精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三下学期3月质量调研数学试卷

华东师范大学第二附属中学 2024学年第二学期3月高三年级质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设集合，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】集合，则． 故答案为：. 2. 已知则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数计算函数值即可. 【详解】因为则． 故答案为：. 3. 已知，且是偶函数，则实数____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊值求参数并检验. 【详解】，且是偶函数， 则，所以， 所以，又因为，所以， 则实数． 当时，为偶函数，符合题意. 故答案为：0. 4. 设，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算计算即可. 【详解】设， 若，则，则． 故答案为：. 5. 关于x的不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式计算求解. 【详解】关于x的不等式转化为或， 所以解集为. 故答案为：. 6. 在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用赋值法求出，再求出项的系数. 【详解】依题意，的二项展开式的各项系数和为，则，解得， 所以展开式中项为，其系数为4. 故答案为：4 7. 已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3，则P到y轴的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的定义得，P到抛物线C的焦点的距离为，进而得到，化简即可求解. 【详解】由题意知：抛物线的准线为，设点 ， 则P到y轴的距离为， 由抛物线的定义得，P到抛物线C的焦点的距离为， 即，化简得. 故答案为：. 8. 某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________． 【答案】##0.6875 【解析】 【分析】设“小胡从这8题中任选1题且答对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，利用全概率公式进行求解即可. 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D， 则，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 9. 已知复数z的虚部为1，且为实数，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】令，由复数的四则运算即可求解； 【详解】令，则 因为为实数， 所以，解得：， ， 当时，， 当时，， 所以 故答案为：. 10. 设集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，则A的元素个数最多为____________． 【答案】137 【解析】 【分析】三位数中的5的倍数分个位是0和个位是5讨论即可. 【详解】由题意知，集合中且至多只有一个元素不是5的倍数，其余均是5的倍数． 首先讨论三位数中的5的倍数， ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个； ②当个位5时，则百位有个数字可选，十位有个数字可选， 根据分步乘法原理，这样的5的倍数有个， 最后，再加上单独的不是5的倍数的数，所以集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：137． 11. 如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测量得：，，，．若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道长为____________公里．（结果精确到0.1公里） 【答案】 【解析】 【分析】设，在，，中利用正弦定理，可求，进而可求. 【详解】由题意：. 设，则. 在中，即. 在中，. 在中，，即. 将以上三式相乘，得：， 从而有：， 所以：. 所以. 在中，，, 所以 在中，. 故答案为： 12. 已知，对任意正整数n，令．若存在n，使得，且，则q的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】分析的各种情况下的取值范围，然后考虑所得三个取值范围互相分离的条件，得出存在正整数符合题意的条件下的实数的取值范围. 【详解】 由以下四种情况的  组成： ，此时  ，，此时 ; ，，结果同上; ，此时 . 所有, 所有， 由及，得， 此时，都成立； 得①； 由得，即，得且②， 所以，此时，当时，，故必存在正整数，同时满足①②， 从而满足已知条件， 所以的取值范围是区间. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ） A. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C. 两种证券的收益有同向变动的倾向 D. 两种证券的收益有反向变动的倾向 【答案】C 【解析】 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，C对，ABD错. 故选：C. 14. 下列函数中，以π为最小正周期的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简各选项中的函数的解析式，利用正弦型、余弦型函数的基本性质求出各选项中函数的最小正周期，并判断出各选项中的奇偶性，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，函数的最小正周期为，且该函数为奇函数，排除A选项； 对于B选项，，其定义域关于原点对称， 且，所以该函数是奇函数，排除B选项； 对于C选项，的周期为，排除C选项； 对于D选项，函数，定义域为 ，最小正周期， 且，所以该函数是偶函数，故D选项正确. 故选：D. 15. 设三维空间中全体的点构成集合的非空真子集V满足：对任意P、和任意，存在，使得．已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用举反例，根据必要、充分条件的定义可得 【详解】由题意，是线性子空间， 因为， 若，则可能是一维子空间或二维子空间， 当是x轴时，则是x轴上的点， 设， 由， 得， 所以，满足题意，此时， 所以“”不能推出“” 若时，必须包含由和所在平面， 又是的非空真子集，所以， 所以能推出， “”是“”的必要非充分条件， 故选：B 16. 已知函数的定义域为，集合存在，使得．若使得，则（ ） A. 可能为奇函数 B. 可能在处取最小值 C. 可能是增函数 D. 可能在处取极小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数新定义结合函数奇偶性及单调性判断A，C，应用最值及极小值的定义判断B，D. 【详解】对于A：若函数为奇函数，由题意存在，使得， 则，所以，所以，而，不合题意，A选项错误； 对于B：令满足题意，此时在处取最小值，B选项正确； 对于C： 函数，如果是增函数，则当时，存在，使得得出，不合题意，C选项错误； 对于D：由题意，若在处取极小值，则在附近左侧， 若存在使得，则至少存在一个，但是，不合题意， 若不存在使得，即，与题意不符，所以D选项错误. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图为正四棱柱，其中． （1）求矩形绕旋转一周所得几何体的表面积； （2）若E为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆柱的表面积公式计算得解. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 在正四棱柱中，，矩形的边， 则矩形绕旋转一周所得几何体是以为底面圆半径，为高的圆柱， 所以所求表面积. 小问2详解】 在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 令平面的法向量，则， 取，得， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 18. 已知函数． （1）若曲线过点，求的解集； （2）若存在使得，，成等差数列，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，根据函数的单调性以及定义域列不等式组来求得正确答案. （2）根据等差数列的性质列方程，利用分离常数法，以及基本不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 若曲线过点，则， 所以，所以，在上单调递增， 所以不等式等价于， 解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 依题意，存在使得，，成等差数列， 所以存在使得，且， 即存在使得， 即存在使得， 即存在使得， 即存在使得， 而当且仅当时等号成立， 所以的取值范围是. 19. 某兴趣小组对高三刚结束的物理测试成绩进行随机调查，将所有选考物理的考生按是否同时选考化学分为A、B两类，并从中随机抽取100名考生的成绩，整理数据如下表（单位：人） 物理成绩 学生分类 A类男生 2 8 15 8 B类男生 3 10 20 4 A类女生 3 4 2 1 B类女生 10 6 4 0 （1）估计该校高三学习物理男生人数与女生人数之比； （2）求A类考生物现平均成绩估计值（同一组中的数据用该组区间中点值代表，结果四舍五入到整数）； （3）把成绩在称为“合格”，成绩在称为“不合格”，是否有95%的把握认为该校考生的本次物理成绩合格与否和性别有关？ 附：，其中． 【答案】（1） （2）72 （3）有95%的把握认为该校考生的本次物理成绩合格与否和性别有关. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据求出男生和女生人数即可求解； （2）根据频数分布列表，利用每组的组中值乘以对应的频率之和即可求解； （3）根据表中数据可补充列联表，利用卡方的计算公式求出，结合表中的数据即可得出结论. 【小问1详解】 由表中数据可知，男生共有， 女生共有， 由此估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值约为. 【小问2详解】 A类共有：人 类物理平均成绩的估计值为 【小问3详解】 由表中数据可知，列联表如下： 性别 成绩 合计 及格 不及格 男生 65 5 70 女生 17 13 30 合计 82 18 100 零假设为：该校考生的物理成绩与考生性别无关， 根据表格中数据计算得到 所以有95%的把握认为该校考生的本次物理成绩合格与否和性别有关. 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为．过点的直线l交椭圆E于P、Q两点． （1）若E的离心率为，求b的值； （2）若为等腰三角形，且P在第一象限，求点P的坐标； （3）设直线交椭圆E于另一点R，若，求b的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及椭圆方程计算可得； （2）画出图形，由为等腰三角形，验证与、与是否相等，数形结合易知，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，结合判别式即可求解. 【小问1详解】 当椭圆焦点在轴上时，，则，因此； 当椭圆焦点在轴上时，，解得. 综上，当椭圆焦点在轴上时，；椭圆焦点在轴上时，. 【小问2详解】 当时，椭圆，其中， 如下图所示： 设点，且， 因为为等腰三角形，且在第一象限，已知， 由椭圆对称性和点位置可知，， 若，则， 所以，可得， 又因为在椭圆上，所以，即， 将代入中，得到9， 展开并化简可得：， 即，进一步变形为， 则此方程无实数解；故； 若，则， 将代入可得，展开并化简： ，即， 因式分解为，解得或（舍去）， 将代入椭圆方程可得，所以. 【小问3详解】 设直线的方程为， 将代入椭圆方程，得到， 展开并整理可得， 由得 由韦达定理可得， 因为与关于原点对称，所以， 又，则， 根据向量数量积求解：已知，则， 将代入上式可得： 整理得 将代入上式可得： ，即， 因为，所以， 所以，又，所以. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 21. 已知上处处可导的函数满足．存在上处处可导的函数满足对任意成立． （1）若，且，求实数m的值； （2）若，证明：是与无关的定值，并求出该定值； （3）设均为上的严格单调函数，且单调性相反．若且，证明：在上严格减． 【答案】（1）0 （2）8100 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先将条件代入恒成立式子化简整理，再赋值求解验证可得； （2）赋值构造方程组求解即可； （3）赋式构造方程组求解与关系式，再由的单调性可证. 【小问1详解】 若，且， 则，且； 代入化简整理得 ， 即，又， 令，得，解得， 检验：此时， 代入左边右边，式子恒成立， 综上可得，. 小问2详解】 由对任意成立， 又由， 令可得，； 令可得，； 解得； 再令，得①； 令，得②； 代入①式得③， 联立①③解得，， 所以为定值． 【小问3详解】 设，分别令以及， 可得， 由均为上的严格单调函数，且单调性相反， 则为上的严格单调函数， 则至多一个零点，又， 故当时，，则， 由可得，， 当时，也满足上式. 由④⑥两式解得， 所以由，且可知， 若严格递减，则严格递减； 由，且可知， 若严格递减，则严格递减． 由题意设均为上的严格单调函数，且单调性相反， 则至少一个为严格单调减函数， 故严格递减. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于结合求解方向对恒等式赋值、赋式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学第二附属中学 2024学年第二学期3月高三年级质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设集合，，则____________． 2. 已知则____________． 3. 已知，且是偶函数，则实数____________． 4. 设，若，则____________． 5. 关于x的不等式的解集为____________． 6. 在二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为____________． 7. 已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3，则P到y轴的距离为____________． 8. 某测试由8道四选一单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________． 9. 已知复数z的虚部为1，且为实数，则____________． 10. 设集合A中元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，则A的元素个数最多为____________． 11. 如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测量得：，，，．若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道长为____________公里．（结果精确到0.1公里） 12. 已知，对任意正整数n，令．若存在n，使得，且，则q的取值范围是____________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ） A. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C. 两种证券的收益有同向变动的倾向 D. 两种证券的收益有反向变动的倾向 14. 下列函数中，以π为最小正周期的偶函数是（ ） A. B. C. D. 15. 设三维空间中全体的点构成集合的非空真子集V满足：对任意P、和任意，存在，使得．已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 16. 已知函数的定义域为，集合存在，使得．若使得，则（ ） A. 可能奇函数 B. 可能在处取最小值 C. 可能是增函数 D. 可能在处取极小值 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图为正四棱柱，其中． （1）求矩形绕旋转一周所得几何体的表面积； （2）若E为的中点，求直线与平面所成角的大小． 18. 已知函数． （1）若曲线过点，求的解集； （2）若存在使得，，成等差数列，求a的取值范围． 19. 某兴趣小组对高三刚结束的物理测试成绩进行随机调查，将所有选考物理的考生按是否同时选考化学分为A、B两类，并从中随机抽取100名考生的成绩，整理数据如下表（单位：人） 物理成绩 学生分类 A类男生 2 8 15 8 B类男生 3 10 20 4 A类女生 3 4 2 1 B类女生 10 6 4 0 （1）估计该校高三学习物理男生人数与女生人数之比； （2）求A类考生物现平均成绩估计值（同一组中的数据用该组区间中点值代表，结果四舍五入到整数）； （3）把成绩在称为“合格”，成绩在称为“不合格”，是否有95%的把握认为该校考生的本次物理成绩合格与否和性别有关？ 附：，其中． 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为．过点的直线l交椭圆E于P、Q两点． （1）若E的离心率为，求b的值； （2）若为等腰三角形，且P在第一象限，求点P的坐标； （3）设直线交椭圆E于另一点R，若，求b的取值范围． 21. 已知上处处可导的函数满足．存在上处处可导的函数满足对任意成立． （1）若，且，求实数m的值； （2）若，证明：是与无关的定值，并求出该定值； （3）设均为上的严格单调函数，且单调性相反．若且，证明：在上严格减． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $