01 平面向量的概念解读&02 例析平面向量中三点共线结论的应用-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■全 乐 一、向量的概念 例1 设a,b,c是非零向量,已知命题 p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q: 若a∥b,b∥c,则a∥c。下列命题中的真命题 是( )。 A.p∨q B.p∧q C.(􀱑p)∧(􀱑q) D.p∨(􀱑q) 解析:若a·b=0,b·c=0,则a·b= b·c,即b·(a-c)=0,所以a·c=0不一 定成立,故命题p 是假命题。已知a,b,c是 非零向量,若a∥b,b∥c,则a∥c,故命题q是 真命题。所以p∨q是真命题,p∧q,(􀱑p) ∧(􀱑q),p∨(􀱑q)都是假命题。应选A。 解读:向量既有大小,又有方向,实数中 的有关概念和运算性质不一定适合向量。 变式1:下列命题正确的是( )。 A.若向量a 与b 同向,且|a|>|b|,则 a>b B.在△ABC 中,AB→+BC→+CA→=0 C.不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+ |b|中两个等号不可能同时成立 D.由a·b=a·c,可得a=0或b=c 提示:对于 A,向量不能比较大小,但向 量的模可以比较大小,此结论错误。对于B, 在△ABC 中,AB→+BC→+CA→=0,此结论正 确。对于C,当a,b 中至少有一个是零向量 时,不等式中两个等号同时成立,此结论错 误。对于D,由a·b=a·c,可得a=0或 b=c或a⊥(b-c),此结论错误。应选B。 二、零向量 例2 下列命题正确的是( )。 A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若k∈R,且kb=0,则k=0或b=0 C.0·0=0 D.若a·b=0,则a=0或b=0 解析:对于 A,当b=0时,此结论错误。 对于C,实数与向量的乘积是向量而不是实 数,此结论错误。对于D,由a·b=0,可得 a⊥b,此结论错误。应选B。 解读:长度为零的向量叫零向量,其方向 是任意的。规定:零向量与任一向量平行。 注意零向量书写时一定要加箭头或变黑体。 变式2:已知下列各式:①AB→+BC→+ CA→;②AB→+MB→+BO→+OM→;③OA→+OB→+ BO→+CO→;④AB→-AC→+BD→-CD→。 其中结果为零向量的个数为( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 提示:由向量的加法法则得AB→+BC→+ CA→=AC→+CA→=0,AB→-AC→+BD→-CD→= AD→-AD→=0。 故零向量是①④。应选B。 三、单位向量 例3 已知点A(1,3),B(4,-1),则与 向量AB→ 同方向的单位向量为 。 解析:由题设得 AB→=(3,-4),所 以 |AB→|=5,所以与向量 AB→ 同方向的单位向 量为 1 5AB →= 35,- 4 5 。 解读:长度等于1个单位的向量叫单位 向量。与向量a=(x,y)同方向的单位向量 是 a |a|= x x2+y2 , y x2+y2 ;与向量a= (x,y)反 方 向 的 单 位 向 量 是 - a |a|= -x x2+y2 , -y x2+y2 。 变式3:已知向量p= a |a|+ b |b|+ c |c| , 其中a,b,c均为非零向量,则|p|的取值范 围是 。 3 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 提示:当a,b,c全部同向时,|p|有最大 值3;当 a |a|+ b |b|+ c |c|=0 时,|p|有最小值 0。故|p|的取值范围是[0,3]。 四、相等向量 例4 下列命题正确的是( )。 A.若a=b,b=c,则a=c B.若a·b=a·c,则b=c C.若|a|=|b|,|b|=|c|,则a 与c的 方向相同 D.若|a|=|b|,|b|=|c|,则a=c 解析:对于A,由向量相等的定义知a与 b的模相等,b 与c的模相等,所以a 与c的 模相等。因为a与b的方向相同,b与c的方 向相同,所以a 与c 的方向也必相同,所以 a=c。对于B,若a⊥b,a⊥c,则a·b=a· c,所以b=c错误。对于C,长度相等的向量 方向不一定相同,此结论错误。对于D,长度 相等的向量不一定相等,此结论错误。应选 A。 解读:长度相等且方向相同的两个向量 叫相等向量。 变式 4:如 图 1,已 知 O 是 正 六 边 形 ABCDEF 的中心。 图1 (1)与向量OA→ 长度相等的向量有多少个? (2)是否存在与向量OB→ 长度相等、方向 相反的向量? 提示:(1)根据正六边形的性质和相等向 量的定义,可知与向量OA→ 长度相等的向量 有11个。 (2)存在。向量OE→ 就是与向量OB→ 长 度相等、方向相反的向量。 五、相反向量 例5 下列命题正确的是( )。 A.对任意两个向量a,b,a-b 与b-a 是相反向量 B.若a与b平行,则a·b=|a|·|b| C.如果a 与b 是互为相反向量,那么 a+b=0 D.若a与b互为相反向量,则a≠b 解析:对于A,因为(a-b)+(b-a)=a +(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b) =(a-a)+(b-b)=0,所以a-b 与b-a 是相反向量。对于B,当两个向量a,b 平行 且反向时,可得a·b=-|a|·|b|,此结论 错误。对于C,互为相反向量的和为零向量 而不是实数0,此结论错误。对于D,当a=0 时,其相反向量也是0,此时a=b,此结论错 误。应选A。 解读:长度相等且方向相反的两个向量 叫相反向量。 变式5:已知向量a,b 不共线,且c= λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d 共线且反 向,则实数λ的值为 。 提示:由 题 意 设c=kd(k<0),所 以 λa+b=c=kd=k[a+(2λ-1)b],整理得 λa+b=ka+(2λk-k)b。因为a,b不共线, 所以 λ=k, 2λk-k=1, 消去k 得2λ2-λ-1=0, 解得λ=1或λ=- 1 2 。 因为k<0,所以λ<0,所以λ=- 1 2 。 已知O 为△ABC 内一点,且OA→+OC→ = 2 3BC →,则△OBC 和△ABC 的面积之比为 。 提示:设D 是AC 的中点,则OA→+OC→ =2OD→。因 为 OA→ +OC→ = 23BC →,所 以 2OD→=23BC →,即BC→=3OD→,所以OD→∥BC→, 所以 S△OBC S△ABC = S△DBC S△ABC = DC AC= 1 2 。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 王琼霞) 4 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 ■张付坤 徐大俊 三点共线结论:已知OA→,OB→ 是平面内 两个不共线的向量,若OP→=xOA→+yOB→,则 P,A,B 三点共线的充要条件是x+y=1。 例1 如图1,向量OA→ 和OB→ 是两个夹 图1 角为 2π 3 的单位向量,点C 在以O 为圆心的AB︵ 上运 动,若OC→=xOA→+yOB→, 其中x,y∈R,求x+y 的 最大值。 解:设向量OC→ 与AB 交于点C1,则A, B,C1 三点共线。设OC1→=λOA→+μOB→,由三 点共线的结论知λ+μ=1。因为OC → 与OC1→ 共线,所以OC→=mOC1→=mλOA→+mμOB→,所 以x+y=m(λ+μ)=m。由图可知,当点C 运动到AB︵ 中点时,m=|OC →| |OC1→| 的值最大,此 时过点C 作AB 的平行线l,则l是所有过 AB︵ 上一点作AB 的平行线中离AB 最远的 一条。因为向量OA→ 和OB→ 为单位向量,且 夹角为 2π 3 ,C 为AB︵ 的中点,AB 与OC 互相 垂直平分,所以OC→=2OC1→,所以m=2,所以 x+y 的最大值为2。 评注:本题从三点共线入手,结合图形, 将向量线性表示中的系数和问题转化为向量 长度比的最大值问题,与常规解法相比减少 了大量的计算。 例2 如图2,在△ABC 中,点 P 满足 2BP→=PC→,过点P 的直线与AB,AC 所在的 直线 分 别 交 于 点 M,N,若 AM→=xAB→, AN→=yAC→,x>0,y>0,则2x+y 的最小值 为 。 图2 解:由题意知 AP→=AB→+BP→=AB→+ 1 3BC →=AB→+ 13 (AC → -AB→)= 23AB → + 1 3AC →。因为 AM→=xAB→,AN→=yAC→,所以 AP→=23xAM →+13yAN →。因为 M,P,N 三点 共线,所以2 3x+ 1 3y =1。所以2x+y=(2x+ y) 2 3x+ 1 3y = 53 + 2y3x +2x3y ≥ 53 + 2 2y 3x ·2x 3y = 5 3+ 4 3=3 ,当且仅当2y 3x= 2x 3y , 即x=y=1时等号成立,所以2x+y 的最小 值为3。 评注:本题从平面向量基本定理入手,借 助三点共线得到x,y 的关系,再结合不等式 求出2x+y 的最小值。 在△ABC 中,过重心G 的直线PQ 交边 AB 于P,交边AC 于Q,连接AG 并延长交 BC 于 点 D(图 略),且 AP→=pPB→,AQ→= qQC→。求证:1p+ 1 q =1。 提示:设 AB→=a,AC→=b。由 AP→= pPB→,可 得 AP→= p1+pa 。同 理 得 AQ→= q 1+q b。因为G 是△ABC 的重心,所以 AG→ = 2 3AD →=13(AB →+AC→)=13a+ 1 3b 。因为 P,G,Q 三点共线,所以存在实数λ,使得AG→ =λAP→+(1-λ)AQ→,即 AG→= λp1+pa+ (1-λ)q 1+q b。据上可得, λp 1+p= 1 3 , (1-λ)q 1+q = 1 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 λ= 1+p 3p , 1-λ= 1+q 3q , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 1 p + 1 q =1。 作者单位:河南省光山县第二高级中学 (责任编辑 王琼霞) 5 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月