专题7.9 随机变量中的必考六类问题-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.9 随机变量中的必考六类问题 【人教A版（2019）】 【类型1 离散型随机变量的分布列问题】 2 【类型2 求离散型随机变量的均值】 6 【类型3 求离散型随机变量的方差】 10 【类型4 二项分布的均值与方差】 14 【类型5 超几何分布的均值与方差】 18 【类型6 决策问题】 23 【知识点1 离散型随机变量】 1．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 2．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 【知识点2 二项分布与超几何分布】 1．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 3．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 【知识点3 决策问题及其解题策略】 1．决策问题 决策问题的核心是通过期望值评估平均结果，结合方差量化风险，最终根据决策者的风险偏好做出选择.在离散型随机变量的决策问题中，通常需要通过计算期望值、方差等统计量来比较不同方案的风险与收益，从而做出最优选择. 2．解决离散型随机变量的决策问题的通用步骤 (1)明确问题：①确定决策目标（如最大化收益、最小化损失）；②列出所有可行方案. (2)定义随机变量：①对每个方案，定义其可能的结果（离散值）及其概率. (3)计算统计量：①期望值：比较不同方案的平均收益/损失；②方差/标准差：衡量风险大小. (4)结合风险偏好决策：若风险中性，选择期望收益最高的方案；若风险厌恶，可能选择期望收益稍低但风险更小的方案. 【方法技巧与总结】 1．二项分布当n=1时就是两点分布. 2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差. 【类型1 离散型随机变量的分布列问题】 1．（23-24高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【解题思路】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案. 【解答过程】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2. ，，， 所以的分布列为： X P 故选：C. 2．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【解题思路】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解. 【解答过程】由题意，解得， 而. 故选：A. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则 . 【解题思路】根据离散型随机变量的分布列的性质即可求解. 【解答过程】由分布列的性质得，，且，解得， . 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 【解题思路】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，X可以为0，1，2，3，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列. 【解答过程】（1）设甲测试合格为事件A，则. （2）甲答对的试题数X可以为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 6．（23-24高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【解题思路】（1）由A两局得分之和为5等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可知X的可能取值为0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列． 【解答过程】（1）若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负， 所以A两局得分之和为5的概率为． （2）因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2， 所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5， 若，则X的可能取值为0，3，6，9，12， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 3 6 9 12 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 【类型2 求离散型随机变量的均值】 7．（2024高三·全国·专题练习）已知的分布列为： 0 1 P 设，则的值为（ ） A． B． C． D．5 【解题思路】利用期望的公式及性质计算即可. 【解答过程】由题意可知， ∵，∴. 故选：A. 8．（23-24高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机器狗从点出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（    ）    A． B．2 C． D． 【解题思路】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式求解即可． 【解答过程】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4， 所以，，，， 所以． 故选：D. 9．（24-25高二下·全国·课后作业）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表： 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间（年） 轿车数量（辆） 2 3 45 5 45 每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，则（    ） A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为 B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，则 C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为，则 D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车 【解题思路】由条件概率判断A，写出的分布列，求出它们的期望可判断BCD. 【解答过程】设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件，则 ， 依题意得，的分布列为 1 2 3 ， 的分布列为 1.8 2.9 ． 因为，所以应生产甲品牌轿车． 故选：BD. 10．（24-25高二下·全国·课后作业）端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 【解题思路】由条件确定的可能取值，再求其取各值的概率，由期望公式求，再根据期望性质求结论. 【解答过程】依题意，的可能取值是， 则，，， 故， 故． 故答案为：. 11．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． (1)求甲以获胜的概率； (2)设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； (3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 【解题思路】（1）根据乘法公式计算即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式计算出，列出分布列，即可求出； （3）分别求出采用“五局三胜制”和“三局两胜制”甲获胜的概率，比较大小即可下结论. 【解答过程】（1）若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为， 所以． （2）易知取值为3，4，5． ， ， ， 故的概率分布列为： 3 4 5 所以的数学期望为：． （3）采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率： ； 采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率： 因为，所以甲应该采用“五局三胜制”． 12．（24-25高三上·上海·开学考试）某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响. (1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率； (2)若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望. 【解题思路】（1）先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可； （2）先确定出X的所有可能取值，分别求出相应概率，从而列出分布列，求得数学期望. 【解答过程】（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为. 设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P， 则. （2）由题意可知，3，4，5， 则，， ， ， 故X的分布列为 X 2 3 4 5 P . 【类型3 求离散型随机变量的方差】 13．（23-24高二下·福建泉州·期末）随机变量的分布列如下: 1 2 a b 若，则（     ） A．0 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据分布列的性质和离散型随机变量的数学期望公式，列出方程求出的值，最后利用方差公式求出方差即可. 【解答过程】根据各离散型随机变量对应的概率和为1，可得， 又因为，解得， 所以. 故选：B. 14．（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】得到与的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望与方差. 【解答过程】由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 所以. 故选：A. 15．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（    ） 1 2 3 4 0.5 0.3 0.1 A． B． C． D． 【解题思路】运用分布列性质求，再用均值和方差公式及其性质计算即可. 【解答过程】由分布列的性质知，则. 对A，，故A错误； 对C，，故C错误； 对B，，故B正确； 对D，，故D正确. 故选：BD. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ． 【解题思路】根据条件，可知的可能取值为，进而求出相应的概率，从而得到，，即可求出结果. 【解答过程】依题意可知，的可能取值为， 则，，，， 所以， 又， 所以， 故答案为：. 17．（23-24高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率； (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差 【解题思路】（1）首先求出两个人租车时间在三小时以上且不超过四小时的概率，则甲、乙两人所付的租车费用相同：都不超过两小时，都在两小时以上且不超过三小时和都在三小时以上且不超过四小时三类求解即可； （2）根据题意分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，求解即可； （3）列出随机变量X的分布列，再利用期望、方差公式求值. 【解答过程】（1）由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （2）若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元， 则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车， 或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况， 甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为； （3）X的可能取值为0，2，4，6，8， ， ，， 分布列如下表： X 0 2 4 6 8 P 数学期望， . 18．（23-24高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数． (1)求随机变量的分布列和期望； (2)若，设随机变量的方差为，求证：． 【解题思路】（1）依题意可能的取值为，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （2）根据，表示出，再换元，利用二次函数的性质计算可得. 【解答过程】（1）由题随机变量可能的取值为，， 则， ， 故的分布列为： 2 3 故； （2）由（1）知， ， 令，因为，故， 此时 ， 因为二次函数关于对称，又，当时， 所以， 即． 【类型4 二项分布的均值与方差】 19．（24-25高二下·辽宁·开学考试）已知，，且，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，且求得，再逐项判断. 【解答过程】因为，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，，故D错误； 故选：D. 20．（24-25高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的公式可判断CD选项． 【解答过程】设“向右下落”，则“向左下落”，， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B． 21．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二项分布的概率公式即可得到答案. 【解答过程】因为随机变量，，所以①，， 又，，所以②， 由①②联立可得，，BC正确，A错误； 所以，D正确； 故选：BCD. 22．（24-25高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， 7 ． 【解题思路】根据二项分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值. 【解答过程】依题意，得解得， 故，所以． 当最大时， 即 即整理得 解得，而，因此． 故答案为：． 23．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知4个独立的报警器都只有“发出警报”和“不发出警报”两种状态，某种险情发生时每个报警器都有的概率发出警报，设某次险情发生时发出警报的警报器数量为. (1)求的分布列与数学期望； (2)求的值使某次险情发生时有最大的概率有个报警器发出警报. 【解题思路】（1）运用二项分布的概率公式和方差公式计算即可； （2）运用二项分布概率公式，结合组合数公式，构造不等式组计算即可. 【解答过程】（1）根据题意，,可以取0、1、2、3、4， ， ， ， ， 所以，的分布列： X 0 1 2 3 4 P                                                              故 （2） 则：，化简得, 继续化简得到，解得：，又由于，故. 24．（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 【解题思路】（1）由独立重复事假概率计算公式即可求解； （2）由题意确定私家车遇到红灯的概率是，由二项分布即可求解. 【解答过程】（1）由题设，路口遇到红灯私家车数量，则． （2）由题设，路口遇到红灯私家车数量， 一辆私家车遇到红灯的方差为， 当且仅当时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是． 由题可得，的可能取值为，则 ， ， ． 所以其分布列为： 0 1 2 3 4 5 ． 【类型5 超几何分布的均值与方差】 25．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【解答过程】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 26．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 27．（23-24高二下·山东聊城·期末）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由超几何分布的概率以及期望、方差即可. 【解答过程】由题意知，. ， 则，故A错误，B正确； 由题意知，. ， ， 故CD正确； 故选：BCD. 28．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 . 【解题思路】分析题意，确定的所有可能的值，运用超几何分布的概率公式求得它们的概率，列出分布列表，计算其均值即得. 【解答过程】由题意可得 则， ， 可得的分布列为： 0 1 2 3 期望. 故答案为：. 29．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【解题思路】（1）先根据已知列方程算出，进一步可得； （2）根据古典概型概率计算公式即可求解； （3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式. 【解答过程】（1）由题意得  解得. 由，得解得. （2）所求的概率为 . （3）由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 均值为， 方差为. 30．（23-24高二下·广东东莞·期中）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数， (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差. 【解题思路】（1）由古典概型的概率公式计算可得； （2）由题意可知的取值为，，，然后由超几何分布求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望与方差． 【解答过程】（1）依题意，抽取的人恰有个女生的概率； （2）由题意可知的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故， ． 【类型6 决策问题】 31．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）根据期望最大原则，利用下列盈利表中的数据进行决策，不应该选择的方案编号是（    ） 　　　     盈利方案 自然状况概率 ① ② ③ ④ 0.25 50 70 98 0.30 65 26 52 82 0.45 26 16 78 A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】利用表格数据，计算期望，比较期望大小，即可得出结论. 【解答过程】利用方案①，期望为， 利用方案②，期望为， 利用方案③，期望为 利用方案④，期望为，所以方案②的期望最小，不应该选择的方案编号是②， 故选：B. 32．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（    ） A．若用方案甲，化验次数为2次的概率为 B．若用方案乙，化验次数为3次的概率为 C．若用方案甲，平均化验次数为4 D．若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好 【解题思路】求出两种方案的化验次数的分布列即可判断. 【解答过程】若用方案甲，设化验次数为，则的可能取值为， 所以正确； 若用方案乙，设化验次数为，若，有两种情况： ①头4只均为阴性，则； ②头4只有阳性，则， 所以化验次数为3次的概率为，B错误； 若用方案甲， 则， 所以，C错误； 若用方案乙，可取2，3，4. ， 所以，因为， 所以方案乙比方案甲好，D正确. 故选：. 33．（24-25高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3． (1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； (2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？ 【解题思路】（1）根据题意，得到随机变量的取值可能是0，20，40，60，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）选择方案二，记得分为变量，可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，结合，即可得到结论. 【解答过程】（1）解：由题意知，随机变量的取值可能是0，20，40，60， 可得， ， ， ， 则变量的分布列如下表所示： 0 20 40 60 0.008 0.096 0.384 0.512 所以期望为． （2）解：若该学生选择方案二，记得分为变量，则的取值可能为， 可得，， ， ， ， ， ， 则变量的分布列为： 0 10 20 30 40 50 70 0.012 0.012 0.096 0.112 0.192 0.32 0.256 所以期望为 ． 结合（1）知， 所以选择方案一，能使得该生的得分更高． 34．（23-24高二上·安徽宿州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【解题思路】(1)利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和回答对3道题的概率，即可求出结果. (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断. 【解答过程】（1）由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对两题或者答对三题； 所求概率 （2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为． ． 则的分布列为： 1 2 3 ， ； 设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为． ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 ． ． 由可得，甲公司竞标成功的可能性更大． 35．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）从2021年起，全国高考数学加入了新题型多选题，每个小题给出的四个选择中有多项是正确的，其中回答错误得0分，部分正确得2分，完全正确得5分，小明根据以前做过的多项选择题统计得到，多选题有两个选项的概率为p，有三个选项的概率为（其中）. (1)若，小明对某个多项选择题完全不会，决定随机选择一个选项，求小明得2分的概率； (2)在某个多项选择题中，小明发现选项A正确，选项B错误，下面小明有三种不同策略：Ⅰ：选择A，再从剩下的C，D选项中随机选择一个，小明该题的得分为X；Ⅱ：选择ACD，小明该题的得分为Y；Ⅲ：只选择A、小明该题的得分为Z；在p变化时、根据该题得分的期望来帮助小明分析该选择哪个策略. 【解题思路】（1）根据分类加法求概率. （2）分别求出三种策略下的得分均值，通过比较均值的大小来确定选择哪个策略. 【解答过程】（1）若答案是两个选项，所有的可能有：共6种， 则小明只选一个得2分的概率为：； 答案是三个选项，所有的可能有：有共4种， 则小明只选一个得2分的概率为：； 故小明得2分的概率为 （2）选策略Ⅰ，则小明得分为 的分布为： 0 2 5                      得分的期望为 选策略Ⅱ，则小明得分为的分布为： 0 5 得分的期望为 策略Ⅲ，得分为,则 当， 此时，故此时选择策略Ⅰ， 当时， 最大，此时选择策略Ⅱ， 当 时，策略Ⅰ, Ⅱ概率一样，都可以. 36．（2024高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． (1)请写出方案一的分布列，并求方差； (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 【解题思路】（1）设出的概率，依题列出方程组求解即得的分布列，算出方差； （2）依题列出Y的分布列，算出期望与方差，再与的期望与方差比较即得. 【解答过程】（1）设，， 依题意得①，又②， 由①②解得：，． ∴X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则． （2）由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则， ． 由可知采用平台广告投放期望收益较大，又，说明平台广告投放的风险较高． 综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.9 随机变量中的必考六类问题 【人教A版（2019）】 【类型1 离散型随机变量的分布列问题】 2 【类型2 求离散型随机变量的均值】 4 【类型3 求离散型随机变量的方差】 6 【类型4 二项分布的均值与方差】 8 【类型5 超几何分布的均值与方差】 9 【类型6 决策问题】 11 【知识点1 离散型随机变量】 1．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 2．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 【知识点2 二项分布与超几何分布】 1．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 3．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 【知识点3 决策问题及其解题策略】 1．决策问题 决策问题的核心是通过期望值评估平均结果，结合方差量化风险，最终根据决策者的风险偏好做出选择.在离散型随机变量的决策问题中，通常需要通过计算期望值、方差等统计量来比较不同方案的风险与收益，从而做出最优选择. 2．解决离散型随机变量的决策问题的通用步骤 (1)明确问题：①确定决策目标（如最大化收益、最小化损失）；②列出所有可行方案. (2)定义随机变量：①对每个方案，定义其可能的结果（离散值）及其概率. (3)计算统计量：①期望值：比较不同方案的平均收益/损失；②方差/标准差：衡量风险大小. (4)结合风险偏好决策：若风险中性，选择期望收益最高的方案；若风险厌恶，可能选择期望收益稍低但风险更小的方案. 【方法技巧与总结】 1．二项分布当n=1时就是两点分布. 2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差. 【类型1 离散型随机变量的分布列问题】 1．（23-24高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 2．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则 . 5．（2025高三·全国·专题练习）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 6．（23-24高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【类型2 求离散型随机变量的均值】 7．（2024高三·全国·专题练习）已知的分布列为： 0 1 P 设，则的值为（ ） A． B． C． D．5 8．（23-24高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机器狗从点出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（    ）    A． B．2 C． D． 9．（24-25高二下·全国·课后作业）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表： 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间（年） 轿车数量（辆） 2 3 45 5 45 每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，则（    ） A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为 B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，则 C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为，则 D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车 10．（24-25高二下·全国·课后作业）端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 11．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． (1)求甲以获胜的概率； (2)设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； (3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 12．（24-25高三上·上海·开学考试）某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响. (1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率； (2)若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望. 【类型3 求离散型随机变量的方差】 13．（23-24高二下·福建泉州·期末）随机变量的分布列如下: 1 2 a b 若，则（     ） A．0 B．2 C．3 D．4 14．（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（    ） 1 2 3 4 0.5 0.3 0.1 A． B． C． D． 16．（24-25高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ． 17．（23-24高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率； (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差 18．（23-24高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数． (1)求随机变量的分布列和期望； (2)若，设随机变量的方差为，求证：． 【类型4 二项分布的均值与方差】 19．（24-25高二下·辽宁·开学考试）已知，，且，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 23．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知4个独立的报警器都只有“发出警报”和“不发出警报”两种状态，某种险情发生时每个报警器都有的概率发出警报，设某次险情发生时发出警报的警报器数量为. (1)求的分布列与数学期望； (2)求的值使某次险情发生时有最大的概率有个报警器发出警报. 24．（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 【类型5 超几何分布的均值与方差】 25．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·山东聊城·期末）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 . 29．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 30．（23-24高二下·广东东莞·期中）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数， (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差. 【类型6 决策问题】 31．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）根据期望最大原则，利用下列盈利表中的数据进行决策，不应该选择的方案编号是（    ） 　　　     盈利方案 自然状况概率 ① ② ③ ④ 0.25 50 70 98 0.30 65 26 52 82 0.45 26 16 78 A．① B．② C．③ D．④ 32．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（    ） A．若用方案甲，化验次数为2次的概率为 B．若用方案乙，化验次数为3次的概率为 C．若用方案甲，平均化验次数为4 D．若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好 33．（24-25高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3． (1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； (2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？ 34．（23-24高二上·安徽宿州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 35．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）从2021年起，全国高考数学加入了新题型多选题，每个小题给出的四个选择中有多项是正确的，其中回答错误得0分，部分正确得2分，完全正确得5分，小明根据以前做过的多项选择题统计得到，多选题有两个选项的概率为p，有三个选项的概率为（其中）. (1)若，小明对某个多项选择题完全不会，决定随机选择一个选项，求小明得2分的概率； (2)在某个多项选择题中，小明发现选项A正确，选项B错误，下面小明有三种不同策略：Ⅰ：选择A，再从剩下的C，D选项中随机选择一个，小明该题的得分为X；Ⅱ：选择ACD，小明该题的得分为Y；Ⅲ：只选择A、小明该题的得分为Z；在p变化时、根据该题得分的期望来帮助小明分析该选择哪个策略. 36．（2024高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． (1)请写出方案一的分布列，并求方差； (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$