集合讲义-2025届高三数学一轮复习

第一节　集合 课标要求 1.理解元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合． 2．理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集． 3．理解集合间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集． 4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算． 问题思考·夯实技能 【问题1】　若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集？ 【问题2】　从A＝A可以得到集合A，B有什么关系？从A＝A可以得到集合A，B有什么关系？ ` 关键能力·题型剖析 题型一 集合的含义与表示 例 1 (1)[2024·河北衡水模拟]已知集合A＝{(x，y)|xy＝1}，B＝{(x，y)|x∈Z，y∈Z}，则A有(　　)个真子集． A．3　　　B．16　　　C．15　　　D．4 (2)已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2 023＋b2 024＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 题后师说 与集合中元素有关问题的求解策略 巩固训练1 (1)已知集合A＝{1，a2＋4a，a－2}，－3∈A，则a＝(　　) A．－1 B．－3 C．－3或－1 D．3 (2)已知集合A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，C＝{ab|a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 题型二 集合间的基本关系 例 2 (1)设M＝，N＝{x，k∈Z}，则(　　) A．MN　　　　　B．NM C．M＝N D．M＝∅ (2)已知全集为R，集合A＝{x|0<2x＋a≤3}，B＝，若A＝A，求实数a的取值范围． 【变式练习】　若把例2(2)中的“A＝A”改为“B⊆A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 题后师说 判断集合间关系的常用方法 巩固训练2 (1)若集合A满足{1，2}⊆A{1，2，3，4，5}，则集合A所有可能的情形有(　　) A．3种 　B．5种 C．7种 　D．9种 (2)[2023·新课标Ⅱ卷]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　 　 B．1 C．　 　 D．－1 题型三 集合的基本运算 角度一　集合的交、并、补运算 例 3 (1)[2023·新课标Ⅰ卷]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M＝(　　) A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2} C．{－2} D．{2} (2)[2024·石家庄模拟]已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x||x－2|<1}，则A＝(　　) A．(－3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，3) D．[－3，3) 题后师说 集合基本运算的求解策略 巩固训练3 (1)[2024·安徽合肥模拟]若集合M＝{x|x2＋3x－4≤0}，N＝{x|x>－3}，则M＝(　　) A．(－3，1] B．(－3，4] C．[－4，＋∞) D．[－1，＋∞) (2)[2024·河北张家口模拟]已知R为实数集，全集U＝R，集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|x≥1}，则∁U(A＝(　　) A．{x|－1≤x<2} B．{x|x≤1或x>3} C．{x|1≤x<3} D．{x|x<1或x≥3} 角度二　利用集合的运算求参数 例 4 已知集合A＝{x∈N|3x2－13x＋4<0}，B＝{x|ax－1≥0}． 若A∩(∁ RB)≠∅，求实数a的取值范围． 题后师说 利用集合的运算求参数的方法 巩固训练4　[2024·九省联考]已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A＝A，则m的最小值为________． 随堂检测 1.[2023·全国乙卷]设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁ UN＝(　　) A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U 2．[2023·全国甲卷]设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 3．[2022·新高考Ⅰ卷]若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M＝(　　) A．{x|0≤x<2} B． C．{x|3≤x<16} D． 4．[2022·新高考Ⅱ卷]已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A＝(　　) A．{－1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{－1，4} 5．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为(　　) A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7} C．{a|a≤7} D．{a|a<6} 集合的新定义问题 【典例1】　对于数集A，B，定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝{x|x＝，a∈A，b∈B}，若集合A＝{1，2}，则集合(A＋A)÷A中所有元素之和为(　　) A． B． C． D． [解析]　根据新定义，数集A，B，定义A＋B＝，A÷B＝{x|x＝，a∈A，b∈B}，集合A＝{1，2}，(A＋A)＝{2，3，4}，(A＋A)÷A＝{1，2，3，4，1.5}，则可知所有元素的和为11.5. [答案]　D 【典例2】　(多选)若对任意x∈A，∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(　　) A．{－1，1} B． C． D．{x|x>0} [解析]　根据“影子关系”集合的定义， 可知{－1，1}，，{x|x>0}为“影子关系”集合， 由{x|x2>1}，得{x|x<－1或x>1}，当x＝2时，∉{x|x2>1}，故不是“影子关系”集合． [答案]　ABD 【典例3】　设Sn＝{a|a＝(a1，a2，…，an)，ai∈{0，1}，i＝1，2，…，n}(n∈N*，n≥2)，a＝(a1，a2，…，an)∈Sn，定义a的差分运算为D(a)＝(|a2－a1|，|a3－a2|，…，|an－an－1|)∈Sn－1.用Dm(a)表示对a进行m(m∈N*，m≤n)次差分运算，显然，Dm(a)是一个(n－m)维数组．称满足Dm(a)＝(0，0，…，0)的最小正整数m的值为a的深度．若这样的正整数m不存在，则称a的深度为n. (1)已知a＝(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，则a的深度为__________． (2)Sn中深度为d(d∈N*，d≤n)的数组个数为__________． [解析]　(1)因为a＝(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8， 则D(a)＝(1，0，0，1，1，0，0)，D2(a)＝(1，0，1，0，1，0)，D3(a)＝(1，1，1，1，1)，D4(a)＝(0，0，0，0)． (2)易知Sm中仅有一组(0，0，0，…，0)， Sm＋1中深度d＝1的数组仅1组(1，1，1，…，1)， Sm＋2中深度d＝2的数组仅2组， Sm＋3中深度d＝3的数组仅4组， …， Sm＋k中深度d＝k的数组仅2k－1组， …， 所以Sn中深度为d的数组仅有2d－1组． [答案]　(1)4　(2)2d－1 解决集合的新定义问题的关键 (1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在． (2)用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 第一节　集合 问题思考·夯实技能 【问题1】　提示：一个集合A有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 【问题2】　提示：A＝A⇔A⊆B，A＝A⇔B⊆A. 关键能力·题型剖析 例1　解析：(1)A＝{(x，y)|xy＝1}，B＝{(x，y)|x∈Z，y∈Z}，则A＝{(1，1)，(－1，－1)}，真子集个数为22－1＝3. (2)由题意A＝B可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合元素的互异性，可知a≠1，解得a＝1(舍)，和(舍)，所以a＝－1，b＝0，则a2 023＋b2 024＝(－1)2 023＋02 024＝－1. 答案：(1)A　(2)A 巩固训练1　解析：(1)∵－3∈A，∴－3＝a2＋4a或－3＝a－2， 若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3， 当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当a＝－3时，集合A＝{1，－3，－5}，满足题意，故a＝－3成立， 若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去， 综上所述，a＝－3. (2)因为A＝{0，2}，a∈A，b∈B，所以ab＝0或ab＝2或ab＝4或ab＝6， 故C＝{ab|a∈A，b∈B}＝{0，2，4，6}，即集合C中含有4个元素． 答案：(1)B　(2)C 例2　解析：(1)因为x＝k＋＝(2k＋1)，k∈Z， 所以集合N是由所有奇数的一半组成， 而集合M是由所有整数的一半组成，故NM. (2)若A＝A，则A⊆B， ∵A＝{x|0<2x＋a≤3}＝，B＝， ∴，解得－1<a≤1， ∴实数a的取值范围是(－1，1]. 答案：(1)B　(2)见解析 变式练习　解析：∵B⊆A， ∴，解得a≤－1或a≥1. ∴实数a的取值范围是(－∞，－1] 巩固训练2　解析：(1)由{1，2}⊆A{1，2，3，4，5}，可知集合A必有元素1，2，即至少有两个元素，至多有四个元素， 依次有以下可能：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}七种可能． (2)依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B. 答案：(1)C　(2)B 例3　解析：(1)方法一　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M＝{－2}，故选C. 方法二　由于1∉N，所以1∉M排除A，B；由于2∉N，所以2∉M排除D.故选C. (2)因为A＝{x|y＝}＝{x|x＋3≥0}＝{x|x≥－3}， B＝{x||x－2|<1}＝{x|－1<x－2<1}＝{x|1<x<3}， 因此，A＝[－3，＋∞)． 答案：(1)C　(2)B 巩固训练3　解析：(1)M＝{x|－4≤x≤1}，N＝{x|x>－3}，＝{x|x≥－4}． (2)A＝{x|－1<x<3}，A＝{x|1≤x<3}， ∁U(A＝{x|x<1或x≥3}． 答案：(1)C　(2)D 例4　解析：由题意得，A＝＝{1，2，3}． 当a＝0时，B＝∅，∁RB＝R，∴A∩(∁RB)＝A≠∅，满足题意； 当a>0时，B＝，∁RB＝， 要使A∩(∁RB)≠∅，则>1，解得0<a<1； 当a<0时，B＝，∁RB＝. 此时A∩(∁ RB)＝A≠∅，满足题意， 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，1)． 巩固训练4　解析：由A＝A，故A⊆B， 由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3， 故有，解得，即m≥5， 即m的最小值为5. 答案：5 随堂检测 1．解析：由题意知，∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}．故选A. 答案：A 2．解析：因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}＝3k＋1，k∈Z}＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A＝{x|x＝3k，k∈Z}． 答案：A 3．解析：由＜4，得0≤x＜16，即M＝{x|0≤x＜16}．易得N＝，所以M＝.故选D. 答案：D 4．解析：通过解不等式可得集合B＝{x|0≤x≤2}，则A＝{1，2}．故选B. 答案：B 5．解析：当A＝∅时，即2a＋1>3a－5，a<6时成立； 当A≠∅时，满足，解得6≤a≤7； 综上所述：a≤7. 答案：C 学科网（北京）股份有限公司 $$