14 平面向量及其应用核心考点综合演练-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■刘中亮(特级教师) 一、选择题 1.已知O 是△ABC 所在平面内一点,且 OA→+OB→=OC→,那么( )。 A.点O 在△ABC 的内部 B.点O 在△ABC 的边AB 上 C.点O 在边AB 所在的直线上 D.点O 在△ABC 的外部 2.已知a,b 为不共线的向量,且 AB→= a+5b,BC→= -2a+8b,CD→=4a+2b, 则( )。 A.A,B,C 三点共线 B.A,B,D 三点共线 C.A,C,D 三点共线 D.B,C,D 三点共线 3.关于平面向量a,b,c,下列说法正确 的是( )。 A.若a·c=b·c,则a=b B.(a+b)·c=a·c+b·c C.若a2=b2,则a·c=b·c D.(a·b)·c=(b·c)·a 4.已知向量a,b,c 满足|a|=1,2a+ b=0,2|c-a|=|c-b|,则向量c-b与a夹 角的最大值是( )。 A. π 12 B. π 6 C. π 4 D. π 3 5.已知平面向量a,b 满足|a|=2,|b| = 3,且|xa+(1-2x)b|(x∈R)的最小值 为 3 2 ,则|a+yb|(y ∈R)的 最 小 值 为( )。 A. 3 2 B.1 C.2 D.1或2 6.下列命题中,正确的是( )。 A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若a=b,b=c,则a=c C.若两个单位向量互相平行,则这两个 单位向量相等 D.若a∥b,则a与b的方向相同或相反 7.(多 选 题)下 列 说 法 中 错 误 的 是( )。 A.若向量 AB→ 与CD→ 是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在一条直线上 B.零向量与零向量共线 C.若a=b,b=c,则a=c D.温度含零上温度和零下温度,所以温 度是向量 8.(多选题)已知A,B,C 是三个不同的 点,OA→=a-b,OB→=2a-3b,OC→=3a-5b, 则下列结论正确的是( )。 A.AC→=2AB→ B.AB→=BC→ C.AC→=3BC→ D.A,B,C 三点共线 9.(多选题)点P 是△ABC 所在平面内 一点,且AP→=xAB→+yAC→,则下列说法正确 的是( )。 A.若x=y= 1 2 ,则点P 是边BC的中点 B.若点P 是边BC 靠近点B 的三等分 点,则x= 1 3 ,y= 2 3 C.若点 P 在BC 边的中线上,且x+ y= 1 2 ,则点P 是△ABC 的重心 D.若x+y=2,则△PBC 与△ABC 的 面积相等 10.(多选题)下列关于向量a,b,c的运 算,一定成立的是( )。 A.(a+b)·c=a·c+b·c B.|a-b|≤|a|+|b| C.a·b≤|a|·|b| D.(a·b)·c=a·(b·c) 11.(多选题)已知e1,e2 是夹角为 2π 3 的 单位向量,a=e1-2e2,b=2e1+e2,则下列结 32 核心考点演练 高一数学 2025年2月 论中正确的是( )。 A.a⊥b B.|a|= 7 C.|a-b|= 13 D.cos<a,a-b>= 11 14 12.(多选题)已知向量a=(sin2ωx,1), b=(1,cos2ωx)(ω>0),函数f(x)=a2+b2 +a·b的最小正周期是π,则( )。 A.ω=2 B.函数f(x)在 3π 8 ,5π 8 上单调递减 C.函数f(x)的图像向左平移 π 4 个单 位,图像关于y 轴对称 D.函数f(x)取最大值时x 的取值集合 为 x x=kπ+ π 8 ,k∈Z 13.(多选题)已知向量a=(1,2),b= (4,t),则下列叙述正确的是( )。 A.若a∥b,则t=8 B.若a⊥b,则t=2 C.|a-b|的最小值为5 D.若向量a与向量b 的夹角为钝角,则 t<-2 14.(多选题)下列结论中正确的是( )。 A.若|a|=|b|,则a=b B.若a=b,b=c,则a=c C.若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 “AB→=DC→”是“四边形 ABCD 为平行四边 形”的充要条件 D.“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且 a∥b” 二、填空题 15.在平面直角坐标系Oxy 中,已知OA→ =(3,1),OB→(-1,2),OC→⊥OB→,BC→∥OA→,且 OD→+OA→=OC→,则AD→ 的坐标为 。 16.现有下列5个命题:①向量P1P2→ 与 OA→ 共线,则 P1,P2,O,A 必在同一条直线 上;②若向量a与b平行,则a与b的方向相 同或相反;③四边形P1P2OA 是平行四边形 的充要条件是P1P2→=OA→;④若|a|=|b|,则 a,b的长度相等且方向相同或相反;⑤由于 零向量的方向不确定,故零向量与任何向量 不平行。 其中正确命题的个数是 。 17.在△ABC 中,AB=5,AC=3,且 AB→·AC→=9,设P 为平面ABC 上的一点, 则PA→·(PB→+PC→)的最小值是 。 18.在△AOB 中,OC→=14OA →,OD→= 1 2OB →,AD 与BC 交于点M,设OA→=a,OB→ =b,在线段AC 上取一点F,在线段BD 上 取一点E,使EF 过点 M,满足OE→=μOB→, OF→=λOA→,则1λ+ 3 μ = 。 三、解答题 19.已知平面向量a,b 满足2a+b= (2m+5,4),a+3b=(m+10,-3),其中 m∈R。 (1)若a∥b,求实数m 的值。 (2)若a⊥b,求a+b与a-2b夹角的余 弦值。 20.已知向量a=(2,1),b=(-1,1), c=(1,2)。 (1)当k 为何值时,ka+c 与2b-a 平 行? (2)若向量d 满足(d-c)⊥(a+b),且 |d-c|= 5,求向量d。 21.如 图1,在△OAB 中,|OA→|=4, |OB→|=2,P 为 AB 边上的一点,且 BP→= 2PA→。 图1 (1)设OP→=xOA→+yOB→,求实数x,y 的 值。 (2)若<OA→,OB→>=π3,求OP →·AB→ 的值。 (3)设 点 Q 满 足 OQ→= 34OA →,求 证: 42 核心考点演练 高一数学 2025年2月 |PA→|=2|PQ→|。 22.已知向量a=(1,2),b=(-3,1)。 (1)求a-b。 (2)设向量a与b的夹角为θ,求cosθ的 值。 (3)若向量a+kb与a-kb互相垂直,求 k的值。 23.已知A,B,C 分别为△ABC 三边a, b,c所对的角,向量m=(sinA,sinB),n= (cosB,cosA),且m·n=sin2C。 (1)求角C 的大小。 (2)若sinA+sinB=2sinC,且CA→· (AB→-AC→)=18,求c的长。 24.已知OA→=(3,-4),OB→=(6,-3), OC→=(5-m,-3-m)。 (1)若点A,B,C 不能构成三角形,求m 的值。 (2)若点 A,B,C 构成的三角形为直角 三角形,求m 的值。 25.如图2,已知△ABC 的面积为14,D、 E 分别为边AB、BC 上的点,且AD∶DB= BE∶EC=2∶1,AE 与CD 交于点P。设存 在λ和μ,使AP →=λAE→,PD→=μCD→,AB→=a, BC→=b。 图2 (1)求λ与μ。 (2)用a,b表示BP→。 (3)求△PAC 的面积。 一、选择题 1.提示:因为OA→+OB→=OC→,所以四边 形OACB 为平行四边形,所以点O 在△ABC 的外部。应选D。 2.提示:因为AB→=a+5b,BC→=-2a+ 8b,CD→=4a+2b,所以 BD→=BC→+CD→= 2a+10b,AC→=AB→+BC→=-a+13b。因为 a,b 为不共线向量,所以a,b 为非零向量。 若存在λ∈R,使得 AB→=λBC→,则a+5b= λ(-2a+8b)=-2λa+8λb,即(1+2λ)a= (8λ -5)b。因 为 a,b 不 共 线,所 以 1+2λ=0, 8λ-5=0, 即 λ=- 1 2 , λ= 5 8 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 可知此方程组无解, 故AB→ 与BC→ 不共线,即 A,B,C 三点不共 线,A不正确。因为 AB→=12BD →,即 AB→ 与 BD→ 共线,又AB→ 与BD→ 有公共点B,所以A, B,D 三点共线,B正确。若存在λ∈R,使得 AC→=λCD→,则-a+13b=4λa+2λb,即(1+ 4λ)a=(13-2λ)b。因为a,b 不共线,所以 1+4λ=0, 13-2λ=0, 即 λ=- 1 4 , λ= 13 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 可知此方程组 无 解,故AC→ 与CD→ 不共线,即A,C,D 三点不 共线,C不正确。若存在λ∈R,使得 BC→= λCD→,则-2a+8b=4λa+2λb,即(4λ+2)a =(8-2λ)b。因 为 a,b 不 共 线,所 以 4λ+2=0, 8-2λ=0, 即 λ=- 1 2 , λ=4, 可知此方程组无解, 故BC→ 与CD→ 不共线,即 B,C,D 三点不共 线,D不正确。应选B。 3.提示:对于A,若a·c=b·c,则(a- b)·c=0,所以a=b或c=0或a-b⊥c,A 不成立。对于B,向量的数乘运算满足分配 律,B成立。对于C,若a2=b2,则|a|=|b|。 因为a·c=|a|·|c|cos<a,c>,b·c= |b|·|c|cos<b,c>,而cos<a,c>与cos<b,c> 不一定相等,所以C不成立。对于 D,(a· b)·c与a·(b·c)分别是一个和c,a 共线 的向量,显然命题(a·b)·c=a·(b·c)不 一定成立。应选B。 4.提示:由题设知2|c-a|=|c-b|,所 以2|c-b+b-a|=|c-b|。由b=-2a, 可得2|(c-b)-3a|=|c-b|,则4[(c-b)2 -6a·(c-b)+9a2]=(c-b)2,化简得(c- b)2-8a·(c-b)+12=0,所以a·(c-b) 52 核心考点演练 高一数学 2025年2月 = (c-b)2+12 8 。所 以cos<a,(c-b)>= a·(c-b) |a||c-b|= (c-b)2+12 8|c-b| ≥ 2 12(c-b)2 8|c-b| = 3 2 ,当且仅当(c-b)2=12时等号成立,所以 向量c-b与a夹角的最大值是 π 6 。应选B。 5.提示:设f(x)=|xa+(1-2x)b|2, a·b=t,则f(x)=a2·x2+2x(1-2x)a· b+(1-2x)2b2=4x2+2x(1-2x)t+3(1- 4x+4x2)=(16-4t)x2+(2t-12)x+3。 因为|xa+(1-2x)b|(x∈R)的最小值为 3 2 ,所 以 函 数 f(x)的 最 小 值 为 3 4 ,所 以 4×(16-4t)×3-(2t-12)2 4×(16-4t) = 3 4 ,且 16- 4t>0,解得t=0或t=3。 当t=0,即a·b=0时,由|a+yb|= 4+2ya·b+3y2= 4+3y2 ≥2(当且仅 当y=0时取等号),可得|a+yb|(y∈R)的 最小值为2;当t=3,即a·b=3时,由|a+ yb|= 4+2ya·b+3y2= 3y2+6y+4= 3(y+1)2+1≥1(当且仅当y=-1时取 等号),可得|a+yb|(y∈R)的最小值为1。 综上可得,|a+yb|(y∈R)的最小值为1。 应选B。 6.提示:对于A,0平行于任何向量,当b =0时,满足a∥b,b∥c,但不一定满足a∥c, A错误。对于 B,符合向量的传递性,B正 确。对于C,两个单位向量互相平行,这两个 单位向量相等或相反(大小相等,方向相反), C错误。对于D,零向量与任何非零向量都 平行,且零向量的方向是任意的,当a,b中有 一个是零向量时,a 与b 的方向不满足相同 或相反,D错误。应选B。 7.提示:若向量AB→ 与CD→ 是共线向量, 则A,B,C,D 四点不一定在一条直线上,A 错误。零向量与任何向量共线,B正确。若 a=b,b=c,则a=c,C正确。温度是数量, 只有正负,没有方向,D错误。应选AD。 8.提示:由题意得AB→=OB→-OA→=a- 2b,AC→=OC→-OA→=2a-4b,BC→=OC→-OB→ =a-2b,所以 AC→=2AB→,AB→=BC→,AC→= 2BC→,A 正 确,B 正 确,C 错 误。由 AC→= 2AB→,可得 AC→∥AB→,且 A 为公共点,所以 A,B,C 三点共线,D正确。应选ABD。 9.提示:当x=y= 1 2 时,AP→=12AB →+ 1 2AC →⇔AP→-AB→=AC→-AP→⇔BP→=PC→,即 点P 是边BC 的中点,A正确。当x= 1 3 ,y = 2 3 时,AP→=13AB →+23AC →⇔AP→-AB→= 2(AC→-AP→)⇔BP→=2PC→,即点 P 是边BC 靠近点C 的三等分点,B错误。若点P 在边 BC 的中线上,且x+y= 1 2 ,则点P 为BC 边 的中线的中点,即不是重心,C错误。设AM→ =2AB→,AN→ =2AC→,则 AP→ =x2AM → + y 2AN →,且满足x 2+ y 2=1 ,所以点P 在直线 MN 上,这时点P 与点A 到BC 边的距离相 等,所以△PBC 与△ABC 的面积相等,D正 确。应选AD。 10.提示:向量的数量积满足乘法与加法 的分配律,A 正确。设 OA→=a,OB→=b,则 a-b=BA→,当O,A,B 三点不共线时,|OA→| +|OB→|>|BA→|,即|a-b|<|a|+|b|,当 OA→,OB→ 反向时,|OA→|+|OB→|=|BA→|,即 |a-b|=|a|+|b|,当 OA→,OB→ 同向时, |BA→|=||OA→|-|OB→||<|OA→|+|OB→|,即 |a-b|<|a|+|b|,所以|a-b|≤|a|+|b| 成立,B正确。a·b=|a||b|cos<a,b>≤ |a||b|,C正确。当a与c不共线时,一般来 说(a·b)·c与a·(b·c)也是不共线的向 量,不可能相等,D错误。应选ABC。 11.提示:由e1,e2 是夹角为 2π 3 的单位向 量,可得e1·e2=|e1||e2|cos 2π 3=- 1 2 。由 a=e1-2e2,b=2e1+e2,可得a·b=2e21- 2e22-3e1·e2=2-2+ 3 2= 3 2≠0 ,所以a⊥b 不成立,A 错误。由|a|2=e21-4e1·e2+ 62 核心考点演练 高一数学 2025年2月 4e22=1+2+4=7,可得|a|= 7,B正确。由 a-b = -e1 -3e2,可 得|a -b|= e21+6e1·e2+9e22= 1-3+9= 7,C错 误。因为a·(a-b)=-e21-e1·e2+6e22= -1+ 1 2+6= 11 2 ,所 以cos<a,a-b>= a·(a-b) |a|·|a-b|= 11 2 7× 7 = 11 14 ,D正确。应选 BD。 12.提示:因为a=(sin2ωx,1),b=(1, cos2ωx)(ω>0),所以函数f(x)=a2+b2+ a·b=sin22ωx+1+cos22ωx+1+sin2ωx+ cos2ωx=3+ 2sin2ωx+ π 4 。由2π2ω=π, 可 得 ω =1,所 以 函 数 f (x)=3+ 2sin2x+ π 4 ,A 错误。由x∈ 3π8,5π8 , 可得 2x+ π 4 ∈ π ,3π 2 ,所 以 π,3π2 ⊆ 2kπ+ π 2 ,2kπ+ 3π 2 ,k∈Z,所 以 f(x)在 3π 8 ,5π 8 上单调递减,B正确。函数f(x)的 图 像 向 左 平 移 π 4 个 单 位,可 得 y=3+ 2sin2x+ 3π 4 ,其图像不关于y 轴对称,C 错误。由2x+ π 4=2kπ+ π 2 ,k∈Z,可得x= kπ+ π 8 ,k∈Z,所以函数f(x)取最大值时x 的取值集合为 x x=kπ+ π 8 ,k∈Z ,D 正 确。应选BD。 13.提示:对于A,若a∥b,则1×t-2× 4=0,解得t=8,A正确。对于B,若a⊥b, 则4+2t=0,解得t=-2,B错误。对于C, 因为a-b=(-3,2-t),所以|a-b|2= (-3)2+(2-t)2=(t-2)2+9,所以当t=2 时,|a-b|2min=9,所以|a-b|min=3,C错误。 对于D,若向量a与b 的夹角为钝角,则a· b=4+2t<0,且a 与b 不共线(t≠8),解得 t<-2,D正确。应选AD。 14.提示:对于A,两个向量的长度相等, 但它们的方向不一定相同,A不正确。对于 B,向量相等具有传递性,B正确。对于C,已 知A,B,C,D 是不共线的四点,当AB→=DC→ 时,|AB|=|DC|且 AB∥DC,可知四边形 ABCD 为平行四边形,当四边形ABCD 为平 行四边形时,|AB|=|DC|且AB∥DC,这时 AB→,DC→ 同向,可得AB→=DC→,C正确。对于 D,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也 不能得到a=b,D错误。应选BC。 二、填空题 15.提示:设OC→=(x,y),则BC→=OC→- OB→=(x,y)-(-1,2)=(x+1,y-2)。由 OC→⊥OB→,可得OC→·OB→=0,所以-x+2y =0,即x=2y。因为BC→∥OA→,所以3(y- 2)-1×(x+1)=0,即x=3y-7。由上解 得y=7,x=14,所以OC→=(14,7)。由OD→ +OA→=OC→,可得OD→=-OA→+OC→=-(3, 1)+(14,7)=(11,6),所以 AD→=OD→-OA→ =(11,6)-(3,1)=(8,5)。 16.提示:对于①,由向量 P1P2→ 与 OA→ 共线,可知直线P1P2 与直线OA 可能平行, 不一定共线,①错误。对于②,若a 为零向 量,则零向量与任意向量平行,②错误。对于 ③,若P1P2→=OA→,则四点P1,P2,O,A 可能 共线,③错误。对于④,|a|=|b|,只能说明 a与b 的长度相等,但确定不了方向,④错 误。对于⑤,零向量与任何向量平行,⑤错 误。正确命题的个数为0。 17.提 示:由 题 意 得 (AB→ +AC→)2 = |AB→|2+|AC→|2+2AB→·AC→=25+9+18= 52,所以|AB→+AC→|=2 13。 因为<PA→,AB→+AC→>∈[0,π],所 以 PA→·(PB→+PC→)=PA→·(PA→+AB→+PA→ +AC→)=2PA→ 2 +PA→ · (AB→ +AC→)= 2|PA→|2+|PA→|×|AB→+AC→|×cos<PA→, AB→+AC→>≥2|PA→|2-|PA→|×|AB→+AC→| =2|PA→|2-2 13|PA→|=2|PA→|- 132 2 - 13 2≥- 13 2 (当且仅当|PA→|= 132 时取等 号),即PA→·(PB→+PC→)的最小值是-132。 72 核心考点演练 高一数学 2025年2月 18.提示:设 OM→=ma+nb。因为 C, M,B 三点共线,所以存在非零实数k,使得 CM→=kCB→=k(OB→-OC→)=kb-k4a,所以 OM→=OC→+CM→=14a+kb- k 4a= 1-k 4 a+ kb。又 因 为 OM→ = ma + nb,所 以 m= 1-k 4 , n=k, 可得 m=1-n4 。因为 D,M,A 三点共线,所以存在非零实数t,使得 DM→= tDA→=t(OA→-OD→)=ta-t2b,所以OM →= OD→+DM→=12b+ta- t 2b=ta+ 1-t 2 b 。又 因为OM→=ma+nb,所以 m=t, n= 1-t 2 , 可得n = 1-m 2 。由n= 1-m 2 ,m= 1-n 4 ,解得m= 1 7 ,n= 3 7 ,所以OM→=17a+ 3 7b 。 因为F,M,E 三点共线,所以存在非零 实数x,使得 FM→=xFE→=x(OE→-OF→)= xμb-xλa。又 因 为 FM → =OM→ -OF→ = 1 7-λ a+37b,所以 xμ= 3 7 , -xλ= 1 7-λ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 消去x 得μ+3λ=7λμ,所以 1 λ+ 3 μ =7。 三、解答题 19.提示:(1)由2a+b=(2m+5,4), a+3b=(m+10,-3),可得5a=3(2a+b) -(a+3b)=3(2m+5,4)-(m+10,-3)= (5m+5,15),即a=(m+1,3),b=2a+b- 2a=(2m+5,4)-2(m+1,3)=(3,-2)。 因为a∥b,所以-2(m+1)-3×3=0, 解得m=- 11 2 。 (2)因为a⊥b,所以a·b=3(m+1)-2 ×3=0,解得m=1,所以a=(2,3)。 因为a+b=(2,3)+(3,-2)=(5,1), a-2b=(2,3)-2(3,-2)=(-4,7),所以 |a+b|= 52+12 = 26,|a-2b|= (-4)2+72= 65,所以cos<a+b,a- 2b>= (a+b)·(a-2b) |a+b|·|a-2b|= -4×5+1×7 26× 65 = - 10 10 。 20.提示:(1)由题设条件可得,ka+c= k(2,1)+(1,2)=(2k+1,k+2),2b-a= 2(-1,1)-(2,1)=(-4,1)。若ka+c 与 2b-a 平行,则2k+1=-4×(k+2),解得 k=- 3 2 。 (2)设向量d=(x,y),则d-c=(x-1, y-2)。已知a+b=(1,2),由(d-c)⊥(a +b),可得x-1+2y-4=0,即x+2y-5= 0。由|d-c|= 5,可得(x-1)2+(y-2)2 =5。据上解得 x=-1, y=3 或 x=3 , y=1, 所以向量 d=(-1,3)或d=(3,1)。 21.提 示:(1)因 为 BP→=2PA→,所 以 OP→-OB→=2(OA→-OP→),所以OP→=23OA → + 1 3OB →,所以x=23,y= 1 3 。 (2)OP→·AB→= 23OA →+13OB → ·(OB→ -OA→)=-23OA →2+13OB →2+13OA →·OB→= - 32 3+ 4 3+ 4 3=-8 。 (3)由(1)知OP→=23OA →+13OB →。因为 OQ→=34OA →,所以PQ→=OQ→-OP→=112OA →- 1 3OB →。 由BA→=OA→-OB→,可得|BA→|2=|OA→|2 +|OB→|2-2OA→·OB→=20-2OA→·OB→。 由BP→=2PA→,可得|PA→|2=19|BA →|2= 20 9- 2 9OA →·OB→。 由PQ→=112OA →-13OB →,可得|PQ→|2= 1 144|OA →|2+19|OB →|2-118OA →·OB→=59- 82 核心考点演练 高一数学 2025年2月 1 18OA →·OB→。 由上可得,|PA→|2=4|PQ→|2,所以|PA→| =2|PQ→|。 22.提示:(1)因为a=(1,2),b=(-3, 1),所以a-b=(1,2)-(-3,1)=(4,1)。 (2)由题意得|a|= 12+22= 5,|b|= (-3)2+12= 10,a·b=(1,2)·(-3, 1)=-3+2=-1,所以cosθ= a·b |a|·|b|= -1 5× 10 =- 2 10 。 (3)因为向量a+kb与a-kb互相垂直, 所以(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-(kb)2= 0,所以5-10k2=0,解得k=± 2 2 。 23.提示:(1)由已知得 m·n=sinA· cosB+cosAsinB=sin(A+B)。因为A+ B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)= sinC,所 以 m·n=sinC。又 m ·n= sin2C,所以sin2C=2sinCcosC=sinC。 因为0<C<π,所以sinC≠0,所以cosC = 1 2 。又0<C<π,所以C= π 3 。 (2)由sinA+sinB=2sinC 及正弦定理 得2c=a+b。因为 CA→·(AB→-AC→)= CA→·CB→=18,所以abcosC=18,所以ab= 36。由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC= (a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以 c2=36,可得c=6。 24.提示:(1)因为点 A,B,C 不能构成 三角形,所以 A,B,C 三点共线,所以 AB→∥ AC→。因为AB→=OB→-OA→=(3,1),AC→=OC→ -OA→=(2-m,1-m),所以3×(1-m)= 1×(2-m),可得m= 1 2 。所以当点A,B,C 不能构成三角形时,m= 1 2 。 (2)若点 A,B,C 构成的三角形为直角 三角形,则分下列三种情况讨论求解。 ①由 A 为直角,此时 AB⊥AC,可得 AB→⊥AC→,即AB→·AC→=0,所以3×(2-m) +1×(1-m)=0,解得m= 7 4 。 ②由B 为直角,此时AB⊥BC,可得AB→ ⊥BC→,即AB→·BC→=0。因为BC→=OC→-OB→ =(-1-m,-m),所以3×(-1-m)+1× (-m)=0,解得m=- 3 4 。 ③由 C 为直角,此时 BC⊥AC,可 得 BC→⊥AC→,即BC→·AC→=0,所以(-1-m)× (2-m)+(-m)×(1-m)=0,解得 m= 1± 5 2 。 综上可得,若点 A,B,C 构成的三角形 为直角三角形,则m= 7 4 或m=- 3 4 或m= 1± 5 2 。 25.提示:(1)因为 AD∶DB=BE∶ EC=2∶1,AB→=a,BC→=b,所以AE→=AB→+ BE→=a+23b,CD →=CB→+BD→=-b-13a。因 为 AP→ =λAE→,PD→ =μCD→,所 以 AP→= λa+ 2 3b ,PD→=μ -b-13a ,所以AD→= AP→+PD→=λ a+23b +μ -b-13a = λ- 1 3μ a+ 23λ-μ b。 又 因 为 AD→ = 23 AB → = 23a,所 以 λ- 1 3μ= 2 3 , 2 3λ-μ=0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 λ= 6 7 , μ= 4 7 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (2)由(1)知PD→=47 -b- 1 3a ,BD→= - 1 3a ,AB→=a,所 以 BP→=BD→+DP→= - 1 3a+ 4 7 b+ 1 3a =-17a+47b。 (3)因为BE∶EC=2∶1,S△ABC=14,所以 S△ACE= 1 3S△ABC = 14 3 。又因为 AP→=λAE→= 6 7AE →,所以S△PAC= 6 7S△ACE= 6 7× 14 3=4 。 作者单位:河南省开封市第十中学 (责任编辑 郭正华) 92 核心考点演练 高一数学 2025年2月