05 平面向量典型题型例析&06 平面向量中的最值（范围）问题-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 8 5 ,- 6 5 。又因为A'B'→=λa,所以λ=-25。 点评:先求AB→ 在向量a 上的投影数量, 再根据 A'B'→为向量AB→ 在向量a 上的投影 向量,求出A'B'→的坐标,最后由A'B'→=λa求 得λ的值。 题型4:利用投影向量求向量的数量积 例4 在三角形ABC 中,AB→·AC→=0, |BC→|=6,AO→=12(AB →+AC→),BA→ 在BC→ 上 的投影向量为 5 6BC →,则AO→·BC→=( )。 A.-10 B.-14 C.-16 D.-12 解:由AB→·AC→=0,可得 AB→⊥AC→,即 ∠BAC=90°。由AO→=12(AB →+AC→),可知 O 为BC 的中点,即|BO→|=3。由BA→ 在BC→ 上的投影向量为|BA→|·cosB· BC → |BC→| = 5 6BC →,可得|BA →|cosB |BC→| = 5 6 。 因为|BC→|=6,所以BA→·BC→=|BA→|· |BC→|·cosB=56|BC →|2=30,所以AO→·BC→ =(BO→-BA→)·BC→=BO→·BC→-BA→·BC→= |BO→|·|BC→|cos0°-30=3×6-30=-12。 应选D。 点评:两个非零向量a,b 的数量积a·b 等于向量a在b上的投影数量与|b|的乘积, 即a·b=|a|cos<a,b>·|b|。解题时,利用 投影公式求出BA→·BC→,再利用AO→·BC→= (BO→-BA→)·BC→ 求解。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 (责任编辑 王琼霞) ■韩 郡 平面向量题型多样,涵盖向量的运算、数 量积、投影向量等。下面通过典型例题,帮助 大家深入理解平面向量,提升解题能力。 一、平面向量的运算 例1 已知向量 OA→=a,OB→=b,且 |a|=|b|=a·b=3,任意点 M 关于点A 的 对称点为S,点S 关于点B 的对称点为N,则 |MN→|= 。 解:因为任意点M 关于点A 的对称点为 S,点S 关于点B 的对称点为N,所以AB 是 △SMN 的中位线,所以 MN→=2AB→=2(OB→ -OA→)=2(b-a)。 又|a|=|b|=a·b=3,所以|MN→|2= 4(b-a)2=4(|b|2-2a·b+|a|2)=4× (9-2×3+9)=48,所以|MN→|=43。 评注:本题主要考查向量的中点性质、模 长的计算。 二、平面向量的数量积 例2 设向量a=(2,m),b=(-m,2), |c|=1,若(a-c)·(b-c)的最大值为5,则 正实数m 的值为 。 解:由a=(2,m),b=(-m,2),可得 a·b=-m×2+2×m=0,a+b=(2,m)+ (-m,2)=(2-m,2+m)。所以|a+b|= (2-m)2+(2+m)2= 8+2m2。 因为|c|=1,所以(a-c)·(b-c)= a·b-a·c-b·c+c2=-(a+b)·c+ 1≤|a+b|·|c|+1=|a+b|+1=5,当且 仅当a+b与c反向时取等号,所以|a+b|= 4,即 8+2m2=4,解得 m=2或 m=-2。 又m>0,所以m=2。 评注:本题主要考查向量的数量积运算, 向量模的计算,以及不等式知识。 三、平面向量的投影向量 例3 已知向量a和b满足|a|=4,|b| =2,向量a-b 在向量a 上的投影向量为 3 4a ,则|a-b|= 。 9 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 解:因为向量a-b在向量a上的投影向 量为 3 4a ,所以 (a-b)·a |a| · a |a|= 3 4a ,所以 (a-b)·a |a|2 = 3 4 ,所以(a-b)·a= 3 4|a| 2= 3 4×16=12 ,所以a2-a·b=12,所以a· b=4。 所 以|a -b|= (a-b)2 = a2-2a·b+b2= 16-2×4+4=23。 评注:本题主要考查向量的投影向量的 定义,考查向量的模的计算。 四、平面向量与三角函数的融合 例4 已知向量a=(2cosx,1),b= -cosx+ π 3 ,12 ,x∈ 0,π2 。 (1)若a∥b,求x 的值。 (2)记函数f(x)=a·b,若对任意的 x1,x2∈ 0, π 2 ,且|f(x1)-f(x2)|≤λ 恒 成立,求实数λ的最小值。 解:(1)由 a ∥b,可 得 cosx = -cosx+ π 3 。因为x∈ 0,π2 ,所以cosx =cosπ- x+ π 3 ,所以x=π- x+π3 , 所以x= π 3 。 (2)函数 f(x)=a·b=-2cosx· cosx+ π 3 +12= 3sinxcosx-cos2x+ 1 2= 3 2sin2x- 1 2cos2x=sin2x- π 6 。由 x∈ 0, π 2 ,可得2x-π6∈ -π6,5π6 ,所以 sin2x- π 6 ∈ -12,1 。 因为对任意的x1,x2∈ 0, π 2 ,|f(x1) -f(x2)|≤λ 恒成立,所以λ≥|f(x1)- f(x2)|max= 1- - 1 2 =32,所以λ≥32, 所以λmin= 3 2 。 评注:本题主要考查向量的平行,数量积 的运算,以及三角函数的应用。 五、平面向量基本定理的应用 例5 如图1所示,在△ABC 中,点 D 在线段BC 上,满足2CD→=DB→,G 是线段AB 上的点,且满足3AG→=2GB→,线段CG 与线段 AD 交于点O。 图1 (1)若 AD→=xAB→+yAC→,求实数x,y 的值。 (2)若AO→=tAD→,求实数t的值。 解:(1)由题设得CD→=13CB →,所以 AD→ =AC→+CD→=AC→+13CB →=AC→+13(AB →- AC→)= 23AC →+13AB →。又 AD→=xAB→+ yAC→,且AB→、AC→ 不共线,所以x=13,y= 2 3 。 (2)因为G,O,C 三点共线,所以存在实 数m,使得GO→=mOC→(m>0)。易得AO→= AG→+GO→=AG→+ mm+1GC →=AG→+ mm+1(AC → -AG→)= mm+1AC →+ 1m+1AG →。 因为3AG→=2GB→,即 AG→=25AB →,所以 AO→= mm+1AC →+ 1m+1AG →= mm+1AC →+ 1 m+1 ·2 5AB →= mm+1AC →+ 25(m+1)AB →。 又因 为 AO→=tAD→,即 AO→=tAD→= 2 3tAC →+13tAB →,又 AB→,AC→ 不共线,所以 1 3t= 2 5(m+1) , 2 3t= m m+1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 t= 2 3 , m= 4 5 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故实数t= 2 3 。 评注:本题主要考查平面向量基本定理 及共线定理的应用。 作者单位:江苏省无锡市运河实验中学 (责任编辑 王琼霞) 01 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 ■朱秀芝 解决平面向量中的最值(范围)问题,常 见的有两种思路:一是建立目标函数求最值; 二是利用数形结合法求最值。 题型一:与系数有关的最值(范围)问题 例1 已知点 P 是△ABC 的中线BD 上一点(不包含端点),且AP→=xAB→+yAC→, 则2x+4y 的最小值为 。 解:因为AP→=xAB→+yAC→,所以AP→= xAB→+2yAD→。又 B,P,D 三点共线,所以 x+2y=1,且x,y>0。所以2x+4y=2x+ 22y≥2 2x·22y=2 2x+2y=22,当且仅当 x=2y,即 x= 1 2 ,y= 1 4 时等号成立。故 2x+4y 的最小值为22。 评析:利用向量运算将所求问题转化为 相应的等式关系,再利用基本不等式求最值。 题型二:与数量积有关的最值(范围) 问题 例2 已知边长为2的菱形ABCD 中, ∠DAB= π 3 ,点F 为线段BD(含端点)上一 动点,点E 满足BE→=3EC→,则 AF→·BE→ 的 最大值为 。 解:依题意得 AF→=AB→+BF→=AB→+ λBD→=AB→+λ(AD→-AB→),所以AF→=(1- λ)AB→+λAD→,0≤λ≤1,BE→=34BC →=34AD →。 所以AF→·BE→=[(1-λ)AB→+λAD→]· 3 4AD →=34(1-λ)AB →·AD→+34λAD →2=34(1 -λ)×2×2× 1 2+3λ= 3 2λ+ 3 2 ,0≤λ≤1。 所以当λ=1时,AF→·BE→ 取得最大值3。 评析:求解向量的数量积的最值(范围) 问题,一是通过建立直角坐标系,运用向量的 坐标运算转化为代数问题处理;二是运用向 量数量积的定义,结合不等式、极化恒等式等 有关知识解决。 题型三:与模有关的最值(范围)问题 例3 平面向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,a·b=0,若|a-c|=|b-c|,则|c|的最 小值为 。 解:易得|b-a|=2。由|a-c|=|b- c|,可得|a-c|2=|b-c|2,即a2-2a·c+ c2=b2-2b·c+c2,所以1-2a·c=3- 2b·c,所以b·c-a·c=1,即(b-a)·c=1。 设b-a与c的夹角为θ,则(b-a)·c =|b-a|·|c|·cosθ=1,所以|c|= 1 2cosθ 。故当cosθ=1时,|c|取得最小值 1 2 。 评析:求向量模的最值(范围)有两种方 法,即代数法和几何法。本题是利用代数法 求解的。 题型四:与夹角有关的最值(范围)问题 例4 平面直角坐标系中,O 为坐标原 点。已知点A(-2,0),P(cosθ,sinθ)(θ∈ R),则向量AO→ 与AP→ 的夹角的取值范围是 。 解:设向量 AO→ 与AP→ 的夹角为α,α∈ [0,π]。由点A(-2,0),P(cosθ,sinθ),可 得AO→=(2,0),AP→=(cosθ+2,sinθ),所以 |AO→|=2,|AP→|= 4cosθ+5,所以 AO→· AP→=2(cosθ+2)=2cosθ+4。所以cosα= AO→·AP→ |AO→|·|AP→| = 2cosθ+4 2× 4cosθ+5 = cosθ+2 4cosθ+5 = 1 4 4cosθ+5+ 3 4cosθ+5 。 因 为 4cosθ+5≥1,所 以 4cosθ+5 + 3 4cosθ+5 ≥23,当且仅当cosθ=- 1 2 时 等号成立,所以cosα≥ 3 2 。因为0≤α≤π, 所以0≤α≤ π 6 ,即向量AO→ 与AP→ 的夹角的 取值范围是 0, π 6 。 评析:解题时,要注意两个向量的夹角的 取值范围是[0,π]。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 王琼霞) 11 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月