类型2 二次函数的性质与实际应用-【鸿鹄志·中考王】2025年中考数学（广西专用）

类型2 二次函数的性质与实际应用 4.【提出问题】已知P是二次函数y=一(x一m)2十m2一2m一1图象的顶点，小明发现，当m 取不同的值时，点P的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图象上，请帮助小明完 成这项探究， 【动手操作】 (1)①将下表填写完整； m -1 0 1 2 3 点P的坐标 (-1,2) (0,-1) ②在所给的平面直角坐标系中描出表格中的五个点； 【总结归纳】 (2)直接写出这些点所在函数图象对应的函数表达式： 【拓展运用】 (3)若关于x的方程一(x一m)2+m2一2m一1=k始终有解，则k的取值范围是 -5-4-3-2-1012345x 28 5.综合与实践 【知识背景】大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历 史，古称“菽”，某校综合实践小组以“大豆种植密度优化方案”为主题开展实验研究，探究 大豆产量与种植密度的关系. 【研究步骤】 ①在劳动实践基地中选定6块单位面积(1)的地块作为试验田，并选定适宜的大豆 品种； ②在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟 期，对每株大豆的产量进行统计； ③数据分析，得出结论。 【实验数据】 试验田编号 1 2 3 5 6 单位面积试验田大豆的种植株数x/株 30 40 50 60 70 80 单株大豆的平均产量y/粒 51 46 41 36 31 26 【数学建模】请根据以上材料完成下列任务. (1)根据表中信息推理，单位面积试验田中单株大豆的平均产量y(粒)是种植株数x(株)的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），y关于x的函数关系式为 (30≤x≤80)： (2)若要使单位面积试验田中大豆的总产量最大，求单位面积试验田中大豆的种植株数； (3)单位面积试验田中大豆的总产量能否达到2160粒？请说明理由. 29 6.在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二 次函数图象的相关性质进行研究.把“T”形尺按图①摆放，水平宽AB的中点为C,图象的 顶点为D,测得AB为mcm时，CD为ncm. 【猜想】(1)探究小组测得m与n的部分对应数据如下表 0 2 3 4 5 6 0 1 2.25 4 6.25 9 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图②的平面直角坐标系中描出相应的点； 连线：用光滑的曲线顺次连接各点； 猜想：n关于m的函数关系式是 对称轴 v=a(x-h)+k y=a(x-h)+k AC B B D O123456789x 图① 图② 图③ 图④ 【验证】(2)探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在 类似的关系式，并针对二次函数y=a(x一h)2十k(a>0)进行了推理验证.请从下表中 任选一种方法（在“☐”内打“/”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a,m,n,h,k 表示答案) ☐方法1 ☐方法2 如图③，平移二次函数图象，使得顶点D移动 到原，点O的位置，则A'B'=AB=m,CO= 如图④，顶点D的横坐标加受个单位长 CD=BC=A罗=受点B的金标为 度，纵坐标加n个单位长度得到点B的坐 标，点B的坐标为 :将点B的 :将点B的坐标代入y=ax2,得到n 坐标代入y=a(x一h)2十k,得到n关于m 关于m的函数关系式是 的函数关系式是 【应用】(3)已知AB∥x轴，且AB=4,两个二次函数y=2(x一h)2+k和y=a(x一h)2十b 的图象都经过A,B两点，当两个函数图象的顶点与线段AB之间的距离之和为10时， 求a的值. 30■型五几间图形的候合探究同服 转时图连 针时置辉 个术龙头好升钟属木3ml3关价×24×的+10=1（天 【同1解，)DE=DFDE网DF外然成立.理由下，甘 工解，11①1B0(2)在△B阳△(D中，：∠A常 4.1)显明：：四边形A议D是走方用，A山=A山，AH(D 答：这个水龙头一个刀的国水量可值一人成用的8别天 D会端作DG⊥An干益，DH LAC干点H.育I.情D无= ∠0D-m,20A-∠o0e-,mr-0-高 ∠#=∠A日=的∠机A求+∠(A4D=.”0上A求✉ 3.解：1》①5D5:=对1r2山补全雨数博单如属所心 DH,∠GD=2.∠EF=1r,∠DH-∠EDH ∠A0+∠AD=w,∠A1E=∠AL△ABE ∠EDF-∠EDH.∠E,=CFL又W∠OE=∠DHF 马：∠a0n-∠cc,6.m+∠--∠C, ADAQCASA).AE-DQ YDQLAE,GFAE.DQGP. -r,△EDE@△FDH(ASA).DE=DF,41过kD作 :ABp.因逍形W:是平行月政形，.=q D则C,文AB于点对，酬△D△AC?△A是等边 年∠AC-∠a△MC△血÷部-需- 角形，△MBD是等对三角精：AB=吧，∠BCA=∠HMD -球都是-兰无h如下过点作01A心之于 ∠C)=∠w3:∠A)=∠米i.·∠API-∠ArM= =∠BM=,BDa=L∠AaE=∠BF=∠3D 点Q.由蛋鲁的性随，特GF⊥A品与(1)风用材荐，市=D0 -19,“∠DF2,∠ME-∠DF,”D是C前中 .BD-E与E.【新1在△D中.：2X ∠LAE∠AI.国边用ACD是年形，∠B=∠D1非- 3)学一种=1，丽得物5礼建忆：者博月传用摆量不是动园 点，D-p-C:M---CD=子A-A 时，透祥A套程，料月授厘商量等干科市时，选样A车餐减 ,x=1,m=二同理可周A8=4■2，.由(g, 书套餐均写，生每月使用流量帕过5利B时，港择非套器， 出△1DE2△CDFCASA3.ME=F=L.4A=ME-AE -2.dAB-A-4. -m,票-器一-平a痛，进高严作PM1,交批的年 。解11，一02.一18：)由期用所和，5这些 转线于NM.角题可里，∠E=∠PEF=∠D=. 点睛在周监用对定的函散表达式为y一一：一1法 针对训 -在A电中，FA+∥=AF,÷一+区 一子【解有1：关了上的在程一（一w+一信一1=的修 1.口证明：”△：关子的销时银为△在.∠A形 -海-出正-1二正《合去n-万 :∠P-∠r,二1P=∠”∠+T= 有丽六简物值一一w十n一n一1与直性y=卡一名 ∠k,A4=A.日=以￥AD8C.∠CH=∠C1以 2 0,∠FE+∠EF=0,,∠CEH=∠BFEm∠P 有实或.7一1<0，陆物线度A中标为（知：四一2m一1，：去 ∠A=∠MA=LA-D==4队，四 +互 2∠FE六m∠Em2=寺-能 /-2a一1.w-2m-1=1m1-22-2,-2. 形A山D为菱形，(2)短博：廿△4C天于AC的轴时称腾形 为△C,六⊥W=M÷∠AMb=0:C为k 头解：1)1的°(2)电统转的生项，得∠LPD=-”.AP E.期F=:AF=EF=√E+.AB= 的中点，∴M为△G饰中位线·CM家∠：= 宽-平F-3,.A-4瓦在△E中，“+ ∠A日=，去△行为雀角三角层，①解，（为：值中 =,∠AB=a=0:4∠CABe∠CBA■.Hm∠CAB A甲=A,4十(8=4,5，解得=1=一1〔含 点，，X==五度.周AH=C一3=5-.在 K△用中，Bhf=AH一AF,在R:△C3B中，BAf=L- -指-享铝-答：∠aD+2c-2cm+ 上石俄-加-1.灯-=《“器-草- ,.A=A1=,=5=)=程=. ∠CAD.∠PAC=∠D4限，△PACAD.A假，∠PTA CE--E=2,PE-AD=C=元又：∠B=∠对一 057定 B一子2N-子国，程w为△加能中的现网 ∠pA品-品-号.罗-“么v-∠A. amn△M“票-紫-焉“音-高一 4馨4用图 (养可随四) 5.丽，(1一武=一9，，十所)量单位自其阶团中大夏 -w-4 二∠CNM=∠C=491鞋AP=D=-增AD=D 5-兰.w-头：Cw=Ew-诺=兰(- 的且户量有粒梨据的直，对=一可，5十国)=一 【两1解，D正为题(2幢反E春0⊥A0于点.”同站湘 .之-p4m-+Dh由，脚学-原∠x AD是斯后，∠&D=.号∠且LE=F,A∠E, Veu FFu 4D=4“,÷=严=(2+21，∠A作=，：u= ∠D一∠AE5.有藏转的性桶：得AE=AD=:DG 第二解分制新规型 大.，气单位直阻试后国中大豆峰种植性数为4佑棱时，可能单 LD,,∠CA=∠DAC'∠AM∠P=r,,△AM A然·e∠1G-3六sw-子AD·,-子×% 【,期)如m所花，(2)设￥与4之国的雨数美系式为3=口十 化南验国中大耳的总产量景大，（含）隔，厘角如下，等证 6豆，)存在导使F,B,D三点无线冷有种精况材论①如答国 告去，P=1, 人路21s4:代人得+-6， -6,i 2160.零一上—46+213916时，解得6，n D,气点E在DF上时，生接F,EF⊥E,∠AEF T,,单程面积试编田中大的鱼产绿能达到上1 ∠AED=∠B=,WAE=LB:LF=AF,Ri△ABF■ 【例311)M明.由蛋叠的性断，得4PAD一∠DAQ-AP=PP 之间倍商拉关系其为￥=r中尾11所【解新】15一=h》 么解，山厘点.连线如刚听术。-受2方法迎（女期 RILEFIHI3,F=EF,表BF=EF=,牌CF=4一x.在 QoD0.∠AB=∠PDA+∠QB9QH理国国 AAD中，AE=AD=4,AD=.∴DE=√正= A产多Q得边后APD观是平行样边斯，又AP=DP同 4-丹去出(4+子wd十}-平由避意.图 3G.本△CF巾，由2定理，得下+D=DF,率( 面据APDQ是意形(？)解：授A山与Q相交于直从”自 +=十25，解再一8一2F西如容用，情友E有 ∠C=1,∠IC=1一∠B十∠Cm.￥月边形AP FD的长线时，月)可程F=EF=于，E25,用DF= 宁X视六二发保登)广+不的图象给豫点线 上一1，F一，同(0可得一)+4m(一2，y,朝得 E=4+25年上所速，F的长为-v候6+8 及A8约距肉0为0-官-博4一21一-想- :夜（世【钢行∠AC-r.因面wA四是丰 1179 2.《1)一2)关于的风数解式=十点， 点形.PD⊥hDQ⊥AC,PD=DQSt=S=十 7(1任则，过点A作AD⊥C于点D,在△AD中，AD= a:i量×1Xt-}×0p+×8DQDp-明 cn在△MD中D-m,canB-nC合 数新新式为4=十五》当=初时，=85中百一际答： 六5a-br9 在第统m周，等中的客术是1对ml由=3挥划逢 C2解，过h4作AE⊥x于点，：∠点-，∠ 广商载学·率者喜重·第4目可《将48男 =58,∠C=10一∠4C-∠H=01直民1AAE中，C= 21.解，(118码18从.5《2)周个既学至异在的平均数相同：点 ,此时==2+,2,在△C中，∠ (11蛋学生身高的方是小：导鸟的被扇投小：所以几1班便被连 同.F+=x2,月41r+1)+22于=42m 联，（企理事》 答：心-n55--号A-宁×剪%08 丙程摆传不超令 得2，石-1角值象去，如答用他，t时4下一42一F 2以解)如厘，点线泥厚为所意(2：石 是全等形 等礼阳面校图情 百一牙，有配1△CFB中，∠FCS,品F+=以. 聚平学AB,A=设AD=D 象日证可，在目i边BA度D中，ADN,∠A=r,,∠A r:明CD=AC-AD-4一，在R点D (,复-2正行+2，中一(4，，朝群x-2行+0算含 =1一∠A=村，∠A市=∠2电5n早分∠AD, 1L解：任养一：冬至1E表二：注点E作F王AB于点F, 中，形+.=-rF+。 去).垃上所i退，线程AF的长为落一2成2+2 .∠Ap-∠CD∠=∠L,D=属用自思 例∠LFE-0T,EF=An:=DE在民色AFE中.AFmF, m14m1×从.25=1.5(m3.”A=11天81=63(m2 解再华“D华 A议)为家等料过形，解：如周，点D,,矿目为所建， EwF=A月一AF-,8.,24+3,✉TL是).容：乙相 2头解：1一次41仕流挖制机油箱内的物量y与工年时料： 中T是（含7见以下不能安装该仙障大引胞热水越， 之国情函数美教式为y=+A已，16,1-持%)化人，同 14.(1适明，“AD⊥C∠0球-∠A=r,在△用相 答围口 答肯整 0, AD-AD. “速轻整图首算内的油第y与工作 0十6=6w. A=128, 5年广西初中学坐水平考试置学顿拔卷（二） ADC中，∠Am∠AC.△ADB AA(A L.A 2.B 3.D>4.A 5.D)6.(1.D &B 3.14.D )第”胃游彩A》是军草国设，∠风D为常等角，∴D 0=0, ym12代人y=一1已r+120,着一12十120m12,解得xu3, =∠hAH=∠AC-AD成H常M, Ⅱ=)解：小军的暖明过程分别磁长.笔 .A注Dk-对技（什） 六该趁据机在情箱事请制钠情况下的景长工作时同是9 度用AE是平行料边照，云E=A一，AE=,点AE= 上，，e料g=A.(F=4L,A山+D=C+p.E 24.11连则：连接R:()=乐，∴.∠(D=∠水- HC=D.QAE=CwD=r,则AD=DE-AE0-灶点 BDCF+O,E-F.AD LBC,∠ADE-∠AOF ∠C,E■C,4∠ED=∠CB.W∠ACU= I网，江【点医】基长GH,羹DE于点M.号证.△H2AMHD D春F⊥C于点F,形ABFD,DFA,BF=D=10 ADAD. 上，二常=C一F-g一0=上一，在AA5程 ,在△A3期△ADF中，∠ADE=∠AE,△A☑ (AA1÷PE-DM,G1-MI=之GL是E方形(EE的连 成⊥，”成是@)的学整，军是©的如统 :△0℃中，柱屠句段定理，样一A5=㎡，VC = 长为A,州山=，山=4一，在R△中：限塔与霍定理 DFP,E-A里=《DW-(下，一=-2一16.解 △1 DFSAS,∠g=∠P,E=A.C=亡A,∠上 得(f=C3F一f2r一2+8.米出M的最小值厚可日 得角=0一3区，为=0+不符合题度，含去)，《D=C ∠ME∠F=∠AF∠A-∠E+∠H1E,∠AH=∠F C=tx(+》=3+.在民1△C)中，=064 电落米. 一0一3瓦，品四意E瑞D的国长=限+呢十(B十(D8 十∠CF,∠C∠浪小民的证项过程，D⊥C 《E,目（妇十一1+2，解停2，n1不合理夏， 二AA与AADC将为雀角三角形，程制置定理，程A 去1.六0=2，=4，二=A0+D=A二A8 3过，第方程同应来1十1，料-一-十，得一 A管一，Ar=M-..A一I伊=A一Cr 9想12±11①：y=2-以，+4+1=4-11-P 1ABr5DA甘-D=十(0mAC一D.又：A √+CS +4十：二抛物线的顺直为，一★十止十1，世如修是 检验号=一手都，2十)≠0六盟分大本得筒解有 BD-ACCD.All-AC-C0.Al-AB+8D 25.解，D22)出谈二次函数的调象开1山件F,1安4：且转 仁的作能菌物线.把，一十口十代入=一千r十 -AC-D+AC+DA2AH=2C.A-C∠H-∠C 件轴为直线一2.当=2明，y单最大值之一。十= - 料-十雀十=一++直“d=,=3,由<-1成2G 1,解周e=-1.y=-/+r一，51CC4.当=4时 有1，【解折】hD每的满数表选发为y=一了十山十5 长罐【动手技作】训数y“可的调象如用所示【家克发规】 21,《)解：如用所示，)明：：四边制 y象最小值：纯时y-一上×+8×4一一一4，为1G4 一2P+0,额N为2,0)，当-子+山中立=0明，解图 (1》左1(2)B【位用国18》有平移2个摩拉长度向下 AkD是形，二AD成∠AD 时y的酸小值为一系信开的量大鱼为4【解背】：箱幽线并可 -1域立=1，抛将级与x输交千L一1,41,5,0得或.？写 平移1个单位长度（或向下平籍1个单隐长度向右平联：个 ∠B0.∠D5)=∠BR队EF着直Y 同下，当所车4+上30时，满是头头一1且十 是的件随抛书线：品C息是写的形而装种且，已的痕局 单位长度)44日，一1 GH,品gu从△E9△H行 13.解得一1G<4.r的最大值为 《2,在C上.处两种精涅计论，当服站霍《一1,0)下方时，，< AAs.=O.网边形EF是 一1，当厘点在(5，下方时，<，<头拉上请连，角修取能直国 2张解，1王瓦U【解新H得边形HF是王方形，于 平行国造思：F事，.国边形pF是菱表 是九C一1我G 球.∠F=.六A格=，T中=2球=2r.女Ai= 22.解1(D七4日)40国的(3)参■此次知积境青级动减 1解：(1)年剂：直线H比减直线MN1目为所求.如西.直国 1.点若与点A重合.-正A机E-,A理由如下 塘比秀《江0们的风年级学作人数的是1的×《1一)% 10N)=L E∠C-.南，nE-5,∠FE-.六得 23.ID延W.连福DN求LAD,,∠0F+∠Dm 女D是@O的切线，∠)=同，÷∠A+∠A调= 蒂-克”ZBC-∠FBE-G,∴∠Ax-∠8E 号OA=4D,,∠A∠AD2.,∠A=∠AE.42)丽： 模拟卷 LAp,A=D.A=0=H..滨是△1H的 2训25年广西括中学业水平考试数学模拟蓉（一） 1.C2A3.14D5.AkD7,D8,A3.D0日 n中食选.0FDE吉-玉”mr-笑-是a L,解：如丽元（养不 11作12，书1成104之1发=13属3017.15s.0 一器-么雪-A3A球的然为-速+2 (N=1期C=5,二川=1，=，（球D.,△明 【雕所】由题鱼，得子A开一点六A对一A负周象去1，二度 2组解：①×4+由-料11：=王，解利”=又把=2代人①，得4 E-,区南垂，E球F号A报-1区，最F-谓 路金尊匙 望全等胞 一期门少一上胞方整田的解为一生 y-t E一2，当C,E,F三点其线时，#周种错涅转院：①如答湘 4.解，1)？)位y美于x的属数解相式为y=与+A超 上清载学·率者等重·第好育《将48男