专题7.2 排列（八个重难点突破）-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题7.2 排列 一、排列数的化简 五、（不）相邻问题 二、排列数的证明及不等式 六、定序问题 三、排列问题的辨析 七、间接法 四、特殊元素的排列问题 八、排数问题 知识点1排列的定义及排列数 1.排列的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 2.排列数:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. 3排列数公式:,并且.从形式上看排列数等于从开始的个连续自然数相乘. 全排列:特别地,个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列. 的阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示.规定:, 知识点3排列数的应用 1.没有限制条件的排列问题：对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,分清元素和位置即可. 2.有限制条件的排列问题：分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 3.相邻问题：采用捆绑法；不相邻问题：采用插空法 4.定序问题：可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列. 重难点一、排列数的化简及证明 【例1】（    ） A． B．3 C． D． 【例2】证明下列等式． (1)； (2)． 【变式1-1】计算 【变式1-2】计算： (1) (2) 【变式1-3】求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． ①从排列的直观意义理解弄清楚和的含义； ②排列数公式有两种形式,可以根据要求灵活选用. 重难点二、排列数的方程及不等式 【例3】若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例4】不等式的解集为 . 【变式2-1】（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【变式2-2】不等式，其中的解集为 ； 【变式2-3】（1）解不等式：； （2）解方程： 重难点三、排列问题的辨析 【例5】用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数123与321是不相同的排列.( ) 【例6】下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算. A．①④ B．①② C．④ D．①③④ 【变式3-1】写出下列问题的所有排列： （1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ （2）A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？ 【变式3-2】下列问题是排列问题的为 . ①选2个小组分别去植树和种菜； ②选2个小组分别去种菜； ③某班40名同学在假期互发短信； ④从1，2，3，4，5中任取两个数字相除； ⑤10个车站，站与站间的车票. 【变式3-3】判断下列问题是否是排列问题. （1）同宿舍4人，每两人互通一封信，他们一共写了多少封信？ （2）同宿舍4人，每两人通一次电话，他们一共通了几次电话？ 判断是不是排列问题,要抓住排列的本质特征：元素有序还是无序是判断是不是排列问题的关键. ①取出的元素无重复；②取出的元素必须按顺序排列. 重难点四、特殊元素的排列问题 【例7】2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 【例8】编号为，，，，的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求品种不能种在1，2试验田里，品种必须与品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为（    ） A．24 B．30 C．36 D．54 【变式4-1】某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 【变式4-2】从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个，则不同的排法共有 种． 【变式4-3】在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（   ） A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 重难点五、（不）相邻问题 【例9】某种产品的加工需要经过5道工序. (1)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (3)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【例10】在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 【变式5-1】现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【变式5-2】2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 【变式5-3】北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有3辆车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（　　）种． A．16 B．18 C．24 D．32 相邻问题采用捆绑法；不相邻问题采用插空法 重难点六、定序问题 【例11】用 “行”、“知”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语. (不考虑短语的含义) 【例12】现有6人排队，其中要求甲、乙、丙三人的先后顺序固定，则共有不同排法 种． 【变式6-1】用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（   ） A．48 B．96 C．60 D．120 【变式6-2】五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【变式6-3】某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（    ） A． B． C． D． 定序问题采用倍缩法：先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 重难点七、间接法 【例13】（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【例14】有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（   ） A．24 B．48 C．72 D．96 【变式7-1】有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（    ） A．42种 B．72种 C．78种 D．120种 【变式7-2】现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为 . 【变式7-3】有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 间接法：全排列之后减去不符合条件的排列 重难点八、排数问题 【例15】用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答） (1)无重复数字的四位偶数； (2)无重复数字且为5的倍数的四位数； (3)无重复数字且比1230大的四位数． 【例16】用数字0､2､5､7四个数可以组成 个无重复数字的三位数． 【变式8-1】定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（   ） A．35 B．32 C．29 D．20 【变式8-2】从六个数字中选5个数字组成的无重复数字的五位偶数，且3不在百位，共有 种． 【变式8-3】用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ (5)六位数中数字1，2始终相邻的数 排数字问题常见的解题方法： ①两优先排法:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”. ②分类讨论法:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行计数,要注意如下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类时要做到不重不漏. 一、单选题 1．（    ） A．24 B．26 C．30 D．32 2．某人计划去北京、西安、沈阳、喀什、长沙五个城市旅游，若最后一个目的城市不是喀什，则该人旅游完这五个城市的所有可能顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．84种 D．96种 3．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有不同坐法的种数为（   ） A．6 B． C． D． 4．已知，则（    ）． A． B． C． D． 5．如图，在两行三列的网格中放入标有数字、、、、、的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．12600 B．6000 C．8200 D．12000 二、多选题 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 三、填空题 9．从集合中任取两个不同元素分别作为直线方程中的系数，，则所得直线有 条． 10．高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有 种（用数字作答） 11．在1，2，3，4，5的所有排列 中，满足条件 的排列个数为 ． 四、解答题 12．解下列方程： (1)； (2). 13．求证: 14．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，试求能组成多少个无重复数字的四位偶数． 15．（1）配制某种染色剂，需要加入种有机染料、种无机染料和种添加剂，其中有机染料的添加顺序不可以相邻．为研究所有不同的添加顺序对染色效果的影响，总共要试验多少次？ （2）某展览馆计划展出幅不同的画，其中水彩画幅、油画幅、国画幅．现排成一排陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端．问：有多少种不同的陈列方式？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2 排列 一、排列数的化简 五、（不）相邻问题 二、排列数的证明及不等式 六、定序问题 三、排列问题的辨析 七、间接法 四、特殊元素的排列问题 八、排数问题 知识点1排列的定义及排列数 1.排列的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 2.排列数:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. 3排列数公式:,并且.从形式上看排列数等于从开始的个连续自然数相乘. 全排列:特别地,个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列. 的阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示.规定:, 知识点3排列数的应用 1.没有限制条件的排列问题：对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,分清元素和位置即可. 2.有限制条件的排列问题：分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 3.相邻问题：采用捆绑法；不相邻问题：采用插空法 4.定序问题：可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列. 重难点一、排列数的化简及证明 【例1】（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 【例2】证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【变式1-1】计算 【答案】/5040 【详解】. 故答案为：. 【变式1-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）. 【变式1-3】求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【详解】（1）. （2），. ①从排列的直观意义理解弄清楚和的含义； ②排列数公式有两种形式,可以根据要求灵活选用. 重难点二、排列数的方程及不等式 【例3】若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】由，得，解得． 故选：D． 【例4】不等式的解集为 . 【答案】/ 【详解】由题意得，解得且， 又，即， 即，解得， 综上可知，故解集为. 故答案为： 【变式2-1】（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 【变式2-2】不等式，其中的解集为 ； 【答案】 【详解】由题知，，且， 又， 即， 解得，故或， 所以，原不等式的解集为. 故答案为： 【变式2-3】（1）解不等式：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用排列数公式可得出关于的不等式，结合且可得出的取值集合； （2）由已知得出且，根据排列数公式可得出关于的方程，进而可解得的值. 【详解】（1）由题意可知，且， 因为，，， 所以原不等式可化为，整理得， 所以，，所以原不等式的解集为； （2）易得，所以，， 由得, 整理得，即，解得或（舍去）. 所以，原方程的解为. 【点睛】易错点点睛：本题考查排列数方程与不等式的求解，在解题时容易忽略参数的取值范围，从而导致求出不合乎要求的答案，所以在解题时，首先就可以根据组合数的定义得出参数的取值范围，进而列等式或不等式求解. 重难点三、排列问题的辨析 【例5】用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数123与321是不相同的排列.( ) 【答案】正确 【详解】根据排列的定义可以判断123与321是不同的排列，故正确； 故答案为：正确 【例6】下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算. A．①④ B．①② C．④ D．①③④ 【答案】A 【详解】解：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，故属于排列， ②选出的2人劳动内容相同，无顺序，故不属于排列， ③5人一组无顺序，故不属于排列， ④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，故属于排列， 综上所述，属于排列的为①④． 故选：A． 【变式3-1】写出下列问题的所有排列： （1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ （2）A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？ 【答案】（1）12；（2）14. 【详解】(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示. 故符合题意的机票种类有： 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种. (2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图. 所以符合题意的所有排列是： BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种. 【变式3-2】下列问题是排列问题的为 . ①选2个小组分别去植树和种菜； ②选2个小组分别去种菜； ③某班40名同学在假期互发短信； ④从1，2，3，4，5中任取两个数字相除； ⑤10个车站，站与站间的车票. 【答案】①③④⑤ 【详解】对①，植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题； 对②，不存在顺序问题，不是排列问题； 对③，存在顺序问题，是排列问题； 对④，两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题； 对⑤，车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题. 故答案为：①③④⑤ 【变式3-3】判断下列问题是否是排列问题. （1）同宿舍4人，每两人互通一封信，他们一共写了多少封信？ （2）同宿舍4人，每两人通一次电话，他们一共通了几次电话？ 【答案】（1）是；（2）不是. 【详解】（1）是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好. （2）不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话. 判断是不是排列问题,要抓住排列的本质特征：元素有序还是无序是判断是不是排列问题的关键. ①取出的元素无重复；②取出的元素必须按顺序排列. 重难点四、特殊元素的排列问题 【例7】2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 【答案】B 【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法， 剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种， 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种. 故选：. 【例8】编号为，，，，的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求品种不能种在1，2试验田里，品种必须与品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为（    ） A．24 B．30 C．36 D．54 【答案】B 【详解】当A种在4号田时，B只能种在3号，其余三种蔬菜在三个位置全排列，共有种结果， 当A种在5号田时，结果相同，也有6种； 当A种在3号田时，B有3种结果，余下的三种蔬菜在三个位置全排列，有种结果； 根据分类计数原理，共有种结果． 故选：B． 【变式4-1】某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 【答案】C 【详解】马术比赛和跑步比赛不相邻的情况为：种， 马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况为：种， 故不同的比赛方式共有种. 故选：C. 【变式4-2】从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个，则不同的排法共有 种． 【答案】136080 【详解】方法一（位置分析法）：先排第二个节目，再排其他五个节目，则共有（种）． 方法二（元素分析法）：若选女演员的独唱节目，则有种排法；若不选女演员的独唱节目，则有种排法，则共有种排法． 方法三（间接法）：总数减去女演员的独唱节目排在第二个的数目，则共有（种）． 故答案为：136080 【变式4-3】在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（   ） A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 【答案】B 【详解】先排，两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后， 则在第2，3，4道程序中选两个放，，共有种安排方法； 再排剩余的3道程序，共有种安排方法， 所以一共有种不同的顺序安排方法. 故选：B. 对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 重难点五、（不）相邻问题 【例9】某种产品的加工需要经过5道工序. (1)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (3)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【答案】(1)36 (2)48 (3)72 【详解】（1）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法， 再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法， 故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （2）先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看作一个整体， 与剩余的工序全排列，有种不同的排法， 故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空， 有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序. 【例10】在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 【答案】B 【详解】先把2件特殊的文物放一起，看做一个整体与其余3个全排列， 共有种不同的排法， 故选：B 【变式5-1】现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【详解】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法． 由题意不同站法数为：． 故选：C. 【变式5-2】2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 【答案】43200 【详解】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，与除丙丁外的其他6人排成一圈，共有种排列. 甲和丙，丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7个空，但甲与丙丁不能相邻，故丙丁只有6个空位可选，有种选择， 根据分步乘法原理可知，不同的排法总数为. 故答案为：43200    . 【变式5-3】北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有3辆车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（　　）种． A．16 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【详解】从7个车位里选择4个相邻的车位，共有4种方式， 停放的3个车辆，有种方式， 则不同的泊车方案有种． 故选：C. 相邻问题采用捆绑法；不相邻问题采用插空法 重难点六、定序问题 【例11】用 “行”、“知”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语. (不考虑短语的含义) 【答案】 【详解】先将七个字进行排列，有种选择， 由于七个字中有两个相同的“呱”，故均重复计算了一次， 所以共有种不同的七字短语(不考虑短语的含义). 故答案为： 【例12】现有6人排队，其中要求甲、乙、丙三人的先后顺序固定，则共有不同排法 种． 【答案】120 【详解】根据定序元素的个数进行计算即所有人的全排列除以定序人数的全排列. 先将6人全排，即为，再将甲、乙、丙三人全排，即为， 故有种排法． 故答案为：120. 【变式6-1】用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（   ） A．48 B．96 C．60 D．120 【答案】A 【详解】万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位， 则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为， 所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为． 故选：A. 【变式6-2】五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】B 【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为. 故选：B 【变式6-3】某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑， 然后要求在的左边，在的右边， 由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种. 故选：C. 定序问题采用倍缩法：先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 重难点七、间接法 【例13】（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法； 若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确． 间接法：（1）不管条件限制共有种不同的排法． 当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法； 当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确． （2）从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法， 其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的， 故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确. 故选：ABD 【例14】有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（   ） A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【详解】 故选：B． 【变式7-1】有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（    ） A．42种 B．72种 C．78种 D．120种 【答案】C 【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分， 所以这5名同学的可能排名有种. 故选：C 【变式7-2】现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为 . 【答案】 【详解】先将甲、乙两人捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排， 再减去丙排在周三的排法即可求得所求事件的不同排法. 所以不同排法的种数为， 又5位教师从周一到周五的常规值班一共有种方法， 所以教师不站两端，且甲、乙相邻的概率. 故答案为： 【变式7-3】有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 【答案】B 【详解】根据题意4名男生､3名女生的排列方法为，然后在7人中选2人（不相邻）分配道具：，总方法数为， 故选：B． 间接法：全排列之后减去不符合条件的排列 重难点八、排数问题 【例15】用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答） (1)无重复数字的四位偶数； (2)无重复数字且为5的倍数的四位数； (3)无重复数字且比1230大的四位数． 【答案】(1)个 (2)个 (3)个 【详解】（1）符合要求的四位偶数可分为两类． 第一类，0在个位时有个； 第二类，2或4在个位时，首位从1，3，4（或2），5中选（有种情况），十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数（个）． （2）符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有个； 第二类：5在个位时有个． 故满足条件的四位数共有（个）． （3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有个； 第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个； 第三类：形如124□，125□，共有个； 第四类：形如123□，共有个． 由分类加法计数原理知， 无重复数字且比1230大的四位数共有（个）． 【例16】用数字0､2､5､7四个数可以组成 个无重复数字的三位数． 【答案】18 【详解】依题意，由数字0､2､5､7组成无重复数字的三位数可分为两类： 第一类：不含0，有个；第二类：包含0，有个， 由分类加法计数原理，可得所求三位数有个. 故答案为：18. 【变式8-1】定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（   ） A．35 B．32 C．29 D．20 【答案】A 【详解】各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算， 当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个“吉祥数”； 当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个“吉祥数”； 当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1，1，0或2，0，0，共有个“吉祥数”； 当首位数字为2时，剩余三位数分别是2，1，0或3，0，0或1，1，1，共有个“吉祥数”； 当首位数字为1时，则剩余三位数分别是3，1，0或4，0，0或1，1，2或2，2，0，共有个“吉祥数”， 则共有个“吉祥数”． 故选：A． 【变式8-2】从六个数字中选5个数字组成的无重复数字的五位偶数，且3不在百位，共有 种． 【答案】 【详解】第一种情况，5个数字没有3时， 0在个位有种方法， 0不在个位有种方法， 共种方法， 第二种情况，有3无0，有种方法， 第三种情况，有3无2， 个位排0，有种方法， 个位不排0，3排首位有种方法， 个位不排0，3不排首位，有种方法， 共有种方法， 第四种情况，有3无4，这种情况和有3无2一样，所以也有种方法， 第五种情况，有3无1， 个位排0，有种方法， 个位不排0，3排首位有种方法， 个位不排0，3不排首位，有种方法， 所以共有种方法， 第六种情况，有3无5，和有3无1的情况一样，所以也是46种情况， 综上可知，共有种方法. 故答案为： 【变式8-3】用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ (5)六位数中数字1，2始终相邻的数 【答案】(1)600 (2)288 (3)216 (4)310245 (5)192 【详解】（1）先排首数，有种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位数有种； （2）先排个位数，有种， 因为0不能在首位，再排首位有4种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位奇数有个； （3）能被5整除的六位数，则个位数是0或5， 个位数是0，则有种， 个位数是5，先排首位，0不作为首位，则有种排法，其余位置有种排法，故共有个． （4）首位数字不能为0，首位数字为1有种， 首位数字为2，有种， 首位数字为3，万位数字上为0，有种，此时所有6位数有个， 故第264个数是，第265个数是. （5）先将1,2捆绑看做一个元素，有种方法，再排首位，除0外均可，有种，再排其它位有种， 故共有个数. 排数字问题常见的解题方法： ①两优先排法:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”. ②分类讨论法:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行计数,要注意如下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类时要做到不重不漏. 一、单选题 1．（    ） A．24 B．26 C．30 D．32 【答案】B 【详解】. 故选：B. 2．某人计划去北京、西安、沈阳、喀什、长沙五个城市旅游，若最后一个目的城市不是喀什，则该人旅游完这五个城市的所有可能顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．84种 D．96种 【答案】D 【详解】最后目的地没有限制条件的情况有种，而最后一个目的城市是喀什的情况有种， 所以最后一个目的城市不是喀什的情况有（种）． 故选：D 3．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有不同坐法的种数为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人， 若把人抽象成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置， 则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置， 显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题，从而不同的坐法种数为． 故选：B 4．已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由排列数公式变形后求解． 【详解】 则， 约分得： 解得：，经检验满足题意． 故选：C． 5．如图，在两行三列的网格中放入标有数字、、、、、的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】在、、、、、六个数字中，， 若左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列， 此时，不同的填数字的方法种数为， 所以，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 同理，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 因此，满足条件的放法种数为种. 故选：C. 6．四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．12600 B．6000 C．8200 D．12000 【答案】A 【详解】根据题意，如图， 将10个气球进行编号1-10，原问题可以转化为将编号为1～10的10个气球排列， 其中2，3号，4，5，6号，7，8，9，10号气球必须是从下到上的顺序，按小球从下到上的编号顺序打破气球即可， 则有（种）排列方法，则有12600（种）不同打法， 故选：A． 二、多选题 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为， ， 所以，故C正确； 对于D：因为， 所以，故D错误. 故选：BC 8．有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 【答案】AC 【详解】对于A，共有种不同的排法，故A正确； 对于B，共有种不同的排法，故B错误； 对于C，共有种不同的排法，故C正确； 对于D，共有种不同的排法，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 9．从集合中任取两个不同元素分别作为直线方程中的系数，，则所得直线有 条． 【答案】30 【详解】从集合中任取2个数作为，两数顺序不同，表示的直线也不同， 所以所得直线有条. 故答案为：30. 10．高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有 种（用数字作答） 【答案】40 【详解】先排除甲、乙、丙三个节目剩余的2个节目有, 因甲、乙、丙的排序为定序，只有2种排法， 则根据分步计数乘法原理满足条件的出场顺序共有种， 故答案为：40. 11．在1，2，3，4，5的所有排列 中，满足条件 的排列个数为 ． 【答案】16 【详解】由题意可知，只能出现在中，不能出现在中， 所以若取值为或，则排列个数为， 若取值为或，则只能出现在的一侧，即排列有共4个， 综上，所有排列数的个数为16个. 故答案为：16 四、解答题 12．解下列方程： (1)； (2). 【答案】(1)x=3 (2)x=6 【详解】（1）由排列数公式，原方程可化为，化简得，解得或或或. 因为x满足 所以x的取值范围为.所以原方程的解为． （2）由，得，所以. 化简得，解得，． 因为且，所以原方程的解为x=6． 13．求证: 【答案】证明见解析 【详解】证明:左边右边， ∴等式成立． 14．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，试求能组成多少个无重复数字的四位偶数． 【答案】个 【详解】符合要求的四位偶数可分为三类： 第1类，0在个位时，有个； 第2类，2在个位时，首位上的数字从1，3，4，5中选定1个，有种选法，十位上的数字和百位上的数字从余下的数字中选，有种，于是有个； 第3类，4在个位时，与第2类同理，也有个． 由分类加法计数原理可知，共有个无重复数字的四位偶数． 15．（1）配制某种染色剂，需要加入种有机染料、种无机染料和种添加剂，其中有机染料的添加顺序不可以相邻．为研究所有不同的添加顺序对染色效果的影响，总共要试验多少次？ （2）某展览馆计划展出幅不同的画，其中水彩画幅、油画幅、国画幅．现排成一排陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端．问：有多少种不同的陈列方式？ 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）先将种无机染料和种添加剂进行排序， 然后将种有机染料插入种无机染料和种添加剂所形成的个空位中的个， 由分步乘法计数原理可知，试验次数为； （2）将幅油画捆绑，将幅国画捆绑，形成两个大元素，将水彩画放在“中间”， 将油画、国画放在两端， 故不同的陈列方式种数为种. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$