第06讲 反比例函数的综合问题（2个考点6个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题四 函数图象与性质的综合问题 第06讲 反比例函数的综合问题 （思维导图+2考点+6种题型） 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、反比例函数的纯数学综合 题型01、反比例函数图象和性质的综合应用 题型02、反比例函数与一次函数的综合问题 题型03、反比例函数与三角形的综合问题 题型04、反比例函数与四边形的综合问题 题型05、反比例函数与相似三角形的综合 考点二、反比例函数的实际应用 题型06、反比例函数的实际应用 中考考点 新课标要求 命题预测 反比例函数 结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；会用描点法画出反比例函数的图象；知道当k>0和k<0时反比例函数)图象的整体特征；能用反比例函数解决简单的实际问题。 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为:反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前两个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础 解答题以及压轴题的形式出题在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义问题。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、反比例函数的纯数学综合问题 题型01、反比例函数图象和性质的综合应用 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 2．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 3．（2024·浙江金华·二模）已知，是反比例函数（a为常数，）图像上的两点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．由于，反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解： 由于，当时，反比例函数的图象在第一象限，，且y随x到增大而减小． 若，则． 故选：A． 4．（2024·浙江温州·二模）已知两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质：当时，在每一象限，y随x的增大而减小；当时，在每一象限，y随x的增大而增大，熟记性质是解题的关键．分和讨论即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴随x的增大而减小，随x的增大而增大， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴随x的增大而增大，随x的增大而减小， ∴，，，， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）， 综上，， 故选：D． 5．（2024·浙江宁波·一模）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（    ） A．10 B．12 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答本题的关键．图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，由，可求出，，根据，解得，即得，进而即可求得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．（2024·浙江丽水·二模）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键． 过点作轴的垂线，根据设出未知数，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，   ， 令，． 又， 点坐标可表示为． 又点和点都在的图象上， ， ， 即． 令与的交点为， 则， ． ， 点坐标为， ． 故答案为：． 7．（2023·浙江温州·二模）如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为5，则的值为 .    【答案】20 【分析】本题考查反比例函数的性质，数形结合思想以及运算求解能力，过点A作轴于点E，设，分析可知，结合的面积为5，可得，进而得解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，    ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴，则， ∵点A是反比例函数上的点， ∴设， ∴，则， 将代入得：， 解得：， ∴， ∵的面积为5， ∴，整理得，， 解得． 故答案为：20． 8．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数交点问题，联立解析式求出交点坐标，得到，代入方程求出k的值即可． 【详解】解：解方程组， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 9．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系内，反比例函数的图象过点． (1)若，求证：． (2)若，，，求该函数的表达式． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）根据题意得出，，然后由，即可证得． （2）由，，则，根据图象上点的坐标特征得出，，即可得到，，根据，得出，，即可得出，，进而求得，，代入即可求得的值． 【详解】（1）证明：反比例函数的图象过点． ，， ， ． （2）解：，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 该函数的表达式为． 10．（2024·浙江宁波·一模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2)①；② 【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； （2）①利用反比例函数图象与性质，结合题意求出，利用待定系数法列方程求解即可得到答案；②利用反比例函数图象与性质，利用待定系数法求出，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数，点都在该反比例函数图象上， ，解得， ； （2）解：点都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称， ， ，则，解得， ， 将代入得，解得， ； ②，则， ， ， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及待定系数法确定、点的对称性质、解不等式等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 11．（2024·浙江绍兴·一模）已知，，，点A与点B不重合． (1)若点A，B，C都在函数的图象上，计算的值． (2)若点A，B，C都在函数的图象上，求证：． (3)若点A，B，C都在函数（，常数）的图象上，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，；当时，． 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的性质，熟练掌握函数图象上的点满足函数解析式是解答本题的关键． （1）由点A，B，C都在函数的图象上得，，，代入即可求解； （2）由点A，B，C都在函数的图象上得，，，代入即可求解； （3）由点A，B，C都在函数的图象上得，，，代入即可求解． 【详解】（1）∵点A，B，C都在函数的图象上， ∴，， ∴ （2）∵点A，B，C都在函数的图象上， ∴，，， ∴． 又∵，∴， ∴． （3）∵点A，B，C都在函数（，常数）的图象上， ∴，，， ∴ ． ∵，，∴，又∵，∴， 当时，； 当时，． 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于， 两点，点在一次函数的图象上，且． (1)求证：． (2)比较与的大小关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合： （1）先分别求出，再求出的值即可得到答案； （2）先求出，再证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意，得，，， ． （2）解：． ，， ， ． 题型02、反比例函数与一次函数的综合问题 13．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(   )    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：B． 【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键． 14．（2023·浙江金华·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标． 15．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可． 【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ∴． 令，则，． 将点和点代入，得； 将点和点代入，得． ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ①当时，， ∴不符合要求，应舍去； ②当时，， ∴符合要求； ③当时，， ∴不符合要求，应舍去； ④当时，， ∴符合要求； ⑤当时，， ∴不符合要求，应舍去． 综上，t的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键． 16．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．    (1)求的值． (2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出； （2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可． 【详解】（1）∵点的横坐标是2， ∴将代入 ∴， ∴将代入得，， ∴， ∵点的纵坐标是， ∴将代入得，， ∴， ∴将代入得，， ∴解得， ∴； （2）如图所示，    由题意可得，，， ∴设所在直线的表达式为， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴直线经过原点． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 17．（2022·浙江杭州·中考真题）设函数，函数（，，b是常数，，）． (1)若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． (2)若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 【答案】(1)①，；② (2)1 【分析】（1）①把点B(3，1)代入，可得；可得到m=3，再把点，点B(3，1)代入，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解； （2）根据点在函数的图象上，可得，再根据点的平移方式可得点D的坐标为，然后根据点D恰好落在函数的图象上，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点B(3，1)代入，得， ∴． ∵函数的图象过点， ∴， ∴点B(3，1)代入，得： ，解得， ∴． ②根据题意，画出函数图象，如图∶ 观察图象得∶当时，函数的图象位于函数的下方， ∴． （2）解∶∵点在函数的图象上， ∴， ∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D， ∴点D的坐标为， ∵点D恰好落在函数的图象上， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 18．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，直线（为常数）与轴交于点，与轴交于点，点在函数的图象上，过点分别作轴的垂线交直线于点，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数图象，反比例函数图象上点的特点，两点之间距离公式的计算是解题的关键． 根据题意分别求出，设，根据图形可得点的纵坐标为，点的横坐标为，分别代入直线中可得，根据两点之间距离公式分别求出即可求解． 【详解】解：在直线中，令，则，令，则， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设，根据图示可得，， ∵轴交于直线于点，轴与直线交于点， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴把代入直线解析式得，， 解得，，即， 把代入直线解析式得，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： ． 19．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式． 设点坐标为，，然后根据已知条件求出点坐标，用待定那个系数法求直线的解析式，再根据求出直线解析式，然后解方程组求出点坐标，求出点坐标，然后把，，坐标代入直线解析式，从而求出的值，再根据面积公式求面积． 【详解】解：设点坐标为，， ，点在轴上， ， 设的表达式为， 代入，得， 解得， 的表达式为， ， 的表达式为， 联立方程组， 解得， ，， ， 点，， 设直线的表达式为，代入，得：， 把点坐标代入得：， ， 解得， 点所在反比例函数解析式为， 则． 故答案为：，． 20．（2024·浙江杭州·二模）借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图像上，则点也必定在的图像上．其中正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】题目主要考查反比例函数的图象及反比例函数的性质，根据题意描点画出函数大致草图，连线过程需注意图象走势并结合完全平方公式得出其最值，最后根据图象和取点算法大致分析其性质作进一步判断即可． 【详解】解：∵， x ．．． 0 1 3 ．．． y ．．． 5 4 5 ．．． ．．． ．．． 随着描点的数量不断增加，其草图如下， 令， 当时，即时，， 当且仅当，即，，故①正确，符合题意； 同理，结合图象得，当时，，即在时，y存在最大值，此时结合草图分析得：当时，随的增大而增大，故②正确，符合题意； 由草图可知，当时，或，故③错误，不符合题意； 由描点可知，其图形关于对称，即当时，，， 则有，． 故④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 21．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．    【答案】 12 9 【分析】如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，可得，的面积是5，设，，则，，，利用面积可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解题即可． 【详解】解：如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴， ∴， ∵的面积为9，四边形的面积为14， ∴的面积是5，    设，， ∴，， ∴，，，， ∴，， 整理得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴，则③， 把③代入②得：， ∴，即④， 把③代入①得：⑤， 把④代入⑤得：； 故答案为：12；9 【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键． 22．（2023·浙江金华·二模）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点是函数的图象的“倍值点”． (1)分别判断函数，的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由； (2)设函数，的图象的“倍值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为2时，求的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)不存在“倍值点”，理由见解析；的图象上存在两个“倍值点”或； (2)的值为或6； (3)当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，或． 【分析】（1）根据“倍值点”的定义建立方程求解即可得出答案； （2）先根据“倍值点”的定义求出函数的图象上有两个“倍值点”，同理求出，根据的面积为3可得，求解即可； （3）先求出函数的图象上有两个“倍值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：在中，令，得不成立， 函数的图象上不存在“倍值点”； 在中，令， 解得：，， 函数的图象上有两个“倍值点”或； （2）解：在函数中，令， 解得：， ， 在函数中，令， 解得：， ， 轴， ， ， 的面积为2， ， （舍去），， 的面积为2， ， ， ，（舍去）， 综上所述，的值为或6； （3）解：令， 解得：，， 函数的图象上有两个“倍值点”或， ①当时，，两部分组成的图象上必有2个“倍值点”或， ， ， 令， 整理得：， 的图象上不存在“倍值点”， △， ， ， ②当时，有3个“倍值点”， ③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”， ④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“倍值点”， ⑤当时，，两部分组成的图象上没有“倍值点”， 综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“倍值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题． 题型03、反比例函数与三角形的综合问题 23．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式是解题的关键． 设，由，可求，则，由将绕点A旋转得到，可知为的中点，设，则，进而可得，计算求解即可． 【详解】解：设， ∵的面积为6， ∴，即， 解得，， ∴， ∵将绕点A旋转得到， ∴为的中点， 设，则， ∵均在函数图象上， ∴， 解得，， 故答案为：8． 24．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，    故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 25．（2025·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：B 26．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意可得，利用三角形的面积建立关于x的方程，求出点P坐标即可得到k值． 【详解】解：设， 则， ∵点M在x轴上，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去） ∴． ∵P点在反比例函数图象上， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握图象的对称性，勾股定理是解题的关键． 27．（2024·浙江温州·三模）如图，点A，B在x正半轴上（点B在点A的右边），，分别以为边作等边三角形，反比例函数的图象经过中点E，与边交于点F．作轴于点轴于点N．若阴影部分的面积等于，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质求出点E的坐标为，运用勾股定理得出，则点F的坐标为，得出，解出，再代入，即可作答． 【详解】解：如图所示：过点E作轴 设，则 ∵以为边作等边三角形，且点E是中点 ∴ ∴， ∴点E的坐标为， ∵阴影部分的面积等于， ∴， ∴， ∵以为边作等边三角形 ， ∴ ∴ ∴点F的坐标为 ∵反比例函数的图象经过中点E，与边交于点F． ∴ 即 解得（负值已舍去） ∴ 故选：C． 28．（2023·辽宁辽阳·模拟预测）如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点在直线上，点横坐标为，两条直角边分别平行于轴、轴，若双曲线与有交点，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求出两点坐标，再分别经过两点时的值即可得出取值范围，求出两点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵点在直线上，点的横坐标为， ∴把代入得，， ∴的坐标是， ∵， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴的中点坐标为， 当双曲线经过点时，； 当双曲线经过点时，； ∴， 故选：． 29．（2024·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，坐标与图形变化—平移，正确表示出点C和点F是解题的关键． 根据题意可知，，，设，即可表示出点C和点F的坐标，利用函数的图象经过点C和点F，代入列出关于a的方程，进行求解即可． 【详解】解：由平移可得，， 设 ∵点， ∴则中点坐标为： ∴， ∵函数的图象经过点C和点F， ∴ 解得： ∴ 故答案为：6． 30．（2024·浙江·模拟预测）已知，点，均在反比例函数的图象上，若将线段顺时针旋转，的对应点为，得到线段的两端点仍在反比例函数的图象上，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，旋转的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键；根据题意可知，当时，在二，四象限，即，求出坐标，结合，即可求解； 【详解】解：当时，在二，四象限，即， 点旋转顺时针旋转坐标为， ∴ 作轴于点C, 作轴于点D， ∴， ∴． ∴． 在与中 ∴≌ ∴， ∴． ， 即， 即， ， 将坐标代入， ， 故答案为： 31．（2024九年级下·浙江·专题练习）平面直角坐标系中，直线分别与函数的图象交于、，若轴负半轴上存在点使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及全等三角形的判定和性质进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴， 设且， ∴， ∴， 如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、， ∵是以为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∵，而， ∴，即，而， ∴，而， 解得，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数、全等三角形的判定及性质，直角三角形的两锐角互余，反比例函数与几何的综合等知识点，正确画出图形是解答本题的关键． 32．（2024·浙江温州·三模）如图，A、C是反比例函数第一象限图象上的点，延长交x轴于点B．现将沿翻折，点C的对应点D恰好落在反比例函数第二象限的图象上，且轴．已知点E在线段上，且点E是是的重心．连结，若的面积为6，则的值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的重心，翻折变换，掌握的几何意义是解题的关键．由点在上，且是的重心，的面积为6，可得，可得 再进一步解答即可． 【详解】解：点在上，且是的重心，的面积为6， ，，， 由对折可得：， ， ，， ； 故答案为：18 33．（2024·浙江·一模）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，以线段为边向第一象限内作等边三角形，反比例函数图象恰好经过边的中点，与边交于点．若的面积为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，由一次函数解析式可得,，，继而发现轴，得到，由中点坐标公式可得，根据反比例函数值的几何意义，，代入计算即可，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数解析式为， 当时，， ∴， 当时，， 解得：， ∴, ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴轴， 在中，，， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 过点作，轴，交于点，如图： 根据反比例函数值的几何意义，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， 故答案为：． 34．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，已知，． (1)点的坐标为（____，____）； (2)将绕点顺时针旋转度． ①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值； ②在旋转过程中，点、能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②当时，、能同时落在上述反比例函数的图象上． 【分析】（1）作轴于点，在直角中，利用三角函数即可求得、的长度，则的坐标即可求解； （2）①当时，点的位置与一定关于轴对称，在的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； ②当时，旋转后点的横纵坐标正好互换，则一定都在反比例函数的图象上． 【详解】（1）解：如图，作轴于点， 在直角中，， 则，， 则的坐标是， 故答案为：，； （2）解：①当时，的坐标与一定关于轴对称，则旋转后的点． 把代入函数解析式得：； ②当时，旋转后点，点， ， 当，、能同时落在上述反比例函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，图形的旋转，三角函数的综合应用，坐标与图形等，正确求得点的坐标是关键． 35．（2024·江苏苏州·三模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次的数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)点坐标为 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再求出点坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数解析式为． 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以点的坐标为． 将点和点的坐标代入一次函数解析式得，， 解得， 所以一次函数解析式为． （2）设点的坐标为， 过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ． ，． 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为，． 点在函数图象上， ， 解得，， 因为点坐标为， 所以舍去， 所以点坐标为． 36．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的一边在轴上，轴，轴，已知，，，过点A的双曲线与交于点，点从点A出发沿射线运动，点从点出发沿轴正半轴运动，点、同时出发，运动速度分别是以每秒2个单位和4个单位，运动的时间设为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在是直角三角形的情况，如果存在，请求出时间的值，如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当的值为或或或时，是直角三角形 【分析】（1）如图，设双曲线的解析式为，过A作轴于，解直角三角形得到，于是得到双曲线的解析式为，根据矩形的性质得到，求得，于是得到； （2）由题意得，，，解方程得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）当时，如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于，当时，如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于，当时，如图，过点作轴的垂线交的延长线于，过作轴的垂线交的延长线于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，设双曲线的解析式为， 过A作轴于， ∵在中，，， ，， ，， 点A在双曲线上， ， 双曲线的解析式为， ∵轴，轴， 四边形是矩形， ， ， 点的横坐标为10， ， ； （2）解：由题意得，，， ∵， ， 解得， ， ， ， ∴； （3）解：当时，如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于， 则有， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得，（舍去）； 当时，如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于， 则有， ， ， 解得，． 当时，如图，过点作轴的垂线交的延长线于，过作轴的垂线交的延长线于， 则有， ， ， 解得，（舍去）； 所以，当的值为或或或时，是直角三角形． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型04、反比例函数与四边形的综合问题 37．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    【答案】24 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 38．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点C和点D的坐标，求出，即可求出答案． 【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图： ∵， 设，， ∴点A为（，0），点B为（0，）； ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴≌≌， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）， ∵点C在函数的函数图像上， ∴，即； ∴， ∴经过点D的反比例函数解析式为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C和点D的坐标，从而进行解题． 39．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，点E，F，G，H分别在边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，H．则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了反比例函数，正方形的性质及三角形的全等的性质的应用是本题的解题关键．作，根据点坐标求出点坐标即可解答，证明，求出，，即可求出的面积，从而求出阴影面积． 【详解】解：点， ，， ， ， 作，如图， 正方形的中心为点， ，， ， ， ， 把代入， ， ， ， 四边形是正方形， ，， 正方形，， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为． 故答案为：30． 40．（2024·浙江舟山·三模）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为， 以为一边向上作，对角线与相交于点P，若点C和点P同时在反比例函数图象上，则点B的坐标为 ．    【答案】 【分析】此题考查反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，设点B的坐标为，得到点P的坐标为，点C的坐标是，根据点C和点P同时在反比例函数图象上得到关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵四边形是平行四边形，A点的坐标为，O点的坐标为， ∴点P是、的中点， ∴点P的坐标为，即， ∴点C的坐标是 ∵点C和点P同时在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴点B的坐标为 故答案为：． 41．（2024·浙江台州·二模）如图，点A是反比例函数上一动点，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，以、为边作矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，在点运动的过程中，点的对应点坐标为，则与满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，旋转的性质，由点坐标为，点的坐标为，得出，，根据旋转的性质得到，，进一步得到，于是得到，于是得到，即． 【详解】解：点坐标为，点的坐标为， 则，， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ，， ， ， 在此反比例函数图象上， ， ． 故答案为：． 42．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线，分别交反比例函数的图象于点，和点，，分别交轴于点，，且，直线交轴于点，它的函数表达式为，连结． （1）若点的横坐标为，则点的坐标为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，中心对称图形，反比例函数的系数与面积的关系，熟练掌握反比例函数的图象和性质、反比例函数图象中一些面积的应用是解题的关键． （1）求出点的坐标，再得出四边形关于原点成中心对称，即可求解； （2）连结，，先利用得，设，得，直线：，，则， 联立和确定点坐标，利用反比例中面积模型（或过和作轴垂线得直角梯形，利用面积转化）可得，列式计算即可． 【详解】（1）将代入， 得， ∴， 直线，且，及反比例函数的中心对称性知， 四边形关于原点成中心对称， 因此四边形为平行四边形，且， 故答案为：； （2）如图，连结，， 由（1）可知四边形为平行四边形，点是中心对称图形的中心， 则，，三点在同一条直线上，，交于点， ， ， 设， ，直线：，， ， 联立和得：， 解得：或（舍去）， ， 利用反比例中面积模型（或过和作轴垂线得直角梯形，利用面积转化）可得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 43．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点． (1)求的面积． (2)在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标． (3)如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积． 【答案】(1)15 (2)、、、 (3)或 【分析】（1）先求出，由，解得，，再由即可求解； （2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，，①当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，则，求得经过点N的反比例函数的表达式为，设，当，联立，可求，当，则，得到，解得：或（舍），则；②当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，此时也为矩形，此时，同上可求反比例函数的表达式为，当，联立，解得，则，当时，此时点与点N重合，则，综上所述，点D的坐标为：、、、； （3）设点，，当点E在上时，由题意可得，，因此， 所以，，，故；当点E在上时，同理可得． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由，解得或， ∴，， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，，即， 设， ①当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形， 有， 解得， ∴， 代入得， ∴反比例函数的表达式为，设，如图， 当，联立， 解得， ∴， 当，则， ∴， 解得：或（舍）， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，此时也为矩形， 有， 解得， ∴， 同上可求反比例函数的表达式为，如图， 当，联立， 解得， ∴， 当时，此时点与点N重合， ∴， 综上所述，点D的坐标为：、、、； （3）解：如图， 设点， ∵轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点， ∴， 当点E在上时，由题意可得，， ∴， ∵， ，， ∴； 当点E在上时，同理可得， 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，待定系数法求函数解析式，反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，平行四边形的存在性问题，直角三角形的存在性问题，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义等，难度很大，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 44．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标，点在轴正半轴上，点在第三象限的双曲线上，则正方形的边长为 ；过点作轴交双曲线于点，若抛物线（）经过，，三点，则的值为 ．    【答案】 【分析】 本题考查反比例函数与几何的综合应用，求二次函数的解析式，过作轴的平行线交轴于点，过作轴的平行线，两平行线交于点，过作轴的平行线，交于点，易得：，求出点坐标，勾股定理求出正方形的边长，求出点坐标，待定系数法求出的值即可． 【详解】 解：如图，过作轴的平行线交轴于点，过作轴的平行线，两平行线交于点，过作轴的平行线，交于点，则：，    ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点横坐标为， ∵点在第三象限的双曲线上， ∴． ∴，， ∴正方形的边长． ∵， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点，抛物线（）经过，，三点， ∴，解得：； 故答案为：，． 题型05、反比例函数与相似三角形的综合问题 45．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在中，边在轴上，边交轴于点．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，，，则= ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设点的坐标为，则，先根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，又根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，，再根据反比例函数的解析式可得，从而可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设点的坐标为，则， ，， ，， 轴，轴， ， ， ，即， ， 又轴，轴， ， ， ，即， 解得，， 将代入反比例函数得：， ， ， 由得：， ， ， ， 解得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 46．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 【答案】 （，0） 【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I， 设点B（b，），D（a，）， 由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC， ∴∠OBC=∠BOD，BC=OD， ∴OI=BI， ∴DI=CI， ∴， ∵∠CID=∠BIO， ∴△CDI∽△BOI， ∴∠CDI=∠BOI， ∴CD∥OB， ∴S△BOD=S△AOB=S矩形AOCB=， ∵S△BOE=S△DOG=|k|=3，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE， ∴S梯形BEGD=S△BOD=， ∴ (+)•（a-b）=， ∴2a2-3ab-2b2=0， ∴（a-2b）•（2a+b）=0， ∴a=2b，a=-（舍去）， ∴D（2b，），即：（2b，）， 在Rt△BOD中，由勾股定理得， OD2+BD2=OB2， ∴[（2b）2+（）2]+[（2b-b）2+（-）2]=b2+（）2， ∴b=， ∴B（，2），D（2，）， ∵直线OB的解析式为：y=2x， ∴直线DF的解析式为：y=2x-3， 当y=0时，2x-3=0， ∴x=， ∴F（，0）， ∵OE=，OF=， ∴EF=OF-OE=， ∴， 故答案为：，（，0）． 【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 47．（2024·浙江·模拟预测）如图，反比例函数（是常数）的图象经过点，点，其中，轴，轴，与的交点为C．若，则B点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 把点坐标代入可得的值，进而得到函数解析式；根据、两点坐标可得，，则，再根据反比例函数解析式可得，则，而，可得，再由，可得，根据与的相似比为2可得，进而得到的值，然后可得点坐标． 【详解】解：点代入可得：， 故反比例函数解析式为， ， ，， ， 在上， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 故选：B． 48．（2023·浙江温州·模拟预测）如图所示，的顶点B，C分别在x轴正半轴，y轴负半轴上，点A在第一象限内，交x轴于点D，反比例函数分别交于点E，F，过点E作轴交于点G，且，若的面积为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由，可设，则，，，再设，，分别过点作的垂线，垂足分别为，由得，则，据此得进而得，则点，同理得，然后根据得，则，设，得点，据此列方程整理①，由△ABD的面积得，整理得②，由①②解出，进而可得k的值． 【详解】 ， 设，则，， ， ，即：， 设，， 分别过点作的垂线，垂足分别为，如图： ， ， ， 即：， ， 同理：， ， 点E的坐标为， ， ， ， ， 设，则， ，， 点F的坐标为， 点，均在反比例函数的图象上， ， 整理得：①， 的面积为， ， ， ②， 由①②得：， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等，根据题意，设置适当的辅助未知数分别表示出点E，F的坐标，理解根据函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上是解答此题的关键． 49．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，点P在反比例函数图象上，，且y轴平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，轴对称图形，求得点的坐标是解题的关键． 作轴点，则，通过证得，求得，，证得是轴对称图形，得到，即可证得，，再证得，求得，则，得到，然后利用待定系数法即可求得的值． 【详解】解：作轴点，则， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，轴平分， 是轴对称图形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ， 故答案为：． 50．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的线段的两端点，分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为．若的面积为1，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．作轴，根据值几何意义得到，利用面积可知，再利用三角形相似可得，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象上在第二象限， ． 故答案为：． 51．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知点 A ，B分别在反比例函数与的图象上，且．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．过点A作轴，过B作轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形与三角形相似，由A、B分别在反比例函数与的图象上，利用反比例函数k的几何意义求出三角形与三角形面积，进而得到面积之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为与之比，设出，，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出与的长，即可求出三角形的面积． 【详解】解：过点A作轴，过B作轴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点A，B分别在反比例函数与图象上， ∴，，即， ∴， 在中，设，则， ， 根据勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴， 则． 故答案为：． 52．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键． 过点P作轴于点E，依题意得：，，，，进而根据勾股定理求得，证明，得到，求出，， 同理可得，得到，求得，，进而，因此点P的坐标为，将点P坐标代入函数中即可求出k的值． 【详解】解：过点P作轴于点E， 如图所示：    依题意得：，，，， 在中 ，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， 同理可证：， ∴，即 ∴，， ∴， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：6． 53．（2023·浙江宁波·三模）如图，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点P，点P在反比例函数的图象上，延长交x轴于点C，延长交y轴于点D，连结，则点P坐标为 ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查反比例函数、角平分线定理、勾股定理和相似三角形的判定和性质，先根据角平分线定理得到，再通过反比例函数的解析式即可求出点P的坐标；设，根据角平分线定理推算出，再结合勾股定理建立等式进行换算，最后证明，，根据相似比分别求出和的表达式，最后根据面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、H， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， 设， 则点P的坐标为：， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为：， 设， 则， ∵,， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴,， ∴，， ∴ 故答案为：；4． 54．（2024·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过矩形的顶点，点为轴负半轴上一点，连结交轴于点，交矩形的对角线于点，函数的图象经过点，若的面积为2，的面积为4，则 ； ．    【答案】 12 【分析】该题主要考查了反比例函数几何综合，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，等知识点，解题的关键是数形结合． 根据四边形是矩形，得出，从而根据反比例函数几何意义得出，再得出，证明，得出，如图，过分别作轴，轴的垂线，垂足为，则四边形是矩形，证明，从而得出，根据即可求解． 【详解】∵点在函数的图象上，四边形是矩形， ，， ； 假设边上的高为h， 则， ， ∵， ∴， ， 如图，过分别作轴，轴的垂线，垂足为，    则四边形是矩形，， ∴， ∴， ． 故答案为：12，． 55．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，．过点作轴于点，连结，并延长交于点．若是的中点，则的值为 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，过点作轴于，于，由反比例函数的性质得，，，再证明得，，进而得，，再根据即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于，于，则，，， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ， 故答案为：． 56．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设函数与函数的图象交于点． (1)求的值，并写出，的解析式； (2)设图象的另一个交点为，求的坐标，并写出当时的取值范围； (3)设函数的图象与轴的交点为，将点先向右平移的单位，再向上平移个单位后，恰好落在函数的图象上，求的值． 【答案】(1)函数，函数； (2)，当时，的取值范围为或； (3)． 【分析】（）把点代入反比例函数解析式即可求出，确定解析式即可； （）联立解析式求出的坐标，即可求出当时的取值范围； （）求出的坐标，进而表示出平移后的解析式，代入反比例函数解析式求出即可； 本题考查了一次函数与反比例函数的图象及性质，待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数的平移，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）把点代入中，得， 解得， ∴函数，函数； （2）联立解析式得， 解得：或， ∴， ∴当时，的取值范围为或； （3）当时，，解得， ∴， ∵点先向右平移的单位，再向上平移个单位， ∴平移后的坐标为， ∴代入反比例函数解析式得， 解得：． 57．（2023·浙江宁波·模拟预测）在直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线，且点D的坐标为． (1)如图1，当点C的横坐标为3，求点C的坐标和的值． (2)如图2，当点C在第三象限时，过点C作x轴的垂线，垂足为，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连结，当时，求点C的坐标和的值． (3)若，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）由题意易得双曲线解析式是，则有，然后可得直线的解析式为，进而问题可求解； （2）设，则有，由题意易得，则有，然后可得四边形与四边形都是平行四边形，进而可得，设，则有，，则有，然后根据三角函数及相似三角形的性质可进行求解； （3）根据题意可分两种情况进行分类讨论，然后结合相似三角形的性质与判定及三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：∵在上， ∴，即双曲线解析式是， 当C点横坐标为3时，则纵坐标为2， ∴． 设直线的解析式为，且过点，，则有， 解得， 故直线的解析式为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图： 设，则有， ∵，， ∴； ∵两三角形同底， ∴两三角形的高相同， ∴， ∵， ∴四边形与四边形都是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 设，则有，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得， 解得，， ∴． （3）解：如图1：过D分别作于E，作于F， 则， ∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为，则有， 解得：， ∴直线方程的解析式为， 再将直线方程代入双曲线方程有， 解得或18， 当时，则有， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图2， 直线与双曲线过，代入双曲线解析式可得，设直线的解析式为， 代入直线方程，， 所以直线方程变为， 令，则有，令，则有， ∴， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， 再将直线方程代入双曲线方程有， 解得：， ∴当，则，即， 过C作平行于x轴的直线，过D作平行于y的直线， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 58．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与坐标轴交于A，B两点，交反比例函数的图象于C，D两点，且，点E是直线上一点，连结，以为边在右侧作直角三角形，；，若边交反比例函数图象于点G，，连结，则k值为 ，的面积为 ． 【答案】 8 【分析】 根据题意，首先根据直线表达式以及坐标轴上点的特征求出，，设点 C的坐标为，过点C作轴于点M，过点D作轴于点N，则，由相似三角形的性质，结合求出出点D的坐标为，根据反比例函数上点的坐标之积相等，即可求出k值；连接，结合已知可得O、B、F、E四点共圆，所以点G是圆心，是直径，；接下来求出点G的坐标，进而即可得到点F的坐标，设出点E的坐标，再利用勾股定理进行求解，结合即可得到答案； 【详解】解：∵直线与坐标轴交于A，B两点， ∴，， 设点 C的坐标为，过点C作轴于点M，过点D作轴于点N， 则：，， ∵轴， 轴， ∴， 【点睛】∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵C，D两点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 将代入一次函数得，， 解得：， ∴， 连接， ∵， ∴O、B、F、E四点共圆， ∵，， ∴点G是圆心，是直径， ∴， ∵， ∴点G的横坐标为5，当时，， ∴点G的坐标为， ∵， ∴点F的坐标为， 设点E的坐标为， 由勾股定理可得， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴点E的坐标为， ∴， 故答案为：8，． 本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，四点共圆，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形相似的判定和性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点二、反比例函数的实际应用 题型06、反比例函数的实际应用 59．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    【答案】20 【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 60．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 【答案】(1)． (2)该液体的密度为． 【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可； （2）把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】（1）解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． （2）解：把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解． 61．（2022·浙江台州·中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）由题意设， 把，代入，得． ∴关于的函数解析式为． （2）把代入，得． ∴小孔到蜡烛的距离为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键． 62．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 63．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据题意可得，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：，，，为中点，， ， 设所在双曲线的表达式为， 将点坐标代入表达式中，得： 解得：， 抛物线表达式为； （2）解：根据题意得：点与点坐标分别为，， 设所在直线解析式为， 将、两点坐标代入得：， 解得，， 所在直线解析式为， 根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线关于直线轴对称， 联立， 解得， ∴， 联立， 解得：， ∴， ． 【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 64．（2024·浙江温州·二模）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时， ． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式． 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】任务1：；任务2： 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 任务1：设，代入，即可算出值， 任务2：由图 3 得，当光照强度在之间（包含临界值）时，电流，把和代入，求得值的范围，从而得到的范围． 【详解】任务1：设 I 关于 R 的函数表达式为 把 ，代入，得 ∴I 关于 R 的函数表达式为 任务2：由图 3 得，当光照强度在 300-750lux 之间（包含临界值）时， 电流， 当代入，得到，解得 把代入，得到，解得 65．（2024·浙江嘉兴·三模）医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，) 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重(单位∶ ) 脉搏率(单位∶ 次/) 借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数． (1)根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？ (2)根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；) 【答案】(1)当增大时，变小 (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用； （1）根据反比例函数的性质，即可求解； （2）取表1中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求得和的值，即可求得相应的函数解析式． 【详解】（1）解：，则当增大时，变小 （2）解：由题意得：． ∵，；， ∴． 解得： 66．（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级随机抽取了位男生（年龄都是岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间x（单位：秒） 0 … 平均相对心率y（%） … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示y随x变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育和保健老师后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢，．他们计算表中的值，画出散点图如图所示，发现是（a是常数）的反比例函数，求y与x之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现：热身运动合适的心率范围是最大心率的，减脂运动合适的心率范围是最大心率的，有氧耐力运动（锻炼心肺功能）和无氧耐力运动的合适心率范围分别是最大心率的和，从健康角度考虑，相对心率不应超过．根据这些信息，请你给学校设计一套男生跳绳持续时间的训练方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质判断作答即可； （2）设，分别把，代入，计算求解，进而可得结果； （3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律，然后设计方案即可． 【详解】（1）解：由表可知，自变量x与函数值y的乘积不是一个定值， ∴该函数不是反比例函数； ∵当自变量x增加值相同时，平均相对心率y增加值不相同， ∴该函数不是一次函数； ∵当自变量x增加值相同时，相邻的平均相对心率y增加值的差不相同， ∴该函数不是二次函数； （2）解：设， 分别把，代入，得， 解得， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律， 方案设计如下： 连续跳绳是热身运动；连续跳绳是减脂运动；连续跳绳是有氧耐力运动；连续跳绳是无氧耐力运动，从健康角度考虑，连续跳绳时间不超过5分钟，即连续跳绳5分钟后需要停下休息． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，反比例函数解析式是解题的关键． 试卷第2页，共101页 2 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 函数图象与性质的综合问题第06讲 反比例函数的综合问题 （思维导图+2考点+6种题型） 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、反比例函数的纯数学综合 题型01、反比例函数图象和性质的综合应用 题型02、反比例函数与一次函数的综合问题 题型03、反比例函数与三角形的综合问题 题型04、反比例函数与四边形的综合问题 题型05、反比例函数与相似三角形的综合 考点二、反比例函数的实际应用 题型06、反比例函数的实际应用 中考考点 新课标要求 命题预测 反比例函数 结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；会用描点法画出反比例函数的图象；知道当k>0和k<0时反比例函数)图象的整体特征；能用反比例函数解决简单的实际问题。 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为:反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前两个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础 解答题以及压轴题的形式出题在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义问题。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、反比例函数的纯数学综合问题 题型01、反比例函数图象和性质的综合应用 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（2024·浙江金华·二模）已知，是反比例函数（a为常数，）图像上的两点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江温州·二模）已知两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 5．（2024·浙江宁波·一模）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（    ） A．10 B．12 C．15 D．16 6．（2024·浙江丽水·二模）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，则的值为 ．    7．（2023·浙江温州·二模）如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为5，则的值为 .       8．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数与交于点，若，则 ． 9．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系内，反比例函数的图象过点． (1)若，求证：． (2)若，，，求该函数的表达式． 10．（2024·浙江宁波·一模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 11．（2024·浙江绍兴·一模）已知，，，点A与点B不重合． (1)若点A，B，C都在函数的图象上，计算的值． (2)若点A，B，C都在函数的图象上，求证：． (3)若点A，B，C都在函数（，常数）的图象上，判断与的大小关系，并说明理由． 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于， 两点，点在一次函数的图象上，且． (1)求证：． (2)比较与的大小关系． 题型02、反比例函数与一次函数的综合问题 13．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(   )    A．或 B．或 C．或 D．或 14．（2023·浙江金华·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 15．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 16．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．    (1)求的值． (2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 17．（2022·浙江杭州·中考真题）设函数，函数（，，b是常数，，）． (1)若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． (2)若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 18．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，直线（为常数）与轴交于点，与轴交于点，点在函数的图象上，过点分别作轴的垂线交直线于点，则的值为 ． 19．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ． 20．（2024·浙江杭州·二模）借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图像上，则点也必定在的图像上．其中正确结论的序号有 ． x ．．． 0 1 3 ．．． y ．．． 5 4 5 ．．． ．．． ．．． 21．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．    22．（2023·浙江金华·二模）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点是函数的图象的“倍值点”． (1)分别判断函数，的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由； (2)设函数，的图象的“倍值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为2时，求的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出的取值范围． 题型03、反比例函数与三角形的综合问题 23．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为 ． 24．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 25．（2025·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 26．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 27．（2024·浙江温州·三模）如图，点A，B在x正半轴上（点B在点A的右边），，分别以为边作等边三角形，反比例函数的图象经过中点E，与边交于点F．作轴于点轴于点N．若阴影部分的面积等于，则k的值为（    ） A． B． C． D． 28．（2023·辽宁辽阳·模拟预测）如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点在直线上，点横坐标为，两条直角边分别平行于轴、轴，若双曲线与有交点，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 29．（2024·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为 ． 30．（2024·浙江·模拟预测）已知，点，均在反比例函数的图象上，若将线段顺时针旋转，的对应点为，得到线段的两端点仍在反比例函数的图象上，且，则的值为 ． 31．（2024九年级下·浙江·专题练习）平面直角坐标系中，直线分别与函数的图象交于、，若轴负半轴上存在点使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则为 ． 32．（2024·浙江温州·三模）如图，A、C是反比例函数第一象限图象上的点，延长交x轴于点B．现将沿翻折，点C的对应点D恰好落在反比例函数第二象限的图象上，且轴．已知点E在线段上，且点E是是的重心．连结，若的面积为6，则的值为 ． 33．（2024·浙江·一模）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，以线段为边向第一象限内作等边三角形，反比例函数图象恰好经过边的中点，与边交于点．若的面积为，则的值为 ． 34．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，已知，． (1)点的坐标为（____，____）； (2)将绕点顺时针旋转度． ①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值； ②在旋转过程中，点、能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 35．（2024·江苏苏州·三模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次的数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 36．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的一边在轴上，轴，轴，已知，，，过点A的双曲线与交于点，点从点A出发沿射线运动，点从点出发沿轴正半轴运动，点、同时出发，运动速度分别是以每秒2个单位和4个单位，运动的时间设为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在是直角三角形的情况，如果存在，请求出时间的值，如果不存在，说明理由． 题型04、反比例函数与四边形的综合问题 37．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    38．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是 ． 39．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，点E，F，G，H分别在边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，H．则图中阴影部分的面积是 ． 40．（2024·浙江舟山·三模）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为， 以为一边向上作，对角线与相交于点P，若点C和点P同时在反比例函数图象上，则点B的坐标为 ．    41．（2024·浙江台州·二模）如图，点A是反比例函数上一动点，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，以、为边作矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，在点运动的过程中，点的对应点坐标为，则与满足的关系式为 ． 42．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线，分别交反比例函数的图象于点，和点，，分别交轴于点，，且，直线交轴于点，它的函数表达式为，连结． （1）若点的横坐标为，则点的坐标为 ； （2）若，则的值为 ． 43．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点． (1)求的面积． (2)在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标． (3)如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积． 44．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标，点在轴正半轴上，点在第三象限的双曲线上，则正方形的边长为 ；过点作轴交双曲线于点，若抛物线（）经过，，三点，则的值为 ．    题型05、反比例函数与相似三角形的综合问题 45．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在中，边在轴上，边交轴于点．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，，，则= ． 46．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 47．（2024·浙江·模拟预测）如图，反比例函数（是常数）的图象经过点，点，其中，轴，轴，与的交点为C．若，则B点的坐标为（    ） A． B． C． D． 48．（2023·浙江温州·模拟预测）如图所示，的顶点B，C分别在x轴正半轴，y轴负半轴上，点A在第一象限内，交x轴于点D，反比例函数分别交于点E，F，过点E作轴交于点G，且，若的面积为，则k的值为 ． 49．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，点P在反比例函数图象上，，且y轴平分，则 ． 50．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的线段的两端点，分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为．若的面积为1，则的值为 ． 51．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知点 A ，B分别在反比例函数与的图象上，且．若，则的面积为 ． 52．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为 ．   53．（2023·浙江宁波·三模）如图，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点P，点P在反比例函数的图象上，延长交x轴于点C，延长交y轴于点D，连结，则点P坐标为 ， ． 54．（2024·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过矩形的顶点，点为轴负半轴上一点，连结交轴于点，交矩形的对角线于点，函数的图象经过点，若的面积为2，的面积为4，则 ； ．       55．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，．过点作轴于点，连结，并延长交于点．若是的中点，则的值为 （结果用含的代数式表示）． 56．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设函数与函数的图象交于点． (1)求的值，并写出，的解析式； (2)设图象的另一个交点为，求的坐标，并写出当时的取值范围； (3)设函数的图象与轴的交点为，将点先向右平移的单位，再向上平移个单位后，恰好落在函数的图象上，求的值． 57．（2023·浙江宁波·模拟预测）在直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线，且点D的坐标为． (1)如图1，当点C的横坐标为3，求点C的坐标和的值． (2)如图2，当点C在第三象限时，过点C作x轴的垂线，垂足为，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连结，当时，求点C的坐标和的值． (3)若，直接写出的值． 58．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与坐标轴交于A，B两点，交反比例函数的图象于C，D两点，且，点E是直线上一点，连结，以为边在右侧作直角三角形，；，若边交反比例函数图象于点G，，连结，则k值为 ，的面积为 ． 根据题意，首先根据直线表达式以及坐标轴上点的特征求出，，设点 C的坐标为，过点C作轴于点M，过点D作轴于点N，则，由相似三角形的性质，结合求出出点D的坐标为，根据反比例函数上点的坐标之积相等，即可求出k值；连接，结合已知可得O、B、F、E四点共圆，所以点G是圆心，是直径，；接下来求出点G的坐标，进而即可得到点F的坐标，设出点E的坐标，再利用勾股定理进行求解，结合即可得到答案； 考点二、反比例函数的实际应用 题型06、反比例函数的实际应用 59．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    60．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 61．（2022·浙江台州·中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 62．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 63．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 64．（2024·浙江温州·二模）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时， ． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式． 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 65．（2024·浙江嘉兴·三模）医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，) 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重(单位∶ ) 脉搏率(单位∶ 次/) 借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数． (1)根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？ (2)根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；) 66．（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级随机抽取了位男生（年龄都是岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间x（单位：秒） 0 … 平均相对心率y（%） … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示y随x变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育和保健老师后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢，．他们计算表中的值，画出散点图如图所示，发现是（a是常数）的反比例函数，求y与x之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现：热身运动合适的心率范围是最大心率的，减脂运动合适的心率范围是最大心率的，有氧耐力运动（锻炼心肺功能）和无氧耐力运动的合适心率范围分别是最大心率的和，从健康角度考虑，相对心率不应超过．根据这些信息，请你给学校设计一套男生跳绳持续时间的训练方案． 试卷第2页，共101页 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$