培优重难点专题 正态分布的综合应用（2知识点+20题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

重难点培优专题：正态分布的综合应用 知识点一　正态曲线与正态分布 1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 知识点二　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 题型一：正太密度函数 【例题1-1】．（22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【变式1-1】．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【变式1-2】．（2023高三下·全国·竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 题型二：正态曲线的性质 【例题2-1】．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】．（23-24高三上·广东揭阳·期中）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型三：正态分布在数据信息中的应用 【例题3-1】．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）Logistie分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则（    ） A．满足二项分布的随机变量也是连续随机变量 B．若连续随机变量满足，则服从Logistic分布 C．若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则 D．若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则 【变式3-1】．（2024·浙江杭州·三模）传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法.设s是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m次，每次接收端收到的信号，其中干扰信号为服从正态分布的随机变量，令累积信号，则Y服从正态分布，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如的信噪比为，则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的（    ）倍 A． B．m C． D． 题型四：正态分布在交通中的应用 【例题4-1】．（24-25高三下·广东·开学考试）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）（   ） A． B． C．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 D．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 【变式4-1】．（22-23高二下·安徽滁州·期中）杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为；骑自行车平均用时，样本方差为，假设坐公交车用时单位：和骑自行车用时单位：都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（    ） A． B． C． D．若某天只有可用，杨明应选择坐自行车 【变式4-2】．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了多次所花时间，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从如图的正态分布.星期一李明出门有可用，他应该选择 交通工具；星期二李明出门有可用，他应该选择 交通工具； 题型五：正态分布在体育中的应用 【例题5-1】．（2025·黑龙江·一模）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】．（24-25高三上·山东青岛·期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格．某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六：正态分布在高考中的应用 【例题6-1】．（2024高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【变式6-1】．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【变式6-2】．（2022·广东汕头·三模）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为 分（结果保留1位小数） 附：若，． 【变式6-3】．（2022·河南开封·模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，． (1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少； (2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差． 附：当时，，． 【变式6-4】．（24-25高三上·山东·阶段练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 题型七：正态分布在生产中的应用 【例题7-1】．（2024·广西贺州·一模）某电器厂购进了两批电子元件，其中第一批电子元件的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，且使用寿命不少于1200小时的概率为0.1，使用寿命不少于800小时的概率为0.9．第二批电子元件的使用寿命不少于900小时的概率为0.8，使用寿命不少于1000小时的概率为0.6且这两批电子元件的使用寿命互不影响．若该厂产出的某电器中同时装有这两批电子元件各一个，则在1000小时内这两个元件都能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【变式7-2】．（2023·山东潍坊·模拟预测）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（    ） 附：随机变量，则，，． A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15% B．生产线乙的食盐质量 C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的 【变式7-3】．（24-25高二上·辽宁·期末）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【变式7-4】．（24-25高三上·重庆·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值． (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ①求这件零件是次品的概率： ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能 指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布则， 【变式7-5】．（2024·江西南昌·二模）一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值（单位:）服从正态分布. (1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;（精确到） (2)根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布. 某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）. 你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．（参考数据：若，则，，.） 题型八：正态分布在考试中的应用 【例题8-1】．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知某校高三年级在期末考试中，1000名学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（   ）（参考数据：；；．） A．成绩在内的人数约为997 B．该校学生成绩的标准差为10 C．及格率超过 D．成绩低于80的人数和优秀的人数大致相等 【变式8-1】．（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【变式8-2】．（24-25高三上·重庆·阶段练习）某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”. (1)已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）； (2)现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率： (3)为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由. （参考数据：若，则，） 题型九：正态分布在农业中的应用 【例题9-1】．（2025高三·全国·专题练习）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是 ． ①；②；③；④ 【变式9-1】．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克. (1)求的值； (2)求； (3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望. 【变式9-2】．（24-25高三下·重庆·阶段练习）智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） (2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 题型十：正态分布在公司中的应用 【例题10-1】．（23-24高二上·全国·课后作业）已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．    (1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式； (2)求此公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比． 题型十一：正态分布在选择路线中的应用 【例题11-1】．（22-23高三·河北衡水·阶段练习）从某酒店开车到机场有两条路线，为了解这两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：），数据如下表所示： 路线一 44 58 66 50 34 42 50 38 62 56 路线二 62 56 68 62 58 61 61 52 61 59 将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和，经计算可得. (1)求； (2)假设路线一的全程时间服从正态分布，路线二的全程时间服从正态分布，分别用作为的估计值.现有甲､乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人的要求，司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？ 题型十二：正态分布在销售中的应用 【例题12-1】．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【变式12-1】．（2024·湖北·模拟预测）某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额X（单位：元）服从正态分布．为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答题活动，顾客需要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题，则不再答第二类题，直接结束有奖答题活动．对于每一类题，答错得0分，答对得10分，两类题总分20分，答题结束后可减免与得分相同数额的现金（单位：元）．每类试题均有两次答题机会，在任意一类试题中，若第一次回答正确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题．若第一次回答错误，则进行第二次答题，若第二次答题正确，则也认为答对该类试题；若第二次回答错误，则认为答错该类试题． (1)若某天有200位进店消费的顾客，请估计该天消费额在内的人数（结果保留整数）； 附：若，则． (2)某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动，类题中的两次答题机会答对的概率都是，类题中的两次答题机会答对的概率都是，且每次答题相互独立．若答题结束后可减免的现金数额为元，求的分布列和数学期望． 【变式12-2】．（23-24高二下·广东惠州·期末）某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试． (1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数） (2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，． 题型十三：正态分布在选物中的应用 【例题13-1】．（24-25高三上·全国·阶段练习）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 题型十四：正态分布在比赛中的应用 【例题14-1】．（24-25高三下·上海·阶段练习）某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (2)复赛规则如下：①复赛题目由A，B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分；答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A，B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题. 已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由. 附：若，则，，. 题型十五：正态分布在抽奖中的应用 【例题15-1】．（2025·吉林长春·二模）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节． (1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为，标准差为．经分析，X近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差s作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在的概率； (2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分．连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束． ①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为，求； ②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）． （参考数据：，． 题型十六：正太分布在调查中的应用 【例题16-1】．（24-25高三上·重庆·阶段练习）某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； (2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【变式16-1】．（2025高三·全国·专题练习）某市举行了一次大型宣传活动，结束后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据（人均得分）构成一个样本，依据相关标准，该样本中各地抽取的数据构成数列（n为各地区的编号），且由各地的数据可以认为各地人均得分服从正态分布，μ近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）． (1)利用正态分布的知识求． (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制订如下两种奖励方案． 方案一：（ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费． （ⅱ）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费/元 50 100 概率 方案二：参加此次问卷调查的市民可获得价值100元的大型晚会入场券． 参加此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案． ①市民小李参加了此次问卷调查，他选择了方案一，记X（单位：元）为他获赠的话费，求X的分布列及数学期望． ②仅从奖励的价值考虑，如果你参加了问卷调查，你选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的大型晚会入场券？用统计中相关知识做出决策． （附：若，则，，） 题型十七：正态分布在新定义中的应用 【例题17-1】．（2022·江苏·模拟预测）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（    ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大 【变式17-2】．（2024·广东东莞·模拟预测）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 【变式17-3】．（2022·江苏连云港·模拟预测）柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则 . 题型十八：正态分布在药物检测中的应用 【例题18-1】．（23-24高三下·江西赣州·期中）某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，） 一、单选题 1．（2024·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 2．（23-24高二下·辽宁·开学考试）某校高三学生的一次期中考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为为事件，记该同学的成绩为为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（    ）（附参考数据：，，） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·河北保定·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（    ） （附：若，则， A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865 二、多选题 4．（2024·江西景德镇·一模）在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（   ） 参考数据：若，则， ， A． B．总体是35万人 C．样本均值为73.5 D．估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人 5．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法不正确的有（    ） （参考数据：①；②； ③） A．这次考试成绩超过100分的约有500人 B．这次考试分数低于70分的约有27人 C． D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 8．（2024·广东汕头·二模）某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（    ） 参考数据：；；. A．这次考试等级分的标准差为25 B．这次考试等级分超过80分的约有450人 C．这次考试等级分在内的人数约为997 D． 9．（23-24高三上·山东日照·期末）数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（    ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当都增大时，概率增大 10．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）冯老师教高二4班和5班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图象如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，.关于这次数学考试成绩，下列结论错误的是（    ） A．4班的平均分比5班的平均分高 B．相对于5班，4班学生的数学成绩更分散 C．4班108分以上的人数约占该班总人数的4.55% D．5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等 11．（2023·全国·模拟预测）某精密制造企业根据长期检测结果得到其产品的质量差服从正态分布，把质量差在内的产品称为优等品，在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称正品，其余的产品作为废品处理．根据大量的产品检测数据，得到产品质量差的样本数据统计如图，将样本平均数作为的近似值，将样本标准差作为的估计值，已知质量差，则下列说法中正确的是（    ） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． A．样本数据的中位数为 B．若产品质量差为mg，则该产品为优等品 C．该企业生产的产品为正品的概率是 D．从该企业生产的正品中随机抽取件，约有件优等品 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 13．（23-24高二下·河北沧州·期中）某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布（质量单位：g）．检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为 ．（若，则 14．（2024高三·全国·专题练习）小檗碱是从中药黄连中分离的一种生物碱，是黄连抗菌的主要有效成分．已知某地种植的黄连中，每100g黄连中小檗碱的含量X（单位：g）服从正态分布，从该地种植的黄连中随机抽查100份（每份100g），得到这100份黄连中小檗碱含量的平均数为4.38g，标准差为0.18．用样本估计总体，从该地种植的黄连中随机抽取1份（100g），则这份黄连中小檗碱的含量大于4.56g的概率为 ．（参考数据：） 15．（23-24高二下·福建福州·期中）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4，50.6)的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 ．(若，则，) 16．（2022高三·全国·专题练习）为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ．附：，，． 17．（23-24高三上·全国·阶段练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ． 参考数据：若，则，，． 18．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 四、解答题 19．（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 20．（23-24高二下·山西临汾·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表: 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值. (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件. ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，，. 21．（23-24高二下·重庆·阶段练习）某学校组织学生参加知识竞赛，为了解该校学生的考试成绩，采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查，成绩全部分布在40～100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这600名学生成绩的中位数； (3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题： ①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）； ②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为，求随机变量的期望和方差． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 22．（2024·广东广州·模拟预测）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19. (1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？ (2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）： (3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）. 附：，，，. 23．（2024·河南·三模）某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为．据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差； (2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩近似服从正态分布，其中参数和可以分别用（1）中的和来估计. 记考生本次考试的各科总成绩为，若，试估计这20000名优秀考生中总成绩的人数. 另：； 若，则，. 10 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优专题：正态分布的综合应用 知识点一　正态曲线与正态分布 1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 知识点二　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 题型一：正太密度函数 【例题1-1】．（22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 【变式1-1】．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正态密度函数 【分析】 将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【详解】， . 故选：B. 【变式1-2】．（2023高三下·全国·竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正态密度函数、3δ原则 【分析】计算，可判断函数的对称性，再计算，即可排除选项. 【详解】或，因为， 所以或，即或， 或或 因为服从标准正态分布，所以根据对称性可知，所以函数关于对称，故排除AC； 当时，，，所以或,因为，其中，，，根据原则可知，，所以排除B； 故选：D 题型二：正态曲线的性质 【例题2-1】．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 【变式2-1】．（23-24高三上·广东揭阳·期中）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】概率分布曲线的认识、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布曲线的性质判断大小关系即可. 【详解】由、分布曲线关于轴对称， 则， ∵越大，正态分布曲线越扁平， ∴. 故选：C 题型三：正态分布在数据信息中的应用 【例题3-1】．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）Logistie分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则（    ） A．满足二项分布的随机变量也是连续随机变量 B．若连续随机变量满足，则服从Logistic分布 C．若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则 D．若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分、概率分布曲线的认识、指定区间的概率 【分析】根据二项分布为离散型随机变量的分布可判断A选项；利用Logistic分布的定义可判断B选项；根据Logistic分布的概率公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，满足二项分布的随机变量是离散型随机变量，A错； 对于B选项，根据Logistic分布的定义可知， 若连续随机变量满足，则不服从Logistic分布，B错； 对于C选项，若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布， 则， 所以，，， 故，C对； 对于D选项，若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布， 则，， 所以，， 因为，所以，，D错. 故选：C. 【变式3-1】．（2024·浙江杭州·三模）传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法.设s是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m次，每次接收端收到的信号，其中干扰信号为服从正态分布的随机变量，令累积信号，则Y服从正态分布，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如的信噪比为，则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的（    ）倍 A． B．m C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】概率分布曲线的认识、正态分布的实际应用 【分析】利用正态分布性质，根据信噪比的定义列式计算即可求解. 【详解】由Y服从正态分布，则的信噪比为， 又接收一次信号的信噪比为，所以， 所以累积信号Y的信噪比是接收一次信号的m倍. 故选：B 题型四：正态分布在交通中的应用 【例题4-1】．（24-25高三下·广东·开学考试）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）（   ） A． B． C．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 D．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的定义及性质判断A，B，结合正态分布的对称性及概率计算判断C，D. 【详解】由题意可设，， 由题意可得，，，，所以A，B错误； 因为 ， ， 所以，故C错误； 因为， ，所以，故D正确. 故选：D. 【变式4-1】．（22-23高二下·安徽滁州·期中）杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为；骑自行车平均用时，样本方差为，假设坐公交车用时单位：和骑自行车用时单位：都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（    ） A． B． C． D．若某天只有可用，杨明应选择坐自行车 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】概率分布曲线的认识、指定区间的概率 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可. 【详解】随机变量的均值为，方差为，则，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，， 所以，故A正确； ， ， 因为， 所以，故B正确； ，故C错误； 对于，因为，所以选择自行车，故D正确. 故选：ABD. 【变式4-2】．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了多次所花时间，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从如图的正态分布.星期一李明出门有可用，他应该选择 交通工具；星期二李明出门有可用，他应该选择 交通工具； 【答案】 自行车 公交车 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、正态分布的实际应用 【分析】应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具，结合图形，比较概率的大小可得答案. 【详解】由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. 根据和的分布密度曲线图可知：，， 可得， 若有可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车； 若有可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车； 故答案为：骑自行车；坐公交车. 题型五：正态分布在体育中的应用 【例题5-1】．（2025·黑龙江·一模）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、离散型随机变量的方差与标准差、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的性质计算判断A；利用二项分布的期望、方差公式计算判断BC；利用对立事件的概率公式计算判断D. 【详解】对于A，由，得， 则，A正确； 对于B，由A知，在区间的概率为，，， 因此，B正确； 对于C，由B知，，因此，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB 【变式5-1】．（24-25高三上·山东青岛·期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A错误； 在的概率为，则， 则，故C正确； ，故D错误； ，故B错误. 故选：C. 【变式5-2】．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格．某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】运用正态分布的概念，概率性质，逐个分析判断即可. 【详解】对于正态分布，方差，则. 已知，这里，那么，而不是，所以选项A错误. 对于正态分布，期望. 已知，这里，所以，选项B正确. 因为正态分布，则，. 根据正态分布的性质，，， ，即， 那么，选项C正确. 对于，；对于，. 对应的，对应的. 根据正态分布的性质，值越大，对应的概率越大， 因为，所以，选项D正确. 故选：BCD. 题型六：正态分布在高考中的应用 【例题6-1】．（2024高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、标准正态分布的应用 【分析】首先计算排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%，结合，以及当时，，可得到，计算即可得到答案． 【详解】由题意可得，将学生成绩从高到低排名，排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%. 因为原始成绩，所以. 令，则；又当时，， 所以，解得，所以B＋等级的原始分最低大约为71. 故选：C. 【变式6-1】．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【难度】0.65 【知识点】正态分布的实际应用、标准正态分布的应用 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 【变式6-2】．（2022·广东汕头·三模）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为 分（结果保留1位小数） 附：若，． 【答案】59.9 【难度】0.65 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】利用的转换关系，再根据正态分布的对称性即可求出答案 【详解】因为，由可得，又，根据正态分布的对称性可知，由题意可知划线分大约为59.9. 故答案为：59.9 【变式6-3】．（2022·河南开封·模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，． (1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少； (2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差． 附：当时，，． 【答案】(1)； (2)，. 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、标准正态分布的应用 【分析】（1）分析可得，由，解出的范围，即可得出结论； （2）由可得出，计算得出，分析可知，利用二项分布的期望和方差公式可求得结果. 【详解】（1）解：由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为， 由且，可得， 由，可得， 估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分. （2）解：若，则，， 由题意可知， ，. 【变式6-4】．（24-25高三上·山东·阶段练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 【答案】(1)1587名 (2)， 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）考试成绩近似服从正态分布，根据概率公式计算出概率后可得名次； （2）求出事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外的概率，随机变量服从二项分布，即，由公式计算出概率，再由二项分布的期望公式计算出期望． 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩近似服从正态分布， 由题意可得， ， ,即，解得， 甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且， 又，即， ， 答：学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名． （2）设事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外， 由于成绩在之内的概率为0，9974， ， 随机变量服从二项分布，即， ， 的数学期望为. 题型七：正态分布在生产中的应用 【例题7-1】．（2024·广西贺州·一模）某电器厂购进了两批电子元件，其中第一批电子元件的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，且使用寿命不少于1200小时的概率为0.1，使用寿命不少于800小时的概率为0.9．第二批电子元件的使用寿命不少于900小时的概率为0.8，使用寿命不少于1000小时的概率为0.6且这两批电子元件的使用寿命互不影响．若该厂产出的某电器中同时装有这两批电子元件各一个，则在1000小时内这两个元件都能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据给定条件，利用正态分布求出第一批电子元件的使用寿命不少于1000小时的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，，则， 由正态分布的对称性知，使用寿命X的期望，则， 所以在1000小时内这两个元件都能正常工作的概率为. 故选：B 【变式7-1】．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】正态密度函数、3δ原则、特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的性质结合给定区间上的概率值可判断A；根据随机变量x的概率分布密度函数可判断B，C；根据正态分布的“”原则可判断D. 【详解】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则， 其中，则，A正确； 对于B，随机变量x的概率分布密度函数，有，，因此生产线乙的食盐质量，B错误； 对于C，因为，当且仅当时取等号， 因此当时，，C正确； 对于D，， 说明生产线甲上抽到质量大于食盐的可能性很低， 则随机抽取两包其质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确. 故选:ACD. 【变式7-2】．（2023·山东潍坊·模拟预测）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（    ） 附：随机变量，则，，． A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15% B．生产线乙的食盐质量 C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】正态密度函数、3δ原则 【分析】根据正态分布的参数，以及结合原则的参考数据，即可判断选项. 【详解】由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为， 其中，其中，， 则，故A正确； B. 随机变量x服从正态密度函数，可知，，， 所以生产线乙的食盐质量，故B错误； C.不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐质量轻，故C错误； D. ，说明生产线甲抽到质量大于515g的可能性很低，所以随机抽取两包质量均大于515g，说明判断出该生产线出现异常是合理的，故D正确. 故选：AD 【变式7-3】．（24-25高二上·辽宁·期末）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【答案】(1)0.47725 (2)分布列见解析，1 (3). 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、二项分布的均值、特殊区间的概率、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）根据平均数与方差的计算公式计算出，再根据正态分布曲线的对称性计算概率； （2）写出二项分布的分布列，由二项分布的期望公式可得答案； （3）首先利用全概率公式计算出抽取的零件为次品的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得 . . 故，. 设表示零件直径，则，即. 则， ，即. （2）由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为， 则， ， ， ， ， 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望. （3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，， 则， ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为. 【变式7-4】．（24-25高三上·重庆·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值． (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ①求这件零件是次品的概率： ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能 指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布则， 【答案】(1)80，0.8186 (2)①；②；③4 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、二项分布的均值、指定区间的概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解； （2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可；③借助二项分布期望公式计算即可得． 【详解】（1）， 因为，所以， 则 ； （2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件， “抽取的零件为乙机床生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件， 则，，，， 则； ②； ③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率， 且随机变量， 所以， 所以随机变量Y的数学期望为4. 【变式7-5】．（2024·江西南昌·二模）一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值（单位:）服从正态分布. (1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;（精确到） (2)根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布. 某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）. 你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．（参考数据：若，则，，.） 【答案】(1)0.093 (2)不正常，理由见解析. 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、3δ原则、特殊区间的概率 【分析】（1）根据正态分布性质分别求电阻阻值在和在的概率，再结合概率公式求结论， （2）根据原则判断即可. 【详解】（1）电阻阻值服从正态分布. 所以，. 所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这只电阻阻值在和在的概率分别为 ， . 因此这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率； （2）生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布，即， 记，计算可得， 而，即， 因为在一次实验中，小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常. 题型八：正态分布在考试中的应用 【例题8-1】．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知某校高三年级在期末考试中，1000名学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（   ）（参考数据：；；．） A．成绩在内的人数约为997 B．该校学生成绩的标准差为10 C．及格率超过 D．成绩低于80的人数和优秀的人数大致相等 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据数学成绩服从正态分布，可得，利用正态分布的对称性，结合选项中结论的实际意义，即可判断各选项正误. 【详解】A： 因为1000名学生的数学成绩服从正态分布，， 所以 ， 即成绩在内的人数约人，故A正确； B：该校学生成绩的标准差为标准差 ，故B正确； C： ， ， ，因为90分为及格线，所以及格率小于，故C不正确； D：  因为成绩服从正态分布，，所以， 即 ，因为120分为优秀线，所以成绩低于80的人数和优秀的人数大致相等，故D正确 故选：ABD. 【变式8-1】．（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【答案】(1) (2)分 (3)甲能获得高薪，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）依题意，令，得到，根据及所给条件求出； （2）由（1）可得，设最录取分数为，根据，求得，即可得到答案； （3）考生甲的成绩为，得到甲能被录取概率为，从而推导出分以上的人数，即可得解. 【详解】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 【变式8-2】．（24-25高三上·重庆·阶段练习）某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”. (1)已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）； (2)现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率： (3)为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由. （参考数据：若，则，） 【答案】(1)“成绩优秀”和“不及格”的同学人数分别为人、人 (2) (3)班级成绩优于年级成绩 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据题设中已知区间上的概率可求及，故可求成绩优秀的人数和不及格人数； （2）根据条件概率的概率公式可求同学丙入选的概率： （3）根据小概率几乎不发生可判断该班成绩由于年级成绩. 【详解】（1）由已知， “成绩优秀”的概率为： . “不及格”的概率为： ， 所以“成绩优秀”的人数为人， “不及格”的人数为人. （2）设事件：至少一名“成绩顶尖”同学入选，事件：丙入选， 则， （3）由条件知年级中， 而在该班随机抽查中，同学成绩在一次随机事件中就发生了， 这说明班级成绩优于年级成绩. 题型九：正态分布在农业中的应用 【例题9-1】．（2025高三·全国·专题练习）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是 ． ①；②；③；④ 【答案】②③ 【难度】0.65 【知识点】指定区间的概率、特殊区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布概率几何意义以及对称性，可得答案. 【详解】由题意可知，， 所以， 所以， 所以①错误，②正确． 因为，所以， 所以 ，所以，所以③正确，④错误． 综上，答案为②③． 故答案为：②③． 【变式9-1】．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克. (1)求的值； (2)求； (3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)100 (2)0.2 (3)分布列见解析，1.6 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、求离散型随机变量的均值、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据平均数的概念计算求解； （2）利用正态分布的对称性求解； （3）先找出一个人获赠库车小白杏个数的情况，，，，再求出两个人获赠情况的分布列. 【详解】（1）. （2）因为，所以， 所以. （3）设1人获赠库车小白杏的个数为，则，，. 依题意可得的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 0.25 0.2 0.34 0.12 0.09 所以. 【变式9-2】．（24-25高三下·重庆·阶段练习）智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） (2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、正态分布的实际应用 【分析】（1）先利用频率分布直方图求出样本平均数，再根据正态分布的性质求解即可； （2）根据频率分布直方图可知所取样本个，直径在的车厘子有个，得到的所有可能取值，根据古典概型的概率公式求分布列，再根据分布列和期望公式求期望即可. 【详解】（1）由题意，估计从该批次的车厘子中随机抽取颗的平均数为： ， 即，，所以， 则， 所以从车厘子中任取一颗，该车厘子为一等品的概率约为. （2）由频率分布直方图可知，所以所取样本个， 直径在的车厘子有个，故可能取的值为，相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 所以的数学期望. 题型十：正态分布在公司中的应用 【例题10-1】．（23-24高二上·全国·课后作业）已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．    (1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式； (2)求此公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比． 【答案】(1)，. (2)34.14% 【难度】0.85 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质、3δ原则、正态密度函数 【分析】（1）结合密度曲线可得，可写出密度函数的表达式； （2）由，求此公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比． 【详解】（1） 设公司人均月收入为， 结合题图可知，. 此公司人均月收入的正态分布密度函数表达式为: ，. （2） ，则， 所以. 故公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.14%. 题型十一：正态分布在选择路线中的应用 【例题11-1】．（22-23高三·河北衡水·阶段练习）从某酒店开车到机场有两条路线，为了解这两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：），数据如下表所示： 路线一 44 58 66 50 34 42 50 38 62 56 路线二 62 56 68 62 58 61 61 52 61 59 将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和，经计算可得. (1)求； (2)假设路线一的全程时间服从正态分布，路线二的全程时间服从正态分布，分别用作为的估计值.现有甲､乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人的要求，司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？ 【答案】(1)， (2)甲去机场应该选择路线一，乙去机场应该选择路线二 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、标准正态分布的应用 【分析】（1）根据方差公式求解即可. （2）根据正态分布公式求解即可. 【详解】（1）， . （2）由（1）知. 因为，且.， 所以. 因为，， ，所以， 所以送甲去机场应该选择路线一，送乙去机场应该选择路线二. 题型十二：正态分布在销售中的应用 【例题12-1】．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】二项分布的方差、3δ原则、特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）（i）求出，可得，根据正态分布的对称性可求； （ii）由（i）得，根据，可得小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论； （2）由正态分布的对称性求出得，可得随机变量，再利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 【变式12-1】．（2024·湖北·模拟预测）某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额X（单位：元）服从正态分布．为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答题活动，顾客需要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题，则不再答第二类题，直接结束有奖答题活动．对于每一类题，答错得0分，答对得10分，两类题总分20分，答题结束后可减免与得分相同数额的现金（单位：元）．每类试题均有两次答题机会，在任意一类试题中，若第一次回答正确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题．若第一次回答错误，则进行第二次答题，若第二次答题正确，则也认为答对该类试题；若第二次回答错误，则认为答错该类试题． (1)若某天有200位进店消费的顾客，请估计该天消费额在内的人数（结果保留整数）； 附：若，则． (2)某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动，类题中的两次答题机会答对的概率都是，类题中的两次答题机会答对的概率都是，且每次答题相互独立．若答题结束后可减免的现金数额为元，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)168 (2)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】特殊区间的概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）先求出在内的概率，再用总人数乘以该概率即可； （2）由题可知，的可能取值为，根据题意计算概率即可得到分布列，进而可求数学期望. 【详解】（1）由题意， 若某天该商场有200位顾客，估计该天消费额在内的人数为：（人）； （2）设的取值为， 则， ， 所以的分布列为 0 10 20 数学期望 【变式12-2】．（23-24高二下·广东惠州·期末）某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试． (1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数） (2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，． 【答案】(1)159； (2)分布列见解析，期望为19.5. 【难度】0.65 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）分析可知，计算出的值，乘以可得结果； （2）分析可知随机变量的取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）由学生初试成绩服从正态分布，其中，，得， 因此， 所以估计初试成绩不低于的人数为人. （2）的可能取值为，，，， 则，， ，， 所以的分布列为： 数学期望为. 题型十三：正态分布在选物中的应用 【例题13-1】．（24-25高三上·全国·阶段练习）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、正态曲线的性质、3δ原则 【分析】由题设可知：随机变量，即可判断AB；根据题中数据结合正态分布的性质求，，即可得判断CD. 【详解】由题设可知：，则随机变量， 所以随机变量的标准差为，故A错误， B正确； 因为 ，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 题型十四：正态分布在比赛中的应用 【例题14-1】．（24-25高三下·上海·阶段练习）某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (2)复赛规则如下：①复赛题目由A，B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分；答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A，B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题. 已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由. 附：若，则，，. 【答案】(1)小明有资格参加复赛 (2)学生甲应先回答A类问题，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、求离散型随机变量的均值、3δ原则、指定区间的概率 【分析】（1）计算出、的值，可得出，计算出的值，与比大小，可得出结论； （2）分别计算出学生甲先回答类问题、先回答类问题得分的期望值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ， ，， . 所以，小明有资格参加复赛. （2）若学生甲先答A类问题，设他的得分为随机变量X，则X的可能取值有0，30，100， ，，， 所以，随机变量X的分布列为， 则. 若学生甲先答B类问题，设该同学的得分为随机变量Y，则Y的可能取值有0、70、100， ，，， 所以，随机变量Y的分布列为， 则， 所以，，因此，学生甲应先回答A类问题. 题型十五：正态分布在抽奖中的应用 【例题15-1】．（2025·吉林长春·二模）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节． (1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为，标准差为．经分析，X近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差s作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在的概率； (2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分．连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束． ①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为，求； ②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）． （参考数据：，． 【答案】(1) (2)①；②50001元 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、指定区间的概率 【分析】（1）由，再根据正态分布的对称性计算即可得解. （2）①当时，由题意构建递推式，再证明为等比数列，由此得到，累加进而得到，当时，即可求解. ②由题意可得，即可求解. 【详解】（1）由题意知， 则． （2）①由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数小于等于4或获得分时掷骰子点数大于4，而掷骰子点数小于等于4的概率为，掷骰子点数大于4的概率为． ， 则， 故为等比数列. 由，，故首项为. 因此，……， 将所有等式相加得， 所以， 当时， 综上. ② 元． 即估计游戏奖励的预算资金为50001元． 题型十六：正太分布在调查中的应用 【例题16-1】．（24-25高三上·重庆·阶段练习）某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； (2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)200人； (2)分布列见解析，数学期望为 【难度】0.65 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、指定区间的概率 【分析】（1）利用正态分布的性质求出，进而求出对应的人数. （2）根据给定条件，利用二项分布求出分布列及期望. 【详解】（1）由问卷调查的成绩近似服从正态分布，且， 则，于是， 所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200人. （2）由（1）知，对“数博会”的关注度较高事件的概率为， 的可能取值为，， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望为. 【变式16-1】．（2025高三·全国·专题练习）某市举行了一次大型宣传活动，结束后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据（人均得分）构成一个样本，依据相关标准，该样本中各地抽取的数据构成数列（n为各地区的编号），且由各地的数据可以认为各地人均得分服从正态分布，μ近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）． (1)利用正态分布的知识求． (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制订如下两种奖励方案． 方案一：（ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费． （ⅱ）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费/元 50 100 概率 方案二：参加此次问卷调查的市民可获得价值100元的大型晚会入场券． 参加此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案． ①市民小李参加了此次问卷调查，他选择了方案一，记X（单位：元）为他获赠的话费，求X的分布列及数学期望． ②仅从奖励的价值考虑，如果你参加了问卷调查，你选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的大型晚会入场券？用统计中相关知识做出决策． （附：若，则，，） 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②应选择获得价值100元的大型晚会入场券 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、求离散型随机变量的均值、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据正态分布曲线的对称性，求出均值，可得答案； （2）利用3σ原则和正态曲线的对称性即可求解. 【小题1】样本中各地的人均得分分别为，，，，，，， 所以7个地方人均得分的平均值为，即μ可取123，所以． ， ， 所以． 【小题2】①由题意可得X所有可能的取值为50，100，150，200， 得50元的情况为得分低于μ，概率为． 得100元的情况为有1次机会且获得100元或有2次机会且2次均获得50元，概率为 ． 得150元的情况为有2次机会且2次机会中有1次获得100元、1次获得50元，概率为 ． 得200元的情况为有2次机会且2次均获得100元，概率为． 所以X的分布列为 X 50 100 150 200 P 故． ②由①知，所以应选择获得价值100元的大型晚会入场券． 题型十七：正态分布在新定义中的应用 【例题17-1】．（2022·江苏·模拟预测）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（    ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】正态密度函数、3δ原则 【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D. 【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确； 对于B, 当时，，故B错误； 对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值, 即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数， 故由可知，C正确，D错误， 故选：AC 【变式17-2】．（2024·广东东莞·模拟预测）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】对于A：可知，结合正态分布的对称性分析求解；对于B：根据题意结合正态分布的对称性分析求解；对于C：根据题意分析可得，，即可得结果；对于D：根据题意可得，，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为，即， 可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：由题意可知：，即， 对比表格可知：，即，解得， 所以估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108，故C正确； 对于选项D：由题意可知：，且 可得，则， 所以该学生在全市排名大概位于名之间，故D正确； 故选：BCD. 【变式17-3】．（2022·江苏连云港·模拟预测）柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则 . 【答案】/0.25 【难度】0.65 【知识点】概率分布曲线的认识 【分析】由概率密度函数得其关于对称，由对称性求得概率． 【详解】由已知，概率密度函数图象关于对称， ， 又， ，， 故答案为：． 题型十八：正态分布在药物检测中的应用 【例题18-1】．（23-24高三下·江西赣州·期中）某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，） 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为. (2) 【难度】0.65 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、3δ原则、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】（1）因为，由二项分布的概率公式求出随机变量的分布列，再由二项分布的均值公式求出； （2）康复的人数为随机变量，则，可得出，由正态分布的对称性结合原则求解即可. 【详解】（1）记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件，则 ， 因此， ，， ， 则的分布列为： 的数学期望. （2）若该药品的有效率为，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为， 记康复的人数为随机变量，则， 设，设， 所以整数的最大值为    一、单选题 1．（2024·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为． 故选：A． 2．（23-24高二下·辽宁·开学考试）某校高三学生的一次期中考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为为事件，记该同学的成绩为为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（    ）（附参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、3δ原则、指定区间的概率 【分析】利用原则求出的值，利用正态曲线的对称性求出的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由题知，事件为“该同学的成绩满足”， 因为， 所以 ， 又，所以， 故选：A． 3．（23-24高三上·河北保定·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（    ） （附：若，则， A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、3δ原则、指定区间的概率 【分析】正态随机变量的均值方差可由二项分布的均值方差公式来近似，根据题中所给数据运算即可得解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为， 则. 由题意，且， 因为，即， 所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为. 故选：B. 二、多选题 4．（2024·江西景德镇·一模）在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（   ） 参考数据：若，则， ， A． B．总体是35万人 C．样本均值为73.5 D．估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、3δ原则 【分析】根据分层随机抽样的特征可判断A；根据总体的定义可判断B；根据分层随机抽样的均值可计算并判断C；根据正态分布的定义可判断D. 【详解】由分层随机抽样的特征可知：，故A正确； 总体是35万考生的数学成绩，故B错误； 根据分层随机抽样的均值知样本均值，故C错误； ∵，，， ∴小于66分的人数约为人，故D正确． 故选：AD． 5．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布直接判断AB；根据正态曲线的对称性分析判断CD. 【详解】由可得，故A正确；B错误； 对于C，利用正态曲线的对称性可知，， 且，则， 所以，故C错误； 对于D，利用正态曲线的对称性可知，， 可得， 所以，故D正确. 故选：AD. 6．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的概念，识别期望与方差，利用期望和方差的性质计算，利用正态分布的图象及正态分布的对称性来求解即可． 【详解】由随机变量， 得，，，，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 两个随机变量的均为120，由正态分布特点知D正确． 故选：ABD． 7．（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法不正确的有（    ） （参考数据：①；②； ③） A．这次考试成绩超过100分的约有500人 B．这次考试分数低于70分的约有27人 C． D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】由正态分布的性质和原则求出和即可求出成绩超过100分和低于70分的人数判断A、B；由正态分布的对称性和原则可求出，进而判断C；利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式结合A选项即可求解判断D. 【详解】由题意可知，对于选项A，，，则， 则成绩超过100分的约有人，所以选项A错误； 对于选项，， 所以分数低于70分的人数约为，即约为27人，故选项B正确； 对于选项C，，所以选项C错误； 对于选项D，因为，且至少有2人的分数超过100分的情况如下： ①恰好2人时概率为； ②3人均超过100分时的概率为， 则至少有2人的分数超过100分的概率为，所以选项D错误. 故选：ACD. 8．（2024·广东汕头·二模）某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（    ） 参考数据：；；. A．这次考试等级分的标准差为25 B．这次考试等级分超过80分的约有450人 C．这次考试等级分在内的人数约为997 D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、指定区间的概率、正态分布的实际应用、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】由，则 ，根据正态分布的性质，结合题中给出的概率公式，对每一选项进行分析，可得答案. 【详解】对于A，由题设，均值，方差，所以标准差为5，故A错误； 对于B，，所以人，故B错误； 对于C，， 则人，故C正确； 对于D， 故D正确． 故选：CD. 9．（23-24高三上·山东日照·期末）数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（    ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当都增大时，概率增大 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、特殊区间的概率 【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D. 【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，即，故A不正确； 对于B, 当时，，故B正确； 对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值, 即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在的概率是常数， 故由可知，C正确，D错误， 故选：BC 10．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）冯老师教高二4班和5班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图象如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，.关于这次数学考试成绩，下列结论错误的是（    ） A．4班的平均分比5班的平均分高 B．相对于5班，4班学生的数学成绩更分散 C．4班108分以上的人数约占该班总人数的4.55% D．5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、正态分布的实际应用 【分析】分别求得4班的平均分和5班的平均分判断选项A；观察两个班图象的胖瘦进而判断选项B；求得4班108分以上的人数占比判断选项C；求得5班112分以上的人数并与4班108分以上的人数进行比较判断选项D. 【详解】选项A：4班的平均分98分，5班的平均100分，则4班的平均分比5班的平均分低，故A错误； 选项B：5班的图象比4班的图象更“矮胖”，则相对于4班，5班学生的数学成绩更分散，故B错误； 选项C：4班的最大值为，则， 则，故C错误； 选项D：5班的最大值为，则， 则， 又4班和5班两个班的人数相等，则5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等，故D正确. 故选：ABC. 11．（2023·全国·模拟预测）某精密制造企业根据长期检测结果得到其产品的质量差服从正态分布，把质量差在内的产品称为优等品，在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称正品，其余的产品作为废品处理．根据大量的产品检测数据，得到产品质量差的样本数据统计如图，将样本平均数作为的近似值，将样本标准差作为的估计值，已知质量差，则下列说法中正确的是（    ） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． A．样本数据的中位数为 B．若产品质量差为mg，则该产品为优等品 C．该企业生产的产品为正品的概率是 D．从该企业生产的正品中随机抽取件，约有件优等品 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、3δ原则、特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】A：先确定中位数所在区间，然后根据前两组的频率计算中位数；B：根据正态分布确定出，然后确定出优等品对应的质量差区间，由此作出判断；C：先确定出正品质量差区间，然后根据正态分布曲线的对称性计算出概率；D：计算出优等品的概率然后结合C选项的结果可求优等品的件数. 【详解】对于A：的频率为，的频率为， 的频率为，且， 设样本数据的中位数为，所以，则，解得，故A错误； 对于B：由题意知，， 优等品质量差在即内，而，故B正确； 对于C：一等品质量差在即内，则正品质量差在和内，即在内， 所以产品为正品的概率为 ，故C正确； 对于D：优等品质量差在内，所以产品为优等品的概率为0.6827， 从正品中随机抽取件，有件优等品，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 【答案】①② 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】利用正态分布曲线的对称性及正态分布的概率，对四个选项逐个分析判断即可. 【详解】对于①，因为， 即乘坐线路能到家的概率为， 所以乘坐线路，前不一定能到家，所以①错误； 对于②，乘坐线路A在前到家的概率为 ， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路A和乘坐线路在前到家的可能性一样，所以②错误； 对于③，乘坐线路A在前到家的概率为， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路比乘坐线路A在前到家的可能性更大，故③正确； 对于④，乘坐线路A，则在前到家的概率为 ，所以④正确. 故答案为：①② 13．（23-24高二下·河北沧州·期中）某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布（质量单位：g）．检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为 ．（若，则 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质 【分析】由正态分布的相关性质求解即可. 【详解】由正态分布性质可知，要使不合格率小于4.55%，则合格率不低于， 由得，， 由题意可知， 解得，故的最大值为． 故答案为：. 14．（2024高三·全国·专题练习）小檗碱是从中药黄连中分离的一种生物碱，是黄连抗菌的主要有效成分．已知某地种植的黄连中，每100g黄连中小檗碱的含量X（单位：g）服从正态分布，从该地种植的黄连中随机抽查100份（每份100g），得到这100份黄连中小檗碱含量的平均数为4.38g，标准差为0.18．用样本估计总体，从该地种植的黄连中随机抽取1份（100g），则这份黄连中小檗碱的含量大于4.56g的概率为 ．（参考数据：） 【答案】0.16 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、指定区间的概率 【分析】由正态分布的对称性和原则求解即可. 【详解】由题意得，， 则小檗碱的含量大于4.56g的概率为： ． 故答案为：0.16. 15．（23-24高二下·福建福州·期中）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4，50.6)的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 ．(若，则，) 【答案】 【难度】0.65 【知识点】3δ原则 【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果. 【详解】技术改造前，易知， 则其优品率为； 技术改造后，其中， 则其优品率为； 所以优品率之差为. 故答案为： 16．（2022高三·全国·专题练习）为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ．附：，，． 【答案】13 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】先计算出，利用正态分布曲线的对称性得到，由，对照参数得到，从而计算出进入集训队的人数. 【详解】正态分布，可知， 分及以上的人数为人，则， 由正态分布曲线的对称性可得：，得， 所以，则， 则分及以上的人数为人. 故答案为：. 17．（23-24高三上·全国·阶段练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ． 参考数据：若，则，，． 【答案】0.84/ 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】由正态分布的性质可知，有，结合原则即可求解. 【详解】由题意知，该产品服从，则， 所以 ， 又， ， 所以， 所以， 即. 所以抽到“可用产品”的概率为. 故答案为：0.84. 18．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 【答案】0.36 【难度】0.65 【知识点】3δ原则 【分析】根据正态分布的对称性求解 【详解】随机变量X服从正态分布，， 由正态分布图像的对称性可得曲线关于对称。 ， . 故答案为：0.36.    四、解答题 19．（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 【答案】(1)， (2)分布列见解析， (3) 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、求离散型随机变量的均值、3δ原则、超几何分布的分布列 【分析】（1）由在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，可求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应的矩形面积，再将所求结果全加可得的值； （2）分析可知，随机变量可能取的值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）利用原则求得，结合百分位数的定义可求得的估计值. 【详解】（1）由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为， 由题可知：，解得， 所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为： ． 所以，. （2）样本中质量指标值在和的芯片数量为， 所取样本的个数为件， 质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、， 所以，，， ，， 随机变量的分布列为： 所以的数学期望． （3）由（1）可知：，则，， 由题可知：． 所以：，即. 20．（23-24高二下·山西临汾·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表: 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值. (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件. ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，，. 【答案】(1)；0.1359 (2)①；②；③1 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、二项分布的均值、3δ原则、利用全概率公式求概率 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解； （2）①借助全概率公式计算即可得；②借助条件概率公式计算即可得；③借助二项分布期望公式计算即可得. 【详解】（1）， 因为，所以， 则 ； （2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件， “抽取的零件为乙机床生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件， 则，，，， 则； ②； ③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率， 且随机变量， 所以， 所以随机变量Y的数学期望为1. 21．（23-24高二下·重庆·阶段练习）某学校组织学生参加知识竞赛，为了解该校学生的考试成绩，采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查，成绩全部分布在40～100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这600名学生成绩的中位数； (3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题： ①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）； ②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为，求随机变量的期望和方差． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2)80 (3)①4442；②， 【难度】0.65 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、二项分布的均值、3δ原则 【分析】（1）根据频率和为1，求的值； （2）根据频率和为0.5，计算中位数； （3）①首先根据频率分布直方图求均值，，再求，②求，则根据题意抽象为，根据二项分布求期望和方差. 【详解】（1）由频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为1得： ， 解得． （2）由频率分布直方图，因为前4组的频率为， 所以估计600名学生成绩的中位数为80． （3）①由频率分布直方图，可利用区间中点值和频率来估计平均数，即 ， 所以， 则， 题意中是把这个2.8万人看成一个总体，这里面每个人的成绩是服从正态分布， 为了便于计算，我们又可以把这个事件看成伯努利事件， 每个人的成绩超过86.8分的概率约是0.15865， 所以，此时， 即估计竞赛成绩超过86.8分的人数约为4442人， ②由①得，则， 由于是从所有参赛的学生中随机抽取10人， 所以我们把这个事件看作伯努利事件，即随机变量， 所以，． 22．（2024·广东广州·模拟预测）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19. (1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？ (2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）： (3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）. 附：，，，. 【答案】(1)95，合适，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）96，18 (3)定为等级，定为等级，定为等级，定为等级 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、3δ原则 【分析】（1）结合比例分配的分层抽样，利用平均数公式即可求解；由样本的均值与总体均值的差异来估计总体均值的合适情况； （2）（ⅰ）结合比例分配的分层抽样，根据方差的定义，写出总样本方差，进而进行化简即可得证； （ⅱ）利用平均值公式计算，由（ⅰ）直接代入即可计算； （3）由（2）知，，进而由对称性和即可求解. 【详解】（1）总样本的均值为. 用该结果作为总体均值的估计不合适，因为男生和女生的阅读习惯差异比较大， 这个样本的分布与的分布相差可能比较大，所以总样本均值作为总体均值的估计有偏差. （2）（ⅰ）证明：根据方差的定义，总样本方差为 . ∵， 同理. 因此， . （ⅱ）因为是按比例分配分层随机抽样，所以，得 男生样本的均值为，方差为， 女生样本的均值为，方差为， 记总样本的均值为，方差为， 则， 所以 又，所以. 总样本的均值为96，标准差约为18. （3）由（2）知，，所以服从正态分布， 所以，. ， 故可将定为等级，定为等级， 定为等级，定为等级. 23．（2024·河南·三模）某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为．据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差； (2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩近似服从正态分布，其中参数和可以分别用（1）中的和来估计. 记考生本次考试的各科总成绩为，若，试估计这20000名优秀考生中总成绩的人数. 另：； 若，则，. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、3δ原则、正态分布的实际应用、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）根据平均数为，利用方差的计算公式可得方差，利用所给数据，估算得标准差. （2）由题目提示可得，，利用正态分布的性质可得，又因为，所以，从而估算得到最终结果. 【详解】（1）抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为 . 故估计这20000名考生数学成绩方差为150，标准差. （2）由（1）知可用来估计，可用来估计. 故. . ， 故. 又， 所以. 故这20000名考生中成绩在的人数服从二项分布，约为. 10 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$