13 平面向量中“一题多解”的妙招-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■陈龙华 平面向量中有不少题目可以寻找到“一 题多解”的妙招,同学们应注意收集与整理, 这样可以提高解题速度和正确率。下面结合 实例进行阐述。 一、求点的坐标中“一题多解”的妙招 例1 已知点P1(2,-1),P2(0,5),点 P 在P1P2 的延长线上,且|P1P→|=2|PP→2|, 求点P 的坐标。 解法1:利用“从原点出发的向量的坐标 等于终点坐标”求点P 的坐标。因为点P 在 P1P2 的延长线上,且|P1P→|=2|PP→2|,所以 P1P→=-2PP→2,所以OP→-OP1→=-2(OP2→ -OP→),即OP→=2OP2→-OP1→=2(0,5)-(2, -1)=(-2,11),所以点P(-2,11)。 解法2:由向量模的关系得到向量之间 的关系,进而求出点P 的坐标。因为点P 在 P1P2 的延长线上,且|P1P→|=2|PP→2|,所以 P1P→=-2PP→2。设点P 的坐标为(x,y),则 (x-2,y+1)=-2(0-x,5-y)=(2x, -10+2y),所 以 x-2=2x, y+1=-10+2y, 解 得 x=-2, y=11, 所以点P(-2,11)。 点评:解法1利用“从原点出发的向量的 坐标等于终点的坐标”,求出点P 的坐标,简 单易行。解法2利用方程思想求解,具有一 般性,比解法1麻烦些,因此遇到类似问题要 尽量采用解法1。 二、求数量积的和中“一题多解”的妙招 例2 已知△ABC 的三边长均为1,且 AB→=c,BC→=a,CA→=b,求a·b+b·c+ c·a的值。 解法1:由向量加法法则得a+b+c=0, 利用三个向量和的完全平方式即可求数量积 的和。由已知得a+b+c=0,所以(a+b+ c)2=02,即a2+b2+c2+2(a·b+b·c+ c·a)=0,所以12+12+12+2(a·b+b· c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a= - 3 2 。 解法2:直接利用数量积的定义,将三个 数量积分别求出,再求和。由题意知a与b的 夹角为120°,所以a·b=|a|·|b|cos120°= - 1 2 。同理可得,b·c=- 1 2 ,c·a=- 1 2 。 故a·b+b·c+c·a=- 3 2 。 点评:解法1抓住了特殊性a+b+c= 0,利用三个向量和的完全平方式求出数量 积。解法2是利用数量积的定义a·b= |a|·|b|cos<a,b>求解的,但要注意两向量 的夹角是120°,而不是60°。 三、利用共线向量定理求向量的坐标中 “一题多解”的妙招 例3 已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b, 求向量a的坐标。 解法1:利用共线向量定理设出向量a, 结合向量的模即可获解。因为b=(1,2),且 a∥b,所以设a=tb=t(1,2)=(t,2t)。 由|a|=3,可得 t2+(2t)2 =3,解 得 t=± 35 5 ,所以向量a= 35 5 ,65 5 或a= - 35 5 ,- 65 5 。 解法2:设向量a=(x,y),由|a|=3,可 得 x2+y2=3,即x2+y2=9。因为b=(1, 2),且a∥b,所以2x-y=0。 据上可得 2x-y=0, x2+y2=9, 解得 x= 35 5 , y= 65 5 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 或 x=- 35 5 , y=- 65 5 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 所 以 向 量 a= 35 5 ,65 5 或 12 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 a= - 35 5 ,- 65 5 。 点评:解法1结合共线向量定理,设出向 量a,通过待定系数避免了解方程组,比解法 2简便得多。解法2是方程思想的应用,方 法非常自然,属于一般解法,但在解方程时有 些烦琐。 四、灵活选用向量的坐标形式和非坐标 形式中“一题多解”的妙招 例4 设向量a=(cosα,sinα),b= (cosβ,sinβ),其中0<α<β<π,若|2a+b| =|a-2b|,则β-α等于 。 解法1:先求2a+b,a-2b的坐标,再代 入|2a+b|=|a-2b|求解。 因为 a=(cosα,sinα),b= (cosβ, sinβ),所以2a+b=(2cosα+cosβ,2sinα+ sinβ),a-2b=(cosα-2cosβ,sinα- 2sinβ)。 由|2a+b|=|a-2b|,结合向量的模长 公式得 (2cosα+cosβ)2+(2sinα+sinβ)2 = (cosα-2cosβ)2+(sinα-2sinβ)2,平 方 得5+4cosαcosβ+4sinαsinβ=5-4cosα· cosβ-4sinαsinβ,化简整理得cos(β-α)= 0。因为0<α<β<π,所以0<β-α<π,所以 β-α= π 2 。 解法2:注意单位向量的特征,求2a+b, a-2b的坐标太复杂,可先将|2a+b|=|a- 2b|化简,再代入坐标求解。因为向量a= (cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),所以|a|=1, |b|=1。因为|2a+b|2=|a-2b|2,所以 4a2+4a·b+b2=a2-4a·b+4b2,所以 a·b=0,即cosαcosβ+sinαsinβ=0,所以 cos(β-α)=0。又0<α<β<π,所以0<β- α<π,所以β-α= π 2 。 点评:解法1先求2a+b,a-2b 的坐 标,再代入|2a+b|=|a-2b|,运算过程比 较复杂,是这类问题的通法。解法2抓住了 单位向量和“见模平方”的特征,结合向量运 算凑出cos(β-α)=0,比解法1要简便,解法 2是提高解题速度和正确率的好方法。 1.已知平面上三点A,B,C 满足|AB→| =3,|BC→|=4,|CA→|=5,求 AB→·BC→+ BC→·CA→+CA→·AB→ 的值。 提示:(方法1)由题设知△ABC 为直角 三角形,可得 AB→⊥BC→,所以 AB→·BC→=0, cos∠BAC= 3 5 ,cos∠BCA= 4 5 。所以BC→ 和CA→ 夹角的余弦值为-45,CA → 和AB→ 夹角 的余弦值为- 3 5 。故AB→·BC→+BC→·CA→+ CA→·AB→=-25。 (方法2)因为|AB→|2+|BC→|2=|CA→|2, 所以AB→⊥BC→,即 AB→·BC→=0。故 AB→· BC→+BC→·CA→+CA→·AB→=CA→(BC→+AB→) =CA→·AC→=-CA→ 2 =-25。 (方法3)由 AB→+BC→+CA→=0,可得 (AB→+BC→+CA→)2=0,所以 AB→ 2 +BC→ 2 + CA→ 2 +2AB→·BC→+2BC→·CA→+2CA→·AB→= 0,即32+42+52+2(AB→·BC→+BC→·CA→+ CA→·AB→)=0,所以AB→·BC→+BC→·CA→+ CA→·AB→=-25。 2.已知a是以点A(3,-1)为起点,且与 向量b=(-3,4)平行的单位向量,则向量a 的终点坐标是 。 提示:(方法1)设向量a 的终点坐标为 (x,y),则a=(x-3,y+1)。结合题意得 4(x-3)+3(y+1)=0, (x-3)2+(y+1)2=1, 解 得 x=125,y= - 1 5 或x= 18 5 ,y=- 9 5 ,所以向量a 的终点 坐标是 12 5 ,- 1 5 或 185,-95 。 (方法2)与向量b=(-3,4)平行的单位 向量为± 1 5 (-3,4),所以a=± - 3 5 ,4 5 , 所以向量a 的终点坐标为(x,y)=a-(3, -1),据此代入即得结果(略)。 作者单位:福建师范大学附属福清德旺中学 (责任编辑 王琼霞) 22 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月