精品解析：广东省佛山市顺德区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024学年第一学期九年级教学质量监测数学 说明：本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，写在试卷上不计成绩． 2.作图（含辅助线）和列表时用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰． 一、选择题（10个题，每题3分，共30分） 1. 下列几何体俯视图是圆的是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 正方体 D. 圆锥 2. 方程配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且．若的周长是6，则的周长是（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 4. 如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 为了估计鱼塘的鱼数，养鱼者先从鱼塘中打捞条鱼，在每一条鱼的身上做好记号后放归鱼塘，再从鱼塘中随机打捞条鱼.如果条鱼中有条鱼的身上是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在矩形的边上，若是等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程正数解应介于和之间，则，分别是（ ） A 0， B. ，1 C. 1， D. ，2 8. 如图，当点、、在同一直线上时，在处与处测得的视力相同．若米，米，米，则是（ ）米． A. B. C. D. 9. 反比例函数图象经过点，过点作轴的垂线交轴于点．当点在轴上运动时，的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 不确定 10. 如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（ ） A. B. C. 12 D. 18 二、填空题（5个题，每题3分，共15分） 11. 写出一个以为根的一元二次方程：______． 12. 若是直角三角形斜边的中点，且，，则______． 13. 原点为与的位似中心，位似比为．若点的坐标为，则对应点的坐标可以为______． 14. 若是方程的解，则式子的值为_______________． 15. 某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地．已知人和木板对湿地地面的压力合计，此时人和木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，以下说法正确的有______（只填序号）．与的关系式为；随的增大而减小；当木板面积为时，压强是；如果要求压强不超过，则木板面积至多为． 三、解答题（8个题，共75分） 16. 已知点，是反比例函数图象与一次函数图象交点． （1）画出反比例函数图象； （2）写出满足的的取值范围． 17. 3月14日是国际数学日．学校在当天举行了数独、魔方、24点游戏、数字华容道和数字猜谜等丰富多彩的活动，并采用积分制激励学生积极参与活动．甲、乙、丙、丁四人积分位居前列． （1）若从以上四人中随机选取一人介绍活动经验，求甲被选中的概率； （2）若从以上四人中随机选取两人介绍活动经验，求甲，乙同时被选中的概率． 18. 已知是关于的一元二次方程． （1）当时，求方程的解； （2）若，是方程的两个实数根，且，求的取值范围． 19. 如图，平行四边形对角线与相交于点． （1）给定三个关系：①；②；③．其中能使得平行四边形为矩形的有______，选择其中一个作为条件进行证明； （2）在（1）的条件下，点从点开始沿边运动，速度为；点同时从点开始沿边运动，速度为．如果，，点到达点A时所有运动停止，那么何时与相似？ 20. 某商店在国庆前购进某种文创品，预计每件盈利元，其中年月日至月日的日销售量如图所示． （1）求年月日至月日文创品的日平均增长率； （2）用你学过的知识预估年月日的日销售盈利情况． 21. 翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论． 点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处． （1）如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由； （2）如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长． 22. 网格是研究几何图形的一种工具，是解决问题的一种方法，是培养几何直观的一种方式． （1）如图1，点、、、都在格点（正方形的顶点）上．仅用无刻度的直尺在线段上找出点，使得和相似，并说明画图的依据； （2）如图2，点为一次函数与反比例函数图象的交点．将一次函数的图象绕点逆时针方向旋转，求新图象的表达式． 23. 点是正方形所在平面内一点． （1）如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，判断与之间的关系，说明理由； （2）如图，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明； （3）在（）的条件下，连接，延长交于点.当，时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级教学质量监测数学 说明：本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，写在试卷上不计成绩． 2.作图（含辅助线）和列表时用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰． 一、选择题（10个题，每题3分，共30分） 1. 下列几何体的俯视图是圆的是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 正方体 D. 圆锥 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据圆柱、圆锥、三棱柱、正方体的俯视图的形状进行判断即可，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是解题的关键． 【详解】解：、圆柱体的俯视图是圆形，符合题意； 、三棱柱的俯视图是三角形，不符合题意； 、正方体的俯视图是正方形，不符合题意； 、圆锥的俯视图是圆形和一个点，不符合题意； 故选：． 2. 方程配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键．先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可． 【详解】， ， ， 故选：B 3. 已知，且．若的周长是6，则的周长是（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握两个相似三角形的对应角相等、周长的比等于相似比成为解题的关键． 直接根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算即可． 【详解】解：∵，且 ∴的周长的周长， ∵的周长为6， ∴的周长为12． 故选：C． 4. 如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由相似三角形的判定方法，即可判断，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：、只有这一个条件，不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、∵， ∴，， ∴，原选项符合题意； 故选：． 5. 为了估计鱼塘的鱼数，养鱼者先从鱼塘中打捞条鱼，在每一条鱼的身上做好记号后放归鱼塘，再从鱼塘中随机打捞条鱼.如果条鱼中有条鱼的身上是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例解答即可，解题的关键是求出鱼塘带记号的鱼所占比． 【详解】解：估计鱼塘中鱼的条数为（条）， 故选：． 6. 如图，点在矩形的边上，若是等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识的应用． 首先由等边三角形的性质得出，又四边形是矩形，则有，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：． 7. 探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（ ） A. 0， B. ，1 C. 1， D. ，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由列表数据可得判断出的值在1和之间即可解答． 【详解】解：通过列表可以看出看出方程的正数解应介于1和之间， ∴． 故选：C． 8. 如图，当点、、在同一直线上时，在处与处测得的视力相同．若米，米，米，则是（ ）米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，然后根据相似三角形的性质计算的值即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴，解得：， 故选：． 9. 反比例函数图象经过点，过点作轴的垂线交轴于点．当点在轴上运动时，的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征、坐标与图形、平行线之间的距离相等，熟练掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是解答的关键．先求出点A、B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】将代入反比例函数得解析式得：， ， 又过点作轴的垂线交轴于点， ， 故选：B． 10. 如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（ ） A. B. C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，正确添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图：连接．先根据菱形的性质说明都是等边三角形，再结合已知条件证明可得，进而证明是等边三角形；再根据垂线段最短求得的最小值为，最后求的周长即可． 【详解】解：如图：连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 根据垂线段最短可知，当时，的长最短， 如图：过B作垂足为， ∵, ∴, ∴， ∴,即的最小值为， ∴周长的最小值为． 故选B． 二、填空题（5个题，每题3分，共15分） 11. 写出一个以为根的一元二次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解成为解题的关键． 以为根写一个一元二次方程即可． 【详解】解：以为根写一个一元二次方程可以为：． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若是直角三角形斜边的中点，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质，解题的关键是由直角三角形斜边中线的性质推出． 由勾股定理得求出，再由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴， ∵是直角三角形斜边的中点， ∴， 故答案为：． 13. 原点为与的位似中心，位似比为．若点的坐标为，则对应点的坐标可以为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以2或得到其对应点的坐标即可． 【详解】解：∵原点为与的位似中心，位似比为，点的坐标为， ∴点A其对应点的横坐标是，纵坐标为或横坐标是，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 14. 若是方程的解，则式子的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，利用方程的解得出关于的等式是解题的关键． 由是方程的解可得，代入即可求出式子的值． 【详解】解：是方程的解， ， 即：， ， 故答案为：． 15. 某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地．已知人和木板对湿地地面的压力合计，此时人和木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，以下说法正确的有______（只填序号）．与的关系式为；随的增大而减小；当木板面积为时，压强是；如果要求压强不超过，则木板面积至多为． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由于压力一定时，压强和受力面积成反比，根据压力为写出解析式，根据解析式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由于压力一定时，压强和受力面积成反比， ∵， ∴ 与的关系式为，故正确，符合题意； 当越来越大时，也越来越小，故正确，符合题意； 当时，，即压强是，故正确，符合题意； 当时，即， ∴， ∴压强不超过，则木板面积至少为，故错误，不符合题意； 故答案为：． 三、解答题（8个题，共75分） 16. 已知点，是反比例函数图象与一次函数图象的交点． （1）画出反比例函数图象； （2）写出满足的的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，画函数的图象，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题的关键． （1）先求出反比例函数解析式，再画出函数图象即可； （2）关键图象直接写出不等式解集即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， ∴反比例函数解析式为：， 再把代入，得 ， ∴， ∴， 反比例函数图象如图： 【小问2详解】 解：由（1）中图象可知，满足的x的取值范围为：或． 17. 3月14日是国际数学日．学校在当天举行了数独、魔方、24点游戏、数字华容道和数字猜谜等丰富多彩的活动，并采用积分制激励学生积极参与活动．甲、乙、丙、丁四人积分位居前列． （1）若从以上四人中随机选取一人介绍活动经验，求甲被选中的概率； （2）若从以上四人中随机选取两人介绍活动经验，求甲，乙同时被选中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意，画出树状图，进而根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵一共有4个人，每个人被选取的概率相同， ∴从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是； 【小问2详解】 解：树状图如下∶ ， 共有12种等可能结果，其中符合条件的有2种， 所以甲、乙两人恰好同时选中的概率． 18. 已知是关于的一元二次方程． （1）当时，求方程的解； （2）若，是方程的两个实数根，且，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程-公式法，熟知一元二次方程根与系数的关系及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）将代入方程，并用因式分解法对所得方程进行求解即可． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入方程得， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：因为，是方程的两个实数根， 所以，． 又因为， 所以， 解得． 又因为， 解得， 所以m的取值范围是：． 19. 如图，平行四边形的对角线与相交于点． （1）给定三个关系：①；②；③．其中能使得平行四边形为矩形的有______，选择其中一个作为条件进行证明； （2）在（1）的条件下，点从点开始沿边运动，速度为；点同时从点开始沿边运动，速度为．如果，，点到达点A时所有运动停止，那么何时与相似？ 【答案】（1）①③，证明见解析 （2）2秒或秒 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识点，理解题意、灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形判定即可解答； （2）分和两种情况分别利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：①③．证明如下： 若添加①： ∵ ， ∴， ∴平行四边形是矩形； 若添加③∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 故答案为∶①③． 【小问2详解】 解：设运动时间为．由题意可得：， ， 当时，， ∴，解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上，当运动2秒或秒时，与相似． 20. 某商店在国庆前购进某种文创品，预计每件盈利元，其中年月日至月日日销售量如图所示． （1）求年月日至月日文创品的日平均增长率； （2）用你学过的知识预估年月日的日销售盈利情况． 【答案】（1）年月日至月日文创品的日平均增长率为； （2）预估年月日的日销售盈利元． 【解析】 【分析】（）设年月日至月日文创品的日平均增长率为， 由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意列式计算即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设年月日至月日文创品的日平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：年月日至月日文创品的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：由题意可知，（元）， 答：预估年月日的日销售盈利元． 21. 翻折是一种常见图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论． 点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处． （1）如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由； （2）如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证得，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）设的长为x，由折叠得，再求出，然后证得到，最后代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设的长为x，由折叠得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的长为． 22. 网格是研究几何图形的一种工具，是解决问题的一种方法，是培养几何直观的一种方式． （1）如图1，点、、、都在格点（正方形的顶点）上．仅用无刻度的直尺在线段上找出点，使得和相似，并说明画图的依据； （2）如图2，点为一次函数与反比例函数图象的交点．将一次函数的图象绕点逆时针方向旋转，求新图象的表达式． 【答案】（1）作图见解析（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：如图，取格点F，连接交于点，连接，点E即为所求作．方法二：如图，取格点、，连接交于点，连接，点E即为所求作． （2）先根据反比例的性质求得点的坐标和一次函数解析式，根据全等三角形的判定和性质及待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：设网格中小正方形的边长为1个单位长度， 方法一：如图，取格点F，连接交于点，连接，点E即为所求作． 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则点即所作， 方法二：如图，取格点、，连接交于点，连接，点E即为所求作， 理由：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵与交于点E， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 则点即所作． 【小问2详解】 解：∵点为一次函数与反比例函数图象的交点， ∴，, 解得， ， ∴，一次函数解析式为， 如图，设交轴于点， 令，则， ∴， ∴， 过作轴于点，过作且，过B作轴于点D， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入点，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 即新图象的表达式为． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，反比例函数与一次函数的综合．熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，旋转性质，待定系数法确定函数解析式，是解题的关键． 23. 点是正方形所在平面内一点． （1）如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，判断与之间的关系，说明理由； （2）如图，若点在边下方，当时，过点作垂线交的延长线于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明； （3）在（）的条件下，连接，延长交于点.当，时，求的面积． 【答案】（1），，理由见解析； （2），理由见解析； （3）的面积为． 【解析】 【分析】（）根据正方形的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，得出，延长交于点，进而求出，从而证明即可； （）设，交于，设，求得，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到； （）由（）知，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：，，理由： 延长交于点，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴，； 【小问2详解】 解：，理由： 设，交于， ∵，， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即：； 【小问3详解】 解：如图，由（）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $