精品解析：山东省东营市河口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

2024-2025学年第一学期基础质量检测 九年级数学试题 试卷类型：A （总分120分考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共2页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号ABCD涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再涂改其他答案．第Ⅱ卷要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分． 1. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 水涨船高 C. 守株待兔 D. 百步穿杨 3. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一座厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．若用科学计算器求上弦的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，⊙O的半径为5，弦，P是弦上的一个动点，则的长可能是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 对于二次函数y=（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=﹣1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x轴有两个交点 7. 某电路图如图1所示．结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（　　） A. 最大电流是36A B. 最大电流是27A C. 最小电流是36A D. 最小电流是27A 8. 如图，是直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在扇形中，，，点D在上，点C在弧上，且点C，O关于直线对称，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在该二次函数的图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本题共8小题，其中11-14每小题3分，15-18每小题4分，共28分． 11. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________． 12. 将一个小球放在如图所示的地砖上自由滚动，小球最终停在黑色方砖上的概率为_______． 13. 已知反比例函数，当时，y随x增大而增大，则k的取值范围是______． 14. 如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则的值为______． 15. 若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c＝_____． 16. 如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为_______°． 17. 如图，是的弦，点B是上的一个动点，且，若点D、E分别是的中点，若长为4，则的最大值是______． 18. 在反比例函数图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过、、、、、，分别作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为，则______． 三、解答题：本题共7小题，共62分． 19. 计算 （1） （2） 20. 为了解某校九年级学生的中考体育情况，在九年级学生中随机抽取部分学生的中考体育成绩（成绩为整数）进行了统计，并绘制出以下不完整的频数分布表和扇形统计图，请根据图表中的信息解答下列问题： 分组 分数段（分） 频数 A 2 B 5 C 15 D E 10 （1）被抽取班学生人数为______人，______． （2）被抽取学生中考体育成绩的中位数落在______分数段，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角的度数是______，若32分及以上为良好成绩，试估计该校九年级600学生的中考体育成绩良好人数约为______人． （3）若被抽取学生中中考体育成绩满分共有甲，乙，丙，丁4人，现需从4人中随机选取2人在七八年级学生集会进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好选到甲，乙两位同学的概率． 21. 某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，）．已知斜坡长为米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到个位；参考数据：，，，） 22 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 23. 如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 24. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E． (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若tanA=，AF=6，求⊙O的半径． 25. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，设点P的横坐标为m． ①当PE=2ED时，求P点坐标； ②是否存在点P使为等腰三角形？若存在，请直接写出m值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期基础质量检测 九年级数学试题 试卷类型：A （总分120分考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共2页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号ABCD涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再涂改其他答案．第Ⅱ卷要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分． 1. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图． 根据俯视图的定义即可得到答案． 【详解】解：俯视图是： ， 故选：D． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 水涨船高 C. 守株待兔 D. 百步穿杨 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； B、水涨船高，必然事件，符合题意； C、守株待兔，是随机事件，不符合题意； D、百步穿杨，是随机事件，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解其区别是解题的关键． 3. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为，由此即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为， ∵四个选项中只有D选项满足横纵坐标的乘积为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，正确得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为是解题的关键． 4. 如图，一座厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．若用科学计算器求上弦的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过B点作于D，根据等腰三角形的性质得到，在中，利用的余弦进行计算即可得到，再得到正确的按键顺序． 【详解】解：过B点作于D， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 即按键顺序正确的是 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：在直角三角形中，已知一个锐角和它的邻边，可利用这个角的余弦求出斜边是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质及科学计算器的使用． 5. 如图，⊙O的半径为5，弦，P是弦上的一个动点，则的长可能是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的概念辨析，垂径定理，根据点的位置，为半径时，最长，时，最短，求出的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：当点与点或点重合时，为半径，长度最长为5； 当时，由垂线段最短，可知此时最短， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长可能是； 故选C． 6. 对于二次函数y=（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=﹣1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线中a=1＞0，抛物线开口向上，故选项A不正确； ∵对称轴为直线x＝-1，故选项B 正确 ∵顶点坐标为（-1，2），故选项C不正确 ∵根据二次函数的图象和性质可知：y＝（x+1）2 +2的图象开口向上，顶点（-1，2）为抛物线的最低点在x轴上方，∴抛物线与x轴没有交点，故选项D不正确 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下． 7. 某电路图如图1所示．结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（　　） A. 最大电流是36A B. 最大电流是27A C. 最小电流是36A D. 最小电流是27A 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入求得I的值即可． 【详解】根据电压电流电阻，设， 将点代入得，解得， ； 若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是， 故选A． 8. 如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．解题关键是熟练掌握同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角． 连接，根据直径性质得到，根据圆周角定理得到，即得 ． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，在扇形中，，，点D在上，点C在弧上，且点C，O关于直线对称，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称得出垂直平分，再根据直角三角形的边角关系可求出的度数，进而求出的度数，最后根据扇形面积和三角形面积公式求出答案即可． 【详解】解：连接，交于点E， ∵点关于直线对称， ∴垂直平分，即， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称的性质，直角三角形的边角关系，扇形和三角形面积计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提，求出相应的圆心角度数和半径是解决问题的关键． 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在该二次函数的图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象与系数的关系等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有至少有一个交点，推得关于x的一元二次方程至少有一个实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 由图象可得时，，即， ∵， ∴．故①错误； ②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线． 故当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴，故②正确； ③∵图象经过点，对称轴为， ∴二次函数与直线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，故③错误； ④∵图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数必然经过点， ∴时，的取值范围，故④正确； 综上，②④正确， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本题共8小题，其中11-14每小题3分，15-18每小题4分，共28分． 11. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 12. 将一个小球放在如图所示的地砖上自由滚动，小球最终停在黑色方砖上的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，解题的关键是求出黑色方砖的面积占总面积的比值． 根据概率的定义求出黑色方砖面积与全部面积的比值即为答案． 【详解】解：设每个小正方形的边长为 1 ， 则：， ， 故答案为：． 13. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键．由于反比例函数的图象当时，y随x的值增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时， y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点P作轴于点A，根据正切定义计算m，再利用勾股定理，正弦定义解答即可． 本题考查了角正切，正弦和勾股定理，熟练掌握三角函数和定理是解题的关键． 【详解】解：过点P作轴于点A， 根据P是第一象限内的点，其坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，可知抛物线顶点的纵坐标等于0，从而可以求得c的值． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴y＝＝0，解得c＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为． 16. 如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据三视图还原几何体，勾股定理，弧长等知识．熟练掌握根据三视图还原几何体，勾股定理，弧长是解题的关键． 由三视图可知，该几何体为圆锥，由勾股定理可得，圆锥的母线长为，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由勾股定理可得，圆锥的母线长为， ∴， 解得 ，， 故答案：． 17. 如图，是的弦，点B是上的一个动点，且，若点D、E分别是的中点，若长为4，则的最大值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，圆周角定理，30度所对的直角边是斜边的一半，先得出是的中位线，结合当是的直径时，此时最大，则，因为长为4，，所以，即可作答． 【详解】解：∵点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点B是上的一个动点， ∴当是的直径时， 此时最大，则， ∵长为4，， ∴， 则的最大值是， 故答案为：4． 18. 在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过、、、、、，分别作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，即可求出，，，进而求出，即可作答． 【详解】解：∵点、、、、、都在反比例函数的图象上，且的横坐标为2， 则， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴， ∴、 则 ∴， 依次类推得， ∴， ， ， …… ∴ ． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共62分． 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的混合运算，二次根式的化简，负整数指数幂，零指数幂，掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）代入特殊角三角函数值，然后计算即可； （2）首先化简二次根式，计算负整数指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值，然后计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 为了解某校九年级学生的中考体育情况，在九年级学生中随机抽取部分学生的中考体育成绩（成绩为整数）进行了统计，并绘制出以下不完整的频数分布表和扇形统计图，请根据图表中的信息解答下列问题： 分组 分数段（分） 频数 A 2 B 5 C 15 D E 10 （1）被抽取班学生人数为______人，______． （2）被抽取学生中考体育成绩的中位数落在______分数段，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角的度数是______，若32分及以上为良好成绩，试估计该校九年级600学生的中考体育成绩良好人数约为______人． （3）若被抽取学生中中考体育成绩满分共有甲，乙，丙，丁4人，现需从4人中随机选取2人在七八年级学生集会进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好选到甲，乙两位同学的概率． 【答案】（1）50，18；（2），72°，336；（3） 【解析】 【分析】（1）利用C组分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值； （2）利用中位数的定义得出中位数的位置；用360°乘以E所占的百分比即可得出答案；再利用样本估计总体得出结论； （3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50（人）； m=50-2-5-15-10=18（人）； 故答案为：50；18； （2∵全班学生人数：50人， ∴第25和第26个数据的平均数是中位数， ∴中位数落在分数段； 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角的度数是×360＝72°； 又，（人） 故答案为：，72°，336. （3）树状图如下 或列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 下 （丁，甲） (丁，乙) （丁，丙） 由树状图或表格可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽到甲和乙的有2种结果， 所以恰好选到甲，乙两位同学的概率为． 【点睛】此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用，根据题意利用列表法得出所有情况是解题关键． 21. 某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，）．已知斜坡长为米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到个位；参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案． 【详解】解：过点作于点，作于点 由题意得：， 在中， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中． ， 答：该风力发电机塔杆的高度为． 22. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例的解析式为 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴反比例的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， 由，解得或， ∴点B的坐标为， ∴的面积； 小问3详解】 解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 23. 如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）利用矩形的面积公式，列出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设花圃的宽为，则， 根据题意得： ∵， ∴． 【小问2详解】 ， ，， 当时，． 答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是 24. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E． (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若tanA=，AF=6，求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析;(2). 【解析】 【详解】分析：连接OD，由D是的中点得∠1=∠2，又∠A=∠BOC，故∠A=∠1，从而OD∥AF.易证∠EDO=∠F=90°.故可得结论； （2）设⊙O半径为r,则OA=OD=OB=r.通过解直角三角形可得解. 详解：（1）如图1，连接OD. ∵EF⊥AF,∴∠F=90°. ∵D是的中点, ∴ ∴∠1=∠2=∠BOC. ∵∠A=∠BOC, ∴∠A=∠1 . ∴OD∥AF. ∴∠EDO=∠F=90°. ∴OD⊥EF. ∴EF是⊙O的切线. （2）设⊙O半径为r,则OA=OD=OB=r. 在Rt△AFE中，tanA=，AF=6, ∴EF=AF·tanA=8. ∴. ∴OE=10-r. ∵cosA= , ∴cos∠1= cos A= ∴r =， 即⊙O的半径为. 点睛：本题考查了切线的性质和判定、圆周角定理以及解直角三角形． 25. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，设点P的横坐标为m． ①当PE=2ED时，求P点坐标； ②是否存在点P使为等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①或；②存在，m的值为或或或． 【解析】 【分析】（1）先根据点A、C的坐标可得抛物线的交点式，再根据一次函数的解析式可得点B的坐标，然后将点B的坐标代入即可得； （2）①分点P在点E的上方和点P在点E的下方两种情况，再根据建立方程求解即可得； ②先利用两点之间的距离公式求出，再根据等腰三角形的定义分，，三种情况，分别建立方程求出m的值即可． 【详解】（1）由题意，抛物线的解析式可化为， 将点代入直线得：， 将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 即； （2）①点P的横坐标为， 点P的纵坐标为， 即， 由题意，点E的横坐标与点P的横坐标相同，即为， 则点E的纵坐标为， 即， 由题意，分以下两种情况： （ⅰ）当点P在点E的上方，即时， 则，， 因此有， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 此时点P的坐标为； （ⅱ）当点P在点E的下方，即或时， 则，， 因此有， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 此时点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或； ②存在，求解过程如下： ， ， ， ， 由等腰三角形的定义，分以下三种情况： （ⅰ）当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或； （ⅱ）当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或（此时点P与点B重合，不符题意，舍去）； （ⅲ）当时，为等腰三角形， 则，即， 解得； 综上，m的值为或或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的定义、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（2），正确分情况讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$