精品解析： 山东省聊城市阳谷县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年山东省聊城市阳谷县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，⊙O的半径为5，弦，P是弦上的一个动点，则的长可能是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 4. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是等边三角形，点E，F在上，点H，G在上，，，的面积为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为（ ）． A. 3 B. 5 C. 2 D. 4 8. 已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 9. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. “计里面方”（比例缩放和直角坐标网格体态）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志，制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，且，观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　） A. 3 B. 12 C. 4π D. 12π 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 13. 一元二次方程的解为______． 14. 已知锐角，且，则______． 15. 如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=6，则⊙O的半径为_____________ ． 16. 若、是一元二次方程两个根，则的值为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，若，，若，则为 ________． 18. 如图，是直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是________． 三、解答题（共8小题，满分78分） 19 （1）计算：． （2）． 20. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 21. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 22. 某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图所示的为无人机某次空中飞行轨迹，为延长线上一点，点，，，在同一平面内，，．若米，求的长．（结果保留整数，参考数据：，，，） 23. 某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 24. 如图，已知中，，，D是的中点，于点E，的延长线交于点F． （1）求的正弦值； （2）求的值． 25. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AB＝3，AC＝4，求线段PB的长． 26. 用配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如，①用配方法因式分解：，原式；②若，利用配方法求M的最小值：， ∵，∴当时，M有最小值6．请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）若，求M的最小值及a的值； （3）已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年山东省聊城市阳谷县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件:①是整式方程，即等号两边都是整式;②只含有一个未知数;③整理后未知数的最高次数是2；根据定义即可解答． 【详解】解：A. 未知数的最高次数是3，故错误； B. 化简后得：，是一元一次方程，故错误； C. 当时，不是一元二次方程，故错误； D. 合一元二次方程的定义，故正确 故选：D． 2. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 3. 如图，⊙O的半径为5，弦，P是弦上的一个动点，则的长可能是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆概念辨析，垂径定理，根据点的位置，为半径时，最长，时，最短，求出的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：当点与点或点重合时，为半径，长度最长为5； 当时，由垂线段最短，可知此时最短， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长可能是； 故选C． 4. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 5. 如图，是等边三角形，点E，F在上，点H，G在上，，，的面积为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据题意得到，根据相似比求出三角形的面积求出四边形的面积． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选A． 6. 若，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据45度角的正切值为1得到，则． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为（ ）． A. 3 B. 5 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是根据题意可得：在中，，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：滑坡的坡度是， 在中，，， ， 故选：C． 8. 已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 9. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 把常数项移到方程右侧，二次项的系数化为1，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】 ． 故选：B． 10. 如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质．根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系可进一步得出结论． 【详解】解：∵点I是的内心， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵点O是的外心， ∴， 故选：D． 11. “计里面方”（比例缩放和直角坐标网格体态）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志，制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，且，观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，结合已知逐一计算判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴,， ∴， 无法证明， 故A正确，不符合题意； B正确，不符合题意； D正确，不符合题意； C错误，符合题意； 故选C． 12. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　） A. 3 B. 12 C. 4π D. 12π 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，含度角的直角三角形的性质；如图，过作于，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图，过作于， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 13. 一元二次方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键．直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得， 故答案为：． 14. 已知是锐角，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义． 将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解； 【详解】， ∴原式 故答案为：． 15. 如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=6，则⊙O的半径为_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】首先连接OA，OB，由∠C＝45°，易得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：连接OA，OB， ∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝2∠C＝90°， ∵OA＝OB， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴OA＝AB•cos45°＝6×=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 16. 若、是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，先根据根的定义得出，再由根与系数关系得出，代入代数式计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， ． ，是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，若，，若，则为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据位似图形的性质得出的长，进而得出，求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18. 如图，是直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，由得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， ∴交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分78分） 19. （1）计算：． （2）． 【答案】（1）2；（2）， 【解析】 【分析】（1）化简特殊角的三角函数值，然后运算乘法，最后进行加减运算，即可求得答案； （2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 本题主要考查了解一元二次方程，含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键； 【详解】解：（1） ； （2）． ， ， ∴或， ∴，． 20. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于点D，再由勾股定理得，然后计算即可求解． 【详解】解：连接，交于点D，如图， 即， ∵点C为运行轨道的最低点，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴， 故点C到弦所在直线的距离是米． 21. 如图，平行四边形，交于F，交延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据四边形的对边相等可得，求出的长，再根据相似三角形的性质对应边成比例，即可求解． 【小问1详解】 证明：由为平行四边形可知，， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：平行四边形中，， ，， ， ， 由（1）得， ， ． 22. 某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图所示的为无人机某次空中飞行轨迹，为延长线上一点，点，，，在同一平面内，，．若米，求的长．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】的长约为157米． 【解析】 【分析】根据题意，过点作，交的延长线于点，先通过求出AF，然后再根据进行求解即可． 【详解】如下图，过点作，交的延长线于点 在中，米， ∴米 在中， ∴米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握解直角三角形的方法以及构造直角三角形并通过锐角三角函数表示各边之间的关系是解决本题的关键． 23. 某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）增加4条或条生产线 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 24. 如图，已知中，，，D是的中点，于点E，的延长线交于点F． （1）求正弦值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由得到是等腰三角形，由三线合一得到，由勾股定理求得，根据正弦的定义即可得到答案； （2）由，得到，由是的中点，得到是的中位线，求得，由得到，求得，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点， ， 是等腰三角形， 又， ． 在中，， ． 【小问2详解】 解：，， ， ∴， 又是的中点， ∴， ∴， 是的中位线， ，． ． ，， ． ，即， 解得． ． ． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，三角形的中位线，等腰三角形的三线合一，三角函数的定义，勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 25. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AB＝3，AC＝4，求线段PB的长． 【答案】（1）见解析；（2）PB＝. 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证； （2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P＝∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似；由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，得到DB＝DC，相似三角形的性质，得比例，求出所求即可． 【详解】（1）证明：∵圆心OBC上， ∴BC是圆O的直径， ∴∠BAC＝90°， 连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠DAC， ∵∠DOC＝2∠DAC， ∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC， ∵PD∥BC， ∴OD⊥PD， ∵OD为圆O的半径， ∴PD是圆O的切线； （2）∵PD∥BC， ∴∠P＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠P＝∠ADC， ∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°， ∴∠PBD＝∠ACD， ∴△PBD∽△DCA； ∵△ABC为直角三角形， ∴BC2＝AB2+AC2＝32+42＝25， ∴BC＝5， ∵OD垂直平分BC， ∴DB＝DC， ∵BC为圆O的直径， ∴∠BDC＝90°， 在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝25， ∴DC＝DB＝， ∵△PBD∽△DCA， ∴， 则PB＝． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键． 26. 用配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如，①用配方法因式分解：，原式；②若，利用配方法求M的最小值：， ∵，∴当时，M有最小值6．请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）若，求M的最小值及a的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2）当时，M有最小值． （3） 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用． （1）利用配方法得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法得到，再由，即可得到答案； （3）由配方法得到，根据非负数的性质得到字母的值，代入代数式求值即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ∵， ∴当时，M有最小值． 【小问3详解】 ∵ ∴ 则， 则， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$