6.2 无理数和实数（第2课时 实数的运算）（教学课件）数学新教材沪科版七年级下册

6.2无理数和实数 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第6章 实数 第2课时 实数的运算 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义. 2. 掌握实数的运算法则，能进行简单的实数的运算及 近似计算. 情景导入 如图，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O’ 对应的数是多少？ O' OO'=圆的周长 =π 点O’ 对应的数是π π 每个无理数都可以用数轴上的点来表示吗？ O 新知探究 思考 每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，无理数能用数轴上的点表示吗? 如图，以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心、这个正方形对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作A，那么，点A表示什么数？ 点A'是画圆弧时与数轴的另一交点，它表示什么数？ 以单位长度为边长画一个正方形，以数轴上的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示. 新知探究 一般地，每个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数.所以，把数从有理数扩充到实数以后，实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样. 例如，与-互为相反数，有+（-）=0. 与互为倒数，有×=1. 任一实数a的绝对值仍然用|a|表示，如||=，||=. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用. 例题讲解 课本例题 例1 分别写出 方法点拨 1. 求一个数的相反数，就是在这个数前面添上“-” . 2. 求一个数的绝对值时， 首先要判断所求数的符号，然后根据 “正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0 的绝对值等于 0” 写出这个数的绝对值. 例题讲解 课本例题 例2 近似计算： 在实数运算中，如果遇到无理数，并且需求出结果的近似值，可以按照所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数，再进行计算。在计算过程中，“舍去”的方法是比计算结果要求的精度多保留一位小数，最后对计算结果四舍五入. 例题讲解 课外例题 计算： (1)+2.34－π(精确到 0.1)； (2)( + ) ×( －1)(精确到 0.01)； (3)( + + )× . 解： （1） +2.34－π ≈ ×2.24+2.34-3.14 ≈ 0.3. （2）( + ) ×( －1)≈(1.732+2.236)×(1.414－1) =3.968×0.414 ≈ 1.64. （3）( + + )× = (－ 6+ +4 )×10=－ 0.5×10= － 5. 两个实数可以像有理数一样比较大小. 即数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数. 原点 0 正实数 负实数 < 1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数； 2.两个正数，绝对值大的数较大； 3.两个负数，绝对值大的数反而小. 与有理数一样，在实数范围内： 归纳 例题讲解 课本例题 例3 在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“<”号连接它们. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 由数轴上各点的位置，得 方法点拨 根据“实数与数轴上的点是一 一对应的”，并且“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”，我们可以利用数形结合思想比较实数的大小 . 例题讲解 补充例题 用“<”号连接下列各数： － ， ，－2 ，2.5，0. 解：将各数的大致位置在数轴上表示出来，如下图所示 . 由图可知， －2 ＜ － ＜ 0＜ ＜2.5. 交流 知识拓展 比较实数大小的其他方法： 作差法；作商法； 倒数法；乘方法； 比较被开方数；估算法等 . 解：∵2＜ ＜3， ∴0＜ -2＜1， ∴ ＜ ． 课堂练习 1. 如图，已知一个实数a在数轴上的位置为点A，则下列说法错误的是（ ）. (A) a的相反数是-a (B) a的倒数是 (C) a的绝对值是a (D) a的绝对值是-a C 2. 近似计算（精确到0.01）： 3. 比较下列各组数中两个数的大小： 分层练习 基础题 1. [2024南充] 如图，数轴上表示 的点是( ) C A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2. 如图，数轴上，两点表示的数分别为和 ，则 ， 两点之间表示整数的点共有( ) B A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3.如图，数轴上表示实数 的点可能是( ) B A.点 B.点 C.点 D.点 4.[2024·合肥期中] 如图，面积 为3的正方形的顶点 在数 轴上，以点为圆心， 的长为 半径画弧交数轴于点，若点 D A. B. C. D. 表示的数为2，则点 表示的数是 ( ) 5. 的绝对值是( ) B A. B. C. D. 6. 的倒数是( ) B A. B. C. D. 7. 的倒数是( ) A A. B. C. D. 8. 下列各组数中互为相反数的是( ) A. 5和 B. 和 C. 和 D. 和 B 9.对于两个实数，其中 ,定义一种新运算： ，如： ，那么 __. 10.[2024·杭州月考] 填空： (1) 的相反数是______，绝对值是____； (2) 的相反数是________，绝对值是________； (3)若，则 ______； (4)的倒数是_ _， ________. 11.计算： （1） ; 【解】（1）原式 . （2）精确到 . （2）原式 . 12.近似计算(精确到 )： (1) ； 解：原式 . (2) . 原式 . 13.计算： . 解：原式 . 14. [2024德州] 在0，，， 这四个数中，最小的数是 ( ) C A. 0 B. C. D. 15.[2024·自贡中考] 在0，，， 四个数中，最大的数 是( ) C A. B.0 C. D. 16.[2024·合肥月考] 现给出下列各数：，，，， ，在数轴上作出表示这些数的点，比较它们的大小，并 用“ ”连接. 解：在数轴上表示如答图所示. . 17.[2024安徽] 我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖 冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 .比较大小： ___（填“ ”或“ ”）. 【点拨】因为， ，， 所以. 所以 . 易错点 对数轴上的点的距离表示与坐标的关系理解不透而出错 18.数轴上点表示的数为1,点，分别位于点 的两侧，且 到点的距离相等.已知点到原点的距离为，则点 表示的 数是_______________. 或 【点拨】因为点到原点的距离为 ，所以点表示的数是 . 当点在点 右侧时，因为点表示的数为1，点表示的数为 ， 所以 . 因为点，到点 的距离相等， 所以 ， 所以点表示的数是 ； 当点在点 左侧时，因为点表示的数为1，点表示的数是 ， 所以 ,所以 , 所以点表示的数是 . 综上所述，点表示的数为或 . 综合应用题 19.下列各组数中互为相反数的一组是( ) C A.与 B.与 C.与 D.与 20. 对于两个不相等的实数， ，定义一种新的运算： ，如 ， 那么 ( ) A A.1 B. C. D.2 【点拨】 由题意得 . 21. 已知实数，，，，，，且，互为倒数，， 互 为相反数，的绝对值为， 的算术平方根是8，则 的值是( ) D A. B. C. 或 D. 【点拨】由题意可知，，， ， 所以， . 所以 . 22.[2024·合肥二模] 如图，直径为1的圆上有一点，且点 与数轴 上表示 的点重合，将这个圆在数轴上无滑动滚动，当点 再次与 数轴上的某个点重合时，这个点的位置可能是( ) D A.3与4之间 B.6与7之间 C.与之间 D.与 之间 23. 如图，，是数轴上的两点，点与点关于原点 对称， 以为边作正方形，若点 表示的数为1，正方形 面积为7，则， 两点之间的距离是( ) A B. C. D. 【点拨】因为正方形面积为7，所以.因为点 表示的数为1，点与点关于原点对称，所以点 表示的数 为，点表示的数为，所以， 两点之间的距离是 . 24.如图,数轴上表示1,的点分别为,,点到点 的距离与点到原 点的距离相等,设点表示的数为 . (1)求 的值; 解：因为点，表示的数分别为1， , 所以,所以 . (2)求 的值. 解：因为 , 所以 . 25.如图，一只蚂蚁从点 沿数轴向左爬了2个单位长度到达点 ，点表示的数为，设点所表示的数为 . （1）实数 的值是_____________； （2）求 的值. . 创新拓展题 26.［运算能力］ (1)用“ ”“ ”或“ ”填空： _________ ； (2)由(1)可知： ① ________，② _________， ③ ________； (3)计算： . 解：原式 . 27.[2024珠海期中] 阅读材料： 大家都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数， 的小数部分 我们不可能全部写出来，于是小明用表示 的小数部分，你同意 小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整 数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 由此我们还可以得到一个结论：如果，其中 是整数， 且，那么， .请解答下列问题： （1）如果，其中是整数，且 ， 那么____， _______； （2）已知，其中是整数，且 ，求 的值. 【解】因为，其中是整数，且 ， 所以， . 所以 . 习题 1.选择： （1）下列实数中，无理数的个数有（ ）. （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 B （2）与数轴上的点建立一一对应关系的是（ ）. （A）全体有理数 （B）全体整数 （C）全体自然数 （D）全体实数 D 2.写出两个介于4和5之间的无理数. 解： （答案不唯一） 3.求下列各数的相反数和绝对值： 解： 4.比较下列各组数的大小： （1） （2） 解：（1） ＜ . （2） ＞ . （3） （4） （3） ＞ . （4） ＞ . 5.近似计算（精确到0.01）： （1） ；（2） . 解：（1）原式≈-1.32. （2）原式≈19.77. 课堂小结 实数的运算： 实数与数轴的关系： 实数与数轴上的点一一对应. 有理数的运算法则及运算性质同样适用于实数． 实数 实数的相反数、倒数、绝对值： 有理数关于相反数、倒数、绝对值的意义同样适用于实数． 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$