第1节 实数及其运算(精讲册)-【鸿鹄志·中考王】2025年中考数学（广西专用）

第一编 回归教材夯基篇 第一章数与式 第1节实数及其运算 梳要点·过教材 令知识梳理 整数 有理数 分数：有限小数或无限循环小数 按定义分 无理数：① 小数特巧 实数的分类 按正负分：正数、0、负数 解题技巧常见的无理数：(1)开方开不尽的数，知：v②③：(2)与元有关的数，如：受，(3)含根号的三角函 数值，如：sin60°，tan60°：(4)有规律的无限不循环小数，如：0.101001…（相邻两个1之间依 次多一个0) 易错警醒(1)非负数包括② 一a不一定是负数： (2)判断一个数是不是无理数，不在于形式，关键在于化简后的结果 原点正店方向 数轴 三要素： 方。十。士放长隆 性质：实数与数轴上的点③ 实数a(a≠0)的相反数是④ ,特别地，0的相反数是0 实数a,b互为相反数台a十b=⑤ 相反数 或号=⑥ (b≠0) 数 几何意义：在数轴上，互为相反数(0除外)的两个点在原点两侧，且到 其实数的相 原点的距离⑦ 算 关概念 定义：数轴上表示数a的点到原点的⑧ ,记作a.离原点越远的数 的绝对值越⑨ a(a>0) 绝对值 1a=0(a=0) →|a⑩ 0 -a(a<0) 若|a=b1,则a=b或a=@ 倒数 实数a(a≠0)的倒数为② 实数a,b互为倒数台ab=⑧ 易错警醒@ 没有倒数：倒数是它本身的数是⑥ 表示形式：aX10(1≤a≤10，n为整数)题 科学记数法常见的计数单位换算：1万=西 ,1亿=⑩ 常见的计量单位换算：1m=⑧ m.1 nm=19 m 解题技巧n的确定方法：(1)当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，则n为原数的整数位数减1， 如：31400=3.14×10：(2)当原数的绝对值大于0且小于1时，n为负整数，则n为原数左起 第1个非零数字前所有零的个数（含小数，点前的零），如：0.0001=1×10· 1 若x=a(a≥0)，则x=④ 平方根、算 平方根一个正数的平方根有两个，它们互为@ 没有 术平方根 平方根 与立方根 算术平方根：若非负数x有x2=a(a≥0)，则x=⑧ 品销尊醒 立方根：若x3=a,则x=a 易错警醒平方根等于它本身的数是@：算术平方根等于它本身的数是因 :立方根等于 它本身的数是团 ,任何数都有一个主方根，且与原数同号 数轴法：如图，可得a⑦ b方 性质法：正数>0>负数：两个负数相比较，绝对值大的反而@ 实数的大作差法：a一b>0一a>b;a一b=0台a四 b:a-b<0=a圆 b 小比较 平方法：va>√b台a@ ≥0（主要应用于无理数估算及含无理数的式子的大 小比较) 其他方法：作商法，绝对值比较法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小 加法 的绝对值 一个数同0相加，仍得这个数 数 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a一b=a十② 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 实数的运 乘法 任何数与0相乘，积仍为0 算 算法则 除法：除以一个数（不等于0）等于乘这个数的倒数，即a÷b=a· (b≠0) 乘方：a"=a·a·…·a n个d 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，同级运算从左到右依次进行，若有括号，则先进 行括号内的运算 负整数指数幂：a一=③ (a≠0，力为正整数)，特别地，a1=1(a≠0)丽 a 易错警醒(1)对于负整数指致装，防止出现2a 2京这样的错误： (2)指数的符号与结果的正负无关 (a≠0)：一1的奇、偶次幂：（一1）"= 到 (n为奇数) 零指数幂：a°=⑤ 列 (n为偶数) 加法交换律：a十b=b+a 加法结合律：a十b十c=a+(b+c) 实数的运算律乘法交换律：ab=ba 实数的 乘法结合律：abc=a(bc) 运算 分配律：(a+b)c=ac十bc a-b(a>b). 去绝对值符号：a-b=0(a=b), b一a(a<b)每题做n 解题技巧若能直接求出a一b的值，则先求值，后去绝对值符号：若不能直接求出α一b的值，则先 通过比较大小，判断4一b的符号，再利用绝对值的非负性去绝对值符号 sin30°=cos60°=③ ;sin45°=cos45°=9 特殊角的三 sin60°=c0s30°=0 角函数值 tan30°=① :tan45°=④② :tan60°=4B 2 令基础练习 (建议用时：8分钟) 1.(人教七上P4练习T3变式)小戴同学的微信钱包账单如图所示，十8表示收入8元，下列说法 正确的是 () 微信账单：十8，一3 A.一3表示收人3元 B.一3表示支出3元 C.一3表示支出-3元 D.收支总和为11元 2.情境串题训练（湘教七上P45习题T5变式）中国的探月、登月计划受到世人的关注.月球与 地球之间的平均距离约为384000公里，数据384000用科学记数法表示为 () A.38.4×10 B.3.84×10 C.0.384×10 D.3.84×10 【变式题】科学记数法：表示较大的数→较小的数 中国航天科工集团公司的技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的 金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一，若一根头发丝的直径大约为90m,且 1m=0.000001m,则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为 m. 3.(湘教八上P125复习题T1变式)将下列实数前的序号填入相应的括号内. ①3：②2：③若：④-11：⑤3：⑥-6.101001001（每相邻两个1之间依次多-个0）： ⑦-0.1；⑧-8. (1)整数集合： (2)分数集合：{ *}: (3)负有理数集合：{ *〉： (4)无理数集合：{ …} 4.√16的算术平方根是 的平方根是 5.串题训综如图，点A表示一4，点D表示-5. (1)在数轴上标出原点O: (2)点B所表示的数为 (3)点A所表示的数的相反数为 ,倒数为 ,绝对值为； (4)若C,B两点到原点的距离相等，且C,B两点在原点的两侧，则点C表示的数为： (5)点B,D两点之间的距离为· 6.计算： 14-2sin45+(3-x)°-(3）； (2)-5×星+25×2-25× 3 刷真题·探考点 命题点1) 实数及其分类 命题点4 科学记数法 1.(2021·北部湾中考)下列各数是有理数的是 10.(2024·广西中考)广西壮族自治区统计局 发布的数据显示，2023年全区累计接待国 A. B.√z C.3 D.0 内游客8.49亿人次.将849000000用科学 2.(2022·玉林中考)下列各数是无理数的是 记数法表示为 ( ( A.0.849×10 B.8.49×108 A.√2 B.1.5 C.0 D.-1 C.84.9×10 D.849×10 3.(2018·河池中考)在一2,0,1,2这四个数 1山.(2019·玉林中考)南宁到玉林城际铁路投 中，为负数的是 资约278亿元，将数据278亿用科学记数法 A.-2 B.0 C.1 D.2 表示是 ( 命题点②用正负数表示相反意义的量 A.278×108 B.27.8×10 4.(2023·广西中考)若零下2℃记为一2℃， C.2.78×10m D.2.78×10 则零上2℃记为 ( 12.(2022·贵港中考)芯片被誉为现代工业的 A.-2℃ B.0℃ 掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我 C.+2℃ D.+4℃ 国的光刻技术水平已突破到28nm.已知 5.(2022·百色中考)负数的概念最早出现在我 1nm=10-m,则28nm用科学记数法表 国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数 示是 与对应的正数数量相等，意义相反.如果向东 A.28×10-9m B.2.8×10-9m 走5m,记作+5m,那么向西走5m,记 C.2.8×10-8m D.2.8×10-om 作 m. 实数的大小比较 命题点3 实数的有关概念 命题点⑤ 6.(2022·北部湾中考)- 3的相反数是( 13.(2021·柳州中考)在实数3，号0，-2中， 最大的数为 A B.3 C.- D.-3 A.3 B.Z C.0 D.-2 7.(2022·桂林中考)一3的绝对值是 ( 14.(2024·广西中考)下列选项记录了我国四 A.3 C.0 D.-3 个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温 8.(202·百色中考)号的倒数是 最低的是 A.北京-4.6℃ B.上海5.8℃ A R C.-3 5 D.-3 C.天津-3.2℃ D.重庆8.1℃ 9.(2022·北部湾中考)如图，数轴上的点A表 15.(2021·桂林中考)有理数3,1，一2,4中，小 示的数是一1，则点A关于原点对称的点表 于0的数是 ( 示的数是 A.3 B.1 C.-2 D.4 16.(2024·广西中考)写出一个比3大的整数， A.-2B.0 C.1 D.2 可以是 4 命题点6 算术平方根、平方根与立方根 21.(2022·北部湾中考)计算：（一1十2）×3十 22÷(-4). 17.(2023·广西中考)计算：√5= 18.(2021·河池中考)计算：一8= 命题点7实数的运算 19.(2024·广西中考)计算：(-3)×4+(-2). 22.(2022·贺州中考)计算：√(-3)+|-2+ (w5-1)°-tan45. 20.(2023·广西中考)计算：(-1)×(-4)+2÷ (7-5). 拓视野·提素养 1.科技热点情境(2024·常州中考)2024年 3.注重数学文化我国古代《易经》一书中记 5月10日，记者从中国科学院国家天文台获 载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录 悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离 数量，即“结绳计数”.母亲甲在从右到左依次 地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄 排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子 今直接探测到的最远的一批中性氢星系 1出生后的天数，如图①所示，孩子1出生后 50亿光年用科学记数法表示为 的天数是1×73+3×7十2×7十4×7°= A.50×10光年 B.5×10光年 508(天).母亲乙按照母亲甲的做法记录孩子 C.5×10光年 D.5×10°光年 2出生后的天数，如图②所示，则孩子2出生 2.注重数学文化在《九章算术注》中用不同 后的天数比孩子1出生后的天数 颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示 正数和负数（白色为正，黑色为负），图①表示 的是（十21）十（一32）=一11的计算过程，则 图① 图②四 图②表示的计算过程是 A.少41天 B.少42天 =三-0 C.多41天 D.多42天 图①D 4.○学科融合·跨物理(2024·广州中考)如 图，把R1,R2,R:三个电阻串联起来，线路 一=尝一 AB上的电流为I,电压为U,则U=IR,+ 图② IR2+IR.当R1=20.3,R2=31.9,R3= A.(-13)+(+23)=10 47.8,1=2.2时，U的值为 B.(-31)+(+32)=1 C.(+13)+(+23)=36 D.(+13)+(-23)=-10 温馨提示 情完威（特练车）P1一2 5防视野，提素养 参考答案 5n原大-÷卫-2%-n-。m+1- 十1 12减8或02年 题格三：解：设人数为物保为于线，由遥直：释一一。 y=+4, 十1，当-1时，原式-1十1=- 精讲本 人标任多一一 发有将密分数化为裂分数样化景任多二 客，人量为1：物骨为5的线。 y=53 落一编回归教材夯基篇 火-1+141-√停-1+2-9-1+竖任务三，在 【安式题解：方法一：设共·人合收买金，金价为，线，血题立 第一章数与武 一201时，取置2c13”0家 连行二次根式运氧时，结果必用化或异管二次型式（答军不明 n08一0-”解传一出.新：共8人合收买位，金 第1事实数及其运算 佑能极·望素养 00160-3, 1y9400 一，金理零国》 翰织镜理 1解：由题意韩。斗-。D-中则M=中+ 轿为乡80钱.为法二，段共工人合优买金，由愿意，周0x 第3节整式及因式分解 面无限不酒郸20和亚数山一对皮国#②0 8400=800r-100,解每x=3以.400g一3400=480×33 划识植理 甲-1他指等取高g大>非一卡地片81 多40=单0（线.有.其朗人合饮买金，金伦为9时线. D联也有3有数项图最高密1重@如十b+: 【空式圆解方法一：设合失人数为，羊价为y装由延盘，母 特5生1像11810010T0生w 8-6-￥宝，4金+①=B69 器 色相反量90数8后每0,1影6，±10 B+wCr+ad+g+M62一2士2h+g 2制：(1》①)香去括号时，哲号列的第二项授有变号 r+3=y, @小8-<>(-》片g}别 0ea十4+d0a十4)(a@a士)9 (+3 方该二：设合我人数为工由愿意，释红十好■x十5，解每x 基树线习 2L5x十45-5×21+45-150（钱.等，合做人数为1，单的为 g-11}9●g0g@105 1.D2.(1010a+4b(3D14@523.10④00 影务 十y +y 4题略一解，2大和片有：人，小和典有y人根墨题意，得 益建格对 a①00aD00G0430)-吉 第二章守程（组）与不等或（血》 +-100, 1B2B【变式超×104 4.t102a5203x-y】(8D3x-1D2ax-2 第5节一次方程与方程组 答：大和确有器人，个如内有5人 支12④魔2)D步(3)迹@40心面@ y 32y2x+1)02x-1 短领随理 1±号多0一牛时 5,解)原式-结一36-知+4=6-4，(2)第式-2+14y 型略二解，比大程肉有x人，前小形肖有《阳一r小人，根据想 y-1y--2ry=-y,[3》原武-+2ry-6ry年 ①士：wg重u-1国重式两®同 意.4名十100-10的，解得x丝，周1四-士-H界，大和 a4-74(9-(98 +2士y=4y-3旺(4眼式=：-2+4=1a', 基起体身 餐有6人，小释内有行人. 6解，那t--×号+1一-一反妇原在-一5× +2 6.解：家式=4F3-y-4P+12y-9y》+《-)=-10 LB2.D3.1)-12x=1.5 系解：方法一：位孩信有客用x间数然厘夏，得7：+T一一 +2灯》+(-2y》=力一t,当e=1,y=-1时，速式=5× y-100. 1),朝得4-我六江十7一问答该店有客离料.谢客1人方 ×量5×十-×（停+}》-指×-一 (=1)=×1==16 4aK×+0-m一10+号 法二：设填店有常房王利，病客多人，限据超意，得 利有题·军带点 刚真耀·程考卤 5.解：1》去分母，将51x一1》=24十》一10去活号，得15x 中一解得8箭流密有客围事窗客和人 1D1A3A4.C5-5&A7,Aa.A,10,8 1,A1B3C4C5As.14 一1=红+4一0移用，得上一4红=4一10十5.合并同美项：得 9(x一10=3： 1L,C生C1认A14.A5C12(落常不厘一)17，多 1解期式-2-少+分-一-车一1一移，服火 18.-1 红一1.果数化为1，得上-号.《20由中，得-2红-33：起 雨直那·视号点 --2x克- 1.C2.C 19,解：原式-13+4=一8 代人②，样8+21x一3)=，解得1-1把一2代人③，料 玉解：小+色，海a=4,解特4=久把=多代人①，3十2)= 词，朝：原式一(-1)×（一4》十4十2-4十2=在 .D9,D10,e4+4111(a+24s-b L.解，原武=1×3+4÷（一4）=3-1=. 1116m+20n-2)1A1114-204715.55416B 上心力程短的解 4=2. y=1 玉，如得y一工六题方程组的解为 拉.解，原式■多+2十1一1■5. 畅授野，植果养 控典磁·抓重点 传反野·提素标 1.B 1前：(1)代人每减由@，得y一2山一1@，@代人①， 4■②×5，得10=)-103，D+①，释144-1，解斜4= 1.C2.A人A4m 第4节分式 得十新2一1)=11，解得1=之花-2代人①，得)=1，所以 子，无一量代人2，两2×子-3-2解得y品那有假微的 第之节二次相式 知识被理 知识械强 D学经@B中0③A一0且B≠9无朝号西异号 -m把D代人四，得+D-(告+) 紧为数短能解为y一3 山分得②塑数观出式包e0一■⑧量首二次限式 6'￥8·音始好 =6,解则上一名把主=3代人①，得y=之，原方程里的解 ly=L 保 5.B 6B 蓝础体习 T.解：山量该市一级水要的单价为x元，二盟本香的草价为 燕殿体习 1.C1B3.(1)*-22)=11-1 .县，解，设有x只，兔有药一）几，由感意，得2x十 1号图a为任数(3且 48点用- 4(5一)=4.解月x=发名36一士=35一1=12（只）.荐，真 足s, 有2格月.兔有12只 由一候水授的单货为1,2元，二缓衣膏的单价为6,5无 主a2度1a平，师0百，-厘 &(11-22130B(414.084(2)2 一2(w中=一2n-民￥n为满是一1区w<4的琴数，且w 思降二解：设高有：风，兔有y只曲题意：鞋中新， (2)1,2关123线，（元》，城4心4.4：品用水量烟过12m.设 用水量为a,银鬓题意，得.3线，4十4.5(a一12-44，解得。 别离题·解考点 2,需1：m=晚1.当图=●时，眼式=一8，（境当和=1时 1D1.C3a14105.76.C1.2夏kT 眼式■-2×1一6=一的 设备者出风有口风 =长答：当酸销水骨为以.4元时，用水量为6■， 长解：设新什尺到A车间E人，分配可丑车司J人.图餐驱 留原式--号-2+1- 副真置·程考点 3.县斯一，朝，位人数为玉由鼠量，科81一8=7上十4，解得王 1.A103.A4D 7.红一3-63.等，人数为7，物价为3钱 广雨数学·本专墓发+器1夏4将48夏) 户雨数学·华专笔贵+第】夏异8男)