精品解析：湖南省湘西土家族苗族自治州花垣县华鑫学校2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试题

八年级数学开学考试 出卷人： (满分∶ 120分 时量∶ 120分钟) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知点，点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化—轴对称，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 故选：C． 2. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭分离成功，进入预定轨道，发射取得圆满成功！下列是同学们设计的神舟20号飞船简笔画，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 3. 近年来我国芯片技术突飞猛进，在这领域常使用长度单位纳米（1纳米毫米），将数据“5纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：5纳米毫米毫米， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的应用，掌握同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的法则，完全平方公式是解决问题的关键．利用同底数幂的除法法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，合并同类项法则，对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A.，则A不符合题意； B.，则B不符合题意； C.，则C符合题意； D.，不是同类项，无法合并，则D不符合题意； 故选：C． 5. 若 ，则，的值分别为( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，先根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出、的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，． 故选：A． 6. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是( ) A. x+2＝3 B. x﹣2＝3 C. x﹣2＝3(2x﹣1) D. x+2＝3(2x﹣1) 【答案】C 【解析】 【分析】最简公分母是2x﹣1，方程两边都乘以(2x﹣1)，即可把分式方程便可转化成一元一次方程． 【详解】方程两边都乘以(2x﹣1)，得 x﹣2＝3(2x﹣1)， 故选C． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 7. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求出的长． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长， ， ． 故选：A． 8. 设，，则M与N的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式、整式的加减．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．由于，，可以通过比较M与N的差得出结果． 【详解】解：∵，， ， ∴． 故选：A． 9. 如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边上点F处，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理求解是解答的关键． 设，由折叠性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， 在中， ， ∴， 设 在中，， ∴，解得， 故选：A． 10. 若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 二、填空题（共8题，每小题3分，共24分） 11. 若，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法逆用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 12. 将因式分解后的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方混合运算，负整数指数幂运算，根据积的乘方和单项式乘单项式运算法则，负整数指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，正确记忆多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题关键．根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得， 解得， 故答案为：4． 15. 如图，平分，，，于点，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，过作于点，则，由角平分线的性质得，，又得，最后由角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，在中，平分，，且的面积为，则的面积为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质、全等三角形的判定和性质，延长交于点，证明，得到，继而得到即可得到的面积．熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积为， ． 故答案为：20． 17. 若关于x的分式方程无解，则a的值为______． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的无解，根据分式方程无解分分式方程有增根和化简后的一元一次方程无解两种情况讨论是解答此题的关键．先将分式方程化简为整式方程，然后分分式方程有增根和化简后的一元一次方程无解两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， ， ∵原分式方程有无解， ∴或， 当，解得． ∴， 解得． 当时，． 故答案为：或1． 18. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：15． 三、解答题（19、20、21题8分，22、23、24题10分，25题12分，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负指数幂、绝对值和有理数的加减运算，掌握“任何不等于0的数的0次幂都等于1”、“当是正整数时，”是解题关键． 根据零指数幂与负指数幂的公式进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简再求值：，其中，且x为整数． 【答案】；2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，0， ∴把代入得：原式． 21. 如图，在中，于，， （1）若，求的长度； （2）若，求的长度． 【答案】（1）12 （2）14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，由，得到，求得，根据直角三角形的性质得到结论； （2）在上取点，使，求得，根据三角形外角的性质得到，，于是得到结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ； 【小问2详解】 解：在上取点，使， 则， ，， ， ， ， ， ， ． 22. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题． （1）画出关于y轴对称的； （2）在x轴上存在点P，使得最小，在图中画出点P的位置； （3）在（2）的条件下求出此时的周长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，轴对称性质，两点间的距离公式，掌握轴对称作图与性质是解题的关键． （1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接与x轴交点P即为所求，因为，由两点之间线段最短即可求解； （3）的周长转化为，再根据两点间距离公式求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 小问2详解】 解：如图，点P即为所求； 【小问3详解】 解：由题意得，周长为， 由题意得，， ∴，， ∴周长为． 23. 湖南师大附中团委组织八年级部分同学到长沙县“慢天使”之家给脑瘫儿童送新春慰问．在准备礼品时发现，购买一件甲礼品的费用是购买乙礼品的1.5倍，并且花费600元购买甲礼品比花费600元购买乙礼品的数量少4件． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买30件礼品送给“慢天使”们，正逢商店新年促销，甲礼品打八折，乙礼品打九折，要求购买礼品的总费用不超过1500元，那么最多购买多少件甲礼品？ 【答案】（1）甲礼品的单价为75元，乙礼品的单价为50元 （2）最多购买10件甲礼品 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙礼品的单价为元，则甲礼品的单价为元，分别表示数量，根据费600元购买甲礼品比花费600元购买乙礼品的数量少4件建立方程，求解即可； （2）设购买件甲礼品，则购买件乙礼品，分别表示甲乙礼品折扣后的费用，再根据费用和不超过1500元建立不等式求解． 【小问1详解】 解：设乙礼品的单价为元，则甲礼品的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴甲礼品的单价为：元， 答：甲礼品的单价为75元，乙礼品的单价为50元； 【小问2详解】 解：设购买件甲礼品，则购买件乙礼品， 由题意得，， 解得：， 答：最多购买10件甲礼品． 24. 【阅读理解】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即，利用了如图①的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为，也可转化成一个一边长为，另一边长为的长方形，其阴影部分面积为，由于阴影部分面积相同，因此有． 【类比探究】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．（如图③ （1）观察图③请你写出，，之间的等量关系： ； 【解决问题】 （2）若 ，直接写出代数式的值，并求的值； 【拓展应用】 （3）已知，为实数，，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）2 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图③中各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系即可； （2）根据等式的性质将的两边都除以即可得到的值；再根据代入计算即可； （3）设，，则，，由题意可得，，由代入计算即可． 【详解】解：（1）图③中大正方形的边长为，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个空白的小长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2），，两边都除以得， ， ； （3）设，，则，， ，， ． 25. 综合与探究 【问题情境】在等边中，是边上的一个定点，是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接． 【特例研究】 如图，当点在边上时，过点作交于点． 此时的形状是 ；与的数量关系是 ． 试猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （）如图，当点在的延长线上时，（）中的猜想是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的猜想并说明理由． 【答案】（）等边三角形，；，理由见解析；（）（）中的猜想不成立，正确的猜想是 ，理由见解析． 【解析】 【分析】（）由和是等边三角形可得，由可得，即可得到是等边三角形，进而可得； ．由可证，可得CN = MH，利用等量代换即可求证； （）过点作，交于，先证是等边三角形，可得 ，由可证，可得，利用等量代换即可求解； 本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：等边三角形，； ，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 即； （）（）中的猜想不成立，正确的猜想是 ，理由如下： 如图，过点作，交于， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学开学考试 出卷人： (满分∶ 120分 时量∶ 120分钟) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知点，点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭分离成功，进入预定轨道，发射取得圆满成功！下列是同学们设计的神舟20号飞船简笔画，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 近年来我国芯片技术突飞猛进，在这领域常使用长度单位纳米（1纳米毫米），将数据“5纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 5. 若 ，则，的值分别为( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是( ) A. x+2＝3 B. x﹣2＝3 C. x﹣2＝3(2x﹣1) D. x+2＝3(2x﹣1) 7. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 设，，则M与N的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边上点F处，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 10. 若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共8题，每小题3分，共24分） 11. 若，，则______． 12. 将因式分解后的结果为______． 13 计算______． 14. 一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形的边数是______． 15. 如图，平分，，，于点，，则的长为______． 16. 如图，在中，平分，，且的面积为，则的面积为_______． 17. 若关于x的分式方程无解，则a的值为______． 18. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 三、解答题（19、20、21题8分，22、23、24题10分，25题12分，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简再求值：，其中，且x整数． 21. 如图，在中，于，， （1）若，求的长度； （2）若，求的长度． 22. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题． （1）画出关于y轴对称的； （2）在x轴上存在点P，使得最小，在图中画出点P的位置； （3）在（2）的条件下求出此时的周长． 23. 湖南师大附中团委组织八年级部分同学到长沙县“慢天使”之家给脑瘫儿童送新春慰问．在准备礼品时发现，购买一件甲礼品的费用是购买乙礼品的1.5倍，并且花费600元购买甲礼品比花费600元购买乙礼品的数量少4件． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买30件礼品送给“慢天使”们，正逢商店新年促销，甲礼品打八折，乙礼品打九折，要求购买礼品的总费用不超过1500元，那么最多购买多少件甲礼品？ 24. 【阅读理解】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即，利用了如图①的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为，也可转化成一个一边长为，另一边长为的长方形，其阴影部分面积为，由于阴影部分面积相同，因此有． 【类比探究】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．（如图③ （1）观察图③请你写出，，之间的等量关系： ； 【解决问题】 （2）若 ，直接写出代数式的值，并求的值； 拓展应用】 （3）已知，为实数，，求的值． 25. 综合与探究 【问题情境】在等边中，是边上的一个定点，是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接． 特例研究】 如图，当点在边上时，过点作交于点． 此时的形状是 ；与的数量关系是 ． 试猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （）如图，当点在的延长线上时，（）中的猜想是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的猜想并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$