专题06 一元一次不等式66道压轴题型专训（11大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题06 一元一次不等式66道压轴题型专训（11大题型） 【题型目录】 题型一 解|x|≥a型的不等式 题型二 根据求一元一次不等式的整数解求参数 题型三 根据不等式组解集的情况求参数 题型四 根据一元一次不等式组的解集求参数 题型五 不等式与数轴的问题 题型六 不等式最值的问题 题型七 不等式有解、无解的问题 题型八 解特殊的不等式（组）问题 题型九 一元一次不等式组的实际应用 题型十 一元一次不等式（组）的新定义问题 题型十一 用一元一次不等式（组）解决几何问题 【经典例题一 解|x|≥a型的不等式】 1．（23-24七年级下·上海嘉定·课后作业）解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1）或；（2） 【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可． 【详解】（1） 当时，则，解得， ， 当时，则，解得， ， 综上，或； （2） 当，即时，，解得， ， 当时，则，解得， ， 综上，． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图是一个运算程序：    (1)若，，求m的值； (2)若，m的值大于，直接写出一个符合条件的x的值． 【答案】(1) (2)符合条件的x的值可以是1； 【分析】（1）当输入的数是，时，依据程序进行计算即可； （2）根据题意，分两种情况讨论：若；若，列不等式求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：若，则，整理得，解得：（舍去）； 若，则，整理得，解得：， ∵，， ∴， ∴x的取值范围为：， ∴符合条件的x的值可以是1； 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算和求不等式的整数解问题，正确的计算能力是解决本题的关键． 3．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据题中所给出的例子进行解答即可； （2）根据题中所给的实例列出关于的不等式组，求出其解集即可． 【详解】（1）解：的解集是， 不等式的解集为：． 故答案为：； （2）解：的解集是， 求的解集是， 可化为， 求的解集实质上是求不等式组， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键． 4．（23-24七年级下·上海宝山·期末）阅读与思考 阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或． 任务： (1)填空：上述解答过程中的“依据”是指__________． (2)仿照例题利用分类讨论思想解不等式：． 【答案】(1)不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (2)或 【分析】（1）根据不等式的基本性质3可得答案； （2）分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别去掉绝对值符号，再解不等式即可． 【详解】（1）解：上述解答过程中的“依据”是指：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 故答案为：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； （2）解：①当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得， ； ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得， ， ③当，即时， 原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质和分类思想的应用是解题的关键． 5．（23-24七年级下·上海闵行·期中）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”． (1)最大的“对称数”为______，最小的“对称数”为______； (2)若上述定义中的x满足不等式，则这样的对称数有______个； (3)一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，且个位数字b能使得不等式组恰有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值． 【答案】(1)9999，1010 (2)8 (3)2637，3928 【分析】（1）根据“对称数”的定义，即可求解； （2）先求出x的取值，再根据“对称数”的定义，即可求解； （3）先求出b的取值，然后根据题意，可以得到所有满足条件的“对称数”M的值． 【详解】（1）解：∵9+9=9+9，1+0=1+0， ∴最大的“对称数”为9999，最小的“对称数”为1010； 故答案为：9999，1010 （2）解：， 解得：， ∵x为正整数， ∴x=1，2， 当x=1时，y=1， 对称数可以是1010，1100， 当x=2时，y=2， 对称数可以是2200，2020，2110，1111，1201，1021， ∴对称数有8个； 故答案为：8 （3）解： 由①得 由 ②得， ∵原不等式组恰有3个整数解， 又b为个位上的数字， ∴b=7或8或9， “对称数”M百位数字是千位数字的倍，个位数字与十位数字之和为10， ， ∴当时 ，十位数字为3， ∵千位数字与个位数字之和等于十位数字与百位数字之和， ∴若a=1，百位数字为5，不合题意； 若a=2，百位数字为6，即这个数为2637； 若a=3，百位数字为7，不合题意； 若a=4，百位数字为8，不合题意； 当时 ，十位数字为2， ∵千位数字与个位数字之和等于十位数字与百位数字之和， ∴若a=1，百位数字为7，不合题意； 若a=2，百位数字为8，不合题意； 若a=3，百位数字为9，即这个数为3928； 若a=4，不合题意； 当时 ，十位数字为1， ∵千位数字与个位数字之和等于十位数字与百位数字之和， ∴若a=1，百位数字为9，不合题意； 若a=2，不合题意； 若a=3，不合题意； 若a=4，不合题意； 综上所述，“对称数”M的值为：2637，3928． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出M的值． 6．（23-24七年级下·上海·阶段练习）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为 根据以上思想，请探究完成下列2个小题： （1）；     （2）． 【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1． 【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x＜-1，两种情况分别求解可得； （2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x＜2，两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1）|x+1|≤2， ①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2， 解这个不等式，得：x≤1 由条件x≥-1，有：-1≤x≤1； ②当x+1＜0，即 x＜-1时：-（x+1）≤2 解这个不等式，得：x≥-3 由条件x＜-1，有：-3≤x＜-1 ∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1． （2）|x-2|≥1 ①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1 解这个不等式，得：x≥3 由条件x≥2，有：x≥3； ②当x-2＜0，即 x＜2时：-（x-2）≥1， 解这个不等式，得：x≤1， 由条件x＜2，有：x≤1， ∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 【经典例题二 根据求一元一次不等式的整数解求参数】 7．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数． 【答案】，0 【分析】本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解；分式的分子分母能因式分解的进行因式分解，同时将除法变成乘法，约分后得到最简结果；然后解不等式组求出不等式组的整式解，得到m的值，再代入计算即可． 【详解】解： ； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为或或0或1， ∵，， ∴， 当时，原式． 8．（23-24七年级下·上海·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)求k的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键． （1）根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含k的代数式表示出，再根据，即可求得k的取值范围，本题得以解决． （2）不等式的解集为，根据不等式得性质得到，得到k的取值范围，再根据（1）中k的范围，求得k最终的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，得， ∵， ∴， 解得，； （2）解：不等式移项得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 又∵， ∴k的取值范围为， ∴整数k的值为． 9．（23-24七年级下·上海崇明·期中）定义：在平面直角坐标系中，点和点坐标满足，则称点P、Q互为“友好点”． (1)若点A为，则它的“友好点”Aʹ坐标为______； (2)已知点B为，它的“友好点”，求点B、的坐标； (3)已知点与点互为“友好点”，且，则满足条件的整数n的值． 【答案】(1) (2)， (3)，， 【分析】此题主要考查了点的坐标，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，理解题意，根据“友好点”的定义列出方程组或一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的方法与技巧是解决问题的关键． （1）设坐标为，根据“友好点”的定义得，由此解出，即可得点的坐标； （2）根据“友好点”的定义得，由此解出，即可得出点、的坐标； （3）根据“友好点”的定义得，由此得，再根据得，求出该不等式的整数解即可． 【详解】（1）解：设坐标为， 根据“友好点”的定义得：，解得：， 的坐标为． 故答案为：． （2）解：点的“友好点” ， ，解得：， 点，点； （3）解：根据“友好点”的定义得：， ， ， ， 解得：， 整数为，，． 10．（23-24七年级下·上海金山·期末）如果a，b是两个均不为0的数，满足时，我们称这种运算得到的结果是美丽数，记为，其中a、b叫做美丽数对，当a，b均为正整数时，我们称为正态美丽数，这时的a，b叫做正态美丽数的正态数对． (1)根据以上理解填空，若，则 ； (2)已知，． ①求m、n的值； ②若是正态美丽数，求满足的正态数对有多少个． 【答案】(1)13 (2)①，；②217个 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数混合运算、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识，正确理解新定义“美丽数”、“正态美丽数”、“正态数对”是解题关键． （1）根据“美丽数”的定义求解即可； （2）①根据“美丽数”的定义，得到关于m、n的二元一次方程组，求解即可获得答案； ②首先根据题意得到关于的一元一次不等式组，确定x的取值范围，然后根据“正态数对”的定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：由，得， 则； 故答案为：13； （2）解：①由，，得：， 解方程组得：； 即，； ②由是正态美丽数，得：， ∵， ， ， 由于均为正整数， 则满足条件的正整数有227，228，…，443，共计217个， 故满足的正态数对有217个． 11．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， ． 12．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；   是 阶不等式组； (2)若关于x的不等式组  是4阶不等式组，求a的取值范围； (3)关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 【答案】(1)2；1 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了求不等式组和不等式的整数解： （1）根据题目中的定义进行分析即可； （2）根据题目中的定义进行分析，可知整数解为1，2，3，4，从而可得出a的范围； （3）先解不等式得到，解方程得到，则，根据是阶不等式组，得到最大的正整数解为，再由得到，解方程求出m的值，进而求出p的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵不等式有2个正整数解， ∴是2阶不等式； 解不等式组得， ∴这个不等式组有1个正整数解， ∴不等式组是1阶不等式； 故答案为：2，1； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组是4阶不等式组， ∴关于的不等式组有4个正整数解， ∴有4个正整数解， ∴；即； （3）解：解不等式组得， 解方程得， ∴， ∵是正整数， ∴m为偶数， ∵是阶不等式组， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴整数解为， ∴． 【经典例题三 根据不等式组解集的情况求参数】 13．（23-24七年级下·上海·期中）关于任意整数、定义如下法则：，，． (1)若的值为0，无意义，求的值； (2)若的值为整数，求正整数的值； (3)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2)正整数x的值为4或9或24； (3) 【分析】题目主要考查新定义的运算，分式有意义的条件及不等式组的应用及相反数的意义，理解新定义的运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算得出，，然后得出，再由题意即可确定，同理，，得出，再代入计算即可； （2）根据新定义运算确定，设（q为整数），根据题意得出，分别确定x的值即可； （3）根据相反数得出，运用新定义法则计算整理得出，然后结合题意确定方程组求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， ∵的值为0， ∴， ∴且， ∴，     ，， ， ∵无意义， ∴， 解得：， ∴； （2） ， 设（q为整数）， ∵x为正整数， ∴q为正整数， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 当时，（舍去）， 当时，， 当时，， 当时，， 综上可得：正整数x的值为4或9或24； （3）∵与互为相反数， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 整理得：，即， ∵，， ∴或或或， 解得：或或或， ∵m,n为整数， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·上海青浦·期末）对m、n定义一种新运算“”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a、b的值． ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围． (2)若运算“”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“”都成立，试探究a、b应满足的关系． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，理解题意，正确得出方程组和不等式组是解此题的关键． （1）①根据已知新运算得出方程组，解方程组即可得出答案；②根据新运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求解即可； （2）根据新运算得出等式，整理即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得， 解得； ②由题意得， 化简得 则整数解为1，2，故， 解得； （2）解：由得， 化简得， ∵m、n为任意数， ∴不一定等于， ∴， 故a、b应满足的关系为． 15．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）阅读运用： 对x，y定义一种新运算，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：，已知，． (1)求a，b的值； (2)求； (3)若关于m的不等式组恰有2个整数解，求实数p的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据定义的新运算T，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值； （2）根据新定义计算即可； （3）根据（1）求出的a，b的值和新运算列出不等式组求出m的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数p的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，； （3）解：由题意得，， 解得， ∵原不等式组有2个整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题考查本题考查新定义、由不等式组解的情况求参数、解二元一次方程组，理解新运算是解题的关键． 16．（23-24七年级下·上海长宁·期末）（原创）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的船山方程． (1)问方程是不是不等式组的船山方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的船山方程，求的取值范围； (3)若方程和都是关于的不等式组的船山方程，求的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)； (3)； 【分析】此题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的解法，掌握船山方程的定义和分类讨论的思想是解题的关键． （1）求出方程的解和不等式组的解集，根据船山方程的定义进行判断即可； （2）解方程，得，解不等式组得到，根据方程是不等式组的船山方程，得到，解不等式组即可得到答案； （3）求出两个方程的解后，根据k的取值范围分情况讨论即可． 【详解】（1）解： ， 解得， 方程的解为， 由，得， 由，得， 不等式组的解集为， ， 不是不等式组的解， 方程不是不等式组的船山方程． （2）解：， 解得， 由得，， 解得， 由得，， 解得， 不等式组的解集为， 方程是不等式组的船山方程， ， 由得，， 由得，， ． （3）解：， 解得， ， 解得， 由得，， 当，即，， 当，即，， 由得，， 分两种情况： ① 当时，不等式组的解集为：； ② 当时，不等式组的解集为：； 方程和都是关于的不等式组的船山方程， ，都是不等式组的解， 当时，不等式组解集为：，不符合题意， 当时，不等式组得解集为，符合题意， 要使得，都是不等式组的解， ，且， ． 即的取值范围为． 17．（23-24七年级下·上海普陀·期末）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； (2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，解二元一次方程组： （1）①利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； ②把a与b的值代入确定出，表示不等式组，变形后表示出解集，根据解集恰有2024个整数解确定出p的范围即可； （2）利用新定义，变形后得出，由不论m，n取何值时，的值都是一个定值，即可得出，解得，代入，即可求得． 【详解】（1）解：①，，    解得： ，．    ②由①得：，    解得：    ∵关于m的不等式组恰好有2024个整数解， ，    ． （2）解： ， ∵且不论m，n取何值，的值都是一个定值，     解得：     ， ∴该定值为． 18．（23-24七年级下·上海崇明·期中）阅读以下材料完成下列各题 材料一： 解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． 阅读材料一，解决问题． （1）直接写出不等式的解集是_____； （2）求不等式的解集． 材料二： 对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，． 阅读材料二，解决问题． （3）求a、b的值； （4）若关于x的不等式组只有一个整数解，则t的取值范围； 综合应用∶利用以上两段材料解决下列问题 （5）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】（1）或； （2）；（3）；（4）；（5）或； 【分析】（1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案； （2）根据有理数除法法则直接列不等式组求解即可得到答案； （3）由新定义可得，再解方程组即可； （4）由新定义可得，再结合不等式组只有一个整数解，可得，再进一步可得答案； （5）由新定义可得，解得：，结合，即，再进一步可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴或， 解得：或， ∴一元二次不等式的解集是或； （2）∵， ∴或， 解得：或无解， ∴一元二次不等式的解集是． （3）∵，，， ∴，整理得：， 解得：， （4）∵，而， ∴， 由①得：， 由②得：， ∵关于x的不等式组只有一个整数解， ∴整数解为3， ∴， ∴； （5）∵，而， ∴， 整理得：， 解得：， ∵，即， ∴或， 解得：或； 【点睛】本题考查的是乘法与除法法则的灵活应用，不等式组的解法，二元一次方程组的解法，新定义的含义，理解新定义是解本题的关键． 【经典例题四 根据一元一次不等式组的解集求参数】 19．（23-24七年级下·上海虹口·期中）关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数a的值． 【答案】(1) (2)满足条件的整数a的值为， 【分析】（1）用含的式子表示出方程组的解，再根据方程组的解满足x为非正数，y为正数，列出不等式组，进行求解即可； （2）根据题意，可得：，结合（1）中的取值范围，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得：，解得：， 把，代入②，得：，解得：， ∴方程组的解为：， ∵关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为正数， ∴，解得：； （2）解：∵ ∴， ∵不等式的解集为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的整数a的值为，． 【点睛】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的取值范围、解一元一次不等式组．正确的求出方程组的解，是解题的关键． 20．（23-24七年级下·上海长宁·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：①，②，③中，不等式的“云不等式”是______ （填序号）； (2)若关于x的不等式不是的“云不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“云不等式”，求a的取值范围． 【答案】(1)①② (2)的取值范围是； (3)的取值范围为或． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）根据云不等式的定义即可求解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据云不等式的定义可得，解不等式即可求解； （3）分两种情况讨论根据云不等式的定义得到含的不等式，解得即可． 【详解】（1）解：不等式和不等式有公共解，故①是不等式的“云不等式”； 不等式和不等式有公共解，故②是不等式的“云不等式”； 不等式和不等式没有公共解，故③不是不等式的“云不等式”； 故答案为：①②； （2）解：解不等式可得， 解不等式得， 关于的不等式不是的“云不等式”， ， 解得， 故的取值范围是； （3）解：①当时，即时，依题意有，即，故； ②当时，即时，始终符合题意，故； 综上，的取值范围为或． 21．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）对于三个互不相等的数a、b、c，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数． 规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：，； (1)______，______； (2)若，则x的取值范围为______； (3)若关于x的不等式组恰有三个整数解，求t的取值范围； (4)若，请直接写出x的值． 【答案】(1)； (2)0且； (3) (4)2或 【分析】（1）根据新定义，即可求解； （2）根据新定义，可得，解出即可； （3）分别求出两个不等式的解集可得原不等式组的解集为，再根据原不等式组恰有三个整数解，可得关于t的不等式组，即可求解； （4）根据新定义，可得，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 解得：且； 故答案为：且； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：且， ∴原不等式组的解集为且， ∵原不等式组恰有三个整数解， ∴， 解得：； （4）解：∵， ∴， 当，即时，， ，解得：； 当，即时，， ，解得：（舍去）； 当，即时，， ，解得：； 综上所述，x的值为2或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分类讨论，理解新定义是解题的关键． 22．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读下列材料： 在自然数中，一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y．如果，那么称这个四位数为“对称四位数”． (1)在四位数2112与4051中，其中_________是“对称四位数”； (2)最小的“对称四位数”是_________； (3)一个“对称四位数”Ｍ，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8，且千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，请求出所有满足条件“对称四位数”M的值． 【答案】(1)4051 (2)1010 (3)1335或2626 【分析】（1）根据“对称四位数”的定义进行求解即可； （2）根据“对称四位数”的定义进行求解即可； （3）先解不等式组确定出或，设十位数字为x，则个数数字为，再分和两种情况，利用“对称四位数”的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四位数不是“对称四位数”； ∵， ∴四位数是“对称四位数”； （2）解：由题意得，最小的“对称四位数”为， （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵千位数字使得不等式组恰有个整数解， ∴， ∴， ∵， ∴或， 设十位数字为x，则个数数字为 当时，则百位数字为， ∴， ∴， ∴， ∴这个“对称四位数”M的值为； 当时，则百位数字为6， ∴， ∴， ∴， ∴这个“对称四位数”M的值为； 综上所述，这个“对称四位数”M的值为或． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键． 23．（23-24七年级下·上海松江·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是______；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2)取值范围为 (3)的取值范围为 【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∵， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解方程得， 解方程得， ∵方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”， ， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． 24．（23-24七年级下·上海长宁·期末）阅读理解 定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为，的解为，在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 问题解决 （1）不等式组：①，②，③中，是不等式的“子集”的是_________；（填序号） （2）若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，求k的取值范围； 问题拓展 （3）若关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，直接写出m的取值范围是___________． 【答案】【小问1】③     【小问2】     【小问3】或 【分析】（1）分别求出每一个不等式组的解集，再根据新定义，逐项判断即可求解； （2）先求出不等式组和不等式的解集，再根据不等式组是关于x的不等式的“子集”，得到关于k的不等式，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：不等式的解集为， ①的解集为， ∵不在的范围内， 一元一次不等式组不是一元一次不等式的“子集”． ②的解集为， ∵不在的范围内， ∴一元一次不等式组不是一元一次不等式的“子集”． ③的解集为， ∵在的范围内， ∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 故答案为：③ （2）解：的解集为， 的解集为， ∵一元一次不等式组是关于x的不等式的“子集”， ∴， 解得：； （3）解：的解集为， 当，即时， 的解集为， ∵关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”， ∴，解得：， ∴此时； 当，即时， 的解集为， ∵关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”， ∴，解得：， ∴此时； 综上所述，m的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键． 【经典例题五 不等式与数轴的问题】 25．（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 【答案】，；数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意正确列出不等式组成为解题的关键． 设大器容x斛，小器容y斛，由题意得则，再根据可得，当，即时可得、，进而完成解答． 【详解】解：设大器容x斛，小器容y斛，由题意得: , 可得：，即：， ∵ ∴， 当，即时，，即，， ∴，； 小器容米数量范围的解集在数轴上表示如下 ： ． 26．（23-24七年级下·上海宝山·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)一 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）第一步去分母时等式右边的数字3没有乘以6，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，航航的解题过程从第一步开始出现错误的，原因是去分母时不等式左边的数字3没有乘以6， 故答案为：一； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： 27．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），所有整数解为，， 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，进而得到它的所有整数解； 本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，求不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，． 28．（2024·上海松江·模拟预测）下列是某不等式组的部分求解过程，请认真阅读并解答： 解：解不等式①， 去括号，得.…………………第一步 移向，得.…………………第二步 合并同类项，得.……………………第三步 系数化为1，得.………………………第四步 (1)以上解不等式①的过程中，从第 步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是 ，这一步的依据是 ； (2)将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来； (3)原不等式组的解集为 ； (4)此不等式组的最小整数解为 ． 【答案】(1)第四；；不等式的性质 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质，即可解答； （2）将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来即可； （3）根据在数轴上表示出来解集，求出不等式组的解集即可； （4）求出不等式组的最小整数解即可． 【详解】（1）以上解不等式①的过程中，从第第四步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是，这一步的依据是不等式的性质； 故答案为：第四；；不等式的性质； （2）解不等式②得：， 解集表示在数轴上为： （3）原不等式组的解集为， 故答案为：； （4）此不等式组的最小整数解为0． 故答案为：0 29．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是时的值，并在如图所示的数轴上表示为点，．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数的绝对值大于； 点，之间的点表示的数的绝对值小于； 点右边的点表示的数的绝对值大于． 因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集： ①的解集是________； ②的解集是___________； (2)求绝对值不等式解集． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】本题考查利用数轴解绝对值不等式，解题的关键是理解题意，根据题目中，解题的方法，进行解答，学会数形结合解题，即可． （1）根据绝对值不等式的解集为或，进行解答，即可； （2）先化简，则，再根据小明解法，即可． 【详解】（1）∵绝对值不等式的解集为或 ∴数轴如下： ∴的解集为：或； 数轴如下： ∴的解集为：． 故答案为：或；． （2）∵， 移项得：， 系数化为得：， ∴的解集表示为：或， ∴的解集为：或． 30．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式，数轴，绝对值等知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，绝对值的非负性的应用，根据题意，列出方程，进行解答，即可． 【经典例题六 不等式最值的问题】 31．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）将代入二元一次方程的可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先求出，再根据数轴可得，从而可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】（1）解：将代入二元一次方程的得：， 解得． （2）解：由（1）得：， 则， 由数轴得：， 则， 解得， 所以的最小值是0． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 32．（23-24七年级下·上海青浦·期末）已知、是整数，关于的不等式的最小整数解是8，关于的不等式的最大整数解为8． （1）求、的值； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据已知条件得到a-2b、2a+3b-19也是整数，解方程组即可得到结论； （2）根据题意得不等式组，代入、的值解不等式组可得到结论． 【详解】解:（1）∵为a、b是整数， ∴a-2b、2a+3b-19也是整数， 由x+2b＞a解得：x＞a-2b， 由x-3b+19＜2a解得：x＜2a+3b-19， 于是，由题意可得：   解得：.   （2）由题意得：     即： 解得 ∴  的取值范围是： 【点睛】考查了对解一元一次不等式（组），一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组的应用，关键是根据题意得出关于a、 b的方程组． 33．（2024·上海徐汇·模拟预测）现有单价为10元和5元的笔记本共15本，总金额不足95元，根据此信息，小强列出不完整的不等式：　　　　．根据小强所列的不等式，解答以下问题． (1)请写出未知数x表示的意义． (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 【答案】(1)x表示单价为5元的笔记本的本数 (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值，这个值为3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意得出不等关系是解题关键． （1）根据题意结合不等式的意义解答即可； （2）根据题意，列出不等式，求解，根据不等式的意义解答即可． 【详解】（1）解∶根据题意，x表示单价为5元的笔记本的本数； （2）解：最大值，由题意，得， 解得， ∵x为正整数， ∴x有最小值，最小值为12， ∴有最大值，最大值为3， 即单价为10元的笔记本的本数有最大值，这个值为3． 34．（23-24七年级下·上海金山·模拟预测）根据下列素材，解决实际问题： 如何购买饲料更划算？ 素材1 某小型农场养殖黄牛和奶牛共80头． 素材2 每头牛每天需要吃饲料10kg，下表是黄牛和奶牛所用饲料的信息（饲料成袋售卖）： 每袋质量 售价 黄牛饲料 60千克 40元/袋 奶牛饲料 75千克 60元/袋 农场中的牛3天共吃完37袋饲料． 素材3 该农场的饲料需求量大，饲料供应商给出优惠方案如下：每买4袋奶牛饲料赠送1袋黄牛饲料． 问题解决 任务1 分析数量 分别求出农场中黄牛和奶牛的数量． 任务2 统筹规划 现农场中奶牛饲料已用完，黄牛饲料还有50袋，农场想购买一批饲料，费用不超过10000元．若全部饲料可供所有的牛恰好a天吃完（a为整数），求a的最大值． 【答案】任务1：场中奶牛的数量为30只，黄牛的数量为50只．任务2：所以a的最大值是22． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，找到等量关系式是解题的关键． 任务1：设农场中奶牛的数量为x只，黄牛的数量为y只，根据题意列出方程组即可得出答案； 任务2：根据题意列出关于a的不等式即可得出答案． 【详解】解：任务1：设农场中奶牛的数量为x只，黄牛的数量为y只， ， 解得：， 答：场中奶牛的数量为30只，黄牛的数量为50只． 任务2：， 解得：， 因为a为整数， 所以a的最大值是22． 35．（2024·上海宝山·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．   ⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？ ⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，． ∵的几何意义是线段与的长度之和 ∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时 ∴的最小值是3． ⑶.解决问题： ①.的最小值是 ； ②.利用上述思想方法解不等式： ③.当为何值时，代数式的最小值是2． 【答案】①6；②或；③或 【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值； ②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可； ③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可． 【详解】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x， ∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示， 表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示， ∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB， 且线段AB的长度为6， ∴的最小值为6. 故答案为：6. ②设A表示-3，B表示1，P表示x， ∴线段AB的长度为4，则， 的几何意义表示为PA+PB， ∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB， ∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧， 即不等式的解集为或． 故答案为：或． ③设A表示-a，B表示3，P表示x， 则线段AB的长度为， 的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值， ∴ ∴或， 即或； 故答案为：或. 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分类讨论是解决本题的关键． 36．（2024·上海嘉定·模拟预测）【提出问题】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【发现问题】代数式的最小值是多少？ 【探究问题】如图，点分别表示的是，则． 的几何意义是线段与的长度之和． 当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时， 的最小值是3． 【解决问题】 (1)的最小值是______； (2)利用上述思想方法解不等式： (3)当为何值时，代数式的最小值是2． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及利用数轴解决含有绝对值的不等式问题， （1）把原式转化看作是数轴上表示的点与表示与的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解； （3）根据原式的最小值为，得到表示的点的左边和右边，且到距离为的点即可． 【详解】（1）解： ， 如图，点A，B，P分别表示，4，x，则表示到与到的距离之和， 点在线段上，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是； 故答案为：． （2）如图所示，满足，表示表示x的点到表示和的点距离之和大于的范围， 当表示x的点在表示和的点之间时，距离之和为，不满足题意； 当表示x的点在表示的点的左边或表示的点的右边时，距离之和大于，符合题意， 则范围为或； （3）当为或时，代数式为或， 数轴上表示数的点到表示数的点的距离为，数轴上表示数的点到表示数的点的距离也为， 当为或时，原式的最小值是． 【经典例题七 不等式有解、无解的问题】 37．（23-24七年级下·上海杨浦·单元测试）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)时，原不等式的解集是；时，原不等式的解集是 【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键． （1）将代入不等式，进行求解即可； （2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入原不等式，得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：∵， ∴， ∴． 当，即时，原不等式有解； 当，即时，原不等式的解集是； 当，即时，原不等式的解集是． 38．（23-24七年级下·上海虹口·期中）已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解，（1）先分别解一元一次不等式，再根据不等式组的解集可得，最后求解即可； （2）由（1）可得，，再根据不等式组无解可得，再求解即可； （3）由（1）可得，，根据该不等式组只有4个整数解，可得，再解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：， 由①得，， 由②， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∵该不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：由（1）可得，， ∵该不等式组只有4个整数解， ∴， 解得， ∴m的整数解是0． 39．（23-24七年级下·上海嘉定·单元测试）老师在黑板上写下题目：解一元一次不等式组其中需要同学们在“□”中填写数字． (1)小颖填入数字后得到该不等式组的解集为，求出小颖填写的数字； (2)小明说：“当该一元一次不等式组无解时，在‘□’中填入的数字的取值范围大于．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)小颖填写的数字为6． (2)小明的说法错误，理由见解析 【详解】解：（1）设小颖填写的数字为a， 则 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该不等式组的解集为， ∴，解得， ∴小颖填写的数字为6． （2）小明的说法错误，理由如下： 设在“□”中填入的数字为m， 由（1）可得，不等式组的解集为 ∵该一元一次不等式组无解， ∴，解得， ∴当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字的取值范围小于等于，故小明的说法错误． 40．（23-24七年级下·上海静安·期中）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是 ； A．    B．    C． D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围； (3)若能被关于的不等式“容纳”，求的取值范围． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查不等式参数解问题及解不等式，解题的关键是注意参数不等式的分类讨论． （1）分别解出不等式比较即可得到答案； （2）解出不等式列不等式即可得到答案； （3）解出不等式根据能被关于的不等式 “容纳”列式即可得到答案． 【详解】（1）解：不等式A的解集为：， A不符合题意； 不等式B的解集为：， ∴B不符合题意； 不等式C的解集为：， ∴C符合题意； 不等式组D的解集为：无解， ∴D不符合题意； 综上，能被不等式“容纳”的是：C． 故答案为：C； （2）解不等式得， 不等式被 “容纳”， ， ； （3）能被关于的不等式 “容纳”， ，不等式的解集为， ， 的取值范围为 41．（23-24七年级下·上海松江·课后作业）阅读理解 定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为的解集为．在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 问题解决 （1）在不等式组：①②③中，是不等式的“子集”的是______；（填序号） （2）若关于的不等式组是关于的不等式的“子集”，求的取值范围； 问题拓展 （3）若关于的不等式组的解集不是关于的不等式的“子集”，直接写出的取值范围是______． 【答案】（1）③；（2）；（3） 【解析】略 42．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围； (3)关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围． 【答案】(1)不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解新定义，正确解不等式组是解题关键． （1）先解不等式组A，进而得出A的解集中点值，再根据“中点包含”的定义判断即可； （2）先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出，求出C的解集中点值，再根据“中点包含”的定义求解即可； （3）先解不等式组E和不等式组F，求出E的解集中点值，再根据“中点包含”的定义求得，然后根据整数m之和为12，得到的可能取值，进而得出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下： 解不等式组A：，得：， ∴A的解集中点值为， ∵在不等式B：范围内， ∴不等式B对于不等式组A中点包含； （2）解：解不等式组C：，得：， 解不等式组D：，得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴不等式组C和不等式组D有解， ∴，解得：， ∴当时，不等式组C的解集为，不等式组D的解集为， ∵C的中点值为，且D对于不等式组C中点包含， ∴， 解得：， 又∵， ∴． 先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出，再求出 （3）解：解不等式组E：，得：， 解不等式组F：，得：， ∴E的中点值为， ∵不等式组F对于不等式组E中点包含， ∴，解得：， ∵所有符合要求的整数m之和为12， ∴整数m可取3、4、5，或、、0、1、2、3、4、5． ∴或． 【经典例题八 解特殊的不等式（组）问题】 43．（23-24七年级下·上海普陀·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 44．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 【答案】(1)0 (2)，，1，2 【分析】题目主要考查新定义的不等式的计算，理解新定义是解题关键． （1）根据题意得出，然后求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出不等式，结合题意求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴； （2）当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， ∵在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数， ∴， ∵m为整数， ∴或， ∴或； 当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， 当时，，不成立； 当时，，此时，成立； 当时，，此时，成立； 当时，，不成立； 综上可得：或2或或． 45．（23-24七年级下·上海崇明·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】(1) (2)可取的整数值为，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． （1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式组 ，解得． 所以原不等式组的解集为：； （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为，． 46．（23-24七年级下·上海宝山·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【答案】 【分析】根据有理数相除异号得负，故可得①；②，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得： ①；② 解不等式组①，得无解 解不等式组②，得 原不等式的解集为 【点睛】本题主要考查了分式不等式，根据有理数除法同号得正，异号得负的法则，判断出分式不等式分子，分母的正负，组成不等式组是解题的关键． 47．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 【答案】（3）①或；② 【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可； ②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：（3）①， ∴当时，解得：； 当时，解得：； ∴原不等式的解集为或； ② ∴当时，解得：； 当时，不等式组无解； ∴原不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解． 48．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：∵，∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为_______； (2)试解一元二次不等式； (3)试解不等式． 【答案】(1)或 (2)一元二次不等式的解集为0＜x＜5 (3)的解集为1＜x＜4 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解； （2）利用提公因式法对不等式的左边进行因式分解，再求解可得； （3）需要分类讨论：①     ②据此求解可得． 【详解】（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0 ∴ 或 解得：x＞3或x＜-3． 故答案为：或 ； （2）∵， ∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得0＜x＜5； 解不等式组②，无解， ∴的解集为0＜x＜5， 即一元二次不等式的解集为：0＜x＜5． （3）由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得1＜x＜4； 解不等式组②，无解， ∴的解集为1＜x＜4． 【点睛】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则． 【经典例题九 一元一次不等式组的实际应用】 49．（23-24七年级下·上海闵行·期末）超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克． (1)该种干果的第一次进价是每千克多少元? (2)超市将两批干果按相同的标价销售，最后的500千克按标价的八折优惠售出，如果两批干果全部售出后，利润率不低于（不考虑其他因素），那么超市销售这批干果的标价至少是多少元? 【答案】(1)该种干果的第一次进价是每千克5元 (2)超市销售这批干果的售价至少为每千克元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设该种干果第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元，根据“9000元资金购进该种干果数量是第一次的2倍还多300千克”列出方程，解方程即可； （2）设超市销售这批干果的售价为每千克m元，根据利润率不低于列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该种干果第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元， 依题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该种干果的第一次进价是每千克5元． （2）解：设超市销售这批干果的售价为每千克m元， 第一次购进（千克）， 第二次购进（千克），根据题意得： ， 解得：． 答：超市销售这批干果的售价至少为每千克元． 50．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到，，三个景点的距离分别为，，．学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点游玩，且恰好在返回校门口，求的最大值； (2)若，，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去，，中的哪几个景点？ 【答案】(1)2； (2)景点或景点． 【分析】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是熟练掌握通过题目条件找出不等关系并能正确列出不等式， （1）根据题意先计算出时间，再列出不等式求解即可； （2）设景点与校门口的距离为．根据题意得，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 的最大值为2； （2）解：设景点与校门口的距离为． 根据题意得， 解得． 学校可能组织学生去景点或景点． 51．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：千米 每千米行驶费用： 新能源车 电池容量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：▲ 已知燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元． (1)求的值． (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7700元．每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用比燃油车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用） 【答案】(1)的值为600 (2)当每年行驶里程大于千米时，买新能源的年费用更低 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． (1)根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用，进而列出方程，解方程即可得解； (2)根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为：(元), ∵燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元， ∴， 解方程得，， 经检验，是原方程的解且符合题， ∴的值为600； （2）解：设每年行驶里程为千米， ∵(元),(元)， ∴由题意得：, 解得, 答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源的年费用更低． 52．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）星期天，爸爸、妈妈带小明去商场选购一款空调．他们选择了其中两款，小明查阅出两款空调的基本能效信息如下表： 型号 能效能级 售价/元 平均每年耗电量/ 居民电价 品牌一 1级 3048 640 0.56元/ 品牌二 3级 2600 800 (1)两款空调使用多少年，综合费用（综合费用售价电费）相同； (2)若空调使用年限为10年，请你帮助小明一家分析购买、使用哪种品牌空调综合费用较低，说明你的理由． 【答案】(1)两款空调使用5年时，两款空调的综合费用相同 (2)当时，品牌二的空调综合费用较低；当时，品牌一和品牌二的空调综合费用相等；当时，品牌一的空调综合费用较低． 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）设两款空调使用t年，令两款空调的综合费用相等，列关于t的方程并求解即可； （2）通过比较两个代数式的大小，求出对应t的取值范围即可． 【详解】（1）解：设两款空调使用t年，综合费用相同； 1级能效空调的综合费用是（元）， 3级能效空调的综合费用是（元）． 根据题意得，， 解得，， 答：两款空调使用5年时，两款空调的综合费用相同． （2）解：当时，解得； 当时，解得， ∵， ∴． 答：当时，品牌二的空调综合费用较低；当时，品牌一和品牌二的空调综合费用相等；当时，品牌一的空调综合费用较低． 53．（23-24七年级下·上海金山·期末）某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证140元，本人凭证游泳每次再付费18元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费25元，累计超过10次后，超过的部分每次游泳付费打八折．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为大于10的正整数） (1)用含x的式子表示： 游泳次数/次 11 12 … x 方式一付费金额/元 … 方式二付费金额/元 … (2)当x取何值时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等？ (3)当x在什么范围内取值时，选择方式一付费比较省钱？（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】(1)； (2)当时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等 (3)当时，选择方式一付费比较省钱 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）根据题意分别用x分别表示出方式一付费金额和方式二付费金额． （2）令，解一元一次方程即可得出答案． （3）根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：当游泳次数为x时， 方式一付费金额为：， 方式二付费金额为： （2）解： 即， 解得：， 故当时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等． （3）解：根据题意， 解得：， 当时，选择方式一付费比较省钱 54．（23-24七年级下·上海·假期作业）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 【答案】(1)60，80，430 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程和不等式，再求解． （1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按 “方式二”计费时主叫通话时间为分钟，根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （2）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次方程并求解； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）李明按方式一计费元， 李明按方式二计费元， 设王华该月主叫通话时间为分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元 ∴ ∴ 故答案为：60，80，430； （2）结合题意，分、、三种情况， 当时，方式一计费方式二计费，不符合题意； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； ∴或时，按方式一和方式二的计费相等 （3）当时，方式一计费方式二计费，符合题意； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； ∴或时，选择方式一比选择方式二省钱． 【经典例题十 一元一次不等式（组）的新定义问题】 55．（23-24七年级下·上海闵行·期中）在实数范围内定义一种新运算：“”：当时，；当时，．例如：，．若，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据定义的新运算可得，然后按照解一元一次不等式的步骤求解即可．理解定义的新运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 56．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）对于实数a，b，定义新运算：当时，；当时，；当时，．如：．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1) (2)时，求x的值； (3)有两个整数解，求m 的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，根据不等式组的解集情况求参数，解一元一次不等式等等： （1）根据新定义求解即可； （2）分当，即时，可得方程，当当，即时，可得方程，两种情况解方程即可得到答案； （3）先证明，再分别解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组有两个整数解进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当，即时， ∵， ∴， 解得； 当，即时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或； （3）解：∵， ∴， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∵有两个整数解， ∴， 解得． 57．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：． (1)求的值： (2)若的值小于34，求x的取值范围，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)，图见解析 【分析】本题考查定义新运算，求不等式的解集，并在数轴上表示解集： （1）根据新运算的法则，进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出不等式，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）解：； （2）由题意，得：， 解得：； 在数轴上表示解集如图： 58．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：______； (2)若，则x的取值范围为______； (3)已知，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据公式计算可得； （2）结合公式知 ，解之可得； （3）由题意可得或，分别求解可得． 【详解】（1）解： 故答案为： ； （2） ， 解得： 故答案为： （3）由题意知或， 解得：或 ． 59．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范困内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是____________；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”求k的取值范围． 【答案】(1)①②； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 该不等式组的解集为：， 和在的范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， ， 解得：， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得：， 的取值范围是． 60．（23-24七年级下·上海崇明·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算的值，请直接写出答案． 【答案】(1)1 (2)③④，①⑤ (3)0、1、2 (4) 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据“望音”数对定义列出方程，解方程即可； （4）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴是“望音”数对； ②∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ③∵， ∴是“望一”数对； ④， ∴是“望一”数对； ⑤∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有③④，是“望音”数对的有①⑤． （3）解：∵有序数对是“望音”数对， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴整数x的值为0、1、2． （4）解： 解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 【经典例题十一 用一元一次不等式（组）解决几何问题】 61．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据的取值范围必须满足两个条件：一个是这个长方形的周长不大于48米，另一个是长方形的边长大于0，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解不等式组得：， 答：x的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了列不等式组，并求不等式组的解，注意不要漏掉长方形的长要大于0这个隐含条件． 62．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，在数轴上，点A，B分别表示数3，-2x+5． （1）求x的取值范围； （2）数轴上表示数-x+4的点应落在________． ①点A的左边；②线段AB上；③点B的右边． 【答案】（1）；（2）②． 【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，解不等式可得答案； （2）根据x的取值范围，利用不等式的性质可得，然后利用作差法求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）由数轴得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴，即数轴上表示数－x+4的点在A的右边， 又∵， ∴，即数轴上表示数－x+4的点在点B的左边， ∴数轴上表示数－x+4的点应落在线段AB上，选②． 【点睛】本题考查了数轴、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 63．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，有一面长的墙，现要用长的篱笆围成一面靠墙且中间隔有一道篱笆（）的矩形花圃，设花圃的宽为．若围成的花圃的面积为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． 由题意知，，，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，，， 解得，， 依题意得，， 整理得，， 解得（舍去），， ∴的长为． 64．（23-24七年级下·上海长宁·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果． 【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以，可以得到； （2）设长度1为，则长度2为， 则， 两边同乘以得， ， ， ， ， ， 长度1是；长度2是． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键． 65．（23-24七年级下·上海青浦·期末）王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满．    【答案】（1）40；（2）乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm；（3）5cm． 【分析】（1）根据王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形（如图①），可得甲种盒子底面边长是60-20=40（cm）； （2）设乙种盒子底面的宽BC为xcm，则长AB为2xcm，根据原边长是60cm，结合图形得方程2x+2y=60，解方程即可求解； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满，列出不等式40×40y≥20×10×40即可求解． 【详解】解：（1）60-20=40（cm）； 故答案为：40； （2）设乙种盒子底面的宽为xcm，则盒子底面的长为2xcm，依题意有 2x+x+2x+x=60， 解得x=10， 则2x=20． 答：乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满， 根据题意得40×40y≥20×10×40， 解得y≥5． 答：当甲种盒子的注水高度至少为5cm时，将水倒入乙种盒子后可以把乙种盒子注满水． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，此题关键是能够结合图形正确发现等量关系，列出方程．熟悉长方体的体积公式：长方体的体积=长×宽×高． 66．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）学校装修录播教室需用A型板材120块，B型板材90块，A型板材规格是的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的剪裁示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 A型板材块数 1 2 0 B型板材块数 2 m n 若所购的保准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用． （1）上表示，m= ，n= ． （2）用含有x的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； （3）所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时x的值；若不能，请说出理由． 【答案】（1）0，3；（2）60-x，30-x；（3）所购标准板材的总张数能为82张，此时x的值是48 【分析】（1）根据标准板材的规格和A型、B型板材的规格即可解答； （2）设按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，根据共需用A型板材120块、B型板材90块，可得x+2y=120，2x+3z=90，然后整理可得结果； （3）根据三种裁剪方法共用板材82张列方程求解即可． 【详解】解：（1）按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120cm，150-120=30，所以无法裁出B型板， 按裁法三裁剪时，3块B型板材块的长为120cm，120＜150， 而4块块B型板材块的长为160cm＞150cm，所以无法裁出4块B型板； ∴m=0，n=3； （2）设按裁法二裁y张、按裁法三裁z张． ∵共需用A型板材120块、B型板材90块， ∴x+2y=120，2x+3z=90， ∴y=60-x，z=30-x， 故答案为：60-x，30-x； （3）由题意，得x+60-x+30-x=82， 解得x=48． 故所购标准板材的总张数能为82张，此时x的值是48． 【点睛】本题重点考查了列代数式，以及一元一次方程的应用问题，在做题时要明确所裁出A型板材和B型板材的总长度不能超过150cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元一次不等式66道压轴题型专训（11大题型） 【题型目录】 题型一 解|x|≥a型的不等式 题型二 根据求一元一次不等式的整数解求参数 题型三 根据不等式组解集的情况求参数 题型四 根据一元一次不等式组的解集求参数 题型五 不等式与数轴的问题 题型六 不等式最值的问题 题型七 不等式有解、无解的问题 题型八 解特殊的不等式（组）问题 题型九 一元一次不等式组的实际应用 题型十 一元一次不等式（组）的新定义问题 题型十一 用一元一次不等式（组）解决几何问题 【经典例题一 解|x|≥a型的不等式】 1．（23-24七年级下·上海嘉定·课后作业）解下列不等式： （1） （2） 2．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图是一个运算程序：    (1)若，，求m的值； (2)若，m的值大于，直接写出一个符合条件的x的值． 3．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 4．（23-24七年级下·上海宝山·期末）阅读与思考 阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或． 任务： (1)填空：上述解答过程中的“依据”是指__________． (2)仿照例题利用分类讨论思想解不等式：． 5．（23-24七年级下·上海闵行·期中）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”． (1)最大的“对称数”为______，最小的“对称数”为______； (2)若上述定义中的x满足不等式，则这样的对称数有______个； (3)一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，且个位数字b能使得不等式组恰有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值． 6．（23-24七年级下·上海·阶段练习）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为 根据以上思想，请探究完成下列2个小题： （1）；     （2）． 【经典例题二 根据求一元一次不等式的整数解求参数】 7．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数． 8．（23-24七年级下·上海·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)求k的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 9．（23-24七年级下·上海崇明·期中）定义：在平面直角坐标系中，点和点坐标满足，则称点P、Q互为“友好点”． (1)若点A为，则它的“友好点”Aʹ坐标为______； (2)已知点B为，它的“友好点”，求点B、的坐标； (3)已知点与点互为“友好点”，且，则满足条件的整数n的值． 10．（23-24七年级下·上海金山·期末）如果a，b是两个均不为0的数，满足时，我们称这种运算得到的结果是美丽数，记为，其中a、b叫做美丽数对，当a，b均为正整数时，我们称为正态美丽数，这时的a，b叫做正态美丽数的正态数对． (1)根据以上理解填空，若，则 ； (2)已知，． ①求m、n的值； ②若是正态美丽数，求满足的正态数对有多少个． 11．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 12．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；   是 阶不等式组； (2)若关于x的不等式组  是4阶不等式组，求a的取值范围； (3)关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 【经典例题三 根据不等式组解集的情况求参数】 13．（23-24七年级下·上海·期中）关于任意整数、定义如下法则：，，． (1)若的值为0，无意义，求的值； (2)若的值为整数，求正整数的值； (3)若与互为相反数，求的值． 14．（23-24七年级下·上海青浦·期末）对m、n定义一种新运算“”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a、b的值． ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围． (2)若运算“”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“”都成立，试探究a、b应满足的关系． 15．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）阅读运用： 对x，y定义一种新运算，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：，已知，． (1)求a，b的值； (2)求； (3)若关于m的不等式组恰有2个整数解，求实数p的取值范围． 16．（23-24七年级下·上海长宁·期末）（原创）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的船山方程． (1)问方程是不是不等式组的船山方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的船山方程，求的取值范围； (3)若方程和都是关于的不等式组的船山方程，求的取值范围． 17．（23-24七年级下·上海普陀·期末）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； (2) 若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值．   18．（23-24七年级下·上海崇明·期中）阅读以下材料完成下列各题 材料一： 解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． 阅读材料一，解决问题． （1）直接写出不等式的解集是_____； （2）求不等式的解集． 材料二： 对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，． 阅读材料二，解决问题． （3）求a、b的值； （4）若关于x的不等式组只有一个整数解，则t的取值范围； 综合应用∶利用以上两段材料解决下列问题 （5）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的取值范围． 【经典例题四 根据一元一次不等式组的解集求参数】 19．（23-24七年级下·上海虹口·期中）关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数a的值． 20．（23-24七年级下·上海长宁·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：①，②，③中，不等式的“云不等式”是______ （填序号）； (2)若关于x的不等式不是的“云不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“云不等式”，求a的取值范围． 21．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）对于三个互不相等的数a、b、c，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数． 规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：，； (1)______，______； (2)若，则x的取值范围为______； (3)若关于x的不等式组恰有三个整数解，求t的取值范围； (4)若，请直接写出x的值． 22．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读下列材料： 在自然数中，一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y．如果，那么称这个四位数为“对称四位数”． (1)在四位数2112与4051中，其中_________是“对称四位数”； (2)最小的“对称四位数”是_________； (3)一个“对称四位数”Ｍ，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8，且千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，请求出所有满足条件“对称四位数”M的值． 23．（23-24七年级下·上海松江·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是______；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 24．（23-24七年级下·上海长宁·期末）阅读理解 定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为，的解为，在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 问题解决 （1）不等式组：①，②，③中，是不等式的“子集”的是_________；（填序号） （2）若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，求k的取值范围； 问题拓展 （3）若关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，直接写出m的取值范围是___________． 【经典例题五 不等式与数轴的问题】 25．（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 26．（23-24七年级下·上海宝山·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 27．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 28．（2024·上海松江·模拟预测）下列是某不等式组的部分求解过程，请认真阅读并解答： 解：解不等式①， 去括号，得.…………………第一步 移向，得.…………………第二步 合并同类项，得.……………………第三步 系数化为1，得.………………………第四步 (1)以上解不等式①的过程中，从第 步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是 ，这一步的依据是 ； (2)将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来； (3)原不等式组的解集为 ； (4)此不等式组的最小整数解为 ． 29．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是时的值，并在如图所示的数轴上表示为点，．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数的绝对值大于； 点，之间的点表示的数的绝对值小于； 点右边的点表示的数的绝对值大于． 因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集： ①的解集是________； ②的解集是___________； (2)求绝对值不等式解集． 30．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【经典例题六 不等式最值的问题】 31．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 32．（23-24七年级下·上海青浦·期末）已知、是整数，关于的不等式的最小整数解是8，关于的不等式的最大整数解为8． （1）求、的值； （2）若，，求的取值范围．      33．（2024·上海徐汇·模拟预测）现有单价为10元和5元的笔记本共15本，总金额不足95元，根据此信息，小强列出不完整的不等式：　　　　．根据小强所列的不等式，解答以下问题． (1)请写出未知数x表示的意义． (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 34．（23-24七年级下·上海金山·模拟预测）根据下列素材，解决实际问题： 如何购买饲料更划算？ 素材1 某小型农场养殖黄牛和奶牛共80头． 素材2 每头牛每天需要吃饲料10kg，下表是黄牛和奶牛所用饲料的信息（饲料成袋售卖）： 每袋质量 售价 黄牛饲料 60千克 40元/袋 奶牛饲料 75千克 60元/袋 农场中的牛3天共吃完37袋饲料． 素材3 该农场的饲料需求量大，饲料供应商给出优惠方案如下：每买4袋奶牛饲料赠送1袋黄牛饲料． 问题解决 任务1 分析数量 分别求出农场中黄牛和奶牛的数量． 任务2 统筹规划 现农场中奶牛饲料已用完，黄牛饲料还有50袋，农场想购买一批饲料，费用不超过10000元．若全部饲料可供所有的牛恰好a天吃完（a为整数），求a的最大值． 35．（2024·上海宝山·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．   ⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？ ⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，． ∵的几何意义是线段与的长度之和 ∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时 ∴的最小值是3． ⑶.解决问题： ①.的最小值是 ； ②.利用上述思想方法解不等式： ③.当为何值时，代数式的最小值是2． 36．（2024·上海嘉定·模拟预测）【提出问题】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【发现问题】代数式的最小值是多少？ 【探究问题】如图，点分别表示的是，则． 的几何意义是线段与的长度之和． 当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时， 的最小值是3． 【解决问题】 (1)的最小值是______； (2)利用上述思想方法解不等式： (3)当为何值时，代数式的最小值是2． 【经典例题七 不等式有解、无解的问题】 37．（23-24七年级下·上海杨浦·单元测试）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 38．（23-24七年级下·上海虹口·期中）已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 39．（23-24七年级下·上海嘉定·单元测试）老师在黑板上写下题目：解一元一次不等式组其中需要同学们在“□”中填写数字． (1)小颖填入数字后得到该不等式组的解集为，求出小颖填写的数字； (2)小明说：“当该一元一次不等式组无解时，在‘□’中填入的数字的取值范围大于．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 40．（23-24七年级下·上海静安·期中）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是 ； A．    B．    C． D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围； (3)若能被关于的不等式“容纳”，求的取值范围． 41．（23-24七年级下·上海松江·课后作业）阅读理解 定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为的解集为．在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 问题解决 （1）在不等式组：①②③中，是不等式的“子集”的是______；（填序号） （2）若关于的不等式组是关于的不等式的“子集”，求的取值范围； 问题拓展 （3）若关于的不等式组的解集不是关于的不等式的“子集”，直接写出的取值范围是______． 42．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围； (3)关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围． 【经典例题八 解特殊的不等式（组）问题】 43．（23-24七年级下·上海普陀·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 44．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 45．（23-24七年级下·上海崇明·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 46．（23-24七年级下·上海宝山·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 47．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 48．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：∵，∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为_______； (2)试解一元二次不等式； (3)试解不等式． 【经典例题九 一元一次不等式组的实际应用】 49．（23-24七年级下·上海闵行·期末）超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克． (1)该种干果的第一次进价是每千克多少元? (2)超市将两批干果按相同的标价销售，最后的500千克按标价的八折优惠售出，如果两批干果全部售出后，利润率不低于（不考虑其他因素），那么超市销售这批干果的标价至少是多少元? 50．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到，，三个景点的距离分别为，，．学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点游玩，且恰好在返回校门口，求的最大值； (2)若，，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去，，中的哪几个景点？ 51．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：千米 每千米行驶费用： 新能源车 电池容量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：▲ 已知燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元． (1)求的值． (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7700元．每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用比燃油车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用） 52．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）星期天，爸爸、妈妈带小明去商场选购一款空调．他们选择了其中两款，小明查阅出两款空调的基本能效信息如下表： 型号 能效能级 售价/元 平均每年耗电量/ 居民电价 品牌一 1级 3048 640 0.56元/ 品牌二 3级 2600 800 (1)两款空调使用多少年，综合费用（综合费用售价电费）相同； (2)若空调使用年限为10年，请你帮助小明一家分析购买、使用哪种品牌空调综合费用较低，说明你的理由． 53．（23-24七年级下·上海金山·期末）某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证140元，本人凭证游泳每次再付费18元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费25元，累计超过10次后，超过的部分每次游泳付费打八折．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为大于10的正整数） (1)用含x的式子表示： 游泳次数/次 11 12 … x 方式一付费金额/元 … 方式二付费金额/元 … (2)当x取何值时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等？ (3)当x在什么范围内取值时，选择方式一付费比较省钱？（直接写出结果，不必说明理由） 54．（23-24七年级下·上海·假期作业）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 【经典例题十 一元一次不等式（组）的新定义问题】 55．（23-24七年级下·上海闵行·期中）在实数范围内定义一种新运算：“”：当时，；当时，．例如：，．若，求的取值范围． 56．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）对于实数a，b，定义新运算：当时，；当时，；当时，．如：．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1) (2)时，求x的值； (3)有两个整数解，求m 的取值范围． 57．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：． (1)求的值： (2)若的值小于34，求x的取值范围，并把解集在数轴上表示出来． 58．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：______； (2)若，则x的取值范围为______； (3)已知，求x的取值范围． 59．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范困内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是____________；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”求k的取值范围． 60．（23-24七年级下·上海崇明·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算的值，请直接写出答案． 【经典例题十一 用一元一次不等式（组）解决几何问题】 61．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 62．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，在数轴上，点A，B分别表示数3，-2x+5． （1）求x的取值范围； （2）数轴上表示数-x+4的点应落在________． ①点A的左边；②线段AB上；③点B的右边． 63．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，有一面长的墙，现要用长的篱笆围成一面靠墙且中间隔有一道篱笆（）的矩形花圃，设花圃的宽为．若围成的花圃的面积为，求的长． 64．（23-24七年级下·上海长宁·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 65．（23-24七年级下·上海青浦·期末）王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满．    66．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）学校装修录播教室需用A型板材120块，B型板材90块，A型板材规格是的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的剪裁示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 A型板材块数 1 2 0 B型板材块数 2 m n 若所购的保准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用． （1）上表示，m= ，n= ． （2）用含有x的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； （3）所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时x的值；若不能，请说出理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$