第一章 三角形的证明 复习与总结练习 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

第一章《三角形的证明》 复习与总结练习卷 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（　　） A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7 2．如图所示，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，CE＝3，AB＝12，BE平分∠ABC，EF⊥AB于F，则△ABE面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．36 3．两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 4．如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，若FC＝6，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 6．“在△ABC中，∠A和∠B的对边分别是a和b，若∠A＜∠B，则a＜b”．用反证法证明时，应假设（　　） A．a＞b B．a≥b C．a＝b D．a≤b 7．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A．2 B．1.8 C．﹣1+2 D． 9．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论． ①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn，正确的结论有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，∠BAC＝66°，则∠BAD＝　 　． 12．如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ 　 　cm． 13．如图，等边△AOB的边长为2，则点A的坐标为 　 　． 14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 　 　． 15．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，∠BAD＝105°，AD＝4，CD＝13，则AB＝　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，求BD的长． 17．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F，延长FD、CA交于点E．若∠E＝30°，AD＝AE．求证：△ABC为等边三角形． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，EF＝BF，求∠EFC的度数． 19．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）△ACD是直角三角形吗？请说明理由； （2）求四边形ABCD的面积． 20．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，过D作DF⊥BE于F． （1）求证：BD＝DE； （2）请猜想FC与BF间的数量关系，并证明． 21．如图所示，已知等腰△ABC的底边BC＝3cm，D是腰AB上一点，且，BD＝2cm． （1）求证：CD⊥AB； （2）求△ABC的面积． 22．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 23．如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为18cm． （1）求线段BC的长； （2）连接OA，求线段OA的长； （3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 24．八年级上学期我们学习了角平分线性质及其判定定理，课本P106的例1同时运用了角平分线性质及其判定定理完成了该几何问题的证明． 例1．已知：如图，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为点D、E． 求证：点O在∠C的平分线上． 证明：过点O作OF⊥AC，垂足为点F． ∵AO、BO分别是∠A、∠B的平分线（已知）． OE⊥AB，OD⊥BC（已知）， OF⊥AC（所作）， ∴OE＝OD，OE＝OF（ 　 　）． ∴OD＝OF（等量代换）． ∴点O在∠C的平分线上（ 　 　）． 【研究原图形】 （1）补全例1的证明过程； （2）在例1的图中，分别联结DE、EF、FD．小婷发现△DEF和△ABC的内角之间存在一定的数量关系，若∠BAC＝m°，则∠EDF＝ 　 　°．（用含m的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小婷同学把满足例1条件的△DEF叫做△ABC的“内三角形”，点O叫做“共心”． （3）已知△DEF是△ABC的“内三角形”，点O是“共心”，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且OE∥BC．先画出符合条件的示意图，再过点E作EG⊥DF于点G，求证：点G在直线AO上． 25．如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AM，BN分别是∠CAB与∠ABC的角平分线，且AM，BN相交于点O． （1）∠AOB的度数为 　 　°． （2）求点O到AB边的距离及△AON的面积． （3）如图2，若过点C作CD⊥AB，分别交AM，BN于P，Q两点，垂足为点D，求PQ的长． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D C B C C D D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．33°． 12．． 13．（1，）． 14．18． 15．15． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8 ∴，∠B＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝30°， ∴． 17．证明：∵AD＝AE， ∴∠E＝∠ADE＝30°， ∴∠CAB＝∠E+∠ADE＝30°+30°＝60°， ∵DF⊥BC， ∴∠EFC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠E＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠C＝∠B＝∠CAB， ∴△ABC为等边三角形． 18．解：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE， ∵BE⊥AC， ∴∠A＝∠ABE＝45°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝67.5°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°， ∵BF＝EF， ∴∠BEF＝∠EBC＝22.5°， ∴∠EFC＝∠EBC+∠BEF＝45°． 19．解：（1）△ACD是直角三角形，理由如下， ∵， ， ∴AC2+CD2＝（3）2+（2）2＝26， ∵AD2＝52+12＝26， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形； （2）四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD ． 20．（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD⊥AC， ∴AD＝CD，∠DBC∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CDE+∠E， ∴∠E＝30°， ∴∠DBE＝∠E， ∴BD＝DE； （2）BF＝3FC； 证明：∵DF⊥BE，∠BCD＝60°， ∴DC＝2FC， ∵BD⊥AC，∠DBC＝30°， ∴BC＝2DC， ∴BC＝4FC， ∴BF＝3FC． 21．（1）证明：∵等腰△ABC的底边BC＝3cm，，BD＝2cm， ∵22+（）2＝32，即BD2+CD2＝BC2＝9， ∴△DBC为直角三角形，且∠BDC＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：∵△ABC为等腰三角形，BC为底边， ∴AB＝AC， 设AB＝AC＝a，则AD＝（a﹣2）cm， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， 即， 解得， ∴， ∴． 22．解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC （2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x° 在三角形ABC中，3x°+75°＝180° x°＝35° ∴∠B＝35° 23．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴EA＝EC， BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8（cm）； （2）∵l1是AB边的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∵OB+OC+BC＝18cm， ∴OA＝OB＝OC＝5（cm）； （3）∵∠BAC＝120°， ∴∠ABC+∠ACB＝60°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°． 24．（1）证明：过点O作OF⊥AC，垂足为点F． ∵AO，BO分别是∠A，∠B的平分线（已知）． OD⊥BC，OE⊥AB（已知）， OF⊥AC（所作）， ∴OE＝OD，OE＝OF（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等） ∴OD＝OF（等量代换）． ∴点O在∠C的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）； 故答案为：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 （2）如图，连接DE、EF，DF，延长OD交AB于点H， ∵OE⊥AB，OF⊥AC， ∴∠AEO＝∠AFO＝90°， ∵∠BAC＝m°， ∴∠EOF＝180°﹣m°， ∵OD＝OF＝OE， ∴∠EOH＝∠ODE＝2∠ODE，∠HOF＝∠ODF+∠OFD＝2∠ODF， ∴∠EOF＝2∠EDF， ∴， 故答案为：（90）； （3）示意图如下， ∵OE∥BC，OE⊥AB， ∴∠ABC＝90°， 由（2）可知， 由条件可知∠GEF＝45°， ∴EG＝FG， 可得点G在EF的垂直平分线上， ∴∠AEO＝∠AFO＝90°，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO， ∴△AEO≌△AFO（AAS）， ∴AE＝AF，OE＝OF， 可知AO是EF的垂直平分线， 点G在直线AO上； 25．解：（1）∵OA，OB分别平分∠BAC，∠ABC， ∴∠OAB∠BAC，∠OBA∠ABC， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠OAB+∠OBA∠BAC∠ABC（∠BAC+∠ABC）90°＝45°， 在△AOB中， ∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣45°＝135°． 故答案为：135； （2）作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，OI⊥AB于I，连接OC． ∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABC， ∴OG＝OI，OH＝OI， 设OG＝OI＝OH＝x， 在Rt△ABC中， ∵AC＝3，BC＝4， ∴根据勾股定理，得， ∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴， 即． 解得x＝1， ∴O到AB的距离为1； 如图，作NJ⊥AB于J． ∵BN平分∠ABC，NJ⊥AB，NC⊥BC， ∴NJ＝NC， ∴，同时， ∴，即． 又∵NC+NA＝AC＝3， ∴，即， 解得． ∵O到AB的距离为1， ∴S△AONNA×11． （3）∵CD⊥AB， ∴， ∴． 在RtACD中， 根据勾股定理，得． ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝∠DCB+∠ABC＝90°， ∴∠CAD＝∠DCB， ∵∠CQN＝∠DCB+∠NBC，∠CNQ＝∠CAB+∠ABN，且∠ABN＝∠NBC， ∴∠CQN＝∠CNQ， ∴CN＝CQ， 由（2）知，，， ∴． 如图，过P作PR⊥AC于R． ∵PD⊥AB，AP平分∠BAC， ∴PR＝PD， ∴， ∴，即． 又∵， ∴， 解得． ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$