:事实上,对于(a·b)c= a(b·c),左边运算之后的结果是与c共线的 向量,右边运算之后的结果是与a 共线的向 量,因此无法说明λc=μa。 正确解答:因为a·b 是一个实数,所以 (a·b)·c表示一个与c共线的向量。同理 可知,a·(b·c)表示一个与a 共线的向量, 所以这两个向量不一定相等,A不正确。若 a·b=0,a≠0,则b=0或a⊥b,B不正确。 由a·b=b·c,可 得|a|cos<a,b>= |c|cos<b,c>,不能得到a=c,C不正确。两 个向量的数量积满足交换律,D正确。应选 D。 变式2:给出如下命题:已知a,b,c为非 零的平面向量,①若a·c=b·c,则a=b, ②若a∥b,则∃λ∈R,有b=λa,③|a·b|= |a|·|b|。其中正确命题的个数是 。 提示:对于①,当a⊥c,b⊥c时,a·c= b·c,但a与b可以不相等,①错误。对于②, 由平面向量共线定理知,若非零向量a∥b,则 ∃λ∈R,有b=λa,②正确。对于③,|a·b|= |a|·|b||cos<a,b>|,③错误。答案为1。 易错点3:忽视两个向量成为基底的条件 例3 (多选题)在下列向量组中,可以 把向量a=(3,2)表示出来的是( )。 A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) 33 易错题归类剖析 高一数学 2025年2月 D.e1=(2,-3),e2=(2,3) 错误解答:对于A,e1=(0,0),不能作为 基底。对于B、C、D都不含0,可以作为基底 表示其他向量。应选BCD。 重难点分析:两个向量能否作为一组基 底表示其他向量,判断的标准是这两个向量 是否共线。对于C,e1=(3,5),e2=(6,10), 显然e2=2e1,说明e1,e2 共线,不能用来作为 基底。 正确解答:利用a=λe1+μe2 进行判断。 对于A,由(3,2)=λ(0,0)+μ(1,2),可得 3=μ,2=2μ,此方程组无解,A不能作为基 底。对于B,(3,2)=λ(-1,2)+μ(5,-2), 则3=-λ+5μ,2=2λ-2μ,解得λ=2,μ= 1,B能作为基底。对于C,(3,2)=λ(3,5)+ μ(6,10),则3=3λ+6μ,2=5λ+10μ,此方程 组无解,C不能作为基底。对于D,(3,2)= λ(2,-3)+μ(2,3),则3=2λ+2μ,2=-3λ +3μ,解得λ= 5 12 ,μ= 13 12 ,D能作为基底。应 选BD。 变式3:(多选题)已知e1,e2 是不共线的 非零向量,则以下向量不可以作为基底的是 ( )。 A.a=0,b=e1+e2 B.a=3e1+3e2,b=e1+e2 C.a=e1-2e2,b=e1+e2 D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2 提示:因为零向量与任何向量都共线,所 以a=0,b=e1+e2 不能作为基底。a=3e1 +3e2=3b,即a,b共线,所以不能作为基底。 对于C,a,b 不共线,可作为基底。a=e1- 2e2=2b,即a,b 共线,所以不能作为基底。 应选ABD。 易错点4:错误使用a∥b的等价条件 例4 已知向量a=(2,1),b=(1,k),若 (a+2b)∥(ka),则实数k= 。 错误解答:由题意得a+2b=(4,1+ 2k),ka=(2k,k)。因为(a+2b)∥(ka),所 以 4 2k= 1+2k k ,解得k= 1 2 。 重难点分析:已知向量 m=(x1,y1), n=(x2,y2),m∥n⇔x1y2-x2y1=0。上述 解法利用m∥n⇔ x1 x2 = y1 y2 ,因此产生了漏解。 正确解答:由题意得a+2b=(4,1+ 2k),ka=(2k,k)。因为(a+2b)∥(ka),所 以(1+2k)·2k-4k=0,所以2k2-k=0,解 得k=0或k= 1 2 。 变式4:已知向量a=(m,1),b=(m- 6,m-4),若a∥b,则m 的值为 。 提示:已知a=(m,1),b=(m-6,m- 4),由a∥b,可得(m-4)m-(m-6)=0,解 得m=2或m=3。 易错点5:忽视两向量的夹角<a,b>的取 值范围 例5 已知向量a=(1,2),b=(μ,3),a 与b的夹角为锐角,则μ的取值范围为 。 错误解答:因为a=(1,2),b=(μ,3),且 a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,所以μ +6>0,可得μ>-6,即μ 的取值范围为 (-6,+∞)。 重难点分析:上述解法直观地认为a与b 的夹角为锐角⇔a·b>0。其实,两向量夹角的 取值范围是[0,π],a·b>0⇔a与b的夹角为锐 角或夹角为0。因此忽略了夹角为0的情况。 正确解答:因为向量a=(1,2),b=(μ, 3),且a与b的夹角为锐角,所以a·b>0且 a与b 不共线,所以 μ+6>0, 3≠2μ, 解得μ>-6 且μ≠ 3 2 ,所以μ∈ -6, 3 2 ∪ 32,+∞ 。 变式5:设向量a=(2,x),b=(-4,5), 若a与b 的夹角θ为钝角,则x 的取值范围 是 。 提示:因为θ为钝角,所以a·b<0,且a 与b不共线。由a·b=-8+5x<0,解得x< 8 5 。当a∥b 时,由10+4x=0,解得 x= - 5 2 。因为a,b不共线,所以x≠- 5 2 。综上 知x的取值范围是 xx< 8 5 且x≠- 5 2 。 作者单位:安徽省枞阳中学 (责任编辑 郭正华) 43 易错题归类剖析 高一数学 2025年2月 ■杜海洋 题目 给定两个长度为1的平面向量 OA→ 和OB→,它们的夹角为120°,如图1所示, 点C 在以O 为圆心的AB︵ 上变动。若OC→= xOA→+yOB→,其中x,y∈R,则x+y 的最大 值是 。 图1 解法1:(利用向量的数量积构造不等式 求最值)由题意知 x≥0,y≥0。由 OC→= xOA→+yOB→,可得OC→ 2 =(xOA→+yOB→)2= x2OA→ 2 +2xyOA→ ·OB→ +y2OB→ 2 。因 为 OA→ = OB→ = OC→ =1,∠AOB=120°, OA→·OB→=-12,所以1=x 2-xy+y2= (x+y)2-3xy≥(x+y)2- 3 4 (x+y)2,即 (x+y)2≤4,所以x+y≤2,当且仅当x= y=1时等号成立,所以x+y 的最大值是2。 解法2:(构造方程利用判别式求最值) 结合解法1,可设x+y=m,即y=m-x,代 入1=x2+y2-xy,可得1=x2+(m-x)2- x(m-x),即3x2-3mx+m2-1=0。由此 方程中的x 有实数解,可得Δ=(3m)2-4× 3×(m2-1)≥0,解得m2≤4,即-2≤m≤2, 所以x+y 的最大值是2。 解法3:(利用三角函数的有界性求最 值)设∠AOC=α,则 OC→·OA→=xOA→ 2 + yOB→·OA→,OC→·OB→=xOA→·OB→+yOB→ 2 , 所以cosα=x- 1 2y ,cos(120°-α)=- 1 2x +y,所以x+y=2[cosα+cos(120°-α)]= cosα+ 3sinα=2sinα+ π 6 ≤2,当且仅当 α= π 3 时等号成立,所以x+y 的最大值是2。 解法4:(利用平面向量的几何意义结合 余弦定理求最值)如图2,作CN∥OA,CM∥ OB 分别交OB,OA 于点N,M。已知OC→= xOA→+yOB→,由平行四边形法则得 OC→= OM→+ON→。由向量共线定理得OM→=xOA→, ON→=yOB→。 图2 在△OMC 中,∠M =60°,|OC→|=1, |OM→|=|xOA→|=x,|ON→|=|yOB→|=y,由 余弦定理得cos60°= x2+y2-1 2xy ,即1=x2- xy+y2=(x+y)2-3xy≥(x+y)2- 3 4 (x +y)2,所以(x+y)2≤4,即x+y≤2,当且 仅当x=y=1时等号成立,所以x+y 的最 大值是2。 解法5:(利用平面向量的几何意义结合 正弦定理求最值)如图2,在△OCN 中,设 ∠CON=α,则∠OCN=120°-α,∠CNO= 60°。由正弦定理得 x sinα= y sin(120°-α)= 1 sin60°= x+y sinα+sin(120°-α) ,整理得x+y = 2 3 sinα+sin(120°-α) =2sinα+ π 6 。 所以当 π 6+α= π 2 ,即α= π 3 时,x+y 取得最 大值2。 感悟:向量融数、形于一体,具有几何与代 数的“双重身份”,是代数、几何与三角函数的 知识交汇点。平面向量是高考数学的必考内 容之一。以上几种解法将向量相关的性质及 运算进行整合,达到了提高学习效率的目的。 作者单位:成都经济技术开发区实验中学校 (责任编辑 郭正华) 53 创新题追根溯源 高一数学 2025年2月