精品解析：河北省邯郸市第二十五中学2024—2025学年下学期九年级第一次模拟考 数学试题

邯郸市第二十五中学2024-2025学年第二学期 初三第一次模拟考试数学 一、单选题（共36分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所确定n即可解答． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案. 【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意； B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意； C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意； D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意； 故选：A. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方运算以及合并同类项，根据各自的运算法则计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 6. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据关于x的方程有两个不相等的实数根．构建不等式求解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，若点C在函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用求出和，得到点C坐标即可求出k值． 【详解】解：作轴，垂足为点D， ∵点，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点C在函数的图象上， ∴． 故选：C． 9. 如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 根据图象旋转的性质，得，，从而得，结合，，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到． ∴，， ∴， ∴，， ∴； 故选：B 10. 如图，直线l：y=﹣x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，则a可能在（　　） A. 1＜a＜2 B. ﹣2＜a＜0 C. ﹣3≤a≤﹣2 D. ﹣10＜a＜﹣4 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：直线l与y轴的交点（0，-3），而y=a为平行于x轴的直线， 观察图象可得，当a＜-3时，直线l与y=a的交点在第四象限． 故选D 考点：数形结合思想，一次函数与一次方程关系 11. 在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接BD交CF于点M，交y轴于点N，设AB交x轴于点P， 根据题意得：BD∥x轴，AB∥y轴，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4， ∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y轴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为（2，-3）， ∴AP=3，OP=BN=2， ∴，BP=1， ∴点C的纵坐标为1+2=3， ∴点C的坐标为． 故选：A 【点睛】本题考查正多边形，勾股定理，直角三角形的性质，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键． 12. 如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为，再求出抛物线与正方形边长另一个交点为，再根据直线过定点，结合函数图象解题即可． 【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为， ∵正方形的顶点坐标分别为， ∴， ∵抛物线经过点，顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得到，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ， ∵直线， ∴直线过定点， 当时， ∴直线与必有两个交点， ∵将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象，直线与图象有唯一交点， ∴当时，抛物线过，即，解得， 当时，抛物线过，即， 解得：， 综上所述，或， 故选：A． 二、填空题（共12分） 13. 计算的结果是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：． 14. 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理，可得，即，求解即可． 【详解】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行， 点在数轴上表示的数是， 设点在数轴上表示的数为， ，即， 解得：， 即点在数轴上表示的数为4， 故答案为：4． 15. 如图，在平面直角坐标系内有两个点，若反比例函数的图象交线段于点C、D，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题、相似三角形的判定和性质、坐标与图形等知识．先求出直线的解析式为；过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，设点C的坐标为，则，过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，证明，，求出，，则，得到点D的坐标为，由反比例函数的图象交线段于点C、D得到，解得（不合题意，舍去），得到点C的坐标为，即可求出答案． 【详解】解：设直线的解析式为，把点代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，过点C作轴于点E，过点D作轴于点F， ∴； 设点C的坐标为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象交线段于点C、D， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴点C的坐标为， ∴， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，延长交于点，连接，由折叠的性质可知，，，证明，然后证明，则，从而求出，则，连接，，，然后通过，得，求出的值即可． 【详解】解：连接，，，延长交于点，连接，如图， 由题意得：， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵分别与相切，切点分别为， ∴的半径，，，， 连接，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． （1）如果被污染的数字是，请计算． （2）如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【答案】（1）-9 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 设被污染的数字为x， 由题意，得，解得， 所以被污染的数字是3． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键． 18. 小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 （1）你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） （2）请写出你的解答过程． 【答案】（1）错误，错误 （2）解：， ， ， ， 经检验，当时，， ∴是分式方程的解． 【解析】 【分析】（1）根据解分式方程的步骤进行判断即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【小问1详解】 解：小丁同学在去分母时，其中分母和互为相反数， 应当注意改变符号，即去掉分母后应为， ∴小丁的解法错误； 小迪同学在去分母时，等号右边的常数没有乘最简公分母， ∴小迪的解法错误； 【小问2详解】 略． 19. 如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n． （1）用含m、n的代数式表示切痕总长L； （2）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求的值． 【答案】（1）(6m+6n)m； （2）150． 【解析】 【分析】（1）根据切痕长有两横两纵列出算式，再根据合并同类项法则整理即可； （2）根据小矩形的面积和正方形的面积列出算式，再利用完全平方公式整理求出m+n的值，即可得到结论． 【小问1详解】 解：切痕总长L=2[（m+2n）+（2m+n）] =6m+6n； 【小问2详解】 解：由题意得：mn=30，2(m2+n2)=180，即m2+n2=90， ∴（m+n）2=m2+n2+2mn=90+2×30=150． 【点睛】本题考查完全平方公式、列代数式以及整式的加减运算等知识点，能正确列出代数式是解此题的关键． 20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩、如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时； （1）若，求的长度； （2）求阴影的长．（参考数据：，，） 【答案】（1）1.4米 （2）2.2米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，等腰三角形的判定． （1）根据正弦的定义求解即可； （2）过A作于K，根据余弦的定义求出，再证明是矩形，可得，，再证明是等腰三角形，可得，进而可求． 【小问1详解】 解：由题意知：，， ∴， 在中，米； 【小问2详解】 解：过A作于K，则， 米， ∴米， ∵四边形是矩形， ∴米，米， 由题意知：， ∴， ∴米， ∴米， ∴阴影的长为2.2米． 21. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； （2）求A所在扇形的圆心角度数； （3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】（1）500， 补全条形统计图如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． （1）用的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，用调查总人数减去A（非常关注）、C（很少关注）、D（没有关注）三个选项的人数即可得到B（比较关注）选项的人数，即可补全条形图； （2）用乘以的人数所占比例即可解答； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； 【小问1详解】 解：本次调查共抽取了（名）． 选项B的人数为（人）． 图略； 【小问2详解】 解：A所在扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表格可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙同时被选中的概率为． 22. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可； （2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴， ∴， ， ， 如图，连接， 设的半径， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为； 【小问2详解】 解∶∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， ． 23. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 24. 【问题提出】 （1）如图①，、均为等边三角形，点D、E分别在边、上．将绕点A沿顺时针方向旋转，连结、．在图②中证明． 【学以致用】 （2）在（1）的条件下，当点D、E、C在同一条直线上时，求的大小． 【拓展延伸】 （3）在（1）的条件下，连结．若，，直接写出的面积S的最大值和最小值． 【答案】 （1）证明：∵、均为等边三角形， ∴，， ∵将绕点A沿顺时针方向旋转， ∴， ∴； （2）或； （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质等知识． （1）等边三角形的性质和旋转的性质以及全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图③，如图④，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （3）过A作于H，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，如图⑤，当与在同一条直线上，且点D在的外部时，的面积最大，如图⑥，当与在同一条直线上，且点D在的内部时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：分以下两种情况： 如图③， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图④， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，的大小为或； （3）解：过A作于H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 如图⑤， 当与在同一条直线上，且点D在的外部时，的面积最大， ， 如图⑥， 当与在同一条直线上，且点D在的内部时，的面积最小， ， 综上所述，的面积S的最大值为，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邯郸市第二十五中学2024-2025学年第二学期 初三第一次模拟考试数学 一、单选题（共36分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，若点C在函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线l：y=﹣x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，则a可能在（　　） A. 1＜a＜2 B. ﹣2＜a＜0 C. ﹣3≤a≤﹣2 D. ﹣10＜a＜﹣4 11. 在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 二、填空题（共12分） 13. 计算的结果是_________． 14. 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是____． 15. 如图，在平面直角坐标系内有两个点，若反比例函数的图象交线段于点C、D，且，则_______． 16. 如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ______． 三、解答题（共72分） 17. 计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． （1）如果被污染的数字是，请计算． （2）如果计算结果等于6，求被污染的数字． 18. 小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 （1）你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） （2）请写出你的解答过程． 19. 如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n． （1）用含m、n的代数式表示切痕总长L； （2）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求的值． 20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩、如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时； （1）若，求的长度； （2）求阴影的长．（参考数据：，，） 21. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； （2）求A所在扇形的圆心角度数； （3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 22. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 23. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 24. 【问题提出】 （1）如图①，、均为等边三角形，点D、E分别在边、上．将绕点A沿顺时针方向旋转，连结、．在图②中证明． 【学以致用】 （2）在（1）的条件下，当点D、E、C在同一条直线上时，求的大小． 【拓展延伸】 （3）在（1）的条件下，连结．若，，直接写出的面积S的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $