第五章 复数 知识归纳与题型突破（21题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第五章 复数 知识归纳与题型突破（21题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1复数的相关概念 1．复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部． 知识点2复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d． 知识点3　复数的分类 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数． 可以通过下图表示： (1)复数a＋bi(a，b∈R) (2)集合表示 [注意]　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．当且仅当两个复数都是实数时，可以比较大小． 知识点4　复平面的相关概念 　如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 由此可知，复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．这是复数的一种几何意义． 知识点5　复数的向量表示 如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定． 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量. 这是复数的另一种几何意义，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 知识点6　复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值)． 知识点7　共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi． 知识点8　复数的加法与减法 (1)复数的加、减运算法则 (a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1；(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 知识点9　复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则＝(a，b)，＝(c，d)．由平面向量的坐标运算法则，得＋＝(a＋c，b＋d)．这说明两个向量与的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行． (2)复数减法的几何意义 复数z1－z2是连接向量，的终点，并指向被减向量的向量所对应的复数． 　用图表示：如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则z1＋z2对应的向量是，z1－z2对应的向量是． 知识点10　复平面内的两点间距离公式 若z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，且z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2∈R)，则点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|＝||＝|z2－z1|＝|(x2＋y2i)－(x1＋y1i)|＝|(x2－x1)＋(y2－y1)i|＝. [提示]　(1)||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. (2)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2. 知识点11　复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并即可． [提示]　i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1(n∈N)；(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. 知识点12　复数的乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律：z1z2＝z2z1； 结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； 分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3． 知识点13　复数的除法法则 复数除法的法则是：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数． [提示]　＝i，＝－i. 知识点14　复数的三角形式 　(1)定义：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． (2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． 知识点15　辐角的主值 (1)定义及表示：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg__z，即0≤arg__z<2π． (2)唯一性：每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定． (3)复数相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． [注意]　z＝0时，其辐角是任意的． 知识点16　复数三角形式的乘法 设z1，z2的三角形式分别是： z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)， 则z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]， 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 几何意义：两个复数z1，z2相乘，可以先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 特征：旋转＋伸缩变换． [注意]　(1)z1z2z3…zn＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)·…·rn(cosθn＋isinθn)＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]． (2)棣莫弗定理：[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N*)． 知识点17　复数三角形式的除法 设z1，z2的三角形式分别是： z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z2≠0，则＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]，这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 几何意义：两个复数z1，z2相除，可以先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(若θ2<0，则按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商. 特征：旋转＋伸缩变换． 03 题型突破 题型1　复数的有关概念 例1　给出下列四个命题： ①两个复数不能比较大小； ②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ④以2为实部的复数有无数个． 其中真命题的个数是________． 题型2　复数的分类 例2　在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．实轴上的点表示的数均为实数 B．虚轴上的点表示的数均为纯虚数 C．共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 D．若为实数，则为纯虚数 题型3　复数相等的应用 例3　(1)求满足下列条件的实数a，b的值： ①(a－3b)＋(2a＋3b)i＝5＋i； ②(a2－b2)＋2abi＝6i－8. 题型4　复数与复平面内的点 例4.　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． 题型5　复数与复平面内的向量 例5.　(1)已知M(1，3)，N(4，－1)，P(0，2)，Q(－4，0)，O为复平面的原点，试写出，，，所表示的复数． [解]　表示的复数为1＋3i； 表示的复数为4－i； 表示的复数为2i； 表示的复数为－4. (2)已知复数1，－1＋2i，－3i，6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量． 题型6　复数模的计算 例6.复数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型7复数模的几何意义 例7.　设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？ 题型8　共轭复数 例8.(1)(2023·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，则z的共轭复数＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 题型9复数的加、减运算 例9.计算：(1)(3＋2i)＋(－2)i； (2)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)． 题型10　复数加、减运算的几何意义 例10.(1)在复平面内，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为(　　) A．－1－5i B．－1＋5i C．3－4i D．3＋4i 题型11　复数加、减运算的几何意义的应用 例11.已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 题型12　复数的乘法运算 例12.若，则（       ） A． B． C． D． 题型13　复数的除法运算 例13.计算：(1)； (2). 题型14　在复数范围内解方程 例14.在复数范围内解下列方程： (1)x2＋5＝0； (2)x2＋4x＋6＝0. 题型15　复数in的周期性 例15.计算： 【解析】，一共有100项求和，且100能被4整除，. 题型16　复数的代数形式化为三角形式 例16.在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）： (1)6； (2)； (3)； (4)． 题型17判断复数的三角形式 例17.以下不是复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 题型18　复数的三角形式化为代数形式 例18.复数10表示成代数形式为 ． 题型19　复数三角形式的乘法运算 例19.　计算下列各式，并用三角形式表示： (1)×； (2)3cos×7； (3). 题型20　复数三角形式的除法运算 例20.　计算(1＋i)÷. 题型21　复数乘、除运算几何意义的应用 例21.如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝. 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 复数 知识归纳与题型突破（21题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1复数的相关概念 1．复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部． 知识点2复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d． 知识点3　复数的分类 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数． 可以通过下图表示： (1)复数a＋bi(a，b∈R) (2)集合表示 [注意]　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．当且仅当两个复数都是实数时，可以比较大小． 知识点4　复平面的相关概念 　如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 由此可知，复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．这是复数的一种几何意义． 知识点5　复数的向量表示 如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定． 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量. 这是复数的另一种几何意义，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 知识点6　复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值)． 知识点7　共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi． 知识点8　复数的加法与减法 (1)复数的加、减运算法则 (a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1；(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 知识点9　复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则＝(a，b)，＝(c，d)．由平面向量的坐标运算法则，得＋＝(a＋c，b＋d)．这说明两个向量与的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行． (2)复数减法的几何意义 复数z1－z2是连接向量，的终点，并指向被减向量的向量所对应的复数． 　用图表示：如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则z1＋z2对应的向量是，z1－z2对应的向量是． 知识点10　复平面内的两点间距离公式 若z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，且z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2∈R)，则点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|＝||＝|z2－z1|＝|(x2＋y2i)－(x1＋y1i)|＝|(x2－x1)＋(y2－y1)i|＝. [提示]　(1)||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. (2)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2. 知识点11　复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并即可． [提示]　i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1(n∈N)；(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. 知识点12　复数的乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律：z1z2＝z2z1； 结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； 分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3． 知识点13　复数的除法法则 复数除法的法则是：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数． [提示]　＝i，＝－i. 知识点14　复数的三角形式 　(1)定义：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． (2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． 知识点15　辐角的主值 (1)定义及表示：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg__z，即0≤arg__z<2π． (2)唯一性：每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定． (3)复数相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． [注意]　z＝0时，其辐角是任意的． 知识点16　复数三角形式的乘法 设z1，z2的三角形式分别是： z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)， 则z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]， 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 几何意义：两个复数z1，z2相乘，可以先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 特征：旋转＋伸缩变换． [注意]　(1)z1z2z3…zn＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)·…·rn(cosθn＋isinθn)＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]． (2)棣莫弗定理：[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N*)． 知识点17　复数三角形式的除法 设z1，z2的三角形式分别是： z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z2≠0，则＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]，这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 几何意义：两个复数z1，z2相除，可以先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(若θ2<0，则按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商. 特征：旋转＋伸缩变换． 03 题型突破 题型1　复数的有关概念 例1　给出下列四个命题： ①两个复数不能比较大小； ②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ④以2为实部的复数有无数个． 其中真命题的个数是________． [解析]　①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小，故①为假命题；②若a＝0，则ai不是纯虚数，故②为假命题；③由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知③为假命题；④对于复数2＋ai(a∈R)，a有无数个取值，故④为真命题． [答案]　1 【感悟提升】　数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立． 题型2　复数的分类 例2　在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．实轴上的点表示的数均为实数 B．虚轴上的点表示的数均为纯虚数 C．共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 D．若为实数，则为纯虚数 【答案】AC 【知识点】复数的基本概念、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的分类和实轴、虚轴的性质进行逐一判断即可. 【详解】A：因为实轴上的点表示的数均为实数，所以本选项说法正确； B：因为虚轴上的点（除原点外）表示的数均为纯虚数，所以本选项说法不正确； C：根据共轭复数的定义可知：共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，所以本选项说法正确； D：当时，，而是实数不是纯虚数，所以本选项说法不正确， 故选：AC 【感悟提升】　利用复数的分类求参数的值或范围的步骤 题型3　复数相等的应用 例3　(1)求满足下列条件的实数a，b的值： ①(a－3b)＋(2a＋3b)i＝5＋i； ②(a2－b2)＋2abi＝6i－8. [解]　①由题意可知 解得a＝2，b＝－1. ②由题意可知 解得a＝1，b＝3或a＝－1，b＝－3. (2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值． [解]　设方程的实数根为x＝m，则原方程可转化为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， ∴ 解得a＝11或a＝－. 【感悟提升】　复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组并求解． 题型4　复数与复平面内的点 例4.　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． [解]　复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2. (1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1. (2)由题意得 ∴ ∴－1<m<1. (3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2， ∴m＝2. 【感悟提升】　复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 题型5　复数与复平面内的向量 例5.　(1)已知M(1，3)，N(4，－1)，P(0，2)，Q(－4，0)，O为复平面的原点，试写出，，，所表示的复数． [解]　表示的复数为1＋3i； 表示的复数为4－i； 表示的复数为2i； 表示的复数为－4. (2)已知复数1，－1＋2i，－3i，6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量． [解]　复数1对应的向量为，其中A(1，0)； 复数－1＋2i对应的向量为，其中B(－1，2)； 复数－3i对应的向量为，其中C(0，－3)； 复数6－7i对应的向量为，其中D(6，－7)． 如图所示． 【感悟提升】　复数与平面向量一一对应是复数的另一种几何意义，利用这种几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解． 题型6　复数模的计算 例6.复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法以及复数的乘方化简复数，利用复数的模长公式可求得. 【详解】，则， 所以，，因此，. 故选：D． 【感悟提升】　计算复数模时的注意点 (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算． (2)两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 题型7复数模的几何意义 例7.　设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？ [解]　由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5. 这表明向量(O为复平面的原点)的长度等于5，即点Z到原点O的距离等于5. 因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，5为半径的圆． 【感悟提升】　巧用复数的模的几何意义解题 我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O间的距离．那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点O间的距离．也就是向量的模，|z|＝||. 运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题． 题型8　共轭复数 例8.(1)(2023·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，则z的共轭复数＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i [解析]　复数z在复平面内对应的点是(－1，)，根据复数的几何意义，z＝－1＋i，由共轭复数的定义可知，＝－1－i.故选D. [答案]　D 题型9复数的加、减运算 例9.计算：(1)(3＋2i)＋(－2)i； (2)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)． [解]　(1)原式＝3＋(2＋－2)i＝3＋i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i. 【感悟提升】　复数代数形式的加、减运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项． 题型10　复数加、减运算的几何意义 例10.(1)在复平面内，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为(　　) A．－1－5i B．－1＋5i C．3－4i D．3＋4i [解析]　因为＝－，所以对应的复数为－2－3i－(－1＋2i)＝－1－5i. [答案]　A (2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求： ①表示的复数； ②对角线表示的复数； ③对角线表示的复数． [解]　①因为＝－，所以表示的复数为－3－2i. ②因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 【感悟提升】　 (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算． (2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 题型11　复数加、减运算的几何意义的应用 例11.已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. [解]　解法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，① (a－c)2＋(b－d)2＝1.② 由①②得2ac＋2bd＝1. ∴|z1＋z2|＝ ＝＝. 解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB是边长为1的正三角形， ∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形， 且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长， ∴|z1＋z2|＝|OC| ＝ ＝. 【感悟提升】　在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则 ①四边形OACB为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 题型12　复数的乘法运算 例12.若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，能得到，根据复数代数形式的四则运算即可得到答案 【详解】解：设，则，∴， 解得，则， 故选：B 【感悟提升】　复数乘法运算法则的应用 复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，(a＋bi)3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i. 题型13　复数的除法运算 例13.计算：(1)； (2). [解]　(1)＝＝＝＝＋i. (2)＝＝＝＝＝＝1－i. 【感悟提升】　复数除法运算法则的应用 复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算． 题型14　在复数范围内解方程 例14.在复数范围内解下列方程： (1)x2＋5＝0； (2)x2＋4x＋6＝0. [解]　(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5， 又因为(i)2＝(－i)2＝－5，所以x＝±i， 所以方程x2＋5＝0的根为x＝±i. (2)解法一：因为x2＋4x＋6＝0， 所以(x＋2)2＝－2， 因为(i)2＝(－i)2＝－2， 所以x＋2＝i或x＋2＝－i， 即x＝－2＋i或x＝－2－i， 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 解法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0， 由复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式可知， 当Δ＜0时，x＝＝＝－2±i. 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 解法三：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根． 在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， 则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0， 所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0， 整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0， 所以 又因为b≠0，所以 解得a＝－2，b＝±，所以x＝－2±i， 即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 【感悟提升】　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ＜0时，x＝. (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． 题型15　复数in的周期性 例15.计算： 【解析】，一共有100项求和，且100能被4整除，. 【感悟提升】　in(n∈Z)的性质 (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. (2)in＝in＋4. (3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0. 题型16　复数的代数形式化为三角形式 例16.在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）： (1)6； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，画向量见解析 (2)，画向量见解析 (3)，画向量见解析 (4)，画向量见解析 【知识点】复数的三角表示、复数的向量表示 【分析】根据复数的几何意义，求出模长和辐角，即可求解. 【详解】（1）6对应的向量如答图中， ，又， .    （2）对应的向量如答图中， ， 又，.    （3）对应的向量如答图中 ， 又，.    （4）对应的向量如答图中， ， 又，.    【感悟提升】　复数的代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)确定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角(一般取辐角的主值)． (4)求出复数的三角形式． 题型17判断复数的三角形式 例17.以下不是复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】复数的三角表示 【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【详解】解：，所以B正确，而，故C正确. 故选：AD 【感悟提升】　判断复数的三角形式的条件 (1)r≥0. (2)加号连接． (3)cos在前，sin在后． (4)θ前后一致． 即“模非负，角相同，余正弦，加号连”． 题型18　复数的三角形式化为代数形式 例18.复数10表示成代数形式为 ． 【答案】－5－5i/－5i－5 【知识点】复数的三角表示、复数的三角形式 【分析】利用任意角三角函数化简即可得出答案. 【详解】10＝10＝－5－5i． 故答案为： 【感悟提升】　将复数的三角形式化为代数形式：由z＝r(cosθ＋isinθ)＝rcosθ＋irsinθ，可得a＝rcosθ，b＝rsinθ. 题型19　复数三角形式的乘法运算 例19.　计算下列各式，并用三角形式表示： (1)×； (2)3cos×7； (3). [解]　(1)原式＝＝. (2)原式＝21 ＝21. (3)原式＝16. 【感悟提升】　乘法运算的求解策略 (1)积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和． (2)做复数三角形式的乘法运算时，要注意向量旋转的方向． (3)做复数乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式． 题型20　复数三角形式的除法运算 例20.　计算(1＋i)÷. [解]　因为1＋i＝， 所以原式＝ ＝ ＝ ＝(0－i)＝－i. 【感悟提升】　除法运算的求解策略 (1)商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角． (2)结果一般保留代数形式． (3)商的辐角主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差．实际上，arg 与arg z1，arg z2的关系是arg ＝arg z1－arg z2＋2kπ(k∈Z)． 题型21　复数乘、除运算几何意义的应用 例21.如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝. [证明]　如图，建立平面直角坐标系(复平面)． ∠1＝arg (3＋i)，∠2＝arg (5＋i)，∠3＝arg (7＋i)，∠4＝arg (8＋i)． 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是乘积(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)的辐角． 而(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)＝650(1＋i)， 所以arg [(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)]＝， 又因为∠1，∠2，∠3，∠4均为锐角， 于是0<∠1＋∠2＋∠3＋∠4<2π， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝. 【感悟提升】　复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$