题型3 圆的综合问题-【鸿鹄志·中考王】2025年中考数学（广西专用）

题型三 圆的综合问题 类型1 圆与三角函数的综合 令针对训练 【例1】(2024·柳州城中区模拟)如图，⊙O的 1.(2024·桂林模拟)如图，PB为⊙O的切 直径AB与弦CD相交于点E,过点A的切线 线，B为切点，直线PO交⊙O于点E,F, 交CD的延长线于点F,且∠AED=∠EAD. 过点B作PO的垂线，垂足为D,交⊙O于点 (1)求证：AD=DF; A,延长AO,与⊙O交于点C,连接BC,AF. (2)若AE=6,sinF=号，求⊙0的半径。 (1)求证：直线PA为⊙O的切线； 【分析】(1)由切线的性质推出∠FAD十 (2)若BC=6,tanF=2,求AC的长. ∠EAD=∠F+∠AED=∠90°，而∠AED= ∠EAD,因此∠FAD=∠F,即可证明AD=DF; (2)由锐角三角函数求出EF的长，即可得到 AD的长，由coOs∠EAD=cOS∠AEF=3 求出AB长，即可求出⊙O的半径. 【解答】 -5 2.如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点3.(2023·柳州城中区模拟)如图，AB是⊙O O为圆心，OC长为半径作⊙O,与BC相 的直径，弦CD⊥AB,垂足为H,E为BC 切于点C,过点A作AD⊥OB,交BO的 上一点，过点E作⊙O的切线，分别交 延长线于点D,且∠AOD=∠BAD. DC,AB的延长线于点F,G,连接AE,交 (1)求证：AB为⊙O的切线； CD于点P. (2)若AB=10,sim∠ABC=号，求AD的长。 (1)求证：EF=FP; (2)连接AD,若AD∥FG,CD=8,cosF= 号求EG的长。 —6 类型2 圆与相似三角形的综合 令针对训练 【例2】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，4.(2023·南宁西乡塘区一模)如图，AB是 CD平分∠ACB,交⊙O于点D,连接OD. ⊙O的直径，F,C是⊙O上两点，连接 (1)求证：OD⊥AB: AC,AF,OC,AC平分∠FAB,过点C作 (2)过点D作⊙O的切线，交CO的延长线 CD⊥AF,交AF的延长线于点D. 于点E.若AC=4√5，BC=2√5，求DE (1)求证：CD是⊙O的切线： 的长 (2)若tan∠DAC=),AB=10,求线段 【分析】(1)先得到∠ACB=90°，∠ACD= DF的长 45°，再根据圆周角定理得到∠AOD=90°，于 是得到OD⊥AB:(2)过点C作CH⊥AB于 ,点H,先求AB,CH的长，由勾股定理可得 OH的长，根据切线的性质得到OD⊥DE, 根据相似三角形的判定和性质定理即可得 到结论 【解答】 7 5.如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线6.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切 上一点，CD为⊙O切线，D为切点，OE⊥ 线，BC交⊙O于点E, BD于点H,交CD于点E. (1)若D是AC的中点，求证：DE是⊙O (1)求证：∠BDC=∠BOE; 的切线； (2)若sinC=3AD=4,求DE的长. (2若AC=12,CE-求⊙0的面积 —8,4错-语慢An-法m期PH-mP- DF=BH,AF=AH,∠FAH=,∠EAF=45,∠EAH =∠B+∠BD,4∠B=∠FAC又N∠AFB=∠CFA, -架-名DF-2An段AD-周Dm-,0aA-0m-2乙 =∠EAF=4.又WAE=AE.△EAH☑△EAF(SAS AF 、用+=1km13站=26，解得k=2.4A月=6m 二程F-广NN=某，HNM.:图边整MDN是学行 -3.在u△ADD中，0M=+A.(2r-3)= PH一24m答：接顶A园地面O的卧离为10拉(2)是长BC 边思，N发BM,∠AND=∠AB根：∠ADN∠AND 士，解特面（角去k.O1w2一反ACmh=姓 交0于点B,易经国边形AHBC是是彩..C》=A=1Dm, =9”,品∠ABH+∠ABN==∠HBM.BR+BH 神刺A十 玉C1》E则，过点0作OE⊥AB于点E,周∠(EA=∠O5B AC=0H,5∠BPD4“,∠P8D=4..PD=设C HE.4EF=BE十DF,()可长AB系点P,债BP=BN=2, 易一都分重准题型 .:⊙0与C则切于点C,÷0C1C,∠C=9 =xm,则4十DH=+10.AC=D月（一4）m在 过点P作C的平行线，突DC的篮能线于点Q,照长AN,突 5∠CD+∠C=时，AD1Gm,∴∠D=0∠AAD4 级型一 几阿图形变膜有关的计算 四于点E,蓬接M,则根海国边参A9D是正吉形，二9 ∠BAD=0.Y∠BOC-∠A0D=∠BMD,⊥∠CHD= 【例11E 答，有择的再度的为5压 0Q-AP-AD=P∥BC,△AN△PE ∠ABD.星FOE⊥AB.OC⊥BC,E=OC0E是⊙O的半 针对谓运 径六A路⊙0悔司线.D解，在R△A中，号e∠ABC A十满分特到（一） 能母-是FE-0-0-PE-设DM- L8玉+1玉4E-4k6 5.解(1少酸y关于1的函数表达式为)=时+N+6将0,0)， 于A8-10,AC-·∠A-k六x-V一C 【例】用 1.2智，2,8)代人得十十=2，解得=D,关 针对调运 6.:Sm-56十S·左AC·C-室+0E+ 4十2b十rm4好， Lewd. 中，南为厦定覆，特现+g-E,(普)'+8- C,0C,n×8×-于×100C+子×0C.6C- 平的第数表站火为)=一3+3.(2卧当一4时，y一一多× (号+'，期得=DM的长是七 【例】A +D×4=及汽车制车4后行装的型肉为尼m(3)不会， 六0阳-VR+元-1在”m∠D-i∠ABD.无 针对调练 是由如下，“y-1F十u=-161一)十7.六当1=5明，汽 A十满分特调（三） ，受号 器-的-2 车停下，行限的雨酒为万，智5<幼，遗不声不要道的情足 3核第.(1)eA(3,0们，B(一1,0)代人y=ar+r-1,得 人)证利，违接OE”EF是⊙O的如线，品OE⊥E下，厚 下不会惊到枪储的军 9贴+-3= 整型二几何图形中的量值问粒 站，解(1》乙A从W(答室不唯一)【解新】自用叠的性覆，阁 ”解用任二1。枪物风明柔敢表运古为y一 ∠0EF-0..∠CEA+∠AEF=0.:CO.L.An,÷∠AH0 -2一置2》存在点M,旋∠CL=∠MC廿y=一2士一3 【例1卫 -∠0AB+∠APH=9M=0E,∠04E ∠ABM-∠NBM,A=BN,E-BE,期BE-是BN.在 针对调缩 ∠球L∠AF=∠APH.∠EFF=∠APH.∠EF (一)一4，龙物线的对称轴为直线工1.令1=0：则y L么42石a▣ ∠EE÷EF=FP,(2解，造接O0.廿AB⊥GD,CD=6,DH R△BE中，n∠8NE=亨，周∠BVE-∠ABN=时， -3,C0,-3以.2，》，V∠减M=∠MC,MC=MA 1 ,∠AnM=∠NM=30.(2)△BMP是等边三角形.E明如 厚MC=M4.1+(1+8)=多-1+广，解得=-L -CD=4,FAD0FE,6ADH=∠R六∠ADH- 【例】A 下：ǜ《1》W年∠AL-0.∴∠Mn=60°，∠AM组=G 1,-.易得直线A汇的函数表选式为方一4一1，这意 作PEy第，交C于点E,到∠D求P=∠OA,“A3,) 针对调缩 F专A02AD丽5AH证=Fr- ∠MP=矿，∠BPM=0矿，△M是等边三角郑 CD,-3,0C=0M=3.品∠0CA=45”.∠DEP=45, 4.65.√56.25+4 a)由(2！可得∠B=∠BN=6',∠DNN=的. 数⊙O的学整为F.期0M=(=501一(0M=AH==天在 【销】 ∠D=0.在R△DM0中，D=2.MQ=1DM=4. YPDLAC.A∠FDE9PD-PE·a∠DEP-号PE △0H中，OH甲十D-.x一a1十4=广.解料 针对调运 .Q=回一=2，互四边形AD是正方形，A -草∴OE-算"AB1CD,OEL EF,∠FHG-∠aBG 二当PE的长限量大值时：PD的长有量大值登P(m,n一 7.DR4t7-3男4 ==已D=AB廿AB=V,AM=MN,∠N时=∠A-9 时，∠求+∠G=0,∠G+∠=对，∠aG=∠ iBV=BC,∠BNQ-,在R1△B9和Re△BQ中 题型三图的合同丽 BN-BCR△vQ≌R△QHa.NQ-cQiA0- 【例1】1)E,VAF母⊙O的切线，AB⊥F.∠FAD+ m∠Bm0台六0m-m费4m 0-0. )'+子等和一兰时.E长的值最大，最大信为子，：D ∠EMD=∠F+∠AED=∠9.，∠AED=∠EAD,∠FAD NNQ-AM十只AD+p-AMD+BQ+(Q=MQ =乙∠E.AD=DF2D解，直接D在1△AF中，F- v-0e-费 长大为停×号一华时，一》 +M0+DQ=4+1+10=+25.,AD=+5, }-,-a-1a∠D-∠∠PD 【例11DE明，，AB为GO曾直径，六∠AC一9，，CD平# A十调分特明（二》 2kI)蓝W:CE AB,∠E=∠EAB,∠B=∠ECB. ∠AC8,∠A0-学∠8-4B,∠A00-2∠ACD-g 5,1)D且明：：△AC是等边三角能，.A指=C,∠A △CEDn△An“蛋-品：D是△AC的角果分使 ∠F,∴D=DE=DE.AD=EF=i,A因是⊙0的直径 D⊥AR()解.过点C作CH LAB干点程，图∠CHA ∠ABC-,￥AE=HP,△ABEa△P(8AS,HE= ∠ADB-0.F∠AED=∠EAD,'∠EADa∠AEF 0,MC=45,C=2∠A8=,AB=√AC+ P,G解，由①知△1BEa△BCP,∠ABE=∠BF ∠-∠Can∠R-∠CAnE-是-罂 -是六智-冬六A-草@0临*径是竿 ,∠GFE-∠CBE+∠BCP=∠CBE+∠ABE=∠ABC= -0C-OD-言AB-5,?5m-令AC,C-复AB: (餐：9【维折1：∠4C-o.dc-VC十a8- 针对谓运 二∠DFC=1矿-∠CFE=0.?)解：在C上熊取AG=BE L.(1》证W,是核0艰VP8.为⊙O的精线，六∠PO= CH.2.CH-C4.OH--C =x,莲接，，G交CP于点F.由(I)知=CP,∠HC A =1r,A能龄如∠Q=1r,CP=2=C,∠B℃ W'AB⊥PD,∠POM=∠POR.在APAO阳APBO中， =1,落是⊙O的切线，0上W∠N城一旷.城 ∠Q品GNCQ.四数形BCq0是平行料边形.CD 是-器0-2n-m-}c- A&∠C0H-∠E,∠Cw0=∠O0e-0.△Ci0 ∠M=∠W,△PAO△P?8A5.∴∠PO= 2街-AMC-AG-4,2p-宁4-0-374，甲 【第断1曲)奥是-器∠AD-∠CAA8-6.AC Or-OP. △0nE思器即号-流DE-片 3-乞r0641 ∠P=90MAM为@0的率整.直A为 12 4,0-圣普-品CD-L?E球通直平分0， ⊙0的暂线，2)解：AH上).AD=4=.0 4.(H证，出C平分∠FAB.∠FAC=∠CA0.0MOC 故，解，1122=B十DF,型由年下：粹△ADF联直 i∠A0O∠CMO∠FAC=∠AO+AD度OC.YCDL A程时时装释9'，得到AABH,是被EH,∠ADF=∠ABH, BE.∴∠FAD-∠FM.:∠FAD=∠FAC+∠CD.∠FDA 是△ABC的中竹线OD=号BC-1,在△ADF中，mF AP,无⊥C见OC基⊙O的径，，CD基⊙0的切线. 广雨教学·泰导答量·第湖男（养4银夏》 《2)解，连核EC,CYAB舞可Q的直释，∠CB-9灯. 每。-草，画膜点不在线设Mv上，当a>0,-4×0一+ 1-成西当号<1+时，化-+g--gn1- +4.六风0，一店+小？平移僧后猫物候和工轴安点同的 “∠C-∠.n∠4C-m∠C-器-， >i,解得a>子首<0时.一a×4-P+山≥5，解得a< -2+2n十2--（一1尸+多-1C,当国-1时，BC重 AC=28C在△AC中，廿AC+=L甲，(2十 距离不变且8-士5品0m-宁0e即-+-士 停量大擅，量大宙为3：当一3CC1一√3时，C=一1m一（一n C-la.C-2v及'∠DAC=∠CB.G-iCF 一士，碎上所连的取整范围是x于或a>于成a<一1 +20=-1m-1m《n一1-1：>0，当m=-3时，点M 4,解得制=土系或m-士6风：>，二m的做为6或香可 =-C=2后.国边尽ABCE内接手⊙0，∠AC+∠B■ 针时氧篮 与点C重合，℃表得量大值，量大鱼为1察上新连，线登 针对词莲 1."∠AFC+∠DFE=1,∠DF=∠&∠CDF= 1.挥1)当b=2,=-3时，y=x2+1x一1=《2+1-4，.顶 长虚的最大鱼为3 解：1设y关于x的函数关式为y=4十r十10，把1， ∠-如ac0cL-借器-0 点C售坐标为（一1，一4）.当y=◆时，(x十1)-4=0，解得= 【例1解：)设直线(AM的函数解析式为y一行，将A(2,一)代 3-4-L六A-3.b1.8(1,,0EP(-1,101,Q(4-0) 人，牌2=一4，解料k一2直线Q4的函数解析式为y一 10,,5.625)化人，得41-0， 么25+1+0-25.都网 w=名 16==5, 一2x.2)政前物线的属量聊所式为3=(r一一4.秀(0，D》 消 至(1)证明：连找以：AB为@0的直径，∠ADB=则 代入y-子+如十，e+B国- 代人，每4一4=0，解周■-1抛物线的函数解析式为y=任 A= i∠D0十∠00B-0.CD为@0的W线.∠O①C=剪'， 一1时，y=十虹一1，当=0时，y一一1，抛物规议直(0， 一-4.（存在.◆y=一以一4=0，期得=0：n=L 2)令y=0,周一ix+5x+10=9,解得1=1，=-1（不题 ∠BDC+∠PB0',∠ADD=∠BDC.YDM=D, 一1)，当x=一1明，y-1一一1=一，当1血4时，=+4格 B4,0).段P(m,一2m2.AB=(4-2+0+4)'=20, 意，会去1运动员甲风刻就点A同人术点的水平耶肉D为 ∠A=∠ADO.∠BDC=∠A.WOE⊥BD,∠OHB=0 1=4十5.分再种得况讨轮，1，当点【一1，一)有点P上方藏 P=m一2+一2m十4=-20m+20,P〔m一4 =∠ADB.CE&AD.:∠E=∠A÷∠DC=∠E 与成P重介附，抛物饭与线程Q有公共点，厚-1，■用b +《一2m-0P=一8时+16由置意可年，AB军直线0M不 n30y-一r+5t0-一（一是》}'+卓适员 邮：∠0C-时，nC-咒-子设0D-4,题0C G-10:1.当点(4,4h-15在点Q上为度与点Q重介时，抛物 保直，“点A不可盘品直角夏点分两种情院转轮：少P为直角 甲起满断达州根高点血到床宝的高度专为华m率4一票 顶点时，A+P开=A甲，六5=nm十2+-n+16 ,C=oE0D,A0 ECA焉-是 线与线吸四有公我点，即4叶1，新得心一要，除上所述 2的，解则国-2含去>m-.P(合.一音}回日为立角 -一时+号，令A=0则一+号-0解得-154一一15 :要-岩0球-a球La.0w=0D.÷-p.女ow 小的原细衣强品长一10或62一号 点时，A+P㎡=PA',0+5w-8m+16=5'-2m+20, (不合题意，者去入15心1，，上近动良甲不旋现成宠成此动作 【刻21解：(1)将A-1,0,(1,D)代人y=十证+C,得 11=十=0， 解得一一子，云小（一等，号）命上所运，点P的束标为 解山)电毫道知武0,1》.C45,.最摆物线的函载第行式 ■QM,,0H是AMBD的中位线.六0H与AD、2'∠CE 计。第海=皮丽数的解有式为- 为a+1.把C4y.)代人：得？-十1.雕得4-等 c=-1. -∠oHD-o,∠0-∠0H.六△0△ia÷0 (,-}(-于) 红一1,2)南(1知=2一2一1，当0时3=-1,0 针对调练 六葡物性的函装期析式为了一牙士十上(2公养图下降T1m 瑞a0-a0阴-底D呢-@E-T一在 -3.0C-&由国章.作A眼-45w-支A用，0C-6 1.解：(1)把A4一1，)，B13,0小民人y=2十如一3，得 北时清售泰孩安的题离为7一1一6(.当)一6时，了子十门 长(1任喇：莲建0悲.我，兆=溶，∴∠=∠是，D基 (1设直线C的函数解折式为y=r十k来8(3,0).C0,一) --1=0, AC的中点，0是A菲的中点，0D是△AC的中拉级.二(08 如十站一8m0, :装自线的函数解析式为y一 =4,新得=一2√石，南=1瓜克时霸面MN的宽度为 .直线C的保数解析式为 G∠如=∠B,∠0D=∠0E战÷∠AOD-∠0 14-s 山-4. 一2一3.(2存意."y■r-一8=r-1)-4,4D日， 21一（一2/0）=40n1.1如图.候F为原点.直线 :0A=0E,0D=G0.△AGN9△EB0D(sAs3,i∠D0 w士-k授Mfew-3),期Pn一2m一8).PMm-3)- 一4翼P(1-一3).分再种精混计轮，中当D9为对角线 A8为x轴，左线EF为y轴-逢立平蜜直角第标系，授C打写方 ∠DEm."AC是⊙0的到线：∠D0-”∠D30=灯' (-一动=-（受）广一是”点严在第到更限内跨抛物 时，国边形DFQ为平行国边形，，一4+1=0+一一8，霸 输癸于点，由图@中∠AHK=可知，∠DCHm射”VCG 即CE⊥DE.QE是⊙0的年径，：DE是可O的丽.(21解： 特4-04=.列9，-0，Q日，1度P8,-0,4.1》5 43,G时=℃·∠0CH=4.J-4=1cm.J, 准装AE:AB是⊙0的直径，∠AE工=∠AEB=:AE 线上0r<海一宁时，PM有大，最大为 DP为对角线时，四边形DQP为平行四动思，一4十？一21 3=0+1,解得4=-2，k=44P(一，，Q-4,1}速P(4, )2直线CH的数解式为y=x+把C45,7力： -√ACE-号.∠n+∠AB-m.:∠C-期， 针用辆体 ),8,1).撞上隋i连，P0,=1),Q3,1)或P2,-3),Q(4,1 1,解，)“直线y=一2网与x笔，方输分别交于A,8两点 代人.辑4万+b-7,6-,标= 3”直规C的函数 ∠B+∠C-.∠C-∠△BEA 或P-2.,Q-41或P(4,5,3,0. 4A2,0i.B0,-2.y-+2nr-2+2=-(r一n3 【例】解：(1由题数，得A(6,》.C0,1,灵湖着线的南我新析 十2，品周物线的厦点为D(m:2.令主=0：期方=一十2. 出气0，-+2.①当厘1时，-2n=一4，一3+2=一2 大方y一ar+6把A6,.C0,4代人，0%一2解精 解式为 品A2,00,B0,-4),C0,-2,D2:2).年n=2时：直线 1=4, AB的函数解析式为罗一2：一4，险物线的属整解析式为y一于 丽型四二次函数的锦合及实际应用 十4x一2时点P严作PEy轴交直线AB于点E.位点P的角都 【例1解：)当y=0时，+2十3=4，解得一-1，与 为，-+-2,4-2-4).÷P5=一+-1- 2.dn【解折】R直线OM的函歌解新式为y缸.把A(8,2)代 -(-,是÷m 为= X÷A一1，®)，8(1,01(2)”输物线的对称装为直镜x= 4-+必+2六8m-专P限-)-者×-+江 人，样5一，都每4一号二直袋硝的阔数标新式为y一号。 2x-万1.令一士+2江十8=--1，解释五 +2)X含-=--1+3.号一1<0.1=1时，△PAB 的面积量大，t时点P的兔标为(1,1》.(2)由1)可厘，B(0, 解特-1化-点E的室标 32 PA-PC.[1一(-1)了十=(4-10+《-4-wP,解周 -2),0,十，①分两种情况材纶：9子2-十 -+ 前==4,1外=2 m■一名.(3)加的取售有国是：■二或a>受或a≤一1.【解析】 为（一13，-）.根到时称年得点F的条标为(18。一4)，F 1一（一1）一4(，3)设平格哲的抛物线的请数新新式为 暴周M01,N4,5”y=-一ae一1十4,5国物线的厘点 为（们：导周种情程计配，心丽点在线段MN上，则妇=5，解 两一8G<1一工■的腺售直偶为子<m十5或一6 十n十4：与y轴的交点为D,争工0，哥y一流时 广雨教学·泰年答量·第1男（养绿夏》 广滑数学+泰卡答老·第42剪《养限黑》