2025年九年级中考数学三轮冲刺二次函数与面积的综合训练

2025年九年级中考数学三轮冲刺二次函数与面积的综合训练 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C． （1）b＝　 　，c＝　 　； （2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标； （3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标； （3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值． 2 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD； （3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标； （3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M． （1）求抛物线的关系式及点M的坐标； （2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标； （3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°． 6．如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）． （1）求m的值和直线BC对应的函数表达式； （2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标； （3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标． 7．抛物线yx2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标． （3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标． 8．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q． （1）求该抛物线的解析式； （2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标． 9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点． （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PDF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P坐标； （3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BC方程为y＝x﹣3． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若S△PBCS△ABC，请直接写出点P的坐标； （3）点Q是抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标． 12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 13．抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D． （1）直接写出点B和点D的坐标； （2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO时，求点P的坐标； （3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值． 14．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． （1）求抛物线解析式； （2）连接BE，求△BCE的面积； （3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 15．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求b，c的值； （2）P为第一象限抛物线上一点，△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式； （3）在（2）的条件下，设E是直线BC上一点，点P关于AE的对称点为点P′，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点P'恰好落在直线BC上，如果存在，求出点P′的坐标；如果不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求△AOD周长的最小值； （3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的表达式． （2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值． （3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C． （1）求b，c的值． （2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点． ①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； ②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b． （1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　 　； （2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2． ①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积； ②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q，连接BP，当时，求点P的坐标； （3）点M为抛物线上的点，当∠BCM＝∠ACO时，直接写出点M的坐标． 21．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）与x轴交于点A（4，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点Q是线段AB上一动点，过Q作QE∥AC交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标； （3）若平行于x轴的动直线与抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．【解答】解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图象上， 则，解得：， 故答案为：﹣2，﹣3； （2）连接BC，由题意可得： A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3， ∴S△ABC6， ∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m2﹣2m﹣3）， ∴|yD|＝2×6，即4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6， 解得：m或，代入y＝x2﹣2x﹣3， 可得：y值都为6， ∴D（，6）或（，6）； （3）设P（n，n2﹣2n﹣3）， ∵点P在抛物线位于x轴上方的部分， ∴n＜﹣1或n＞3， 当点P在点A左侧时，即n＜﹣1， 可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离， ∴S△APC＜S△APB，不成立； 当点P在点B右侧时，即n＞3， ∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等， 则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP， 设直线BC的解析式为y＝kx+p， 则，解得：， 则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣1，0）代入， 则﹣1+q＝0，解得：q＝1， 则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣2n﹣3）代入， 即n2﹣2n﹣3＝n+1， 解得：n＝4或n＝﹣1（舍）， n2﹣2n﹣3＝5， ∴点P的坐标为（4，5）． 2．【解答】解：（1）依题意，设y＝a（x+1）（x﹣3）， 代入C（0，）得：a•1•（﹣3）， 解得：a， ∴y（x+1）（x﹣3）x2﹣x； （2）∵BE＝2OE， 设OE为x，BE＝2x， 由勾股定理得：OE2+BE2＝OB2， x2+4x2＝9， 解得：x1，x2（舍）， ∴OE，BE， 过点E作TG平行于OB，T在y轴上，过B作BG⊥TG于G， ∴△ETO∽△OEB， ∴， ∴OE2＝OB•TE， ∴TE， ∴OT， ∴E（，）， ∴直线OE的解析式为y＝﹣2x， ∵OE的延长线交抛物线于点D， ∴， 解得：x1＝1，x2＝﹣3（舍）， 当x＝1时，y＝﹣2， ∴D（1，﹣2）； （3）如图所示，延长BC于点F，AF∥y轴，过A点作AH⊥BF于点H，作MT∥y轴交BF于点T，过M点作MG⊥BF于点J， ∵AF∥MT， ∴∠AFH＝∠MTJ， ∵AH⊥BF，MJ⊥BF， ∴∠AHF＝∠MJT＝90°， ∴△AFH∽△MJT， ∴， ∵S1NB•MJ，S2NB•AH， ∴， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B，C两点代入得， ， 解得：， ∴直线BC的解析式为yx， 当x＝﹣1时，y•（﹣1）2， ∴F（﹣1，﹣2）， ∴AF＝2， 设M（x，x2﹣x）， ∴MTx（x2﹣x）（x）2， ∴a0， ∴MTmax， ∴． 3．【解答】解：（1）令y＝0，则x+3＝0，解得x＝6， 令x＝0，则y＝3， ∴A（6，0），B（0，3）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 把A，B，C三点坐标代入解析式，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为yx2+x+3； （2）证明：∵在平面直角坐标系xOy中， ∴∠BOA＝∠DOA＝90°， 在△BOA和△DOA中， ， ∴△BOA≌△DOA （ASA）， ∴OB＝OD， （3）存在，理由如下： 如图，过点E作EM⊥y轴于点M， ∵yx2+x+3（x﹣2）2+4， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2， ∴E点的横坐标是2，即EM＝2， ∵B（0，3）， ∴OB＝OD＝3， ∴BD＝6， ∵A（6，0）， ∴OA＝6， ∴S△ABE＝S△ABD﹣S△DBE6×66×2＝12， 设点P的坐标为（t，t2+t+3）， 连接PA，PB，过点P作PN⊥x轴于点H1，交直线AB于点N，过点B作BH2⊥PN于点H2， ∴N（t，t+3）， ∴PNt2+t+3﹣（t+3）t2t， ∵AH1+BH2＝OA＝6，S△ABP＝S△NBP+S△ANPPN•BH2PN•AH1PN•OA， ∴S△ABP6（t2t）（t﹣3）2， ∵0，抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当t＝3时，△BPA面积的最大值是，此时四边形BEAP的面积最大， ∴四边形BEAP的面积最大值为12， ∴当P点坐标是（3，）时，四边形BEAP面积的最大值是． 4．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a， 即﹣8a＝4，解得a， 故抛物线的表达式为yx2+x+4①； （2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA， 故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上； 如图1，当BHAB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分， 即点H的坐标为（2，0）， 则CH和抛物线的交点即为点P， 由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4②， 联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 故点P的坐标为（6，﹣8）； （3）在OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE， ∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB， 过点E作EF⊥BC于点F， 在Rt△BOC中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°， 则EFEB（4﹣2）BF， 由点B、C的坐标知，BC＝4， 则CF＝BC﹣BF＝43， 则tan∠ECBtan∠AMO， 则tan∠AMO， 则OM＝6， 故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10， 则t＝2或10． 5．【解答】解：（1）对于yx+3，令yx+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3， 故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3）， ∵抛物线yx2+bx+c经过坐标原点，故c＝0， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：036+6b，解得b＝﹣2， 故抛物线的表达式为yx2﹣2x； 则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3时，yx2﹣2x＝﹣3， 则点M的坐标为（3，﹣3）； （2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H， 设点E的坐标为（x，x2﹣2x），则点H（x，x+3）， 则△EAB的面积＝S△EHB+S△EHAEH×OA6×（x+3x2+2x）， 解得x＝1或， 故点E的坐标为（1，）或（，）； （3）∵直线AB向下平移后过点M（3，﹣3）， 故直线CM的表达式为y（x﹣3）﹣3x， 令yx0，解得x＝﹣3， 故点C（﹣3，0）； 过点D作DH⊥CM于点H， ∵直线CM的表达式为yx，故tan∠MCD，则sin∠MCD， 则DH＝CDsin∠MCD＝（2+3）， 由点D、M的坐标得，DM， 则sin∠HMD， 故∠HMD＝45°＝∠DMC＝∠ADM﹣∠ACM＝45°， ∴∠ADM﹣∠ACM＝45°． 6．【解答】解：（1）将B（3，0）代入y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9），化简得，m2+m＝0， 则m＝0（舍）或m＝﹣1， ∴m＝﹣1， ∴y＝﹣x2+4x﹣3． ∴C（0，﹣3）， 设直线BC的函数表达式为y＝kx+b， 将B（3，0），C（0，﹣3）代入表达式，可得， ，解得，， ∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3． （2）如图，过点A作AP1∥BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P2P3． 由（1）得直线BC的表达式为y＝x﹣3，A（1，0）， ∴直线AG的表达式为y＝x﹣1， 联立，解得，或， ∴P1（2，1）或（1，0）， 由直线AG的表达式可得G（0，﹣1）， ∴GC＝2，CH＝2， ∴直线P2P3的表达式为：y＝x﹣5， 联立， 解得，，或，， ∴P2（，），P3（，）； 综上可得，符合题意的点P的坐标为：（2，1），（1，0），（，），（，）； （3）如图，取点Q使∠ACQ＝45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E， 则△ACD是等腰直角三角形， ∴AD＝CD， ∴△CDE≌△DAF（AAS）， ∴AF＝DE，CE＝DF． 设DE＝AF＝a，则CE＝DF＝a+1， 由OC＝3，则DF＝3﹣a， ∴a+1＝3﹣a，解得a＝1． ∴D（2，﹣2），又C（0，﹣3）， ∴直线CD对应的表达式为yx﹣3， 设Q（n，n﹣3），代人y＝﹣x2+4x﹣3， ∴n﹣3＝﹣n2+4n﹣3，整理得n2n＝0． 又n≠0，则n． ∴Q（，）． 7．【解答】解：（1）由题意得， ， ∴， ∴y； （2）如图1， 作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离， ∵BC的解析式为y＝x﹣4， ∴设直线l的解析式为：y＝x+m， 由x+m得， x2﹣4x﹣3（m+4）＝0， ∵Δ＝0， ∴﹣3（m+4）＝4， ∴m， ∴x2﹣4x+4＝0，y＝x， ∴x＝2，y， ∴P1（2，）， ∵E（0，），C（0，﹣4）， ∴F（0，﹣4×2﹣（））， 即（0，）， ∴直线m的解析式为：y＝x， ∴， ∴，， ∴P2（2﹣2，﹣2），P3（2+2，2）， 综上所述：点P（2，）或（2﹣2，﹣2）或（2+2，2）； （3）如图2， 作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K， 设D点的横坐标为a， ∵BN＝DN， ∴BD＝2BN，N点的横坐标为：， ∴OH， ∵NH∥DF， ∴△BHN∽△BFD， ∴， ∴DF＝2NH， 同理可得：△OMG∽△ONH， ∴， ∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4， ∴KF＝MG＝DF， ∵tan∠DEB＝2tan∠DBE ∴2•， ∴EF， ∵BF＝4﹣a， ∴EF， ∵EF∥MK， ∴△DEF∽△DMK， ∴， ∴， ∴a＝0， ∴OG＝a+4＝4， ∴G（﹣4，0）， 当x＝﹣4时，y4， ∴M（﹣4，）． 8．【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4， ∴B（﹣3，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F， 设P（m，0），则PA＝1﹣m， ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴C（﹣1，﹣4）， ∴CF＝4， ∵PQ∥BC， ∴△PQA∽△BCA， ∴，即， ∴QE＝1﹣m， ∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA PA•CFPA•QE （1﹣m）×4（1﹣m）（1﹣m） （m+1）2+2， ∵﹣3≤m≤1， ∴当m＝﹣1时 S△CPQ有最大值2， ∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）． 9．【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）•（x﹣3）， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）设P（1，m）， ∵PB2＝PC2， ∴（3﹣1）2+m2＝1+（m﹣3）2， ∴m＝1， ∴P（1，1）； （3）如图， 假设存在M点满足条件， 作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N， ∵PQ的解析式为y＝﹣x+2， ∴Q（0，2）， ∵C（0，3），S△BCM＝S△BCP， ∴N（0，4）， ∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+4， 由﹣x2+2x+3＝﹣x+4得， x， ∴M点横坐标为或． 10．【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：yx2+x+4； 设直线AB的解析式为：y＝kx+b′， ∴， 解得． ∴直线AB的解析式为：yx+3． （2）如图，设直线AB与y轴交于点G， ∴G（0，3）， ∴OG＝3，OB＝4，BG＝5， ∵PD⊥AB，PE⊥OB， ∴∠PDF＝∠BEF＝∠GOB＝90°， ∵∠P+∠PFD＝∠BFE+∠OBG＝90°，∠PFE＝∠BFE， ∴∠P＝∠OBG， ∴△PDF∽△BOG， ∴PD：DF：PF＝OB：OG：BG＝4：3：5， ∴PDPF，DFPF， ∴S1•PD•DFPF2， 设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+4）（0＜m＜4）， ∴F（m，m+3），E（m，0）， ∴PFm2+m+4﹣（m+3）m2m+1，BE＝4﹣m，FEm+3， ∴S1（m2m+1）2（m﹣4）2（2m+1）2， S2•BE•EF（4﹣m）（m+3）（m﹣4）2， ∵， ∴[（m﹣4）2（2m+1）2]：[（m﹣4）2]， 解得m＝3或m＝﹣4（舍）， ∴P（3，）． （3）存在，点N的坐标为（1，3）或（1，3）．理由如下： 法一：由抛物线的解析式可知，C（0，4）， ∴OB＝OC＝4， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°． 如图，当点P在直线AB上方时，如图所示，过点P作x轴的平行线PH，过点B作x轴的垂线交PH于点H， ∵BC垂直平分PN， ∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC， ∵∠OBC＝∠CBH＝45°， ∴∠PBH＝∠OBN， ∵∠H＝∠BKN＝90°， ∴△PHB≌△NKB（AAS）， ∴HB＝BK，PH＝NK， ∵抛物线的对称轴为x＝1， ∴BK＝3， ∴BH＝3， 令x2+x+4＝3， 解得x＝1或x＝1（舍）， ∴PH＝4﹣（1）＝3， ∴NK＝3， ∴N（1，3）； 当点P在直线AB下方时，如图所示，过点N作x轴的平行线NM，过点B作x轴的垂线BM交NM于点M，过点P作PQ⊥x轴于点Q． ∵BC垂直平分PN， ∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC， ∵∠OBC＝∠CBM＝45°， ∴∠PBQ＝∠MBN， ∵∠M＝∠PQB＝90°， ∴△PQB≌△NMB（AAS）， ∴QB＝MB，PQ＝NM， ∵抛物线的对称轴为x＝1， ∴MN＝3， ∴PQ＝3， 令x2+x+4＝3， 解得x＝1（舍）或x＝1， ∴BQ＝4﹣（1）＝3， ∴BM＝3， ∴N（1，3）． 综上，存在，点N的坐标为（1，3）或（1，3）． 法二：设BC与对称轴交于E， 可得E（1，3）， 过E做x轴平行线交抛物线于P1P2， ∴直线P1P2和直线DE关于直线BC对称， 令x2+x+4＝3， 解得x＝1或x＝1， 此即线P1和P2的横坐标， ∴P1E＝P2E， ∴EN1＝EN2， ∴点N的坐标为（1，3）或（1，3）． 11．【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 令y＝0，则x＝3， ∴B（3，0）， 将B、C两点代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+4x﹣3； （2）令y＝0，则﹣x2+4x﹣3＝0， 解得x＝1或x＝3， ∴A（1，0）， ∴AB＝2， ∴S△ABC2×3＝3， ∵S△PBCS△ABC， ∴S△PBC， 过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q， 设P（t，﹣t2+4t﹣3），则Q（t，t﹣3）， ∴PQ＝|﹣t2+3t|， ∴3×|﹣t2+3t|， 解得t或t， ∴P点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）； （3）过点B作BE⊥BC交CQ于点E，过E点作EF⊥x轴交于F， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝45°， ∵∠ACQ＝45°， ∴∠BCQ＝∠OCA， ∵OA＝1， ∴tan∠OCA， ∴tan∠BCE， ∵BC＝3， ∴BE， ∵∠OBC＝45°， ∴∠EBF＝45°， ∴EF＝BF＝1， ∴E（4，﹣1）， 设直线CE的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx﹣3， 联立方程组， 解得（舍）或， ∴Q（，）． 12．【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为：yx2x． （2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t， 将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t， ∴， 解得． ∵A（4，0），B（1，4）， ∴S△OAB4×4＝8， ∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4， 过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图， ∴S△PAB＝S△PNB+S△PNAPN×BEPN×AMPN＝4， ∴PN． 设点P的横坐标为m， ∴P（m，m2m）（1＜m＜4），N（m，m）， ∴PNm2m﹣（m）． 解得m＝2或m＝3； ∴P（2，）或（3，4）． （3）∵PD∥OB， ∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC， ∴△DPC∽△BOC， ∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB， ∵，， ∴． 设直线AB交y轴于点F．则F（0，）， 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图， ∵∠PDC＝∠OBC， ∴∠PDG＝∠OBF， ∵PG∥OF， ∴∠PGD＝∠OFB， ∴△PDG∽△OBF， ∴PD：OB＝PG：OF， 设P（n，n2n）（1＜n＜4）， 由（2）可知，PGn2n， ∴PG（n）2． ∵1＜n＜4， ∴当n时，的最大值为． 13．【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x， 解得x＝0或x＝5， ∴B（5，5）； ∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4， ∴顶点D（2，﹣4）． （2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E， ∴DE＝2，OE＝4， ∴tan∠DOE， ∵tan∠PDO， ∴∠DOE＝∠PDO， ①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图， ∴P（2，0）； ②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形， ∴OG＝DG， 设OG＝t，则DG＝t，GE＝4﹣t， 在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2， 解得t， ∴G（0，）， ∴直线DG的解析式为：yx， 令y＝0，则x0， 解得x， ∴P（，0）． 综上，点P的坐标为（2，0）或（，0）． （3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称， ∴M（﹣1，5）． 如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K， ∴N（﹣1，﹣1），MN＝6， ∵点Q横坐标为m， ∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m）， ∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m． ∵S1QK（xB﹣xE），S2MN（xB﹣xE）， ∴（m2﹣5m）（m）2， ∵0， ∴当m时，的最大值为． 提示：本题也可分别过点M，Q作BO的垂线，用m分别表示高线，再求比，也可得出结论． 14．【解答】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0）， ∴点E的坐标为（﹣1，0）． 将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）当x＝0时，y＝﹣1×02+2×0+3＝3， ∴点B的坐标为（0，3）． 设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0）， 将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n， 得：，解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3． ∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2， ∴点C的坐标为（1，2）． ∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0）， ∴AE＝4，OB＝3，CD＝2， ∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACEAE•OBAE•CD4×34×2＝2， ∴△BCE的面积为2． （3）存在，理由如下： ∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3）， ∴OA＝OB＝3． 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB， ∴∠BAE＝45°. ∵点P在抛物线上， ∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）． ①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M， 在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°， ∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3， 解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2， ∴点P1的坐标为（2，3）； ②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N， 在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°， ∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3）， 解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4， ∴点P2的坐标为（4，﹣5）． 综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）． 15．【解答】解：（1）由点C的坐标知，c＝﹣3， 则抛物线的表达式为：y＝x2+bx+3， 将点A的坐标代入上式得：0＝1﹣b﹣3， 解得：b＝﹣2； （2）由（1）得抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3． 令y＝0，则 x2﹣2x﹣3＝0，得 x1＝﹣1，x2＝3． ∴B点的坐标为（3，0）． ∵S△PBC＝S△ABC， ∴AP∥BC． ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC的解析式为 y＝x﹣3， ∵AP∥BC， ∴可设直线AP的解析式为 y＝x+m． ∵A（﹣1，0）在直线AP上， ∴0＝﹣1+m． ∴m＝1． ∴直线AP的解析式为y＝x+1； （3）存在，理由： 设P点坐标为（m，n）． ∵点P在直线y＝x+1和抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 上， ∴n＝m+1，n＝m2﹣2m﹣3． ∴m+1＝m2﹣2m﹣3． 解得 m1＝4，m2＝﹣1 （舍去）． ∴点P的坐标为（4，5）． 由点P关于AE的对称点为点P′，得∠AEP＝∠AEP′，P′E＝PE． ∵AP∥BC， ∴∠PAE＝∠AEP'； ∴∠PAE＝∠PEA． ∴， 设点E的坐标为（t，t﹣3）， 即（t﹣4）2+（t﹣3﹣5）2＝（5）2， ∴． 当 时， 点E的坐标为：，． 设点P′（s，s﹣3）， 由P′E＝PE＝5得：（s﹣6）2+（s﹣3﹣3）2＝（5）2， 解得：s＝1， 则点P′的坐标为 ，． 当 时，同理可得，点P′的坐标为：． 综上所述，点P′的坐标为：， 或 ． 16．【解答】解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6）， 将（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6）， 解得， ∴抛物线的表达式为y（x+2）（x﹣6）x2+2x+6； （2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB， ∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°， ∴OB＝OC＝6， ∵O、E关于直线BC对称， ∴四边形OBEC为正方形， ∴E（6，6）， 连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|＝|DO|， 此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长， ∴AE10， ∵△AOD 的周长为DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值为10， ∴△AOD的周长的最小值为10+2＝12， （3）由已知点A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6）， 设直线BC的表达式为 y＝kx+b， 将B（6，0），C（0，6）代入y＝kx+b 中， 则， 解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6， 同理可得：直线AC的表达式为y＝3x+6， ∵PD∥AC， ∴可设直线PD表达式为y＝3x+a， 由（1）设P（m，m2+2m+6）， 将P点坐标代入直线PD的表达式得am2﹣m+6， ∴直线PD的表达式为：， 由， 得， ∴D（m2m，m2m+6）， ∵P，D都在第一象限， ∴S＝S△PBD+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB |AB|[（m2+2m+6）﹣（m2m+6）] 8×（m2m） m2+9m （m2﹣6m） （m﹣3）2， ∵0， ∴当 m＝3 时，S有最大值，最大值为， 此时P点为 ． 解法二：利用平行等积，将△PAD面积转化为△PCD的面积，那么△PAD与△PBD的面积之和等于△PBC的面积，即求△PBC的面积最大值． 17．【解答】解：（1）由题意得， y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图1， 作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E， ∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°， ∴∠CAO＝∠ACO＝45°， ∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°， 抛物线的对称轴是直线：x， ∴y＝x+3＝﹣1+3＝2， ∴D（﹣1，2）， ∵C（0，3）， ∴CD， 故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大， 设过点M与AC平行的直线的解析式为：y＝x+m， 当直线y＝x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大， 由x+m＝﹣x2﹣2x+3得， x2+3x+（m﹣3）＝0， 由Δ＝0得， 32﹣4（m﹣3）＝0得， m﹣3， ∴x2+3x0， ∴x1＝x2， ∴y＝﹣（）2﹣23， y＝x+33， ∴ME， ∴MQ＝ME•sin∠MEQ＝ME•sin45°， ∴S△MCD最大； （3）如图2， 当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R， ∵点B和点Q关于CQ对称， ∴CP＝CB， 设P（t，t+3）， 由CP2＝CB2得， 2t2＝10， ∴t1，t2（舍去）， ∴P（，3）， ∵PQ∥BC， ∴， ∴CR＝QR， ∴四边形BCPQ是平行四边形， ∵1+（）﹣0＝1，0+（3）﹣3， ∴Q（1，）； 如图3， 当点P在AC的延长线上时，由上可知：P（，3）， 同理可得：Q（1，）， 综上所述：Q（1，）或（1，）． 18．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0）， ∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5， ∴b＝﹣4，c＝﹣5； （2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5， 令x＝0，则y＝﹣5； ∴C（0，﹣5） ∴直线BC的表达式为：y＝x﹣5，P（x0，4x0﹣5）， ①如图，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D， 则D（x0，x0﹣5）， ∴S△PBCOB•PD5×（x0﹣54x0+5） x0 （x0﹣2.5）2， ∴当x0＝2.5时，S的值取最大，最大值为； ②存在，理由如下： 由题意可知，PE⊥PF，若△PEF是等腰直角三角形，则PE＝PF， 由①可得，PE＝x0﹣5﹣x02+4x0+55x0， ∵PF∥x轴， ∴F（4﹣x0，4x0﹣5）， ∴PF＝|2x0﹣4|， ∴|2x0﹣4|5x0， 解得x0＝﹣1（舍）或x0＝4或x0或x0（舍）， ∴当△PEF是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，﹣5），（，）． 19．【解答】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝2时， y关于x的函数解析式为y＝3x， 此时y＝3x与x轴的交点坐标为（，0）， 与y轴的交点坐标为（0，）； ②当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数， ∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点， ∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况． 当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时， 由题意得b＝0，此时a＝0，抛物线为y＝﹣2x2+x． 当y＝0时，﹣2x2+x＝0， 解得x1＝0，x2． ∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（，0）． 当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时， 由题意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有两个相等实数根． ∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）a＝0， 解得a， 此时yx2x， 当x＝0时，y， ∴与y轴的交点坐标为（0，）， 当y＝0时，x2x0， 解得x1＝x2， ∴与x轴的交点坐标为（，0）， 综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，， 故答案为：2或0或； （2）①如图，设直线l与BC交于点F， 根据题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8， 当x＝0时，y＝8， ∴C（0，8）， ∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，点P为抛物线顶点， ∴P（1，9）， ∵B（4，0），C（0，8）， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8， ∴F（1，6）， ∴PF＝9﹣6＝3， ∴△PBC的面积OB•PF6； ②S1﹣S2存在最大值， 理由：如图，设直线x＝m交x轴于H， 由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8）， ∴PH＝﹣m2+2m+8， ∵OD∥PH， ∴△AOD∽△AHP， ∴， ∴， ∴OD＝8﹣2m， ∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC3m2+8m＝﹣3（m）2， ∵﹣3＜0，0＜m＜4， ∴当m时，S1﹣S2存在最大值，最大值为． 20．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点， ∴， ∴， ∴y2+x+4； （2）如图1， ∵， ∴， 作PD∥y轴，交BC于D， ∴， ∵OC＝4， ∴PD＝2， ∵B（4，0），C （0，4）， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 设P（m，m2+m+4），则D（m，﹣m+4）， ∴PD＝（m+4）﹣（﹣x+4）2m＝2， ∴m1＝m2＝2， 当m＝2时，y4， ∴P（2，4）； （3）如图2， 设CM交x轴于D，作DG⊥CM，交直线AC于G，过点D作EF∥y轴，作CE⊥EF于E，作GF⊥EF于F， ∵∠ACO＝∠BCM， ∴∠ACO+∠DCO＝∠BCM+∠DCO＝45°， ∴∠ACD＝45°， ∴∠CGD＝90°﹣∠ACD＝45°， ∴∠ACD＝∠CGD， ∴CD＝DG， ∵∠CDG＝90°， ∴∠CDE+∠GDF＝90°， ∵∠E＝∠F＝90°， ∴∠GDF+∠DGF＝90°， ∴∠CDE＝∠DGF， ∴△CDE≌△DGF（AAS）， ∴FG＝DE＝4，DF＝CE， 设OD＝a， ∴DF＝CE＝OD＝a， ∴G（a﹣4，﹣a）， ∵C（0，4），A（﹣2，0）， ∴直线AC的解析式为y＝2x+4， ∴2（a﹣4）+4＝﹣a， ∴a， ∴D（，0）， ∴直线CM的解析式为y＝﹣3x+4， 由﹣3x+4x+4得， x1＝0（舍去），x2＝8， 当x＝8时，y＝﹣3×8+4＝﹣20， ∴M1（8，﹣20）， 如图3， 设射线CM交x轴于T， ∵OC＝OB＝4，∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， 由上知：tan∠OCD，∠BCD＝∠ACO，∠BCD+∠OCD＝45°， ∵∠BCM+∠CTB＝∠OBC＝45°，∠BCM＝∠ACO， ∴∠CTB＝∠OCD， ∴tan∠CTB， ∴， ∴OT＝3OC＝12， ∴直线CT的解析式为yx+4， 由x+42+x+4得， x1＝0（舍去），x2， 当x时，y， ∴M2（， 综上所述：M（8，﹣20）或（． 21．【解答】解：（1）将点A的坐标代入函数表达式得：16a﹣8a+4＝0， 则a， 故抛物线解析式为y； （2）设点Q（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G， 由﹣＝0，得x1＝﹣2，x2＝4， ∴点B的坐标为（﹣2，0），AB＝6，BQ＝m+2， 又∵QE∥AC， ∴△BQE∽△BAC， ∴EG：CO＝BQ：BA，即EG：4＝（m+2）：6， 解得：GE； ∴S△CQE＝S△CBQ﹣S△EBQ（CO﹣GE）•BQ（m+2）（4）（m﹣1）2+3， ∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）； （3）存在．在△ODF中， （ⅰ）若DO＝DF，∵A（4，0），D（2，0）， ∴AD＝OD＝DF＝2． 又在Rt△AOC中，OA＝OC＝4， ∴∠OAC＝45°． ∴∠DFA＝∠OAC＝45°． ∴∠ADF＝90°． 此时，点F的坐标为（2，2）． 由2，得x＝1±， 此时，点P的坐标为：P1（1，2）或P2（1，2）； （ⅱ）若FO＝FD，过点F作FM⊥x轴于点M． 由等腰三角形的性质得：OMOD＝1， ∴AM＝3． ∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3． ∴F（1，3）． 由﹣＝3，得x1＝1±， 此时，点P的坐标为：P3（1，3）或P4（1，3）； （ⅲ）若OD＝OF， ∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°． ∴AC＝4， ∴点O到AC的距离为2， 而OF＝OD＝2＜2与OF≥2矛盾． ∴在AC上不存在点使得OF＝OD＝2． 此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为：（1，2）或（1，2）或（1，3）或（1，3）． 学科网（北京）股份有限公司 $$