第6章　实数 本章综合提升课件 2024-2025学年沪科版七年级数学下册

第6章　实数 本章综合提升 1. 分类讨论思想 当被研究的对象包括多种可能情况，导致不能一概而论时，必须按照出现的 所有情况分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想称为分类 讨论思想. （1）研究（算术）平方根的性质；（2）有关实数的运算. （2）若y2＝16，则y＝ 　±4　. 【应用】（3）已知｜a＋1｜＝2，b2＝25，且a，b同号，求a－b的值. ±4　 【例1】　（2024·芜湖期中）【观察】｜－2｜＝2，｜2｜＝2；（－3）2＝ 9，32＝9. 【推理】（1）若｜x｜＝1，则x＝ 　±1　. ±1　 解：因为｜a＋1｜＝2，b2＝25， 所以a＋1＝±2，b＝±5， 即a＝1或a＝－3，b＝±5， 由a，b同号可知： 当a＝1，b＝5时，a－b＝1－5＝－4； 当a＝－3，b＝－5时，a－b＝－3－（－5）＝2， 所以a－b的值为－4或2. 【变式训练1】已知 ＋｜b2－9｜＝0，求a＋b的值. 解：因为 ＋｜b2－9｜＝0， 所以b＝±3，a＝－4.5. 当b＝3，a＝－4.5时，a＋b＝－4.5＋3＝－1.5； 当b＝－3，a＝－4.5时，a＋b＝－4.5＋（－3）＝－7.5. 2. 方程思想 　　从问题的数量关系入手，将问题转化为方程，通过解方程（组）来使问题获 解的思维方式.这种思想强调通过设元寻找已知与未知之间的等量关系，方程思 想的核心体现在建模思想和转化思想上，它要求能够正确列出方程（组），并通 过解方程（组）来解决问题. 与（算术）平方根、立方根有关的问题. 　　【例2】　（2024·合肥庐江期末）已知2a－1的平方根是±3，a＋b＋1的立 方根是3，试求b－a的平方根. 解：因为2a－1的平方根是±3，所以2a－1＝9， 解得a＝5， 又因为a＋b＋1的立方根是3， 所以a＋b＋1＝27，解得b＝21， 所以b－a＝21－5＝16， 所以b－a的平方根是± ＝±4. 【变式训练2】如图①所示，将一根长为a的长方形木条放在数轴上，木条 的左、右两端分别与数轴上的点A，B重合（点A在点B的左边）. 【初步思考】 （1）若a＝5，当点A表示的数为－2时，点B表示的数为 　3　. 3　 【数学探究】 （2）如图②所示，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到B点 时，它的右端在数轴上所对应的数为14；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的 右端移动到A点时，它的左端在数轴上所对应的数为－10.请确定a的值及图中 A，B两点表示的数. 解：（2）由题意，得a＝ ×（14＋10）＝8， 所以A点表示的数为－10＋8＝－2，B点表示的数为14－8＝6. 【实际应用】 （3）一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要 32年才出生；你若是我现在这么大，我已经124岁，是老寿星了，哈哈！”根据 以上信息可知，爷爷现在的年龄是 　72　岁. 　　　 72　 3. 数形结合思想 所谓数形结合思想，是指数（实数）与图形（数轴及其他几何图形）相结 合，从数量间的关系来分析图形，同时从图形中获取数量间的关系. 主要体现在实数与数轴上的点的对应关系和绝对值的化简等. 　　【例3】　已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简｜a｜－｜a＋ b｜＋｜c－b｜. 解：由题图可知，a＜0，b＜0，c＞0，且｜a｜＞｜b｜，所以a＋b＜0， c－b＞0. 所以｜a｜－｜a＋b｜＋｜c－b｜＝－a＋a＋b＋c－b＝c. 　　【变式训练3】如图所示，已知数轴上的点A，B，C分别表示实数a，b， c.化简：｜a－b｜＋｜c－b｜＋｜c－a｜.　 解：由题图，知a－b＞0，c－b＜0，c－a＜0， ∴｜a－b｜＋｜c－b｜＋｜c－a｜＝（a－b）－（c－b）－（c－a）＝ a－b－c＋b－c＋a＝2a－2c. 4. 类比思想 　　类比思想是根据两个对象都具有一些相同或相似的属性，并且其中一个对象 还具有另外某一属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质. （1）类比平方根的定义去理解立方根的定义，类比有理数的相反数、绝对 值、比较大小、混合运算去学习实数的相反数、绝对值、比较大小、混合运算. （2）有关实数的规律探究. 　　【例4】　（2024·安庆迎江区期末）观察下列各式： ＝1＋ …① ＝1＋ …② ＝1＋ …③ …… 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）发现规律 ＝ 　1＋ 　. （2）计算： ＋ ＋ ＋…＋ . 1＋ 　 解：原式＝1＋ ＋1＋ ＋1＋ ＋1＋ ＋…＋1＋ 　 ＝2 023＋ ＋ ​ ＝2 023＋ ＝2 023＋ ＝2 023 . 【变式训练4】（2024·六安叶集区月考）【问题情境】数学活动课上，陈老 师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ＝ ＝ ； ＝ ＝ ； ＝ ＝ ；…. 　　【实践探究】 （1）按照此规律，计算： ＝ 　 　. 　 解：（2） × × ×…× ＝ × × ×…× ＝ × × ×…× ＝ . （2）计算： × × ×…× .　 【迁移应用】 （3）若 ＝x符合上述规律，请直接写出x的值. 解：（3）因为 ＝x符合 ＝ ＝ ， 所以2n－1＝4 047，所以n＝2 024，那么x＝ . 1. （2024·淮北一模）下列实数为无理数的是（　A　） A. 2π B. C. D. －1.010 101 2. （2024·合肥庐阳区三模）实数－24的倒数是（　A　） A. － B. 24 C. D. －24 3. （2024·合肥瑶海区三模）下列四个数中，最大的数是（　C　） A. －3 B. 0 C. D. 2 A A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. （2024·合肥瑶海区三模）如图所示，在做浮力实验时，李明同学用一根细线 将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢 出的水的体积为24 cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长（单位：cm）位于哪两 个相邻的整数之间？（　A　） A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D. 5和6 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. （2024·滁州天长二模）已知正整数m，n满足：m＜ ＜m＋1，n＜ ＜n＋1，则mn的值为（　B　） A. 4 B. 8 C. 9 D. 27 6. （2024·合肥瑶海区校级模拟） 的平方根是 　± 　.　 7. （2024·合肥模拟）计算： －｜－2｜＝ 　1　. 8. （2024·六安霍邱模拟）若n＜ ＋2＜n＋1，则整数n的值是 　4　. B ± 　 1　 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. （2024·合肥二模）中国数字文化源远流长，“万物莫逃乎数”，“一切皆有 定数”……是古人对自然、社会的一种观察和思考.古籍《孙子算经》中也记录 了很多古人发现的数字规律.现在请你根据所学知识观察： （1） ＝ ； （2） ＝ ； （3） ＝ ；…. 根据规律写出第（n）个等式： 　 ＝ 　. ＝ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. （2024·合肥庐阳区二模）－ 的立方根是 　－2　.　 11. （2024·芜湖无为模拟）计算：（－1）2 024＋ －｜－3｜＋ . 解：（－1）2 024＋ －｜－3｜＋ ＝1＋4－3－2＝0. －2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. （安徽中考）下列为负数的是（　D　） A. ｜－2｜ B. C. 0 D. －5 D 13. （2024·安徽中考）我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖冲之给出圆 周率的一种分数形式的近似值为 .比较大小：  　＞　 . （填“＞”或“＜”） 14. （安徽中考）计算： －1＝ 　2　. ＞　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$