精品解析：河南省驻马店市驿城区驻马店高级中学2024-2025学年高三上学期1月月考数学试题

河南省驻马店高级中学2024-2025学年高三上期01月测试 数学试题 命题人： 审题人： 注意事项： 1.答卷前，请考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将等题卡交回. 4.满分：150分考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为正数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，当时，利用指数函数的单调性即可判断，当时，分类讨论，最后利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】当时，所以为增函数，所以， 当时，当时，则，当时，则，此时； 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用和角的正切求解即得. 【详解】由，得，解得， 所以． 故选：D 3. 斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，，，进而结合递推关系求解即可. 【详解】由题意得，，，， 则. 故选：C. 4. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由所给条件可转化为中角的正弦值，利用正弦定理由正弦值之比得出边长之比，再由面积 求出边长，利用双曲线定义求得解. 【详解】如图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，，，由，求得， 因为，所以，求得，即，， 由正弦定理可得：， 则由得，， 由得， 则，，，， 由双曲线定义可得：，，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 5. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法与同角三角函数的基本关系可求得直线与平面所成角的余弦值. 【详解】在堑堵中，平面，，，， 以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以， 因此，直线与平面所成角的余弦值为． 故选：A． 6. 据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（ ） A. 50 B. 64 C. 66 D. 78 【答案】A 【解析】 【分析】以“宫”的顺序将音阶排序分为四类，再考虑“商”“角”顺序，运用排列组合知识可得答案. 【详解】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶， 排成的音序有种； ④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶， 排成的音序有种. 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：A. 7. 已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，结合题意分析的符号，可得的单调性，结合单调性和偶函数性质解不等式即可. 【详解】因为，则， 又因为，即， 且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 8. 若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得，利用正弦函数的值域分析推得中必有一个为1，另一个为，由此可求得，，即得，结合图象，可得等腰直角三角形，从而得到，对取值即可判断. 【详解】因，故,易知切线的斜率存在． 因曲线在与处的切线互相垂直， 则．因, 不妨设，， 则，， 此时,． 如图，设，，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为）． 由图知，， 易得． 取，得．经检验,当时,无法使的值取到,和. 故选:C． 【点睛】思路点睛：本题主要考查导数的几何意义及应用，属于难题． 解题思路是利用切线互相垂直得到，需要借助于正弦函数的值域推得两个分别取1和，从而求得，推得，最后借助于图象理解找到关于的关系式即得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在某次英语四级考试中，若甲、乙、丙通过考试的概率分别为，且成等比数列，三人各自是否通过这次考试相互独立，则（ ） A. B. 甲、乙都通过这次考试的概率为0.24 C. 甲、丙都不通过这次考试的概率为0.12 D. 乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为0.96 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等比中项及相互独立事件的乘法公式，结合对立事件的概率公式即可求解. 【详解】因为，成等比数列， 所以，解得，故A错误； 所以甲、乙都通过这次考试的概率为，故B正确； 所以甲、丙都不通过这次考试的概率为，故C错误； 所以乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数的图象经过点，将的部分图象沿轴折成直二面角（如图所示），若，则（ ） A. B. C. 将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象 D. 函数的单调递减区间为 【答案】AB 【解析】 【分析】由解析式得周期，结合图象可得，借助向量加法与数量积的运算表达，A项，由已知可待定系数A；B项，代入坐标，结合函数轴附近函数单调性求得；C项由三角函数平移可求得解析式；D项利用二倍角公式化简解析式，再利用整体代入法求单调区间即可得解. 【详解】如图，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为， 由题意可知平面平面，平面平面， 又平面，则平面， 平面，则， 则，， 由， 则的周期， A项，由图象可知， 所以 ， 由，解得； B项，由A项可知，， 则， 因为图象经过点，即，， ，或， 由函数图象可知， 则，所以，故B正确； C项，由AB可知，， 即将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象， ，故C错误； D项，， 由，解得， 故函数的单调递减区间为，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用面面垂直的性质定理，结合空间向量运算的性质进行判断求解. 11. “大鹏曲线”的方程为，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名.直线与的交点可能个数的集合记为，下列选项正确的是（ ） A. 该曲线关于轴对称 B. C. D. “”的充要条件是“且” 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆及双曲线的性质可判断A；根据直线经过定点，利用直线方程与圆锥曲线方程联立结合圆锥曲线的性质可判断BC；根据反例可判断D. 【详解】当时，曲线为双曲线，渐近线方程为， 当时，曲线为椭圆， 对于A，根据双曲线及椭圆的性质可得该曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，因为恒过点， 当直线时，此时直线与渐近线平行，直线与的交点为1， 当时，直线与的交点为1， 当时，直线与的交点为2，故，故B错误， 对于C，因为恒过点， 联立与椭圆得， 则， 当时，此时，故直线与下半椭圆相切，结合图象可知： 当直线时，直线与的交点为2， 故时，直线与的交点为1， 当时，直线与的交点为0， 当或时，直线与的有1个交点， 当时，直线与的交点为2， 故，故C正确， 对于D，取，，由C可知直线与的交点为1， 故且不能得到，故D错误. 故选：AC 【点睛】易错点睛： 理解分段函数的图形性质：在处理分段曲线时，容易忽略不同部分（椭圆和双曲线）的交点性质，尤其是在计算交点数时需要区分和的情况. 判别式的使用：在椭圆部分的交点计算中，需要使用判别式来判断直线与椭圆的交点数目，误用判别式或者未正确设置判别式会导致错误的交点数目. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据在上单调递增，得到在上恒成立，分离参数，将恒成立问题转化为最值问题求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得质量指标在区间的概率，后由二项分布的方差可得答案. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，所以， 故. 故答案为： 14. 已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】整理复数的等量关系，结合复数模长公式与几何意义，利用圆外一点与圆上点之间距离，可得答案. 【详解】由得， 所以，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上； 而对应的点，易知的最小值为. 故答案为：. 四，解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知动点到直线的距离是它到点距离的倍，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若点关于原点对称的点为，为上一点，且为直角三角形，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，根据条件得到，化简即可得到所求方程； （2）根据对称得到的坐标，然后根据直角分情况讨论的面积即可. 【小问1详解】 设点的坐标为， 因为动点到直线的距离是它到点距离的倍， 所以， 化简得， 故的方程为． 【小问2详解】 设点的坐标为，已知为直角三角形． ①若，此时， 所以， 所以的面积． ②若，由①同理可得，的面积． ③若，因为，， 所以，， 所以， 所以，即此时不符合题意. 综上，的面积为． 16. 雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分. （1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望； （2）已知恰有甲､乙､丙､丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第次回答的是甲的概率是，若. ①求和； ②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小. 【答案】（1）12 （2）①； ②由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为， 则，即，又， 是以为首项，为公比的等比数列，则 ， 第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大.. 【解析】 【分析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，根据题意得出的所有可能取值，然后求出每一个变量对应的概率，列出分布列，进而求解； （2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，进而求解； ②由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，得到，利用递推公式得到是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出则，进而计算即可求解. 【小问1详解】 设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，易知的所有可能取值为， 则， ， ， 故的分布列为 0 1 2 ，则. 【小问2详解】 ①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答， ，则. ②略 17. 如图，四棱锥中，，底面是个直角梯形，，，. （1）证明：； （2）从下面条件①､条件②､条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：； 条件②：； 条件③：二面角的大小为. 在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.） 【答案】（1） 证明：取的中点，连接、，因为， 所以，又，所以， 所以，即，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）条件①，不符合题意；选条件②，的值为；选条件③，的值为. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明、，从而得到平面，即可得证； （2）以为坐标原点，平面，建立空间直角坐标系，推出条件①矛盾；若选条件②：设，利用距离公式求出点坐标，设，求出平面的法向量，利用空间向量法求出，即可得解；若选条件③：由（1）可知即为二面角的平面角，即可求出点坐标，设，求出平面的法向量，利用空间向量法求出，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，又，所以，所以四边形为矩形， 如图以为坐标原点，平面，建立空间直角坐标系， 则，，，； 若选条件①：，显然平面，设， 则，，所以，与矛盾，故条件①不符合题意； 若选条件②：，显然平面，设， 则，解得，则， 所以，， 设， 则， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成的角为，则， 解得或（舍去），所以的值为； 若选条件③：二面角的大小为. 由（1）可知即为二面角的平面角，即，又， 所以， 则，， 设， 则， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成的角为，则， 解得或（舍去），所以的值为. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论求解即可； （2）当时，结合（1）可知函数在上单调递减，可先将问题转化为对任意恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 由，， 则， ①当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，函数在上单调递减， 而，，则时，， 对任意，存在，使， 即等价于恒成立，即， 所以对任意恒成立． 设，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即实数的取值范围为． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由相伴函数的定义结合辅助角公式得函数的表达式，进一步解三角函数方程即可； （2）利用两角和差的余弦公式展开合并以及单位向量的定义即可依次得解； （3）由题意依次得，外接圆的半径，再结合向量的数量积运算即可得解. 【小问1详解】 根据题意知，向量的相伴函数为， 当时，， 又，则，所以，故. 【小问2详解】 因为， 整理得到，故函数的相伴特征向量， 则与同向的单位向量为. 【小问3详解】 由题意得，， 在中，，，因此， 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以 ， ， ， 代入可得， 所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于，外接圆的半径，再结合向量数量积的运算律即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省驻马店高级中学2024-2025学年高三上期01月测试 数学试题 命题人： 审题人： 注意事项： 1.答卷前，请考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将等题卡交回. 4.满分：150分考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为正数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 3. 斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（ ） A. 50 B. 64 C. 66 D. 78 7. 已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在某次英语四级考试中，若甲、乙、丙通过考试的概率分别为，且成等比数列，三人各自是否通过这次考试相互独立，则（ ） A. B. 甲、乙都通过这次考试的概率为0.24 C. 甲、丙都不通过这次考试的概率为0.12 D. 乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为0.96 10. 已知函数的图象经过点，将的部分图象沿轴折成直二面角（如图所示），若，则（ ） A. B. C. 将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象 D. 函数的单调递减区间为 11. “大鹏曲线”的方程为，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名.直线与的交点可能个数的集合记为，下列选项正确的是（ ） A. 该曲线关于轴对称 B. C. D. “”的充要条件是“且” 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为____________． 13. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是______． 14. 已知，，则的最小值为__________． 四，解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知动点到直线的距离是它到点距离的倍，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若点关于原点对称的点为，为上一点，且为直角三角形，求的面积． 16. 雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分. （1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望； （2）已知恰有甲､乙､丙､丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第次回答的是甲的概率是，若. ①求和； ②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小. 17. 如图，四棱锥中，，底面是个直角梯形，，，. （1）证明：； （2）从下面条件①､条件②､条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：； 条件②：； 条件③：二面角的大小为. 在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.） 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $