15 例析平面向量中的三个易错点&16 注意剖析，易错防范——平面向量-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■徐春生 易错点1:忽视隐含条件致错 例1 已知向量a=(2,x),b=(-4, 5),若向量a与b的夹角θ为钝角,则x 的取 值范围是 。 错解:因为向量a与b的夹角θ为钝角, 所以a·b<0,即2×(-4)+5x<0,解得x < 8 5 ,所以x 的取值范围是 -∞, 8 5 。 错因剖析:两个向量的夹角θ∈ 0,π , 当θ=π时,a·b<0,所以a·b<0是两个 非零向量a与b的夹角为钝角的必要不充分 条件。故两个非零向量a与b的夹角为钝角 的充要条件是a·b<0且a与b不共线。 正解:因为向量a与b的夹角θ为钝角, 所以 a·b<0 且 a 与b 不 共 线,所 以 2×(-4)+5x<0, 2×5+4x≠0, 解 得 x< 8 5 , x≠- 5 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 x 的取值范围是 -∞,- 5 2 ∪ -52, 8 5 。 易错点2:忽视向量的特性致错 例2 已知a,b 都是非零向量,且向量 a+3b与7a-5b 垂直,向量a-4b 与7a- 2b垂直,则向量a与b的夹角θ= 。 错 解: 根 据 题 意 可 得, (a+3b)·(7a-5b)=0, (a-4b)·(7a-2b)=0, 化 简 整 理 得 7a2+16a·b-15b2=0, 7a2-30a·b+8b2=0, 两式相减得46a· b-23b2=0,即23b(2a-b)=0,解得b=0 (不符合题意,舍去)或2a-b=0。 由2a-b=0知a与b同向,所以向量a 与b的夹角θ=0。 错因剖析:若实数a,b 满足ab=0,则 a=0或b=0。对于向量a,b,若a·b=0, 则不一定有a=0或b=0。由a·b=|a|· |b|cosθ知与θ有关,当θ= π 2 时,a·b=0 恒成立,此时a,b均可以不为0。 正解:结合错解易得46a·b-23b2=0, 即b2=2a·b,代入7a2+16a·b-15b2=0 得a2=2a·b,所以a2=b2=2a·b。所以 cosθ= a·b |a||b|= 1 2|a 2| |a2| = 1 2 。又θ∈[0,π], 故θ= π 3 。 易错点3:忽视共线向量致错 例3 已知平面向量a,b,c两两所成的 角相等,且|a|=3,|b|=4,|c|=5,则|a+b +c|= 。 错解:易知a,b,c皆为非共线向量。设 a,b,c 两两所成的角均为θ,则3θ=2π,即 θ= 2π 3 ,所以a·b=|a||b|cosθ=-6。同理 可得b·c=-10,a·c=- 15 2 。因为|a+b +c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a =3,所以|a+b+c|= 3。 错因剖析:上述解法认为a,b,c皆为非 共线向量,而当a,b,c共线且同向时,所成的 角相等且均为0,也符合题意。 正解:由题意可分两种情况求解。 当a,b,c共线且同向时,所成的角均为 0,可得|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=12。 当a,b,c不共线时,设a,b,c两两所成 的角均为θ,则3θ=2π,解得θ= 2π 3 ,所以a· b=|a||b|cosθ=-6。同理可得,b·c= -10,a·c=- 15 2 。因为|a+b+c|2=a2+ b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3,所以 |a+b+c|= 3。 故|a+b+c|=12或|a+b+c|= 3。 作者单位:广东省汕头市澄海凤翔中学 (责任编辑 王琼霞) 03 易错题归类剖析 高一数学 2025年2月 ■谭海洋 向量是沟通代数、几何与三角函数的一 种工具,向量的概念与运算起源于物理而完 善于数学,是连接数学与物理的桥梁,成为解 决实际问题的有力工具。因此,向量知识有 着极其丰富的实际背景,结合函数、三角函 数、解析几何等主干知识,成为每年高考命题 的常考点。在学习平面向量的过程中,综合 一些易错点,通过辨别正误,加深对所学知识 的认识与巩固,可以提高同学们解决平面向 量问题的能力。 一、向量的模与绝对值的区别 例1 (多选题)下列命题中正确的是 ( )。 A.|a|+|b|=|a-b|⇔向量a 与b 方 向相反 B.在△ABC 中,AB→+BC→+CA→=0 C.若两个单位向量互相平行,则这两个 单位向量相等或相反 D.如果非零向量a,b 的方向相同或相 反,那么a+b的方向与a,b之一的方向一定 相同 解:对于A,当a,b 之一为零向量时,该 命题不成立,A错误。对于B,首尾顺次相接 的向量的和为零向量,B正确。对于C,若两 个单位向量互相平行,则这两个单位向量相 等或相反(大小相等,方向相反),C正确。对 于D,当a+b=0时,零向量的方向是任意 的,D错误。应选BC。 易错防范:若将向量的模错误地理解为 绝对值,则认为选项A正确。判断一组向量 是否相等,关键是看这组向量是否方向相同, 长度相等,与起点和终点的位置无关。对于 共线向量,只需判断它们是否同向或反向即 可。对于向量问题,要注意零向量的特殊性。 二、向量运算的几何意义 例2 若向量a,b 满足|a|=8,|b|= 12,则|a+b|的最小值是 ;当非零向量 a,b(a,b不共线)满足 时,能使a+b 平 分a与b的夹角。 解:由向量的三角形不等式知|a+b|≥ |b|-|a|=4,当且仅当a 与b 反向,且|b| ≥|a|时等号成立,所以|a+b|的最小值为 4。 由向量加法的平行四边形法则可知,满 足|a|=|b|,这时平行四边形为菱形,其对角 线平分一组内角。 易错防范:容易忽视|a+b|≥0这一条 件,错误地认为|a+b|的最小值为|a|-|b| =-4,导致结果出错。注意正确理解向量 a+b与非零向量a,b的模及方向的联系,正 确区分向量的三角形法则与三角形两边之和 (差)大(小)于第三边的不同。 三、向量性质的应用问题 例3 对于任意向量a=(a1,a2),b= (b1,b2),给出下列四个命题: ①a∥b⇔ a1 b1 = a2 b2 ;②a∥b⇔a=λb(λ∈R 且λ≠0);③若 a1 b1 = a2 b2 ,则a 与b 方向相同; ④a⊥b⇔a1b1+a2b2=0。 其中正确命题的个数为 。 解:对于①,当b1,b2 中有一个为零时, 此命题不成立。对于②,当a=λb(λ∈R且 λ≠0)时,必有a∥b,反过来,当a=0时,也有 13 易错题归类剖析 高一数学 2025年2月 a∥b,但不存在非零的实数λ使a=λb成立, 此命题不正确。对于③,当 a1 b1 = a2 b2 时,可得 a∥b,则a与b方向相同或相反,此命题不正 确。对于④,根据向量的数量积知a⊥b⇔ a·b=0⇔a1b1+a2b2=0,此命题成立。故 正确命题的个数为1。 易错防范:在①中,容易忽视b1,b2 中有 一个为零的情况。在②中,涉及平面向量的 平行关系,要注意结论成立的条件。在③中, 两向量对应的坐标成比例,即两向量平行,要 考虑方向相同或相反的情况。在④中,要注 意两向量垂直的坐标表示。特别地,要注意 平行向量间的关系,垂直向量间的关系,要注 意单位向量,相等向量与相反向量,共线向量 等概念、性质的联系与应用。 四、向量共线的条件问题 例4 已知点P 在直线P1P2 上,其中点 P1(2,-1),点P2(-1,3),且满足|P1P→|= 2 3|PP2 →|,则点P 的坐标为 。 解:设点P 的坐标为(x,y)。 当向量 P1P→ 与向量PP2→ 的方向相同 时,可得P1P→= 2 3PP2 →。因为向量P1P→=(x -2,y+1),向量PP2→=(-1-x,3-y),所 以(x-2,y+1)= 2 3 (-1-x,3-y),所以 x-2= 2 3 (-1-x), y+1= 2 3 (3-y), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x= 4 5 , y= 3 5 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以点P 的坐标为 4 5 ,3 5 。 当P1P→ 与PP2→ 的方向相反时,可得P1P→ =- 2 3PP2 →,所以(x-2,y+1)=-23(-1- x,3-y),所以 x-2=- 2 3 (-1-x), y+1=- 2 3 (3-y), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 x=8, y=-9, 所以点P 的坐标为(8,-9)。 综上可得,点P 的坐标为 45 ,3 5 或(8, -9)。 易错防范:解题时,要注意向量的线性运 算P1P→= 2 3PP2 → 与向量的模的关系|P1P→| = 2 3|PP2 →|之间的区别与联系,否则容易混 淆出错;要注意两个非零向量a与b共线(平 行)包括同向与反向两种情况。 五、向量的夹角问题 例5 已知向量a 与b 的夹角为 π 4 ,且 满足|a|= 2,|b|=3,求使得向量a+λb与 λa+b的夹角θ为钝角时,实数λ 的取值范 围。 解:由 向 量 的 数 量 积 公 式 得 a·b= |a|·|b|cos π 4= 2×3× 2 2=3 。 易得(a+λb)·(λa+b)=λ|a|2+λ|b|2 +(1+λ2)a·b=3λ2+11λ+3。 因为向量a+λb与向量λa+b的夹角为 θ,且θ 为 钝 角,所 以cosθ<0,所 以(a+ λb)·(λa+b)=3λ2+11λ+3<0,解 得 -11- 85 6 <λ< -11+ 85 6 。 当θ=π时,a+λb 与λa+b 共线,且方 向相反,即存在k<0,使a+λb=k(λa+b)。 因为a,b 不共线,所以 kλ=1, λ=k, 所以k=λ= -1,即当λ=-1时a+λb 与λa+b 共线且 反向。因为a+λb 与λa+b 不共线,所以 λ≠-1。 综 上 可 得,实 数 λ 的 取 值 范 围 为 λ -11- 85 6 <λ< -11+ 85 6 ,且λ≠-1 。 易错防范:两个非零向量a 与b 的夹角 的取值范围是0≤<a,b>≤π,它包括零角、锐 角、直角、钝角和平角这五种情况,要注意两 个非零向量的夹角为锐角(或钝角)与两个向 量的数量积大于零(或小于零)的关系,不能 混淆,否则容易出错。本题容易忽视当θ=π 时,也有(a+λb)·(λa+b)<0的情况。 作者单位:江苏省沙溪高级中学 (责任编辑 王琼霞) 23 易错题归类剖析 高一数学 2025年2月