11 向量的数量积的四种计算方法&12 盘点平面向量中的最值问题-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■王玉林 向量的数量积是向量的重要性质,是高 考重点考查的知识点。 一、定义法求数量积 例1 已知菱形 ABCD 的 边 长 为a, ∠ABC=60°,则BD→·CD→= 。 解:因 为∠ABC=60°,所 以∠BCD= 120°,所以BC→ 与CD→ 的夹角为60°。又BC =CD=a,所以 BD→·CD→=(BC→+CD→)· CD→=BC→·CD→+|CD→|2=a·acos60°+ a2= 3 2a 2。 点评:当已知向量的模和夹角时,可利用 定义法求数量积,即a·b=|a||b|cos<a,b>。 二、已知向量的坐标求数量积 例2 已知向量a=(2,-1),b=(3, -2),则(3a-b)·(a-2b)= 。 解:(方法1)因为a·b=2×3+(-1)× (-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+ (-2)2=13,所以(3a-b)·(a-2b)=3a2- 7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15。 (方法2)因为a=(2,-1),b=(3,-2), 所以3a-b=(6,-3)-(3,-2)=(3,-1), a-2b=(2,-1)-(6,-4)=(-4,3),所以 (3a-b)·(a-2b)=3×(-4)+(-1)× 3=-15。 点评:当已知向量的坐标时,可利用坐标 法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2。 三、基底法求数量积 例3 在菱形 ABCD 中,对角线 AC= 4,E 为CD 的中点,则AE→·AC→= 。 解:注意到菱形的对角线互相垂直平分, 可用AC→、BD→ 表示AE→。由题意知AE→=AC→ +CE→=AC→+12CD →=AC→+14(BD →-AC→)= 3 4AC →+14BD →,所以 AE→·AC→= 34AC →+ 1 4BD → ·AC→=34|AC→|2+14BD→·AC→= 3 4|AC →|2=12。 点评:基底法求数量积,其实质是利用转 化求解的,即用已知模或夹角的向量作基底 表示待求向量的数量积。 四、建立平面直角坐标系求数量积 例4 已知 M 是边长为1的正三角形 ABC 的边AC 上的动点,N 为AB 的中点, 则BM→·MN→ 的取值范围是 。 解:取AC 的中点O,以O 为坐标原点, AC 所在的直线为x 轴,建立如图1所示的 平面 直 角 坐 标 系 Oxy,则 点 A - 1 2 ,0 , B 0, 3 2 ,N -14,34 。 图1 设点 M(x,0),- 1 2≤x≤ 1 2 ,则BM→= x,- 3 2 ,MN→ = -14-x,34 ,所 以 BM→·MN→=-x2-14x- 3 8=- x+ 1 8 2 - 23 64 ,- 1 2≤x≤ 1 2 。据此可得,当x= 1 2 时, BM→·MN→ 取最小值-34;当x=- 1 8 时, BM→·MN→ 取最大值-2364。所以BM →·MN→ 的取值范围是 - 3 4 ,- 23 64 。 点评:解题时,结合图形特征,建立平面 直角坐标系,利用坐标法求出向量的数量积。 作者单位:湖北省恩施土家族苗族自治 州高级中学 (责任编辑 王琼霞) 81 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 ■钱德坤 平面向量中的最值问题具有较强的综合 性,这类问题主要考查平面向量的基本定理、 坐标运算法则、数量积和几何意义等。下面 探讨求解平面向量的最值问题的几种类型及 解题策略。 一、向量数量积的最值问题 例1 如图1,已知O 为△ABC 的外接 圆圆心,OA=2,∠BAC=45°,则 AB→·OC→ 的最大值为( )。 图1 A.2 B.4 C.2 D.22 解:因为O 为△ABC 的外接圆圆心,OA =2,∠BAC=45°,所以∠BOC=2∠BAC= 90°,且|OA→|=|OB→|=|OC→|=2。 因为AB→·OC→=(OB→-OA→)·OC→=OB→· OC→-OA→·OC→=-OA→·OC→=-|OA→|· |OC→|cos<OA→,OC→>=-4cos<OA→,OC→>,所以 当OA→,OC→ 共线且反向(<OA→,OC→>=180°) 时,AB→·OC→ 取到最大值4。应选B。 评析:解答本题的关键是得到∠BOC= 90°,再 由 数 量 积 的 运 算 得 到 AB→·OC→= -OA→·OC→=-4cos<OA→,OC→>,最后结合向 量的夹角定义求得最大值。 二、向量模的最值问题 例2 已知向量a,b,c满足b 为单位向 量,且a+2b与a-2b相互垂直,对任意λ∈ R,不等式|a-λb|≥|a-b|恒成立。若c= (u+2)a+(4-u)b(u∈R),则|c|的最小值 为( )。 A.4 B.5 C.6 D.7 解:已知向量a,b,c满足b为单位向量, 且a+2b与a-2b 相互垂直,则(a+2b)· (a-2b)=0,即a2=4b2=4,所以|a|=2。 对任意λ∈R,不等式|a-λb|≥|a-b| 恒成立,则a2-2λa·b+λ2b2≥a2-2a·b +b2,即λ2-2a·bλ+2a·b-1≥0恒成立。 由λ∈R,可得Δ=(2a·b)2-4(2a·b-1) ≤0,所以(2a·b-2)2≤0,即(a·b-1)2≤ 0,所以a·b=1。 由c=(u+2)a+(4-u)b(u∈R),可得 c2=(u+2)2a2+(4-u)2b2+2(u+2)(4- u)a·b=4(u+2)2+(4-u)2+2(u+2)(4 -u)=3u2+12u+48=3(u+2)2+36,所以 当u=-2时,c2 取得最小值36,所以|c|的 最小值为6。应选C。 评析:解答本题的关键是根据a+2b 与 a-2b 互相垂直,得到|a|=2,再对|a- λb|≥|a-b|平方,利用二次不等式恒成立, 求得a·b=1,最后转化为二次函数求出|c| 的最小值。 三、向量夹角的最值问题 例3 已知向量a,b 满足|a-b|=3, |a|=2|b|,设a-b 与a+b 的夹角为θ,则 cosθ的最小值为( )。 A. 4 5 B. 3 5 C. 1 3 D. 2 5 解:由题意可设|b|=t,则|a|=2t。 显然t>0,若|a-b|=3,则(a-b)2= 91 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 5t2-2a·b=9,所以2a·b=5t2-9。因为 (a+b)2=5t2+2a·b=10t2-9,所以10t2 -9>0,所以|a+b|= 10t2-9。 cosθ= (a+b)·(a-b) |a+b||a-b| = 3t2 3 10t2-9 = t2 10t2-9 = t4 10t2-9 。 设10t2-9=λ,λ>0,则t2= 9+λ 10 。 因为 t4 10t2-9 = 9+λ 10 2 λ = λ2+18λ+81 100λ = λ 100+ 81 100λ+ 18 100≥2 λ×81 100×100λ+ 18 100= 36 100= 9 25 ,当且仅当λ=9时等号成立,所以 t4 10t2-9 的最小值为 9 25 ,所以 t 4 10t2-9 的最小 值为 3 5 ,所以cosθ的最小值为 3 5 。应选B。 评析:解决平面向量的最值问题,可先利 用平面向量的基本定理、坐标运算法则、数量 积、几何意义等,求得目标式的表达式,然后 将其看作关于变量的函数式,利用基本不等 式求得最值。 四、以向量为载体的参数范围问题 例4 如图2,在矩形 ABCD 中,AB= 4,AD=3,M,N 分别是AB,AD 上的动点, 且满足2AM +AN =1,设 AC→=xAM→+ yAN→,则2x+3y 的最小值为( )。 图2 A.48 B.49 C.50 D.51 解:由 题 意 可 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 Axy,如图2所示,则点 A(0,0),B(4,0), C(4,3),D(0,3)。 设点 M(m,0),N(0,n)。 因为2AM+AN=1,所以2m+n=1, 其中0<m< 1 2 ,0<n<1。 因为AC→=xAM→+yAN→,所以(4,3)= (xm,yn),所以x= 4 m ,y= 3 n 。 因为2x+3y= 8 m+ 9 n= 8 m+ 9 n (2m +n)=25+ 8n m+ 18m n ≥25+2 8n m ·18m n = 25+24=49,当且仅当 8n m = 18m n ,即m= 2 7 , n= 3 7 时取等号,所以2x+3y 的最小值为 49。应选B。 评析:解答本题的关键是建立平面直角 坐标系,结合平面向量数量积的坐标公式进 行转化求解。坐标法解题的关键是合理构建 平面直角坐标系,确定对应点的坐标,结合函 数或不等式知识求解。 (多选题)在△ABC 中,下列结论正确的 是( )。 A.AB→-AC→=CB→ B.AB→+BC→+CA→=0 C.若AB→·AC→>0,则△ABC 是锐角三 角形 D.若(AB→+AC→)·(AB→-AC→)=0,则 △ABC 是等腰三角形 提示:由向量的加减法法则知A正确,B 正确。由AB→·AC→>0,可得角A 是锐角,但 不能判断角B,C 的大小,所以△ABC 不一定 是锐角三角形,C不正确。由(AB→+AC→)· (AB→-AC→)=0,可得 AB→ 2 -AC→ 2 =0,所以 |AB→|=|AC→|,所以△ABC 是等腰三角形,D 正确。应选ABD。 作者单位:陕西省汉阴县汉阴中学 (责任编辑 王琼霞) 02 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月