第8章　整式乘法与因式分解课件 2024-2025学年 沪科版数学七年级下册

第8章　整式乘法与因式分解 数学活动　求最大乘积 友好数对 1. 阅读理解　阅读下列材料： “友好数对” 　　已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两 个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新 两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”.例如43×68＝ 34×86＝2 924，所以43和68与34和86都是“友好数对”. 1 2 解决如下问题： （1）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为 a，个位数字为b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且 c≠d，则a，b，c，d之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你 将其补充完整： 根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为10a＋b和10c＋d，将它们各自 的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 　10b＋a　和 　10d ＋. 因为它们是友好数对，所以（10a＋b）（10c＋d）＝ 　（10b＋a）（10 d＋.　 即a，b，c，d的等量关系为： 　ac＝bd　. 10b＋a　 10d＋c （10b＋a）（10d＋c） ac＝bd　 1 2 （2）请任写两对“友好数对”：36和 　84　； 　12　和 　42　. （3）若有一个两位数，十位数字为x＋2，个位数字为x，另一个两位数，十位 数字为x＋2，个位数字为x＋8，且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个 两位数. 解：由（1）得（x＋2）（x＋2）＝x（x＋8），解得x＝1， 所以两个两位数为31和39. 84　 12　 42　 1 2 比较大小 2. 阅读并探索：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问 题来解决， 例：试比较20 150 408×20 150 405与20 150 406×20 150 407的大小. 解：设20 150 407＝a，x＝20 150 408×20 150 405，y＝20 150 406×20 150 407， 则x＝（a＋1）（a－2）＝a2－a－2，y＝a（a－1）＝a2－a. 因为x－y＝ 　－2　， 所以x 　＜　y.（填“＞”或“＜”） 填完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下. 计算：（m＋22.201 5）（m＋14.201 5）－（m＋18.201 5）（m＋17.2015）. －2　 ＜　 1 2 解：设m＋18.201 5＝a，x＝（m＋22.201 5）（m＋14.201 5）， y＝（m＋18.201 5）（m＋17.201 5）， 则x＝（a＋4）（a－4）＝a2－16， y＝a（a－1）＝a2－a. 所以x－y＝a2－16－（a2－a）＝a－16. 即（m＋22.201 5）（m＋14.201 5）－（m＋18.201 5）（m＋17.201 5）＝ m＋18.201 5－16＝m＋2.201 5. 1 2 $$第8章　整式乘法与因式分解 8.2　整式乘法 2.单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式 1. 把2a（ab－b＋c）化简后得（　D　） A. 2a2b－ab＋ac B. 2a2－2ab＋2ac C. 2a2b＋2ab＋2ac D. 2a2b－2ab＋2ac 2. （2024·兰州中考）计算：2a（a－1）－2a2＝（　D　） A. a B. －a C. 2a D. －2a 3. 计算：（3x2y－5xy）·（－4xy2）＝ 　－12x3y3＋20x2y3　. D D －12x3y3＋20x2y3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4. 已知2m－3n＝－5，则代数式m（n－4）－n（m－6）的值为 　10　. 5. 推理能力　数学老师讲了单项式乘以多项式后，请同学们自己编题，小圣同学编题如下：2x（2y＋　x－1）＝4xy＋6x2－2x.你认为　内应填写 　3　.　 10　 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6. 运算能力　计算： （1）x2（x－1）－x（x2＋x－1）； 解：原式＝x3－x2－x3－x2＋x＝－2x2＋x. （2）x（2x－5）＋3x（x＋2）－5x（x－1）； 解：原式＝2x2－5x＋3x2＋6x－5x2＋5x＝6x. （3）t3－2t[t2－2t（t－3）]； 解：原式＝t3－2t（t2－2t2＋6t）＝t3－2t3＋4t3－12t2＝3t3－12t2. （4）4a3 －5a2b（2a2－3ab＋1）. 解：原式＝6a4b－4a3b2－10a4b＋15a3b2－5a2b＝－4a4b＋11a3b2－5a2b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 单项式乘以多项式在解方程和不等式中的应用 7. 解方程：2x（x－1）＝12＋x（2x－5）. 解：去括号，得2x2－2x＝12＋2x2－5x， 移项、合并同类项，得3x＝12， 系数化为1，得x＝4. 8. 解不等式组： 解：解不等式 － ＞－1，得x＞－3. 解不等式2（x－3）－3（x－2）＞－2，得x＜2. 则不等式组的解集为－3＜x＜2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 单项式乘以多项式在化简求值中的应用 9. 先化简，再求值：3a（2a2－4a＋3）－2a2（3a＋4），其中a＝－2. 解：3a（2a2－4a＋3）－2a2（3a＋4） ＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2 ＝－20a2＋9a. 当a＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98. 单项式乘多项式的实际应用 10. 若长方体的长为3a－4，宽为2a，高为2a，则它的体积是 　12a3－16a2　. 11. 七年级7班教室后墙上的“学习园地”是一个长方形，其中一边长为3a，另 一边长为2a－3b＋1，则这个“学习园地”的面积为 　6a2－9ab＋3a　. 12a3－16a2　 6a2－9ab＋3a　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12. 已知ab2＝－1，则－ab·（a2b5－ab3－b）的值等于（　C　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 无法确定 13. 阅读理解　定义三角 表示3abc，方框 表示zx＋wy， 则 × 的结果为（　B　） A. 72m2n－45mn2 B. 72m2n＋45mn2 C. 24m2n－15mn2 D. 24m2n＋15mn2 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14. 已知3x·（xn＋5）＝3xn＋1－8，那么x＝ 　－ 　. 15. 几何直观　通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式（一定成立的等式），如图所示，请根据图形中用字母标出的边长长度和面积写出一个代数恒等式 　2a（a＋b）＝2a2＋2ab　. － 　 2a（a＋b）＝2a2＋2ab　 16. A，B为单项式，且5x·（A－2y）＝30x2y3＋B，则A＝ 　6xy3　，B ＝ 　－10xy　. 6xy3　 －10xy　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17. 试说明：对于任意自然数n，代数式n（n＋7）－n（n－5）＋6的值都能 被6整除. 解：因为n（n＋7）－n（n－5）＋6 ＝n2＋7n－n2＋5n＋6 ＝12n＋6 ＝6（2n＋1）， 所以对于任意自然数n，代数式n（n＋7）－n（n－5）＋6的值都能被6整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18. （1）已知关于x的整式A，B，其中A＝4x2＋（m－3）x＋1，B＝nx2＋ 2x＋1，若当A＋2B中不含x的二次项和一次项时，求（m－1）2 025＋ （－n）2 024的值. 解：（1）∵A＝4x2＋（m－3）x＋1，B＝nx2＋2x＋1， ∴A＋2B＝4x2＋（m－3）x＋1＋2（nx2＋2x＋1） ＝4x2＋（m－3）x＋1＋2nx2＋4x＋2 ＝（4＋2n）x2＋（m＋1）x＋3. 因为A＋2B中不含x的二次项和一次项， 所以4＋2n＝0，m＋1＝0， 所以m＝－1，n＝－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以（m－1）2 025＋（－n）2 024＝（－1－1）2 025＋[－（－2）]2 024 ＝（－2）2 025＋22 024 ＝－2×（－2）2 024＋22 024 ＝－2×22 024＋22 024 ＝22 024×（－2＋1） ＝－22 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （2）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：｜a＋b｜＋｜c －a｜－｜b－c｜. 解：由数轴，得b＜a＜0＜c，｜b｜＞｜c｜＞｜a｜， 所以a＋b＜0，c－a＞0，b－c＜0， 所以｜a＋b｜＋｜c－a｜－｜b－c｜＝－（a＋b）＋c－a＋（b－c）＝ －a－b＋c－a＋b－c＝－2a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19. 特殊两位数乘法的速算——如果两个两位数的十位数字相同，个位数字相加 为10，那么能立刻说出这两个两位数的乘积.如果这两个两位数分别写作AB和 AC（即十位数字为A，个位数字分别为B，C，B＋C＝10，A＞3），那么它 们的乘积是一个四位数，前两位数字是A和（A＋1）的乘积，后两位数字就是B 和C的乘积. 如：47×43＝2 021，61×69＝4 209. （1）请你直接写出84×86的值为 　7 224　. （2）若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位 数的个位上的数字为 　10－n　；用含m，n的等式表示以上两位数相乘的规 律 　（10m＋n）[10m＋（10－n）]＝100m（m＋1）＋n（10－n）　. 7 224　 10－n　 （10m＋n）[10m＋（10－n）]＝100m（m＋1）＋n（10－n）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （3）请用所学知识证明②中的规律. 解：因为（10m＋n）[10m＋（10－n）] ＝（10m＋n）（10m－n＋10） ＝100m2－10mn＋100m＋10mn－n2＋10n ＝（100m2＋100m）＋（10n－n2） ＝100m（m＋1）＋n（10－n）， 所以（10m＋n）[10m＋（10－n）]＝100m（m＋1）＋n（10－n）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$第8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 1. 提公因式法 #通基础 >>>>>>>>>>>>> 知识点1 □□□□□□□ 1. 在下列等式从左到右的变形中,) 属于因式分解的是(DD A.8x23-2x2-4 B.(x+1)(x-1)=x2-1 C.3x-3y-1=3(x-y)- 从左向右的变整乘遨式乘法 _,从 因式分解 #左#右去#变三# 用式分解 - 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 知识点2 □□□□□□ 3. 多项式-6xyz+3xy2-9xy的公因式为D D ) .-3x C. 3yz B. 3xz D. 3xy 4. 将3x(a-b)-9y(b-a)因式分解, 应提的公因式碾( D ) A.3x-9y B.3x+9y C.a-b D.3(a-b) 5. 单项式4m{n2}与12mn2的公因式是44n} 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 知识点 □□□□□ 6. 下列多项式分解因式正确的是( A.a-2a-3=a (a-2)-3 B. 3ax2-6ax -3 (ax2-2ax ) C. 12xvz-9x22-3xvz (4-3xvz ) D.3av-3ay+6y=3y(a2-a+ 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7. 多项式x2y(a-b)-xy(b-a)十y(a-b)提公因式后,另一 个因式B 为×-B十)1 B.x2十x+1 C.x2-x-1 D.x2十x-1 8. 已知xy=-3,x十y=2,则代数式xy+x{的是( A.-6 B. 6 C. -5 D.-1 9. 分解因式: x2+4x=xx(44) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10. 用提公因式法把下列各式分解因式 (1)2x2-4xy+x; 解:2x-4xv+×=x(2x-4v+1). (2)-4m3+8m2-24m; 解:-4m+8m2-24m=-4m(m2-2m+6). (3)9a2b-6a3b2-3a2b2; 解: 9a2b3-6a3b2-3a2b2 -3a2b(3b-2a-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10 20 21 22 (4)(2x十v)(3x-2y)-2x(2x十v). 解:(2x十v)(3x-2y)-2x(2x十v) =(2x十v)(3x-2v-2x) =(2x十v)(x一2v). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 点 □公因式后,漏掉另一因式中的常数□“1 11. 分解因式:4a2-8ab十4a. 解:原式三4a(a一2十1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 #通能力 12. 下列式子从左边到右边的变形是因式分解的是(B ) ①(x+1)(x+2)=x2+3x+2 ②x-2x-2=x(x-2)-2 ③2x2y+4x=2xy(x+2y) ④4x2-4x=4x(x-1) A.①② B. ③④ C. ①②③ D. ②③④ 13. 多项式15ab(a十b)c十l0a2b(a十b)的公因是( D) A.5ab2(a十b) B. a2b(a十b) C. 5ab(a十b) D.5a2b(a十b) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14. 如果多项式mx十A可分解因式为m (x一),那么AD(B C. -y A.m B. -ny D. my 15. 计算(-5)2026+(-5)2025的结果是×53X52025 16. 一个多项式4x3y-M可以分解因式为4xy(x2-y2+xy),则4 4x 422 $7. 已知a-b=5,b-c=-6,则代数式a2-ac-b(a-c)的值 为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10 20 21 22第8章　整式乘法与因式分解 学科核心 素养 具体内容 价值 抽象能力 理解幂的运算；理解零次幂、负整 数指数幂的意义；会用科学记数法 表示绝对值小于1的数；理解整式 乘法的运算法则；了解分解因式的 意义、分解因式与整式乘法的关系 感悟数学抽象对于数学产生与 发展的作用，感悟用数学的眼 光观察现实世界的意义，形成 数学想象力，提高学习数学的 兴趣 运算能力 会进行幂的运算，会进行整式乘法 的运算，会用提取公因式法、公式 法等进行因式分解 运算能力有助于形成规范化思 考问题的品质，养成一丝不 苟、严谨求实的科学态度 学科核心 素养 具体内容 价值 推理能力 了解幂的运算性质的推导过程，了 解乘法公式的推导过程，体验通过 “转化”构建新知识体系；感受从 一般到特殊、从特殊到一般的研究 方法 推理能力有助于逐步养成重论 据、合乎逻辑的思维习惯，形 成实事求是的科学态度与理性 精神 几何直观 了解乘法公式的几何背景 几何直观有助于把握问题的本 质，明晰思维的路径 应用意识 能运用整式乘法、因式分解等知识 解决简单的实际问题 应用意识有助于用学过的知识 和方法解决简单的实际问题， 养成理论联系实际的习惯，发 展实践能力 $$第8章　整式乘法与因式分解 阶段检测三 （8.3～8.4） 一、选择题 1. 化简（a－3b）2－（a＋3b）（a－3b）的值为（　C　） A. －6ab B. －3ab＋18b2 C. －6ab＋18b2 D. －18b2 2. 如果ax2＋2x＋ ＝ ＋m，那么a，m的值分别是（　D　） A. 2，0 B. 4，0 C. 2， D. 4， C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 已知x＋y＝－5，xy＝3，则x2＋y2＝（　C　） A. 25 B. －25 C. 19 D. －19 C 4. 把多项式x3－4x2＋4x分解因式，结果正确的是（　D　） A. x（x2－4x＋4） B. x（x－4）2 C. x（x＋2）（x－2） D. x（x－2）2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. 几何直观　将图①中阴影部分的小长方形变换到图②位置，根据两个图形的面 积关系可以得到一个关于a，b的恒等式为（　C　） A. （a－b）2＝a2－2ab＋b2 B. （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 C. （a＋b）（a－b）＝a2－b2 D. a（a－b）＝a2－ab C 6. 已知长方形的周长为16 cm，它两邻边长分别为x cm，y cm，且满足（x－y） 2－2x＋2y＋1＝0，则该长方形的面积为（　A　） A. cm2 B. cm2 C. 15 cm2 D. 16 cm2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、填空题 7. 多项式－5mx3＋25mx2－10mx各项的公因式是 　－5mx　. 8. 若3x2－mx－2分解因式的结果为（3x＋2）·（x－n），则mn＝ 　1　. 9. 已知（a＋b）2＝49，（a－b）2＝1，那么代数式a2＋b2＝ 　25　. 10. 分解因式：（3x＋y）2－（x＋3y）2＝ 　8（x＋y）·（x－y）　.　 －5mx　 1　 25　 8（x＋y）·（x－y）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 几何直观　如图所示，在长方形ABCD中，AB＝6，点E，F是边BC，CD 上的点，EC＝3，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作 正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为20，则图中阴影部分的面积和为 　41　.　 41　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、解答题 12. 运算能力　因式分解： （1）a2（x－y）＋9（y－x）； 解：a2（x－y）＋9（y－x） ＝（x－y）（a2－9） ＝（x－y）（a＋3）（a－3）. （2）x4－2x2＋1. 解：x4－2x2＋1 ＝（x2－1）2 ＝（x＋1）2（x－1）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 小明化简（2x＋1）（2x－1）－x（x＋5）的过程如图所示，请指出他化简 过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程. 解：原式＝2x2－1－x（x＋5）…① ＝2x2－1－x2＋5x…② ＝x2＋5x－1…③ 解：计算（2x）2时，系数2未乘方，①错误， 去括号时，符号未改变，②错误. 正确的化简过程为： 原式＝4x2－1－x（x＋5） ＝4x2－1－x2－5x ＝3x2－5x－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 已知代数式：b（a－4b）－（a＋2b）（a－2b）. （1）化简这个代数式. 解：（1）b（a－4b）－（a＋2b）（a－2b） ＝ab－4b2－（a2－4b2） ＝ab－4b2－a2＋4b2 ＝ab－a2. （2）若a2－2ab＋b2＝0，求原代数式的值. 解：（2）因为a2－2ab＋b2＝0，∴（a－b）2＝0，即a＝b， 所以原式＝a2－a2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 推理能力　观察下列各式. ①4×1×2＋1＝（1＋2）2；②4×2×3＋1＝（2＋3）2；③4×3×4＋1＝（3＋ 4）2；…. （1）根据你观察、归纳发现的规律，写出4×2 021×2 022＋1可以是哪个 数的平方？ 解：（1）根据观察、归纳发现的规律， 得4×2 021×2 022＋1＝（2 021＋2 022）2＝4 0432.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立. 解：（2）猜想第n个等式为4n（n＋1）＋1＝（2n＋1）2. 验证： 等式左边＝4n2＋4n＋1，等式右边＝4n2＋4n＋1， 所以等式左边＝等式右边，所以4n（n＋1）＋1＝（2n＋1）2. （3）利用前面的规律，将4（ x2＋x）（ x2＋x＋1）＋1因式分解. 解：（3）利用前面的规律， 可知4（ x2＋x）（ x2＋x＋1）＋1＝（ x2＋x＋ x2＋x＋1）2＝（x2＋2x ＋1）2＝（x＋1）4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 阅读理解　阅读材料：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前 列，其中“杨辉三角”就是一例.如图所示，这个三角形的构造法则是：两腰上 的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为 正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如：第三 行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四 行的数1，3，3，1，对应（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的系数等. 根据你观察的杨辉三角的排列规律，完成下列问题. （1）（a＋b）4的展开式为 　a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4　. a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）若（x＋1）5·（ax2＋8x－3）（a为常数）的展开式中不含x2项，求a的 值. 解：（2）（x＋1）5＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1， 所以（x＋1）5·（ax2＋8x－3）＝（x5＋5x4＋10x3＋10x2 ＋5x＋1）（ax2＋8x－3）， 故含x2项应该是10x2×（－3）＋5x·8x＋1·ax2＝（10＋ a）x2，所以10＋a＝0，所以a＝－10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （3）已知m为整数，说明（m＋3）3－（m－3）3能被18整除. 解：（3）因为（m＋3）3＝m3＋9m2＋27m＋27， （m－3）3＝m3－9m2＋27m－27， 所以（m＋3）3－（m－3）3＝18m2＋54＝18（m2＋3）， 故（m＋3）3－（m－3）3能被18整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$第8章　整式乘法与因式分解 8.3　完全平方公式与平方差公式 第1课时　完全平方公式 完全平方公式 1. 下列各式能用完全平方公式计算的是（　C　） A. （3a＋2b）（3a－2b） B. （3a＋2b）（2b－3a） C. （3a－2b）（2b－3a） D. （3a－2b）（－3a－2b） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2. （2024·深圳中考）下列运算正确的是（　B　） A. （－m3）2＝－m5 B. m2n·m＝m3n C. 3mn－m＝3n D. （m－1）2＝m2－1 3. 运用完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2计算 ，则公式中的2ab 是（　B　） A. x B. x C. 2x D. 4x B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4. 计算下列各式： （1） ； 解：（1）原式＝ x2＋2× × xy＋ y2＝ x2＋ xy＋ y2. （2） ； 解：（2）原式＝ ＝ －2· · ＋ ＝ x4－ x2y＋ y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （3）（7＋m）2； 解：（3）原式＝72＋2×7×m＋m2＝m2＋14m＋49. （4） ； 解：（4）原式＝a2－2×a×1 ＋ ＝a2－3a＋ . （5）（m2＋5n）2； 解：（5）原式＝（m2）2＋2×m2×5n＋（5n）2＝m4＋10m2n＋25n2.　 （6） . 解：（6）原式＝ －2× x×2y＋（2y）2＝ x2－2xy＋4y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 完全平方公式的几何意义 5. （1）分别在图①、图②的相应位置写出各部分的面积. 如图①、图②所示. （2）根据总面积与各部分面积之间的关系，写出两个等式.由图①写出的等式是 （a＋b）2＝ 　a2＋2ab＋b2　，由图②写出的等式是（a－b）2＝ 　a2－2ab ＋b2　. a2＋2ab＋b2　 a2－2ab ＋b2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 完全平方公式的应用 6. 若a2＋ab＝7＋m，b2＋ab＝9－m，则a＋b的值为（　A　） A. ±4 B. 4 C. ±2 D. 2 7. 若a＋b＝7，ab＝10，则a2＋b2的值是（　C　） A. 5 B. 21 C. 29 D. 85 8. 若a2＋2a＝4，则（a＋1）2＝ 　5　. A C 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9. 利用完全平方公式计算： （1）632； 解：（1）原式＝（60＋3）2＝3 600＋2×180＋9＝3 969. （2）9982. 解：（2）原式＝（1 000－2）2＝1 0002－2×2 000＋4＝996 004. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 一不小心犯“三”错——符号、项数与系数 10. 计算： . 解：原式＝ ＝ －2× m×4n＋（4n）2＝ m2－2mn＋ 16n2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11. 若a＝4＋ ，则a2＋ 的值为（　C　） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 12. 如果（x＋1）2＝3，｜y－1｜＝1，那么代数式x2＋2x＋y2－2y＋5的值是 （　A　） A. 7 B. 9 C. 13 D. 14 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. 如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案， 已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y（x＞y）表示小 长方形的长和宽，则下列关系式不正确的是（　C　） A. x＋y＝7 B. x－y＝2 C. x2＋y2＝25 D. 4xy＋4＝49 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14. 已知 －｜x｜＝1，则 ＋｜x｜的值为（　B　） A. ± B. C. ± D. 或1 15. （2024·合肥期末）如图所示，分别以长方形ABCD的BC，CD为边向外作 正方形BEFC和正方形DCGH，延长EF，HG交于点I，若正方形BEFC和正方 形DCGH的面积和为27，长方形ABCD的面积为11，则正方形AEIH的周长 为 　28　. B 28　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. 关于x的二次三项式x2＋mx＋9是一个完全平方式，则m＝ 　±6　. 17. 已知ab＝1，因为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝a2＋b2＋2①， （a－b）2＝a2－2ab＋b2＝a2＋b2－2②， 所以由①得a2＋b2＝（a＋b）2－2，由②得a2＋b2＝（a－b）2＋2. 试根据上面公式的变形解答下列问题： （1）已知a－b＝2，ab＝1，则下列等式成立的是 　①③　.（填序号） ①a2＋b2＝6； ②a4＋b4＝38； ③（a＋b）2＝8. ±6　 ①③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）已知a＋b＝2，ab＝1. ①求代数式a2＋b2的值. ②求代数式a4＋b4的值. ③猜想代数式a2n＋b2n（n为正整数）的值，直接写出答案，不必说明理由. 解：①a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝22－2×1＝2. ②a4＋b4＝（a2＋b2）2－2a2b2＝22－2（ab）2＝22－2×12＝2. ③因为①②的答案都是2，所以猜想：a2n＋b2n＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. 几何直观　科技点亮未来，创新改变生活.某校七年级1班同学参加了学校科技节比赛，制作了如图①所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用KT板制作了如图②所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知KT板（阴影部分）的尺寸如图②所示. （1）用含a，b的代数式表示图②的KT板模型的总面积.（结果需化简） 解：（1）阴影部分的面积为 ab＋ （b＋3b） × b＋ （b＋6a－2b）×a＝3a2＋3b2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）若a＋b＝7，ab＝ ，求KT板的总面积. 解：（2）因为a＋b＝7，ab＝ ， 所以3a2＋3b2＝3（a2＋b2）＝3[（a＋b）2－2ab] ＝3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$第8章　整式乘法与因式分解 8.2　整式乘法 3.多项式与多项式相乘 多项式乘以多项式 1. 计算（a＋3）（a－4）的结果是（　C　） A. a2－12 B. a2＋12 C. a2－a－12 D. a2＋a－12 2. 若（x＋a）（x＋b）＝x2＋3x－10，则a，b的值可能分别是（　B　） A. －2，－5 B. －2，5 C. 2，－5 D. 2，5 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3. 计算：（x2－x＋1）（x＋1）＝ 　x3＋1　. 4. 若x＋y＝xy，则（x－1）（y－1）＝ 　1　. 5. 先化简，再求值：（2x＋1）（x－5）－（3x＋1）（5x－2），其中x＝ －1. 解：（2x＋1）（x－5）－（3x＋1）（5x－2） ＝2x2－10x＋x－5－（15x2－6x＋5x－2） ＝2x2－9x－5－15x2＋x＋2 ＝－13x2－8x－3. 因为x＝－1， 所以原式＝－13×1＋8－3＝－8. x3＋1　 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 多项式乘以多项式在解方程与不等式中的应用 6. 解方程： （2x＋3）（x－4）－（x＋2）（x－3）＝x2＋6. 解：（2x＋3）（x－4）－（x＋2）（x－3）＝x2＋6， 2x2－8x＋3x－12－（x2－3x＋2x－6）＝x2＋6， 2x2－5x－12－x2＋x＋6＝x2＋6， x2－4x－6＝x2＋6， －4x＝12， x＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7. 解不等式组： 解：不等式组可化为： ​ 由①，得x＜ ；由②，得x＜－1. 所以不等式组的解集为x＜－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 多项式乘以多项式的实际应用 8. 如图所示，在长为（3a＋2）、宽为（2b－1）的长方形铁片上，挖去长为 （2a＋4）、宽为b的小长方形铁片，则剩余部分的面积是（　B　） A. 6ab－3a＋4b B. 4ab－3a－2 C. 6ab－3a＋8b－2 D. 4ab－3a＋8b－2 B 顺序混乱，符号出错 9. 计算：（a＋2）（3－a）. 解：原式＝3a＋6－a2－2a＝－a2＋a＋6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10. （2024·阜阳期末）观察图①中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图 ②所示运算中，可得m，n（m＜n）分别是（　B　） A. －5，－2 B. －5，2 C. －2，5 D. 5，2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11. 若（x2－5x＋7）（x2＋mx＋1）的展开式中不含x3项，则m的值是 （　A　） A. 5 B. 0 C. D. －6 12. 设A＝（x－3）（x－7），B＝（x－2）（x－8），则当x为有理数时， A，B的大小关系为（　C　） A. A＜B B. A＝B C. A＞B D. 无法确认 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. （2024·黄山期末）在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：aⓧb＝ （ax＋2b）（bx－a），则1ⓧ2经过运算可化简为 　2x2＋7x－4　. 14. （2024·合肥瑶海区期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m 为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2. （1）S1与S2的大小关系为：S1 　＞　S2.（填“＞”“＜”或“＝”） （2）若满足条件｜S1－S2｜＜n≤2 024的整数n有且只有5个，则m的值 为 　1 010　. 2x2＋7x－4　 ＞　 1010　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15. 已知（x＋my）（x＋ny）＝x2＋2xy－6y2，求－（m＋n）·mn的值. 解：因为（x＋my）（x＋ny）＝x2＋nxy＋mxy＋mny2＝x2＋（m＋n）xy ＋mny2， 而（x＋my）（x＋ny）＝x2＋2xy－6y2， 所以m＋n＝2，mn＝－6， 所以－（m＋n）·mn＝－2×（－6）＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. 某市有一块长为（3a＋b）米、宽为（2a＋b）米的长方形空地，如图所 示，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座边长是（a－b）米的正 方形雕像. （1）请用含a，b的代数式表示绿化面积S. 解：（1）根据题意，得长方形空地的面积为（3a＋b） （2a＋b）＝（6a2＋5ab＋b2）平方米， 正方形雕像的面积为（a－b）2＝（a2－2ab＋b2）平方 米， 则绿化面积S＝（6a2＋5ab＋b2）－（a2－2ab＋b2）＝ （5a2＋7ab）平方米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）当a＝3，b＝2时，求绿化面积. 解：（2）把a＝3，b＝2代入S＝5a2＋7ab，得 S＝5×32＋7×3×2＝87（平方米）， 即绿化面积为87平方米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x＋a）（3x＋b）.甲由于把第 一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2＋11x－10；乙由于 漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2－9x＋10. （1）求正确的a，b的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解：（1）甲把第一个多项式中的“＋a”看成“－a”， （2x－a）（3x＋b）＝6x2＋2bx－3ax－ab ＝6x2＋（2b－3a）x－ab ＝6x2＋11x－10. 可得2b－3a＝11. 乙漏抄了第二个多项式中x的系数，（2x＋a）（x＋b） ＝2x2＋2bx＋ax＋ab＝2x2＋（2b＋a）x＋ab ＝2x2－9x＋10. 可得2b＋a＝－9.所以 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）计算这道乘法题的正确结果. 解：（2）（2x－5）（3x－2） ＝6x2－4x－15x＋10 ＝6x2－19x＋10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. 阅读理解　定义：L（A）是多项式A化简后的项数，例如多项式A＝x2＋2x－3，则L（A）＝3.一个多项式A乘以多项式B化简得到多项式C（即C＝A×B），如果L（A）≤L（C）≤L（A）＋1，则称B是A的“好多项式”，如果L（A）＝L（C），则称B是A的“极好多项式”. （1）若A＝x－2，B＝x＋3均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项 式”？请判断并说明理由. 解：（1）B是A的“好多项式”，理由如下： （x－2）（x＋3）＝x2－2x＋3x－6＝x2＋x－6， 因为x2＋x－6的项数比A的项数多1， 所以B是A的“好多项式”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）若A＝x－2，B＝x2＋ax＋4均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项 式”，则a＝ 　2　. 2　 （3）若A＝x2－x＋3m，B＝x2＋x＋m均是关于x的多项式，且B是A的“极 好多项式”，求m的值. 解：（3）（x2－x＋3m）（x2＋x＋m）＝x4＋x3＋mx2－x3－x2－mx＋ 3mx2＋3mx＋3m2＝x4＋（4m－1）x2＋2mx＋3m2. 因为B是A的“极好多项式”， 所以4m－1＝0或m＝0，解得m＝ 或m＝0， 所以m的值是 或0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$第8章　整式乘法与因式分解 8.4　因式分解 2.公式法　第2课时　提公因式法和公式法的综合应用 先提公因式再运用完全平方公式 1. 分解因式3y2－6y＋3，结果正确的是（　A　） A. 3（y－1）2 B. 3（y2－2y＋1） C. （3y－3）2 D. （y－1）2 2. 把多项式4a2b＋4ab2＋b3分解因式正确的是（　B　） A. a（2a＋b）2 B. b（2a＋b）2 C. （a＋2b）2 D. 4b（a＋b）2 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3. 分解因式： （1）a＋2ab＋ab2＝ 　a（b＋1）2　. （2）3ax2－6axy＋3ay2＝ 　3a（x－y）2　. 4. 把下列各式分解因式： （1）ax2－2ax＋a； 解：原式＝a（x2－2x＋1）＝a（x－1）2. （2）2x2y－8xy＋8y. 解：原式＝2y（x2－4x＋4）＝2y（x－2）2. a（b＋1）2　 3a（x－y）2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 先提公因式再运用平方差公式 5. 多项式4x－x3分解因式的结果是（　B　） A. x（4－x2） B. x（2－x）（2＋x） C. x（x－2）（x＋2） D. x（2－x）2 6. 把多项式x2（x－y）－y2（x－y）分解因式，正确的是（　A　） A. （x－y）2（x＋y） B. （x－y）（x2－y2） C. （x－y）（x2＋y2） D. （x－y）3 7. （1）（2024·东营中考）分解因式：2a3－8a＝ 　2a（a＋2）（a－2）　. （2）（2024·北京中考）分解因式：x3－25x＝ 　x（x＋5）（x－5）　. B A 2a（a＋2）（a－2）　 x（x＋5）（x－5）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 因式分解的应用 8. （2024·广西中考）如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为 （　D　） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 9. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种利用“因式分解”法产生的 密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4－y4，分解因式的结果是（x－y） （x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9，则各因式的值为x－y＝0，x＋y＝ 18，x2＋y2＝162，于是把018162作为一个六位数的密码.对于多项式4x3－xy2， 取x＝12，y＝8时，用上述方法产生的密码是 　123216（答案不唯一）　.（写 出一个即可） D 123216（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10. 应用意识　如图所示，在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，若R＝8 cm，r＝1 cm，请你计算剩余部分的面积.（结果保留π） 解：剩余部分的面积为πR2－4πr2＝π（R－2r）·（R＋2r）（cm2）.　 当R＝8 cm，r＝1 cm时， 原式＝π（8－2）×（8＋2）＝60π（cm2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11. 已知296－1可以被在60至70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？ 解：296－1＝（248）2－1 ＝（248＋1）（248－1） ＝（248＋1）[（224）2－1] ＝（248＋1）（224＋1）（212＋1）（26＋1）（26－1）. 其中26＋1＝65，26－1＝63， 所以这两个整数是65，63. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 分解不彻底 12. 分解因式：a3－9a＝（　A　） A. a（a－3）（a＋3） B. a（a2＋9） C. （a－3）（a＋3） D. a2（a－9） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13. 分解因式3y4－3x4的结果是（　B　） A. 3（y2＋x2）（y2－x2） B. 3（y2＋x2）（y－x）（y＋x） C. 3（y2＋x2）（y－x）2 D. 3（y＋x）2（y－x）2 B 14. 多项式①4x2－x；②（x－1）2－4（x－1）；③1－x2；④－4x2－1＋4x分 解因式后，结果中含有相同因式的是（　D　） A. ①和② B. ③和④ C. ①和④ D. ②和③ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15. 阅读理解　如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整 数为“智慧数”，如：因为16＝52－32，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数 中不是“智慧数”的是（　B　） A. 2 021 B. 2 022 C. 2 023 D. 2 024 16. 分解因式：x2（x－2）＋16（2－x）＝ 　（x－2）（x＋4）（x－4）　. 17. 已知x，y满足 则8x3y－8x2y2＋2xy3＝ 　6　. B （x－2）（x＋4）（x－4）　 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18. 运算能力　把下列各式分解因式： （1）m3－16m； 解：原式＝m（m2－16）＝m（m＋4）（m－4）. （2）9a2（x－y）＋4b2（y－x）； 解：原式＝（x－y）（9a2－4b2） ＝（3a＋2b）（3a－2b）（x－y）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （3）－2a3＋12a2－18a； 解：原式＝－2a（a2－6a＋9）＝－2a（a－3）2. （4）（m－n）·（3m＋n）2＋（m＋3n）2（n－m）. 解：原式＝（m－n）[（3m＋n）2－（m＋3n）2] ＝（m－n）（3m＋n＋m＋3n）（3m＋n－m－3n） ＝8（m－n）2（m＋n）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19. 如图所示，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方 形孔. （1）求图中阴影部分的面积.（用含a，b的式子表示） 解：（1）2a·a－2b2＝2（a2－b2）. （2）用分解因式的方法计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积. 解：（2）当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积＝2（a2－b2）＝2（a＋b） （a－b）＝2×（15.7＋4.3）×（15.7－4.3）＝456. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20. 阅读理解： 整体代换是一个重要的数学思想方法. 例如：计算4（a＋b）－7（a＋b）＋（a＋b）时可将（a＋b）看成一个整 体，合并同类项得－2（a＋b），再利用乘法分配律去括号得－2a－2b.同时， 我们也知道：代数的基本要义就是用字母表示数使之更具一般性.所以，在计算 a（a＋b）时，同样可以利用乘法分配律得a2＋ab. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （1）请你尝试着把（a－2）或（b－2）看成整体计算（a－2）（b－2）. 解：（1）将（a－2）看成一个整体： （a－2）（b－2） ＝（a－2）b－（a－2）×2 ＝ab－2b－2a＋4. 将（b－2）看成一个整体： （a－2）（b－2） ＝a（b－2）－2（b－2） ＝ab－2a－2b＋4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （2）创新应用：如果两个数的乘积等于它们的和的两倍，那么我们称这两个数 为“积倍和数对”.即：若ab＝2（a＋b），则a，b是一对“积倍和数对”， 记为（a，b）.例如：因为3×6＝2×（3＋6），所以3和6是一对“积倍和数 对”，记为（3，6）.请你找出所有a，b均为整数的“积倍和数对”. 解：（2）因为ab＝2（a＋b），所以（a－2）（b－2）＝4. 因为a，b均为整数，所以a－2＝1，－1，2，－2，4，－4， b－2＝4，－4，2，－2，1，－1， 所以所有的（a，b）有（3，6），（1，－2），（4，4），（0，0），（6， 3），（－2，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $$第8章整式乘法与因式分解 8.4因式分解 2.公式法第3课时分组分解法 通基仙 >>>》>>>>>>>>>>>>>>》>>》>》>>>>>>>> 知识点1”分组后能提取公因式 1.多项式1+a+b+ab分解因式的结果是(B A.(a-1)(b-1) B.(a+1)(b+1) C.(a+1)(b-1) D.(a-1)(b+1) 2.分解因式： (1)a2b+ab2-a-b=(ab-1)(a+b) (2)2ac-6ad+bc-3bd=(c-3d)(2a+b) (3)ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y) 1口2口456园891 知识点2”分组后能运用公式 3.多项式ab一bc+a2一c2分解因式的结果是(A) A.(a-c)(a+b+c) B.(a-c)(a+b-c) C.(a+c)(a+b-c) D.(a+c)(a-b+c) 4.分解因式：4x2-y2+2y-1=(2x+y-1)(2x-y+1) 123+幻36890 5.把下列各式分解因式： (1)x2+xy-2x-2yz: 解：x2+y-2x-2z=(x2+y)-(2x+2z)=x(x+y)-2z(x +y)=(x十y)(x-2z). (2)x2-4y2-6x-4y+8: 解：x2-4y2-6x-4y十8 =(x2-6x+9)-(4y2+4y+1) =(x-3)2-(2y+1)2 =(x-3+2y+1)(x-3-2y-1) =(x+2y-2)(x-2y-4). 123456s901 (3)m2-4mn-3m+6n+4n2. 解：2-4mn一3m+6n+4n2=2-4mn+4n2-3m十6n=(m-2n)2-3 (m-2n)=(m-2n)(m-2n-3). 1234568901 通能力> >>>>>>>>>>>>》>>>>%>32>》>>>>>>>> 6.多项式x2-10xy+25y2+2(x-5y)分解因式的结果是(B) A.(x+5y)(x-5y-2) B.(x-5y)(x-5y+2) C.(x-5y)(x-5y-2) D.(x+5y)(x-5y+2) 123436幻8901 7.分解因式：4x2-6x-12xy+18y=2(x-3y)·(2x-3) 8.若b+a=3,则9一6a+a2-b2的值为0 9.已知整式A=4x2+4x一24. (1)将整式A分解因式， 解：(1)A=(4x2+4x+1)-25 =(2x+1)2-52 =[(2x+1)+5(2x+1)-5 =4(x+3)(x-2). (2)请说明：若x取整数，则A能被4整除. 解：(2)因为x取整数，所以x十3和x一2均为整数， 又由(1)可知，A=4(x十3)(x一2)，所以A能被4整除. 1234567]89101 10.分解因式：(ab+cd)(a2-b2+c2-dP)+(ac+bd)(a2+b2- c2- 解：原式=(ab+cd)(a2-P)+(ab+cd)(c2-b2)+(c+bd) (a2-P)+(ac+bd)(b2-c2) =(a2-)(ab+ac+bd+cd)+(b2-c2)ac+bd-ab-cd) =(a2-P)(a+d)(b+c)-(b2-c2)(a-d)(b-c) =(a+d)2(a-d)(b+c)-(b-c)2(b+c)(a-d) =(a-d)(b+c)[(a+d)2-(b-c)2] =(a-d)(b+c)(a+b-c+d)(a-b+c+d). 123436789101 通素养 >》>3>》>》>>>>>>>>》>>2>》>>>>>>> 11.先阅读后解题. 已知m2+2m+n2一6n+10=0,求m和n的值. 解：把等式的左边变形：(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0, 即(m+1)2+(n-3)2=0. 因为(m+1)2≥0，(n一3)2≥0， 所以m+1=0,n一3=0，即m=一1，n=3. 利用以上解法，解下列问题：己知x2一4x十2+y+4=0,求x和y的值. 12343689101 解：把等式左边变形：（x2-4x+4)+(y2+y+)=0,即(x一2)2 +(0y+)=0. 因为(x-2)≥0，(y+》≥0， 所以x-2=0,y+0,所以x=2,y=-是 12343689101▣第8章 整式乘法与因式分解 8.2整式乘法 1.单项式与单项式相乘 通基础 >》3>》>》>>>>D>D>>》>>>>5>>>>》>>5 知识点1 单项式乘以单项式 1.计算2x3x2的结果是(DD) A.5x2 B.6x2 C.5x3 D.6x3 2.若一×（一y)2=4x2y,则横线上应填的单项式是B(B A.-4y B.4y C.4xy D.-2xy 3.计算a(一ab2)2的结果是AA) A.as b4 B.ab4 C.-as b4 D.-a4b4 1☐23456789101123145671819202122 44.讲傷(-〉-特男果等于卫谢 5.计算：`06a2b·a2b2-(-10a）·a2b3= 65若算n92bT29a)好盒三器mk=二&_· 203 6.若(m)·(4)=12x2,则m=3,百 8 12345678910111231451671819202122 7.计算： (1)5a3b·(-a)4.(-b2)2: 解：5ab·（-a)4.(-b2)2=5ab. (2)(-2y3)2.(-y）3: 解：原式=4x2y6.(-xr3y3)=一4xr5y. (3)a4.4+(a2)4-(-3a4)2: 解：原式=十m8一98=一7a (4)(2abc)×(-3a)2×(-c); 解：原式=(2abc)×(9a2)×(一c)=一18abc2. 123456789101123145161819202122 (⑤)3b(←a2abp3t2af22.b2). 解解：34h(-a奶b并a(223奶b） =—342#332 0. 12345678910111231451671819202122 知识点2 单项式乘以单项式的实际应用 8.卫星绕地球的运动速度为7.9×10米/秒，则卫星绕地球运行一天走的路程 是6.82压⑥X米 9.在手工制作课上，王刚做了一个长方体教学模具，已知长为4×10？毫米，宽为 3×102毫米，高为2×102毫米，这个长方体的体积是2.1.40102立方毫米. 123456789☐01123145167181920222 1Q0.有一块长捌m、宽为始的的斥形形窀地现要热地规戈映技为x 、宽头严韵方形金艳用手绿化：黍绿化韵雷餐和下韵程. 解解：长形塔0面积是13， 绿的踊预姨王女足元-灯四入， 20 剩下的面积是xy一gy三y (m2） 剩下的面积是y 20=20 (m2). 1234567891011231451671892022 通能力 >>23>》>》>>>>》》>>>2》》>2>2>>>>>>》 11.若8+5.y2b-3.(一0.25y+5xb)=一2x4y3,则a一b的为（D) A.-1 B.5 C.1 D.-5 112.弹项试一2⑧一与片x3*廿是是类项则两则两殚项的式积是 A.xy6 B.-x2y3 C.-x2y3 D.-x 13.若x3y+1.xm+ny2n+2=xy9,则4m一30=10. 14.已知单项式3x2y3与一5x2y2的积为mx4y,那么m一m20二20 15.计算：(2a-1b2)2.(-a2b3)·(ab-2士4fb二4b 123456789101☐23▣56718920222 16.运算能力 计算： ()3b(-号aby+(ab)3: 解：原式=一2b3十b3=-ab. (2)(-2x2y)3+8(x2)2.(-x2)·(-y)3 解：原式=-8x6y3+84.(-x2)·(-y3)=-8y3+8xy3=0. 12345678910111231451671819202122 17.已知A=3x2,B=-2y2,C=-x2y2,求A·B2.C的值 解：A·B2.C=(3x2)(-2y2)2(-x2y2)=(3x2)·(4x2y) ( x2y2) 88惹m中与斗4y°52”的獭与二44是项求求m?的值的值. 解解：因为%+石，=="m8335”3二m 烟的灯%+与xyym的积的积与魁同类是同类项， 所匠多=4， 2n-3-m=1, 解得m=2,n=3. 123456789101121314516171819202122第8章整式乘法与因式分解 8.1幂的运算 2.幂的乘方与积的乘方第2课时 积的乘方 通基础 2》2》2》2》22)2》2>》>>2》>2>》>>>2》2>2 知识点1 积的乘方法则 1.计算(x2y)2的结果是(B B) A.xoy B.xy2 C.x5y D.x5y2 2.计算（一2x2)3的结果是(DD ) A.-6x5 B.6x3 C.8x6 D.-8x6 3.计算（一x3y)2的结果是y2· 1☐23456789101123145617181920212223 知识点2 积的乘方法则的逆用 4.am=2,bm=5,则(ab)M0一10 5.已知xm=5,ym=3,求(y)2m的值. 解：（y）2m=(x"·y)2=（5X3)2=225. 11345☐67891012131456171819202222 66.利用做乘防运算法则进行简便运算： }(×8: 解牌：（}曝式≡(27三停293=729. 佰 （3}曝武≡（的万传×2）°=(（)°=4 11345678910123145161718192021223 知识点3 积的乘方法则的应用 77.可逝似地看作是球体，如果用，r分别例我表錄褓职伴径那绑么V 一一元3日本的岭径次10°千米，则它的体积大约是多少立方干米？ (c38) 翰解：专(X10俨)×3次33×101113322008（à府乘米）· 12345678910123145161718192022223 )错固 只注重字母，而忽视数字因数 8.化简（一3m4n3)2的结果是(CC) A.3 m8no B.6m8 n6 C.9m8no D.9m16n9 113456891012131456178192022223 通能力> >>》》3》2》3>3>>》>>>>》》>》>》>>>》9》》》 9.如果（a2b3)m=abm,那么m,n的值分别B(B) A.m=3,n=2 B.m=6,n=2 C.m=5,n=2 D.m=3,n=1 10.计算-(-2x3y4)4的结果是(BB) A.16x12y16 B.-16x12y16 C.16x7y8 D.-16x7y8 113456789☐1012131456171819202222 11.已知x=2,=3,则（x2y)2m左(A) A.144 B.72 C.48 D.96 112.若y3三一22，则侧产主4 133.壤《=3程e3)2bb22bbcb的结酷果是h夏企一 144.已朔83则聘地m子42冯的僖晶是二36 15.尼知乐三1！23，则则石)G的值男的值为_2一· 11345678910121314▣156178192021223 16.计算：[2(a-b)2+[(a-b)]3-[-(a-b)23. 解：原式=4(a-b)6十(a-b)6十(a-b)6=6(a-b)6 17.在一次测验中有这样一道题：“若|a|=2,|b|=3,求(ab) 2m的 值.”小丽是按如下方法解的：(ab)2n=(a·b)2=(2×3)2= 解，错第二步.因为a,b的取值范围没有确定，所以（·b)2= 卷发3浓后，小丽这道题却没得分，而答案就是36，你知道问题出在哪吗？ 更聯麟麟：是器：因时的|”|=，b%1十女3， 瓶以()%三42歌h示≤(2)(”厅)4」2·船于24丝×9 =3说 11345678910112131451617181920212223 18.若A=（2xy2)3-x3.(y3)2,B=5x3y6,则当x=3,y=1 时，求A一B的 解：.因为A=(2y2)3一x3.（y)2=8x3y6一x3y6=7x3y, 所以A一B=7x3y6一53y=2x3y 当x=3,y=1时，A-B=2x3y=2X33X16=54. 19.一个正方体的棱长是2×103cm,则这个正方体的表面积和体积分别是多少？ 解：表面积：2×103×2×10×6=24×106=2.4×107(cm2). 体积：(2×103)3=8×109(cm3). 答：这个正方体的表面积是2.4×107cm2,体积是8×10cm3. 1234567891011213145161781920212223第8章　整式乘法与因式分解 8.1　幂的运算 3.同底数幂的除法　第1课时　同底数幂的除法 同底数幂的除法法则 1. 化简x6÷x2的结果是（　B　） A. x8 B. x4 C. x3 D. x 2. （2024·资阳中考）下列计算正确的是（　D　） A. a3＋a2＝a5 B. a3－a2＝a C. （a2）3＝a5 D. a5÷a2＝a3 3. 计算：m3÷（－m）2＝ 　m　. B D m　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4. 计算：（p－q）4÷（q－p）3＝ 　q－p　. 5. 计算：（a＋2b）m＋1÷（a＋2b）m－3÷（a＋2b）＝ 　（a＋2b）3　. 6. 运算能力　计算： （1）（－a）6÷（－a）3； 解：原式＝（－a）6－3＝（－a）3＝－a3. （2）（－2bc）7÷（－2bc）5； 解：原式＝（－2bc）7－5＝（－2bc）2＝4b2c2. （3）（－x）7÷（－x）3÷（－x）2. 解：原式＝（－x）7－3－2＝x2. q－p　 （a＋2b）3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 同底数幂的除法法则的逆用 7. 若a＞0，且am＝2，an＝3，则am－n的值为（　C　） A. －1 B. 1 C. D. 8. 若3x＝4，3y＝6，则3x－2y的值是（　A　） A. B. 9 C. D. 3 9. 若5n＝3，25m＝11，求53n－2m的值. 解：因为5n＝3，25m＝11， 所以（52）m＝11，即52m＝11， 所以53n－2m＝ ＝ ＝ ＝ . C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 混淆有关法则 10. 下列运算结果不是m4的是（　C　） A. （－m2）2 B. m·m3 C. m6－m2 D. m6÷m2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11. 已知2a＝3，8b＝4，则23a－3b＋1的值为（　D　） A. 25 B. －2 C. －1 D. 12. 若a＝ ，b＝ ，则下列结论正确的是（　A　） A. a＝b B. a＜b C. a＞b D. ab＝1 13. 若2x－3y＋z－2＝0，则16x÷82y×4z的值为（　A　） A. 16 B. －16 C. 8 D. 4 D A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14. 计算a8÷（a3）2的结果是 　a2　. 15. 创新意识　根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E与震级n的关系为E＝10n，那么9级地震所释放出的相对能量是6级地震所释放出的相对能量的 　103　倍. 16. 人们以分贝为单位来表示声音的强弱.通常说话的声音是50分贝，它表示声音 的强度是105；摩托车发出的声音是110分贝，它表示声音的强度是1011.摩托车的 声音强度是说话声音强度的 　106　倍. a2　 103　 106　 17. 阅读理解　对于整数a，b，我们定义：a▲b＝10a×10b，a△b＝10a÷10b.例如：5▲3＝105×103＝108，5△3＝105÷103＝102，则（2▲1）－（6△3）的值为 　0　. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18. 运算能力　计算： （1）（－2m2）3＋m7÷m； 解：原式＝（－2）3×（m2）3＋m6 ＝－8m6＋m6 ＝－7m6. （2）（－a）5·（－a3）4÷（－a）2. 解：原式＝（－a）5·a12÷（－a）2 ＝－a5·a12÷a2 ＝－a5＋12－2 ＝－a15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19. 已知（xa÷x2b）3÷xa－b与－ x2为同类项，求4a－10b＋6的值. 解：（xa÷x2b）3÷xa－b ＝（xa－2b）3÷xa－b ＝x3a－6b÷xa－b ＝x2a－5b. 由（xa÷x2b）3÷xa－b与－ x2为同类项，得 2a－5b＝2. 两边都乘以2，得4a－10b＝4， 两边都加6，得4a－10b＋6＝4＋6＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20. 已知am＝2，an＝4，ak＝32（a≠0）. （1）求 的值. 解：（1）因为am＝2，an＝4，ak＝32（a≠0）， 所以am＋n－k＝am·an÷ak＝2×4÷32＝ . （2）求k－3m－n的值. 解：（2）因为ak÷a3m÷an＝ak－3m－n， 所以ak÷a3m÷an＝32÷23÷4＝4÷4＝1＝a0， 所以ak－3m－n＝a0，所以k－3m－n＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21. 阅读理解　阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔.纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前， 直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系. 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫作以a为底N的对 数，记作：x＝logaN. 比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525 可以转化为52＝25. 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M·N）＝logaM＋logaN （a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）.理由如下： 设logaM＝m，logaN＝n， 则M＝am，N＝an， 所以M·N＝am·an＝am＋n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 由对数的定义，得m＋n＝loga（M·N）. 又因为m＋n＝logaM＋logaN， 所以loga（M·N）＝logaM＋logaN. 解决以下问题： （1）将指数式43＝64转化为对数式为 　3＝log464　. 3＝log464　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 （3）拓展运用：计算log32＋log36－log34＝ 　1　. 解：（2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， 所以 ＝ ＝am－n. 由对数的定义，得m－n＝loga . 又因为m－n＝logaM－logaN， 所以loga ＝logaM－logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 （2）说明loga ＝logaM－logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）. $$第8章　整式乘法与因式分解 8.3　完全平方公式与平方差公式 第2课时　平方差公式 平方差公式 1. 下列等式能用平方差公式计算的是（　C　） A. （x＋3）（x－2） B. （－1－3x）（1＋3x） C. （b＋a2）（a2－b） D. （3x＋2）（2x－3） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2. 下列计算正确的是（　C　） A. a3·a2＝a6 B. （a2）5＝a7 C. （－2a3b）3＝－8a9b3 D. （－a＋b）（a＋b）＝a2－b2 3. 计算： ＝ 　 a2－ b2　. 4. 计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝ 　216－1　.（结果可用幂的 形式表示） C a2－ b2　 216－1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5. 化简： （1） （0.5x－3y）； 解：原式＝ ＝ －（3y）2＝ x2－9y2. （2）（m2－7n）（m2＋7n）； 解：原式＝（m2）2－（7n）2＝m4－49n2. （3）（k－1）（k2＋1）（k＋1）； 解：原式＝[（k－1）（k＋1）]（k2＋1）＝（k2－1）（k2＋1）＝k4－1. （4）（x＋2y）（x－2y）－2y（x－2y）＋2xy. 解：原式＝x2－4y2－2xy＋4y2＋2xy＝x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 平方差公式的几何意义 6. 几何直观　根据如图所示的面积关系，可以得到的恒等式是（　B　） A. m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc B. （a＋b）（a－b）＝a2－b2 C. （a－b）2＝a2－2ab＋b2 D. （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7. 在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪 开，如图①所示，然后拼成一个梯形，如图②所示.根据这两个图形的面积关 系，用等式表示是 　a2－b2＝（a＋b）（a－b）　. a2－b2＝（a＋b）（a－b）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 平方差公式的应用 8. 若a＋b＝3，a2－b2＝15，则a－b的值为（　C　） A. 12 B. 8 C. 5 D. 3 9. 如果一个长方形的长是（x＋3y）米，宽是（x－3y）米，则该长方形的面积 是 　（x2－9y2）　平方米. C （x2－9y2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10. 运算能力　利用平方差公式计算： （1）9.8×10.2； 解：原式＝（10－0.2）×（10＋0.2）＝100－0.04＝99.96. （2）2 0242－2 023×2 025. 解：原式＝2 0242－（2 024－1）×（2 024＋1）＝2 0242－（2 0242－12）＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 混淆平方差公式与完全平方公式 11. 在下列各式中，能用平方差公式计算的是（　B　） A. （3a＋b）（a－b） B. （－3a－b）（－3a＋b） C. （3a＋b）（－3a－b） D. （－3a＋b）（3a－b） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12. 若（2x＋3y）（mx－ny）＝9y2－4x2，则m，n的值为（　C　） A. m＝2，n＝3 B. m＝2，n＝－3 C. m＝－2，n＝－3 D. m＝－2，n＝3 13. 已知 是方程组 的解，则（a＋b）（a－b）的值 为（　B　） A. 25 B. 45 C. －25 D. －45 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14. 已知A＝1 234 567×1 234 569，B＝1 234 5682，比较A，B的大小，则 A 　＜　B. 15. 若x2＋4x－2＝0，则3（x－2）2－6（x＋1）·（x－1）的值是 　12　. 16. （2024·芜湖期末）如图所示，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图 中阴影部分的面积是 　12　. ＜　 12　 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17. 乘法公式的探究及应用： （1）如图①所示，可以求出阴影部分的面积是 　a2－b2　.（写成两数平方差的 形式） （2）如图②所示，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽 是 　a－b　，长是 　a＋b　，面积是 　（a＋b）（a－b）　. （写成多项式乘法的形式） （3）比较①，②两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式： 　（a＋b）（a －b）＝a2－b2　.（用式子表达） a2－b2　 a－b　 a＋b　 （a＋b）（a－b）　 （a＋b）（a －b）＝a2－b2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （4）运用你所得到的公式，计算下列式子： （2m＋n－p）（2m－n＋p）. 解：（2m＋n－p）（2m－n＋p） ＝（2m）2－（n－p）2 ＝4m2－（n2－2np＋p2） ＝4m2－n2＋2np－p2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18. （2024·马鞍山期末）下面是聪聪同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并 完成相应任务. 计算：（3x＋1）（3x－1）－（2x－1）2. 解：原式＝9x2－1－（4x2－2x＋1）…第一步 ＝9x2－1－4x2＋2x－1…第二步 ＝5x2＋2x－2.…第三步 任务一：①以上解题过程中，第一步需要依据 　平方差公式　和 　完全平方　公 式进行运算. ②第 　一　步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 　完全平方公式使用 错. 任务二：请直接写出本题的正确结果. 解：原式＝9x2－1－（4x2－4x＋1）＝9x2－1－4x2＋4x－1＝5x2＋4x－2. 平方差公式　 完全平方　 一　 完全平方公式使用错误 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19. 推理能力　观察：（2＋3）2－22＝7×3；（4＋3）2－42＝11×3.　 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除. 验证： （1）（6＋3）2－62的结果是3的 　15　倍. 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说 明理由. 解：（3）余数为3，理由如下： 设任意整数为n，比n大3的数为n＋3， （n＋3）2－n2＝（n＋3＋n）（n＋3－n）＝6n＋9＝6（n＋1）＋3，所以6 （n＋1）＋3被6除余3. （2）设偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 解：（2）由题意得偶数为2n，比2n大3的数为（2n＋3）， 所以（2n＋3）2－（2n）2＝（2n＋3＋2n）（2n＋3－2n）＝3（4n＋3）. 因为4n＋3为整数， 所以3（4n＋3）能被3整除. 延伸： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$第8章　整式乘法与因式分解 阶段检测二 （8.1～8.2） 一、选择题 1. 在下列各数中，负数是（　B　） A. －（－2） B. －｜－1｜ C. （－1）0 D. 1－2 2. （2024·济南中考）下列运算正确的是（　D　） A. 3x＋3y＝6xy B. （xy2）3＝xy6 C. 3（x＋8）＝3x＋8 D. x2·x3＝x5 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3. （2024·宜宾中考）下列计算正确的是（　C　） A. a＋a＝a2 B. 5a－3a＝2 C. 3x·2x＝6x2 D. （－x）3÷（－x）2＝x C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4. （2024·威海中考）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科 学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作， 成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息 的技术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的速 度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复 杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间.将“百万分 之一”用科学记数法表示为（　B　） A. 1×10－5 B. 1×10－6 C. 1×10－7 D. 1×10－8 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5. 计算x（y－z）－y（z－x）＋z（x－y），结果正确的是（　A　） A. 2xy－2yz B. －2yz C. xy－2yz D. 2xy－xz 6. 已知a，b为常数，对于任意x的值都满足（x－10）（x－8）＋a＝（x－ 9）（x－b），则a＋b的值为（　B　） A. 8 B. 10 C. －8 D. －10 7. 已知a＝1.6×109，b＝4×103，则a2÷2b＝（　D　） A. 2×107 B. 4×1014 C. 3.2×1015 D. 3.2×1014 A B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8. 数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复 习，发现一道题：－7xy（2y－x－3）＝－14xy2＋7x2y□，□的地方被钢笔水弄 污了，你认为□内应填写（　A　） A. ＋21xy B. －21xy C. －3 D. －10xy A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二、填空题 9. 如果xny4与2xym相乘的结果是2x5y7，那么mn＝ 　12　. 10. 若m＝n＋3，则2m÷2n＝ 　8　. 11. 若等式（6a3＋3a2）÷（6a）＝（a＋1）（a＋2）成立，则a的值 为 　－ 　. 12　 8　 － 12. 若□·（－3xy2）＝－6x2y3，则□内应填的代数式是 　2xy　. 13. 若规定一种新的运算：a@b＝a÷b2，则（2xy2）@（－y）＝ 　2x　. 2xy　 2x　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14. 几何直观　如图所示，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，若 要拼一个长为（a＋2b）、宽为（a＋b）的大长方形，则共需要这三类卡 片 　6　张. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 三、解答题 15. 计算：（－2a3）2·3a3＋6a12÷（－2a3）. 解：原式＝4a6·3a3＋（－3a9）＝12a9－3a9＝9a9. 16. 已知多项式（a＋1）x3－2xb－1＋4x－1是关于x的二次三项式. （1）求a，b的值. 解：（1）因为多项式（a＋1）x3－2xb－1＋4x－1是关于x的二次三项式， 所以a＋1＝0，b－1＝2， 解得a＝－1，b＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （2）利用（1）中的结果先化简，再求值：2（3a2b－2ab2）－3（1－ab2－ 2a2b）－3. 解：（2）原式＝6a2b－4ab2－3＋3ab2＋6a2b－3＝ 12a2b－ab2－6， 当a＝－1，b＝3时， 原式＝12×（－1）2×3－（－1）×32－6 ＝12×1×3＋9－6 ＝36＋9－6 ＝39. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17. 已知2x＋n与x2－3x＋m的乘积中不含x2项，且一次项的系数为2，求m， n的值. 解：（2x＋n）（x2－3x＋m）＝2x3－6x2＋2mx＋nx2－3nx＋mn＝2x3＋ （n－6）x2＋（2m－3n）x＋mn. 因为2x＋n与x2－3x＋m的乘积中不含x2项，且一次项的系数为2， 所以n－6＝0且2m－3n＝2， 解得m＝10，n＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18. （2024·宿州期中）（1）若26＝a2＝4b，求a＋b的值. 解：（1）因为26＝a2＝4b， （2）已知a6b3·（a4b2）y＝（a2b）x，求4x－8y＋9的值. 所以26＝（23）2＝a2＝（22）b＝22b， 所以82＝a2＝22b， 所以a＝±8，2b＝6，解得a＝±8，b＝3， 当a＝8，b＝3时，a＋b＝8＋3＝11； 当a＝－8，b＝3时，a＋b＝－8＋3＝－5. 所以a＋b的值为11或－5. （2）a6b3·（a4b2）y＝（a2b）x， a6b3·a4yb2y＝a2xbx， a6＋4yb3＋2y＝a2xbx， 所以3＋2y＝x，即x－2y＝3， 所以4x－8y＋9＝4（x－2y）＋9＝4×3＋9＝12＋9＝21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19. 如图所示的是人民公园的一块长为（2m＋n）米，宽为（m＋2n）米的空 地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）. （1）请用m，n表示观景台的面积.（结果化为最简） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解：（1）阴影部分的面积为： （2m＋n）（m＋2n）－mn－（m－n）2－（2m＋n）（m－n） ＝2m2＋4mn＋mn＋2n2－mn－（m2－2mn＋n2）－ （2m2－2mn＋mn－n2） ＝2m2＋4mn＋mn＋2n2－mn－m2＋2mn－n2－2m2 ＋2mn－mn＋n2 ＝－m2＋7mn＋2n2. 答：观景台的面积为（－m2＋7mn＋2n2）平方米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （2）如果修建观景台的费用为200元/平方米，且已知m＝5米，n＝3米，那么修 建观景台需要费用多少元？ 解：（2）当m＝5，n＝3时， 原式＝－25＋7×5×3＋2×9＝98（平方米）， 200×98＝19 600（元）. 答：修建观景台需要费用19 600元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20. （1）已知多项式2x3－4x2－1除以一个多项式A，得商式为x，余式为x－ 1，求这个多项式. 解：（1）根据题意，得A＝[（2x3－4x2－1）－（x－1）]÷x＝（2x3－4x2－ 1－x＋1）÷x＝2x2－4x－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ②你发现的规律： 　当n≠0时，输入一个数，输出时仍为原来的数　. ③请用符号语言验证你的发现. 解：（2）③当n≠0时，（n2＋n）÷n－1＝n＋1－1＝n. 当n≠0时，输入一个数，输出时仍为原来的数　 （2）请按下列程序计算，把答案写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什 么会有这样的规律？ n→平方→＋n→÷n→－1→答案 ①填表格： 输入n 3 2 1 … 输出答案 3 2 1 … 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $$第8章　整式乘法与因式分解 8.1　幂的运算 3.同底数幂的除法　第2课时　零次幂与负整数次幂 零次幂 1. （2024·雅安中考）计算（1－3）0的结果是（　C　） A. －2 B. 0 C. 1 D. 4 2. 若（x－1）0＝1，则（　C　） A. x≥1 B. x≤1 C. x≠1 D. x≠0 3. （2024·重庆中考）计算：｜－2｜＋30＝ 　3　. C C 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 负整数次幂 4. 3－2等于（　D　） A. －9 B. －6 C. 9 D. 5. （2024·合肥期末）若a＝－22，b＝2－2，c＝ ，d＝ ，则 （　B　） A. b＜a＜d＜c B. a＜b＜d＜c C. a＜c＜b＜d D. a＜b＜c＜d D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 计算：（π－3）0＋ ＝ 　－3　. 7. 计算： ＋（－1）3＋ ÷｜－3｜. 解：原式＝1－1＋27÷3＝9. －3　 在含负整数次幂时，运用幂的运算性质出现错误 8. 计算：a－2b2·（a2b－2）－3＝ 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 若式子｜x｜＝（x－1）0成立，则x的取值为（　C　） A. ±1 B. 1 C. －1 D. 不存在 10. 若－2（－3x－2）－3有意义，则x的取值范围是 　x≠－ 　. C x≠－ 　 11. 将代数式3x－2y3表示为只含有正整数指数幂的形式为 　 　. 12. 已知a＝－（100＋π）0，b＝（－10）－1，c＝ ，d＝ ，则最大 值和最小值的和为 　7　. 　 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 计算：（1）－22÷（π－3）0＋ ＋（－1）－2； 解：原式＝－4÷1＋8＋1＝5. （2） － ×（－1）2 024＋ . 解：原式＝ －1×1＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 已知a是大于1的实数，且有a3＋a－3＝p，a3－a－3＝q成立.若p＋q＝4， 求p－q的值. 解：因为a3＋a－3＝p①，a3－a－3＝q②， 由①＋②，得2a3＝p＋q＝4，所以a3＝2. 由①－②，得p－q＝2a－3＝ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （2024·芜湖期末）在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：an＝1 （n为整数）成立时，a，n要满足的条件.请解答下列问题： （1）经过讨论，小郑同学总结了三种使an＝1（n为整数）成立的情形，请帮小 郑同学补充完整： ① ② ③a＝ 　1　. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）若（2x－1）x＋2－1＝0，求x的值. 解：当2x－1＝1时，x＝1； 当2x－1＝－1时，x＝0； 此时指数x＋2＝2为偶数，x＝0符合题意； 当x＋2＝0时，x＝－2， 此时2x－1＝－5≠0，x＝－2符合题意. 综上所述，x的值为1或0或－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第8章　整式乘法与因式分解 本章综合提升 1. 整体思想 　　在研究某些数学问题时，有时不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将 要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结 构或将其整体处理后，达到顺利而简捷地解决问题的目的，这就是整体思想. （1）有关幂的运算问题；（2）有关乘法公式的求值问题；（3）有关因式 分解的应用问题. 　　【例1】　（1）已知x2＋y2＝16，xy＝5，则（x＋y）2的值为 　26　. （2）已知（x＋y）2＝81，xy＝8，则x－y＝ 　±7　. （3）已知x满足（x－125）2＋（x－127）2＝202，则x－126的值 为 　±10　. 26　 ±7　 ±10　 　　【变式训练1】已知a＋b＝10，ab＝－8，求下列各式的值. 　　（1）a2＋b2；　　 解：（1）因为a＋b＝10，ab＝－8，所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝102－ 2×（－8）＝100＋16＝116. 解： （2）因为a＋b＝10，ab＝－8，所以a3b＋2a2b2＋ab3＝ab（a2＋2ab＋b2）＝ab（a＋b）2＝－8×102＝－800. （2）a3b＋2a2b2＋ab3. 2. 数形结合思想 整式乘法或分解因式与图形面积相结合. 　　【例2】应用意识　某校同学在社会实践的过程中，遇到一些各具特色的建 筑（如图所示），有福建土楼，也有新中式风格的传统民宿，同学们对于哪个建 筑的占地面积更大展开了争论. ①组的同学们认为回字形福建土楼占地面积更大； ②组的同学们认为新中式民宿占地面积更大. 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据的测量， 数据如图所示. （1）请你选择一组同学，帮助他们计算建筑物的占地面积为多少？ 解：（1）回字形福建土楼占地面积： （3a＋2b）（2a＋b）－（2b＋a）（b＋a） ＝6a2＋3ab＋4ab＋2b2－2b2－2ab－ab－a2 ＝5a2＋4ab； 新中式民宿占地面积： （a＋a＋b）（2a＋b＋a＋a）－（2a＋b）（a＋b） ＝（2a＋b）（4a＋b）－（2a＋b）（a＋b） ＝（2a＋b）（4a＋b－a－b） ＝（2a＋b）·3a ＝6a2＋3ab. （2）村口王大叔告诉同学们a＝b，两栋建筑的占地面积均为324 m2，a的 值为多少？ 解：（2）因为a＝b，两栋建筑的占地面积均为324 m2， 所以5a2＋4ab＝5a2＋4a2＝9a2＝324，所以a2＝36，所以a＝6（负值舍去）， 即a的值为6. 　　【变式训练2】 如图所示，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有2块是边长都 为m的大正方形，3块是边长都为n的小正方形，7块是长为m，宽为n的全等小 长方形，且m＞n. （1）观察图形，可以发现代数式2m2＋7mn＋3n2可以分解因式为 　（2m ＋n）（m＋3n）　. （2m ＋n）（m＋3n）　 （2）若每块小长方形的周长是20，且每块大正方形与每块小正方形的面积 差为40，求这张长方形纸板的面积. 解：由题意得 解得 所以长方形纸板的面积为（2m＋n）（m＋3n）＝17×16＝272. 1. （2024·合肥包河区二模）空中飘雪前往往先下霰，霰是一种球形小冰晶，其 半径为0.15到1.25毫米，0.15毫米＝0.000 15米.数据0.000 15用科学记数法表示 为（　A　） A. 1.5×10－4 B. －1.5×104 C. 1.5×10－3 D. －1.5×10－3 2. （亳州期末）若A（m2－3n）＝m3－3mn，则代数式A的值为（　A　） A. m B. mn C. mn2 D. m2n A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3. （2024·池州二模）计算：（－a）2·a4的结果是（　B　） A. a8 B. a6 C. －a8 D. －a6 4. （安庆怀宁期末）若等式（x＋2）（x－3）＝x2＋mx＋n对于任意x都成 立，则m＋n的值为（　B　） A. 11 B. －7 C. 5 D. －5 5. （2024·安徽模拟）计算（－xy3）2的结果是（　A　） A. x2y6 B. xy6 C. x2y5 D. －xy5 B B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6. （2024·合肥庐阳区四模）下列运算正确的是（　D　） A. 3a·3b＝6ab B. a6÷a2＝a3 C. （3a3）2＝6a6 D. 2a2b·2ab2＝4a3b3 7. （2024·芜湖无为一模）下列各多项式中，能分解因式的是（　D　） A. a2＋b2 B. a2－ab＋b2 C. －a2－4 D. a2－a＋ D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8. （安庆大观区二模）已知a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则ab可表示为 （　A　） A. c2－ B. 2c2－1 C. c2＋ D. 2c2＋1 9. （2024·淮北二模）若（2x－3）0＝1有意义，则x应满足 　x≠ 　. 10. （2024·亳州二模）计算：a（a＋2）－2a＝ 　a2　.　 A x≠ 　 a2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11. （2024·安徽模拟）分解因式：3a2－27＝ 　3（a＋3）·（a－3）　.　 12. （合肥包河区期中）若实数a，b，c，d满足8a2＋7c2＝16ab，9b2＋4d2＝ 8cd，则a＋b＋c＋d＝ 　0　. 13. （2024·亳州涡阳期末）已知2a＋3b－3＝0，则4a×23b的值为 　8　. 3（a＋3）·（a－3）　 0　 8　 14. （2024·合肥庐阳区期中）已知三个实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，b2－ 4ac＝0且a≠0，那么下列结论一定正确的是 　②③　.（只需要填序号） ①a＝b； ②a＝c； ③b＝－2a； ④b＞c. ②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15. （2024·安庆桐城期末）有一系列等式： 1×2×3×4＋1＝52＝（12＋3×1＋1）2； 2×3×4×5＋1＝112＝（22＋3×2＋1）2； 3×4×5×6＋1＝192＝（32＋3×3＋1）2； 4×5×6×7＋1＝292＝（42＋3×4＋1）2； …. （1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11＋1的结果 为 　892　. 892　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 证明：等式左边＝（n2＋3n）（n2＋3n＋2）＋1＝n4＋6n3＋9n2＋2n2＋6n＋ 1＝n4＋6n3＋11n2＋6n＋1， 等式右边＝（n2＋3n＋1）2＝（n2＋1）2＋2·3n·（n2＋1）＋9n2＝n4＋2n2＋1 ＋6n3＋6n＋9n2＝n4＋6n3＋11n2＋6n＋1，　 那么左边＝右边. （2）试猜想n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1是哪一个数的平方，并予以证明. 解：（2）n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1＝（n2＋3n＋1）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16. （2024·阜阳月考）（1）试说明代数式（s－2t）（s＋2t＋1）＋4t 的值与s，t的取值有无关系. 解：（1）（s－2t）（s＋2t＋1）＋4t ＝s2＋2st＋s－2st－4t2－2t＋ 4t2＋2t＝s2＋s， 故代数式（s－2t）（s＋2t＋1）＋4t 的值与s的取值有关系，与t的取 值无关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2）已知多项式ax－b与2x2－x＋2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项 为－4，试求ab的值. 解：（2）因为（ax－b）（2x2－x＋2）＝2ax3＋（－2b－a）x2＋（2a＋ b）x－2b，　 又因为展开式中不含x的一次项，且常数项为－4. 所以 解得 所以ab＝（－1）2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17. （2024·合肥庐阳区期中）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平 方差一定是4的倍数. （1）【验证】（3＋1）2－（3－1）2＝ 　12　. （2）【证明】设两个正整数为m，n，请验证“发现”中的结论正确. 解：（2）设两个正整数为m，n. 则（m＋n）2－（m－n）2＝（m＋n＋m－n）（m＋n－m＋n）＝ 2m×2n＝4mn， 所以（m＋n）2－（m－n）2能被4整除， 故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数的结论正确. 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （3）【拓展】请说明当两个正整数m，n同为偶数或同为奇数时，这两个数的 积可以表示为两个整数的平方差. 解：（3）由（2）得4mn＝（m＋n）2－（m－n）2， 所以mn＝ － . 因为正整数m，n同为偶数或同为奇数， 所以m＋n，m－n同为偶数，所以 ， 都是整数， 所以mn可以表示为两个整数的平方差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18. （滁州全椒期末）规定 的运算法则是 ＝ad－bc，如 ＝ 2×5－3×1＝7. （1）计算 . 解：（1） ＝（x－3）（x＋3）－（x－1）（x＋2） ＝x2－9－x2－2x＋x＋2 ＝－x－7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2）若 ＜－2，求x的取值范围. 解：（2）因为 ＜－2，所以 ×1－（x＋4）× ＜－2， 解得x＞－2，即x的取值范围是x＞－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19. （安徽中考）下列计算正确的是（　C　） A. a4＋a4＝a8 B. a4·a4＝a16 C. （a4）4＝a16 D. a8÷a4＝a2 20. （安徽中考）计算x2·（－x）3的结果是（　D　） A. x6 B. －x6 C. x5 D. －x5 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21. （安徽中考）计算（－a）6÷a3的结果是（　C　） A. －a3 B. －a2 C. a3 D. a2 22. （安徽中考）已知三个实数a，b，c满足a－2b＋c＝0，a＋2b＋c＜0， 则（　D　） A. b＞0，b2－ac≤0 B. b＜0，b2－ac≤0 C. b＞0，b2－ac≥0 D. b＜0，b2－ac≥0 23. （安徽中考）分解因式：ab2－a＝ 　a（b＋1）（b－1）　. C D a（b＋1）（b－1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 $$第8章整式乘法与因式分解 8.1幂的运算 2.幂的乘方与积的乘方第1课时 幂的乘方 通基仙 >>3》>3>>>>>>》>>>>>》》>》>3>>>>>>>> 知识点1 幂的乘方法则 1.代数式63×63×63×63×63可表示为(C) A.5X63 B.63+5 C.(63)5 D.(5×6)3 2.化简（一x3)2的结果是（C) A.-x6 B.-x3 C.x6 D.x5 234689012141567189202122224 3.(2024淮北模拟)下列运算正确的是(B) A.a2.a3=a6 B.(a3)2=a5 C.a6-a3=a2 D.2a+2a=4a2 4.(-xk-1)2等于(C) A.-x2k-1 B.-x2k-2 C.x2k-2 D.2x-1 5.计算（一a)2.(a2)3的结果是(A) A.a8 B.-a8 C.a7 D.-a7 1234幻5689101231415671892021222324 6.化简[(x十y)10的结果是(x+y)30 7.运算能力计算： (1)(-m3)4.(-m2)2: 解：（一m)4.(-2)2 =m20. =m24. (2)(x4)2-(x2)4: 解：(x4)2-(x2)4 =x8一x8 =0. 1246789102341671892021222824 (3)-a·a-（a2)3-4×(-a2)3: 解：-a·m-(2)3-4×(-2)3 =--十4 =2. (4)-p2.(-p3)【(-p)3]5. 解：-p2.(-p3)1(-p)35 =-p2…p3…pl5 =-p20. 1234567□89101123141s6718192021222324 知识点2”幂的乘方法则的逆用 8.已知am=2,dn=3,则a3m+2n的值是(D A.6 B.24 C.36 D.72 9.若x十3y一2=0，则2x×8y的值为4 10.已知2a=m,32b=n,a,b为正整数，求23a+10b的值. 解：23a+10b=(24)3X(2b)10=(2a)3X[(25)b12=(2a)3×(32b)2= r3n2. 123468910☐12314s67189202122224 易错固忽略“细节”而致错 11.仔细辨别，认真填写： ①(-m3)4=m2: ②-(m3)4=-m12 ③(-m4)3=-m12; ④[(-m)4]3=m2: ⑤[(-m)3]4=m12 1234567891011123141s16718192021222324 通能力 >>3》》》>>>>>>>>>>>>>>>》>》>>>>>>》> 12.应用意识 已知a=312,b=97,c=275,则a,b,c的大小关系是( 汇 A.a>6>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a 13.计算2(a2)6+(a)4的结果是(A) A.3a2 B.2a12 C.2a8 D.以上都不对 124567891011231416718192021222324 14.已知2m=a,2n=b,则22m+2n用a,b可以表示为(C) A.a2+62 B.2a+2b C.a2b2 D.6ab 15.己知2m+3n=5,则4m×8n=(C) A.16 B.25 C.32 D.64 16.比较255,344,433的大小(C) A.255<344<433 B.433<344<255 C.255<433<344 D.344<433<255 123456891012314151671892021222324 17.若2m=4n+1,27n=3m+1,则m一n的值为(C》 A.1 B.-1 C.5 D.-5 18.计算：(-4)5+(-a5)4=0 19.比较大小：274=813. 20.如果a,b,c满足2a=3,2b=5,2c=135,那么a,b,c满足的等式 是3a十b=c· 21.若3x十2y-3=0,则27x×9y的结果是27· 22.已知n为正整数且x2n=7,则(x3n)2-(x2)2n的值为294 123456891012314156□18192021☐222324第8章整式乘法与因式分解 8.1幂的运算 1.同底数幂的乘法 通基础 >2>2>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>2 知识点1” 同底数幂的乘法法则 1.下列计算正确的是( D) A.x3.x2=2x3 B.x·x3=x3 C.x3.x2=x6 D.x3.x4=x7 2.(2024准南期末)计算a·a·a=a2,则x等于(A) A.10 B.4 C.8 D.9 1☐2346891011231456718920212223 3.计算x·(一x2)·x4的结果是(C) A.x6 B.x7 C.-x7 D.-x8 4.计算：(-c)3.(-c)2m+1=c2m+4 5.计算：105×(-10)4×106=1015 6.(2024芜湖期末)计算(x-y)3.(y-x)=一(x-y)4· 1234☐56幻7l8910112314516718920212223 7.化简： (1)y·(-y)2.y; 解：原式=yy2y3=y+2+3=y6, (2)-p2.(-p)4.(-p)5: 解：原式=-p2·p.(-p)=p2pp=p2+4+5=p1. (3)-(x-y)·(y-x)2.(y-x)3; 解：原式=(y-x)·(y-x)2.(y-x)3=(y-x)1+2+3=(y-x)6 1■L234s67□8910112314516718920212223 (4)(-x2)·x4+(-x2)3; 解：原式=一x6+(一x6)=一x6-x6=一2x6. (5)(a-b)2.(b-a)3.(a-b). 解：原式=(a-b)2-(a-b)3.(a-b) =(a-b)21-(a-b)3·(a-b)=-(a-b)6. 1■234s67□8910112314516718920212223 知识点2” 同底数幂的乘法法则的逆用 8.已知am=6,ad=2,则am+n的值等于(B A.8 B.12 C.36 D.3 9.若2x=5,2y=3,则2+y=15 10.一题多解》己知2x=4,2y=16,求2x+y+13的值： 解：解法1：由2x=4,得x=2;由2y=16,得y=4. 当x=2,y=4时，2x+y+13=22+4+13=219 解法2：2x+y+13=2x2y213=4×16×213=22×24×213=219. 1■234s6789101123141516718920212223 易稻“异底”化为“同底”出现符号错误 11.抽象能力填一填： (1)-a4X(-a)5=2; (2)-a×(-)=2: (3)(-a)4×(-a)=-°： (4)-a×(-a)5=a10 1L23456l8910121314516718920212223 通能力> >》3>3>>>9>>>>>>>>》>>>>》>>>>>>>> 12.已知am=3,a=2,那么am+n+2的值为(C A.8 B.7 C.6a2 D.6+a2 13.已知2x+4=m,用含m的代数式表示2x正确的是(A) A. B. C.m-4 D.4m 14.若x,y为正整数，且2x×22y=29,则x,y的值有(D A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 15.已知4×2a×2a+1=29,且2a+b=8,则aP=9 16.已知2x×16=27,那么x=3 1L234s678910111213141516718920212223 17.用(x十y)的幂的形式表示：(x+y)3.(一x-y)4=(x+y)7 18.计算：(x-y)2.(y-x)3+(x-y)4.(x-y)=0 19.若a3.am.a2m+1=a25,求m的值. 解：因为.m·a2m+1=心3+m+2m+1=a25, 所以3+m+2m+1=25, 解得m=7. 故m的值是7. 1■L234s67891011231451617□18192021223 20.已知8×22m-1×23m=217,求m的值. 解：由题意可得2322m-123m=217. 由同底数幂的乘法法则，得 23+2m-1+3m=217, 即5m+2=17, 解得m=3, 所以m的值是3. 1334567l89101121314516718920☐212223第8章整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 2.公式法第1课时公式法 通 基础 >》5》2》>>2>3>》》》》》>》》>>>>>>>>22>2 知识点1 运用完全平方公式分解因式 1.下列各式能用完全平方公式分解因式的是(D) A.y2-x2+2xy B.y2+x2+xy C.25y2+15y+9 D.4x2+9-12x 2.如果多项式x2一x+16可以分解因式为(x一4)2，那么k的值是(C A.4 B.-4 C.8 D.-8 1口之345678901231456789 33.分解式： }+其三(1) (2) (20244烂州电考2a2-2a+1=(4=1）2_ g4中二得卫五二→ 6ab (3) 9a2-6ab+b2= (4, (4) 28花52： 41 53 33+4420203x2)-2y ( 《8b92-4筋堃年4=（但土b=22:_… （4十市=2)2 1245678910123145671819 知识点2 运用平方差公式分解因式 4.下列多项式不能使用平方差公式分解因式的是(A4) A.-m2-n2 B.-16x2+y2 C.b2-a2 D.4a2-49n2 5.下列各式不能用平方差公式分解因式的是(B) A.-a2+b2c2 B.-x2y2- C.49x2y2-z2 D.16m4-25n2p2 12345☐6789101231456789 66.分解费式 (1)安4三 (2)=+44 x+边 (3)41气= m92品迪D品清1) （5}四49n=(44单苭乎44皿n）· （6}%干A2￥杏2}-型万2）一 （6)（3m+1)2-25（3+奶+23n郢=4)· 1234567891w12314567189 易错 忽略完全平方公式包括“两种”情形 7.(1)若关于x的多项式x2一4mx+16能用完全平方公式进行因式分解， 则常 ±2 数2)丸x2土2十9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值的2土12 (3)若多项式x2一(m一1)x+16能用完全平方公式进行因式分解，则9 或二2 或二1· 1234567891012314567189 通能力> >>3>3>2》2>3>>》>>>》》>》>>>>>>3>>》 8.若x2一6x+a=(bx一3)2，则a,b的值分别为(A) A.9,1 B.-9,1 C.-9,-1 D.9,-1 9.代数式(a-3b)2一4(a-3b)c+4c2可以围成(B) A.(a-3b+3c)2 B.(a-3b-2c)2 C.(a+3b+2c)2 D.(a+3b-2c)2 1234567891012314567189 10.将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成(a+b)2的形式，以下 是 A 四名学生所加的项g.其中错误的是(A) C.4x4 D.4x 1234567891012314567189 11.分解因式x4一1的结果是(CC) A.(x+1)(x-1) B.(x2+1)(x2-1) C.(x2+1)(x+1)(x- 1) B若+624，aP6=1,则(a+1D:-(6-12的值为2 13.若x+y+z=2,x2-（y十z)2=8时，x4y-z=一4· 123456789101☐2314567189 14.阅读理解先阅读材料，再回答问题： 分解因式：(a-b)2-2(a一b)+1. 解：设a-b=M,则原式=MP一2M十1=(M-1)2, 再将a一b=M还原，得原式=(a一b一1)2 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 请你用整体思想分解因式：(x十y)(x十y一6)+9x十旦主二3)2 15.根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：x还6七H88三(Cx廿 2)(x土4) 1234567891011231415671819第8章　整式乘法与因式分解 8.1　幂的运算 3.同底数幂的除法　第3课时　用科学记数法表示绝对值小于1的数 用科学记数法表示绝对值小于1的数 1. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.000 001 56米，数字0.000 001 56用科学记数法表示为（　C　） A. 1.56×10－5 B. 0.156×10－5 C. 1.56×10－6 D. 15.6×10－7 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 跨学科·语文　清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写道：“白日不到处，青春恰 自来.苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.000 008 4米，则数据0.000 008 4用科学记数法表示为（　B　） A. 8.4×10－5 B. 8.4×10－6 C. 8.4×10－7 D. 8.4×106 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 抽象能力　 用科学记数法表示为a×10n的形式，则下列说法正确的是（　B　） A. a，n都是负数 B. a是正数，n是负数 C. a，n都是正数 D. a是负数，n是正数 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. （2024·烟台中考）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约 是A4纸厚度的六分之一.已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结 果用科学记数法表示为（　B　） A. 0.15×103纳米 B. 1.5×104纳米 C. 15×10－5纳米 D. 1.5×10－6纳米 5. 据测定，杨絮纤维的直径约为0.000 010 5米，将数据0.000 010 5用科学记数法 表示为 　1.05×10－5　. B 1.05×10－5　 6. （2024·广元中考）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以 表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是 阿秒？1阿秒是10－18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的 单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为 　4.3×10－17　秒. 4.3×10－17　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 还原科学记数法表示的数 7. 某种细胞的直径约为0.…8米.将0.…8米用科学记数法表示为8×10－6米，则原 数中小数点后“0”的个数为（　B　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 若a＝3.2×10－5，b＝7.5×10－5，c＝6.3×10－6，则a，b，c三数的大小 关系为（　C　） A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜a＜b D. c＜b＜a B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 已知1 cm3的氢气重约0.000 09 g，一块橡皮重约45 g. （1）用科学记数法表示1 cm3的氢气质量. 解：（1）0.000 09 g＝9×10－5g. （2）求这块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量的多少倍. 解：（2）45÷0.000 09＝500 000＝5×105， 故这块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量的5×105倍. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成 功.经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深 为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米？（结果保留到百分 位，并用科学记数法表示） 解：因为10年＝120个月，1厘米＝10－2米. 所以平均每个月小洞的深度增加： 10－2÷120 ＝（1÷120）×10－2 ≈0.008 33×10－2 ＝8.33×10－3×10－2 ＝8.33×10－5（米）， 答：平均每个月小洞的深度增加8.33×10－5米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第8章　整式乘法与因式分解 专题三　整式的运算以及化简求值 整式的混合运算 1. 计算： （1）（2x－1）2＋（1－2x）（1＋2x）； 解：（2x－1）2＋（1－2x）（1＋2x） ＝4x2－4x＋1＋1－4x2 ＝－4x＋2. （2）（x＋2）（x－3）－x（x＋1）； 解：（x＋2）（x－3）－x（x＋1） ＝x2－3x＋2x－6－x2－x ＝－2x－6. 1 2 3 4 5 6 7 8 （3）（a－b－3）（a－b＋3）； 解：（a－b－3）（a－b＋3） ＝（a－b）2－9 ＝a2－2ab＋b2－9. （4）[（a＋1）（a＋2）－2]÷a. 解：[（a＋1）（a＋2）－2]÷a ＝（a2＋3a＋2－2）÷a ＝a＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 化简： （1）[（2x＋3y）（2y－3x）＋（x＋4y）（4y－x）＋7x2]÷y； 解：原式＝（4xy－6x2＋6y2－9xy＋16y2－x2＋7x2）÷y ＝（22y2－5xy）÷y ＝22y－5x. （2）（2a＋b）（2a－b）＋b（2a＋b）－8a2b÷2b. 解：原式＝4a2－b2＋2ab＋b2－4a2＝2ab. 1 2 3 4 5 6 7 8 整式的混合运算的实际应用 3. 应用意识　小红家有一块L形的菜地，要把L形的菜地按如图所示方法分成两 块面积相等的梯形，种上不同的蔬菜.这两个梯形的上底都是a m，下底都是b m，高都是（b－a）m. （1）求小红家这块L形菜地的面积.（用含a，b的代数式表示） 解：（1）（b＋a）（b－a）＝（b2－a2）m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）若a2＋b2＝50，ab＝7，求小红家这块L形菜地的面积. 解：（2）因为a2＋b2＝50，ab＝7， 所以（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝50＋14＝64， 即a＋b＝8（负值舍去）. （a－b）2＝a2－2ab＋b2＝50－14＝36， 即b－a＝6（负值舍去）， 所以（b＋a）（b－a）＝8×6＝48， 则这块L形菜地的面积为48 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 4. A，B两种商品的售价都是a元/件，由于市场原因，A商品提价m％后，再降 价n％进行销售，销售了100件；B商品降价m％后，再提价n％进行销售，也销 售了100件（其中m，n都是正整数）.若它们的进价都是每件b元，请问销售 A，B两种商品，哪种获得的利润大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 解：根据题意，得A商品获得的利润为100[（1＋m％）·（1－n％）a－b]＝ [（100＋m）（1－n％）a－100b]元； B商品的利润为100[（1－m％）（1＋n％）a－b]＝[（100－m）（1＋n％） a－100b]元， A商品的利润减去B商品的利润，得（100＋m）（1－n％）a－100b－[（100 －m）（1＋n％）a－100b] ＝（100＋m）（1－n％）a－（100－m）（1＋n％）a ＝（100－n＋m－mn％）a－（100＋n－m－mn％）a ＝（－2n＋2m）a ＝－2（n－m）a. 当n＞m，即n－m＞0时，B商品的利润大；当n＜m，即n－m＜0时，A商 品的利润大；当n＝m，即n－m＝0时，两种商品的利润一样. 1 2 3 4 5 6 7 8 5. （2024·铜陵期末）某居民小区响应党的号召，开展全民健身活动.该小区准备 修建一座健身馆，其设计方案如图所示，A区为成年人活动场所，B区为未成年 人活动场所，其余地方均种花草.（π取3） （1）活动场所S成年人，S未成年和S花草各是多少？ 解：（1）由题图可得 S成年人＝4a·3a＝12a2， S未成年人＝π· ＝ a2， 整座健身馆的面积为（a＋4a＋5a）·（1.5a＋3a＋ 1.5a）＝10a·6a＝60a2， ∴S花草＝60a2－12a2－ a2＝ a2. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的多少倍？ 解：（2）由题意得60a2÷12a2＝5， 即整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的5倍. 1 2 3 4 5 6 7 8 整式的混合运算之化简求值 6. 化简：4a（4a＋3）－（2a＋1）（2a－1），若a满足a2＋a＝7，求原代数 式的值. 解：原式＝16a2＋12a－4a2＋1 ＝12a2＋12a＋1 ＝12（a2＋a）＋1. 当a2＋a＝7时， 原式＝12×7＋1 ＝84＋1 ＝85. 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 数学课上，陈老师出了这样一道题：已知a＝4，b＝－1，求代数式（a－ 3b）2－a（2a－6b）＋（a＋1）（a－3）的值，小明觉得直接代入计算太麻 烦了，请你来帮他解决，并写出具体过程. 解：（a－3b）2－a（2a－6b）＋（a＋1）（a－3） ＝a2－6ab＋9b2－2a2＋6ab＋a2－2a－3 ＝9b2－2a－3. 当a＝4，b＝－1时， 原式＝9×（－1）2－2×4－3＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 8. 【阅读理解】 “若x满足（80－x）（x－60）＝30，求（80－x）2＋（x－60）2的值”. 解：设80－x＝a，x－60＝b， 则（80－x）（x－60）＝ab＝30，a＋b＝（80－x）＋（x－60）＝20， 所以（80－x）2＋（x－60）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝202－2×30＝340. 【解决问题】 （1）若x满足（30－x）（x－20）＝－10，求（30－x）2＋（x－20）2的值. 解：（1）设30－x＝a，x－20＝b，则ab＝－10，a＋b＝10， 所以（30－x）2＋（x－20）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝102－2×（－10） ＝120. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）若x满足（2 027－x）2＋（2 025－x）2＝4 038，求（2 027－x）（2 025 －x）的值. 解：（2）设2 027－x＝m，2 025－x＝n，则m2＋n2＝4 038，m－n＝2， 所以（2 027－x）（2 025－x）＝mn＝ ＝ ＝ 2 017. 1 2 3 4 5 6 7 8 $$