精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年九年级下学期定时训练2

八中2025届九下定时训练2 数学试题（3.2） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 用数轴上点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A B. 1 C. D. 2. 下列标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个命题中，假命题是（ ） A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 5. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是O，若，且四边形的周长为4，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 27 6. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 有机化学中“烷烃”的分子式如可分别按如图对应展开，则中m的值是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 8. 如图，在中，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与相切于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（ ） ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 12. 一个多边形的每一个内角都是其相邻外角的2倍，则这个多边形的边数是__________． 13. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是_______． 14. 若关于的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为_______． 15. 如图，是的外接圆，为直径，于，记与的交点为的延长线与过点的切线交于点，若，则_______，_______． 16. 对于一个四位自然数，各个数位上数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“通关数”．对于通关数，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记．例如：当时，，，．若为最大的通关数，则_______；一个通关数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整数，且是一个完全平方数，则满足条件的通关数的最大值与最小值之和为_______． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 小北在学习完直角三角形后，小北进行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，当两条射线互相垂直时，两交点与斜边中点所连线段有什么数量关系?请根据他的思考完成以下作图与填空． 已知：在中，，E为边上一点，D为边中点． （1）尺规作图：过点D作直线的垂线，交于点F（只保留作图痕迹） （2）求证：． 证明：在中， ①_______ 又，D为BC中点 ②_______ 又，D为BC中点 又 ③_______ 在和中， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则⑤_______． 19. 安全伴我行，幸福千万家．某校举办了安全科普知识讲解大赛，赛后某学习小组从八年级和九年级参与了比赛的学生中各随机抽取了10名同学的成绩进行了收集，整理，描述和分析，下面给出了部分信息：（A组：；B组：；C组：；D组：；单位：分）． 九年级10名同学成绩是：80，82，88，90，92，92，95，95，95，99． 八年级10名同学中成绩在A组中的数据为：84，在C组中的数据为：90，92，93，93． 根据以上信息，解答下列问题： 八，九年级所抽学生大赛成绩统计表 八年级所抽学生大赛成绩扇形统计图 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90.8 93 3256 九年级 90.8 92 31. （1）上述图表中_______，_______，_______； （2）根据以上数据分析，你认为我校八，九年级中哪个年级学生的安全科普知识讲解大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校八，九年级各有600名同学参加了此次安全科普知识讲解大赛，估计我校八，九年级参加此次科普讲解大赛成绩在组的学生人数共有多少？ 20. 不负好时光，添绿正当时，植树造林是实现天蓝、地绿、水净的重要途径．为自觉践行“绿树青山就是金山银山”的发展理念，某中学在“3.12植树节”当天组织了一批教师和学生分组进行植树活动，若每组植棵，则多出棵树；若每组植棵，则还差棵树．（用方程解决下列问题） （1）求共需要植树多少棵？ （2）当植完一半的树时，天气预报显示可能会下雨，于是大家把植树速度提高了，结果比原计划提前了小时结束植树，求原计划每小时植树多少棵？ 21. 如图，在中，于点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动秒，的面积为为面积与点运动路程之比． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 22. 周末，小明和小强约定去一风景区徒步，他们同时从出发，到终点集合，小明先沿点的北偏西方向爬坡600米后到达，再沿点的东北方向爬坡到，小强沿与平行的方向由爬坡到，再沿点的北偏西方向爬坡到．（参考数据：） （1）求到的距离；（结果保留根号） （2）已知小明的爬山平均速度为30米／分钟，小强的爬山平均速度为36米／分钟，通过计算说明谁先到达．（结果精确到0.1） 23. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线交轴于，两点，交轴于，且点，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，过点作于点，点，点分别是直线，轴上的两动点，连接，，．当取得最大值时，求三角形周长的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点是轴上方新抛物线上的一点，连接，过点作交直线于点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标． 24. 四边形中，对角线，与交于点，且． （1）如图1，若，，当时，求四边形的面积； （2）如图2，若，过中点作分别交，于点，．证明：； （3）如图3，若，点在直线上，将绕点逆时针旋转得到，当线段取最小值时，内部一点满足，当取最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八中2025届九下定时训练2 数学试题（3.2） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是， 故选：C.． 2. 下列标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形以及轴对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的性质即可判断． 【详解】A. 不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不正确； B. 既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确； C. 不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不正确； D. 是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不正确； 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列四个命题中，假命题是（ ） A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中点四边形、特殊四边形的判定等知识．根据相关知识进行逐项判断即可． 【详解】解：A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项是假命题，符合题意； D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； 故选：C 5. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是O，若，且四边形的周长为4，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似比等于位似比可得：四边形的周长四边形的周长，据此解答即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形位似，位似中心是， ∴四边形与四边形的相似比为， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为， 故选：C． 6. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据无理数的估算即可得出结果． 【详解】解： ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7. 有机化学中“烷烃”的分子式如可分别按如图对应展开，则中m的值是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现字母“”和“”个数变化的规律是解题的关键．先根据已知图形得出第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为，然后将代入求出m的值即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中字母“”的个数为：1，字母“”的个数为：； 第2个图形中字母“”的个数为：2，字母“”的个数为：； 第3个图形中字母“”的个数为：3，字母“”的个数为：； ， 所以第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为， 当时，（个， 即中的值是． 故选：B． 8. 如图，在中，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与相切于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点D作于点G，利用分割法，计算面积即可． 本题考查了直角三角形的性质，三角函数的应用，扇形的面积公式，分割法计算面积，熟练掌握直角三角形的性质，扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：连接，过点D作于点G， ∵，，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与相切于点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定，并可以根据题意正确作出辅助线是解题的关键．延长至点，使，过点作，交于点，设与交于点，先证明，得出，，结合，得出，再证明和是等腰直角三角形，则可得，证明，可得是等腰直角三角形，再利用线段的和差即可求得． 【详解】解：如图，延长至点，使，过点作，交于点，设与交于点， ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（ ） ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出即可判断①；设，则，从而可得，解方程即可判断②；不防设为奇数，为偶数，则为奇数，每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，即可判断③；根据题意计算出即可判断④． 【详解】解：∵，，为方程的两根， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴或，故②错误； ∵对于整数，，若为奇数， ∴不防设为奇数，为偶数， ∴为奇数， 每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，故在操作过程中，得到的一定为奇数，故③正确； ∵，， ∴， 选和，则， 选和，则， 选和，则， 此时， 故要使得成立，则至少为4，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、整式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂计算即可． 【详解】解： 故答案为： 12. 一个多边形的每一个内角都是其相邻外角的2倍，则这个多边形的边数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，假设多边形的边数是n，则每一个内角是，内角所对的外角为，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：假设多边形边数为n，则多边形每一个内角是， ∴内角所对的外角为， ∵ 解得：， 故答案为：． 13. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键．根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种， 和是偶数的概率为， 故答案为：． 14. 若关于的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法．先解不等式组并结合题意确定的范围，再解出分式方程确定的范围，进而确定的所有取值，最后求满足条件的所有整数的和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式有解，且最多有两个偶数解， ∴ 解得：． 解分式方程 解得：． ∵分式方程的解为正整数，且 ∴ ∴ ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 15. 如图，是的外接圆，为直径，于，记与的交点为的延长线与过点的切线交于点，若，则_______，_______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】过点A作于点H，连接，证明四边形是正方形，求出，解直角三角形求出，即可求出；解直角三角形求出，，证明，求出，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点H，连接， 是的切线，点为切点， ，即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，则， ∵，四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，切线的性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 16. 对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“通关数”．对于通关数，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记．例如：当时，，，．若为最大的通关数，则_______；一个通关数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整数，且是一个完全平方数，则满足条件的通关数的最大值与最小值之和为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查数式的新定义计算，涉及有理数的运算，列代数式，整式的加减运算，不等式的性质，熟练读懂新定义，并可以根据新定义列式是解题的关键．根据定义即可得出最大的“通关数”为，再计算即可；由题意，可得，，， 求出，进而得到是3的倍数，的值可能为，再根据a的取值结合是一个完全平方数，来决定通关数的最大值与最小值，从而确定即可解答． 【详解】解：根据为最大的“通关数”， 当千位上的数字为9时，百位上的数字为7，则十位上的数字1，个位上的数字为7， ∴最大的“通关数”为， ∴， ∵， ∴，， ∴； 由题意，可得，，， ∴， ∴， ∵能被6整数， ∴是6的倍数， ∴是3的倍数， ∵，，，， ∴的值可能为：， ∵，， ∴，，， ∴， ∴或或或， 当最小时，即时，通关数可能存在最小值， 此时，没有符合的b值（舍去）； ∴当时，通关数可能存在最小值， 此时，符合条件，则， 当时，一个完全平方数，即， ∴通关数的最小值为； 当最大时，即时，通关数可能存在最大值， 此时，时，通关数最大，则， ∴是一个完全平方数或是一个完全平方数， ∴或（舍去）， ∴通关数的最大值为； ∴通关数的最大值与最小值之和为， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式去掉括号，然后合并同类项即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，同时利用除法法则变形，约分，再计算分式加法即可得到结果． 【小问1详解】 解：原式， ， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ， ， ． 18. 小北在学习完直角三角形后，小北进行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，当两条射线互相垂直时，两交点与斜边中点所连线段有什么数量关系?请根据他的思考完成以下作图与填空． 已知：在中，，E为边上一点，D为边中点． （1）尺规作图：过点D作直线的垂线，交于点F（只保留作图痕迹） （2）求证：． 证明：在中， ①_______ 又，D为BC中点 ②_______ 又，D为BC中点 又 ③_______ 在和中， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则⑤_______． 【答案】（1）见解析 （2），，，，两交点与斜边中点所连线段相等 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，证明是解题的关键． （1）按照线段垂直平分线的作图方法，作图即可； （2）根据等腰直角三角性质得到，证明，，即可证明，则，据此得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 证明：在中， 又，D为中点 又∵，D为中点 又 在和中， ， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则两交点与斜边中点所连线段相等． 故答案为：，，，，两交点与斜边中点所连线段相等． 19. 安全伴我行，幸福千万家．某校举办了安全科普知识讲解大赛，赛后某学习小组从八年级和九年级参与了比赛的学生中各随机抽取了10名同学的成绩进行了收集，整理，描述和分析，下面给出了部分信息：（A组：；B组：；C组：；D组：；单位：分）． 九年级10名同学成绩是：80，82，88，90，92，92，95，95，95，99． 八年级10名同学中成绩在A组中的数据为：84，在C组中的数据为：90，92，93，93． 根据以上信息，解答下列问题： 八，九年级所抽学生大赛成绩统计表 八年级所抽学生大赛成绩扇形统计图 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90.8 93 32.56 九年级 90.8 92 31. （1）上述图表中_______，_______，_______； （2）根据以上数据分析，你认为我校八，九年级中哪个年级学生的安全科普知识讲解大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校八，九年级各有600名同学参加了此次安全科普知识讲解大赛，估计我校八，九年级参加此次科普讲解大赛成绩在组的学生人数共有多少？ 【答案】（1）91；95； （2）九年级学生的安全科普知识讲解大赛成绩较好，理由见解析 （3）人． 【解析】 【分析】此题考查了样本估计总体、中位数、众数、方差、平均数等统计量的定义和意义等知识． （1）求出八年级各组的人数和占比，根据中位数、众数的定义即可得到答案； （2）根据平均数和方差进行分析即可； （3）各年级人数乘以对应的占比再求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：八年级名学生， ∴A组的人数为1人，占比为：， C组的人数为4人，占比为：， D组的人数占比为：，人数为（人）， B组的人数占比为：，即，人数为（人）， 八年级成绩的中位数在第5，6为同学的成绩的平均数， 即为C组中90，92的平均数，即， 九年级10名同学成绩出现次数最多的是95， ∴， 故答案为：91；95；． 【小问2详解】 解：九年级学生的安全科普知识讲解大赛成绩较好，理由：在平均数相同的情况下，九年级学生的安全科普知识讲解大赛成绩的方差小于八年级学生的安全科普知识讲解大赛成绩的方差． 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计我校八、九年级参加此次科普讲解大赛成绩在组的学生人数是人． 20. 不负好时光，添绿正当时，植树造林是实现天蓝、地绿、水净的重要途径．为自觉践行“绿树青山就是金山银山”的发展理念，某中学在“3.12植树节”当天组织了一批教师和学生分组进行植树活动，若每组植棵，则多出棵树；若每组植棵，则还差棵树．（用方程解决下列问题） （1）求共需要植树多少棵？ （2）当植完一半的树时，天气预报显示可能会下雨，于是大家把植树速度提高了，结果比原计划提前了小时结束植树，求原计划每小时植树多少棵？ 【答案】（1）共需要植树棵 （2）原计划每小时植树棵 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程、分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列方程． （1）设一共有组，根据题意列方程求解即可； （2）设原计划每小时植树棵，根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设一共有组， 根据题意得： 解得：， ， 答：共需要植树棵； 【小问2详解】 设原计划每小时植树棵， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：原计划每小时植树棵． 21. 如图，在中，于点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动秒，的面积为为面积与点运动路程之比． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）；； （2）图象见解析，性质见解析 （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键． （1）由三线合一得到，则由勾股定理得到，进而可得；当点P在上时，过点D作于E，根据等面积法求出，则；根据为面积与点运动路程之比列出函数解析式即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， 由勾股定理得，， 如图，当点P在上时， ∴ 即 如图，点P在上时，过点D作于E， ， ∴， ∵ ∴， 综上所述，； ， 即； 【小问2详解】 解：画的图象： 列表： x ⋯ 1 3 ⋯ y ⋯ 2 6 ⋯ 描点连线得：如图， 画的图象： 列表： x ⋯ 3 8 ⋯ y ⋯ 6 0 ⋯ 描点连线得：如图，不包含和这两点 画的图象： 列表： x ⋯ 1 2 3 6 ⋯ y ⋯ 6 3 2 1 ⋯ 描点连线得：如图， 由函数图象可知，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小． 【小问3详解】 解：由图象得，当时，或． 22. 周末，小明和小强约定去一风景区徒步，他们同时从出发，到终点集合，小明先沿点的北偏西方向爬坡600米后到达，再沿点的东北方向爬坡到，小强沿与平行的方向由爬坡到，再沿点的北偏西方向爬坡到．（参考数据：） （1）求到的距离；（结果保留根号） （2）已知小明的爬山平均速度为30米／分钟，小强的爬山平均速度为36米／分钟，通过计算说明谁先到达．（结果精确到0.1） 【答案】（1） （2）小强先到达终点处 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，在中，解直角三角形求出，再求出，得到，再利用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，利用（1）求出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出和的长度，进而求得，再分别求出小明和小强所走的总路程，然后比较它们的大小来求解． 【小问1详解】 解：过点作，交于点，如图： 则， ，， 在中， ，， ∴，， 地在地北偏东方向上， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点，如图: 根据题意得：， ∵， ， 由（1）可知，， ， ，， ， ， ． ， ， ． 地在地北偏西方向上， ， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ． 小明的爬山平均速度为30米/分钟，小强的爬山平均速度为36米/分钟， 小明到终点所用的时间为（分钟）， 小强到终点所用的时间为（分钟）． ， 小强先到达终点处． 【点睛】本题考查了方位角，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，作出图形是解答关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线交轴于，两点，交轴于，且点，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，过点作于点，点，点分别是直线，轴上的两动点，连接，，．当取得最大值时，求三角形周长的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点是轴上方新抛物线上的一点，连接，过点作交直线于点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，利用，求出点的坐标，结合，利用二次函数的交点式求解即可； （2）求出直线的解析式，设交于点，设，则可得，，，，利用等腰直角得出，则，利用二次函数的最值求出最大时点的坐标，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，，，，利用对称求出和的坐标，由对称可得，，则的周长，求即可； （3）利用，，，求出平移后的解析式，分两种情况：①当点在下方时，此时点设为点，设直线交于点，交轴于点，过点作于点，先得出，再求出，则可求出点的坐标，再求出直线的解析式，联立新抛物线解析式即可求解；②当点在上方时，方法同①． 【小问1详解】 解：当时，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵拋物线交轴于，两点，， ∴设抛物线解析式为， 又∵拋物线， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设交于点，设， ∵轴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴对于抛物线开口向下， 又∵对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，此时， 如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，，，， 由对称可得，， ∴， ∴， 由对称可得，， ∴的周长， 由两点之间线段最短得，且当、、、依次共线时取得最小值， 此时的周长最小值； 【小问3详解】 解：∴，，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于水平向右平移个单位 长度，再向上平移个单位长度， ∴， 当点在下方时，如图，此时点设为点，设直线交于点，交轴于点，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线， 得：， 解得：或（此时在轴下方，故舍）， ∴点的横坐标为； 当点在上方时，如图，此时点设为点，设直线交轴于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线， 得：， 解得：或（此时在轴下方，故舍）， ∴点的横坐标为； 综上所述，满足条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数，二次函数的最值，一次函数与二次函数的交点，勾股定理，三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键． 24. 在四边形中，对角线，与交于点，且． （1）如图1，若，，当时，求四边形的面积； （2）如图2，若，过中点作分别交，于点，．证明：； （3）如图3，若，点在直线上，将绕点逆时针旋转得到，当线段取最小值时，内部一点满足，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1）3 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作于，则，求出，得出，，求出，得出为等腰直角三角形，推出，由勾股定理可得，即可得解； （2）作于，交的延长线于，作交于，令交于，由等腰三角形的性质可得，，，设，则，求出，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，求出 ，由平行线的性质可得，得出为等腰直角三角形，推出，证明，得出，利用相似三角形的判定与性质，得出，即可得证； （3）作，作于，连接，过点作直线，交直线于，证明四边形为正方形，得出，，证明，得出，得出点在直线上运动，从而可得当时，最小，即最小，证明为等腰直角三角形，得出，以为圆心，为半径画圆，点为优弧上一点，则，求出点在上，且在劣弧上，当、、三点共线时，最小，作于，则为等腰直角三角形，再由计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，于，则， ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形面积为； 【小问2详解】 证明：如图，作于，交的延长线于，作交于，令交于， ， ∵，， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作，作于，连接，过点作直线，交直线于， ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵点在直线上，将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当时，最小，即最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵内部一点满足， ∴， 以为圆心，为半径画圆，点为优弧上一点，则， ∴， ∴点在上，且在劣弧上， ∴当、、三点共线时，最小， ∵， ∴，， ∴， 作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$