6.1.1 构成空间几何体的基本元素-6.1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

1.1　构成空间几何体的基本元素 1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 [学习目标]　1.了解平面的表示方法，点、线与面的位置关系.2.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算． 导语 立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的应用． 我们将从对空间几何体的整体观察入手，研究它们的结构特征，学习它们的表示方法，了解它们的表面积和体积的计算方法；借助长方体，从构成立体图形的基本元素——点、线、面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究，从而进一步认识空间几何体的性质． 一、构成空间几何体的基本元素 知识梳理 1．空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和曲线)、面(平面和曲面)等． 2．平面 (1)平面是空间最基本的图形．平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象，平面是无限延展的． (2)平面的画法 画法 一般地，用平行四边形表示平面 当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边长画成邻边长的两倍 当两个平面相交时，把被遮挡部分画成虚线或不画 图示 (3)平面的表示法 图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 二、多面体 问题1　观察下列图片： 图①②③中的物体的形状有何特点？与④⑤⑥⑦中的物体的形状有何不同？ 提示　①②③中的物体由若干个平面多边形围成．而④⑤⑥⑦中的物体是曲面或平面与曲面围成的． 知识梳理 由平面多边形围成的几何体称为多面体．这些多边形称为多面体的面，两个相邻的面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点． 三、棱柱的结构特征 问题2　观察下列图形，你能给出它们的定义吗？它们又有哪些结构特征？你能结合具体模型来说一说吗？ 提示　棱柱．结构特征是有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行． 知识梳理 1．棱柱的结构特征 (1)定义：每个多面体都有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面都平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，像这样的几何体称为棱柱． (2)相关概念 底面(底)：两个互相平行的面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 对角线：既不在同一底面上，也不在同一个侧面上的两个顶点的连线； 高：过上底面上一点O1作下底面的垂线，这点和垂足O间的距离OO1称为点O1到下底面的距离，也是两底面间的距离． (3)图形及表示 图中棱柱表示为棱柱ABCDE—A1B1C1D1E1或棱柱AC1. (4)分类：按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 2.棱柱的性质 (1)侧棱都相等； (2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形； (3)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形． 3．几个特殊的棱柱 (1)直棱柱：侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱(如图①③)； (2)斜棱柱：除了直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱(如图②④)； (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱(如图③)； (4)平行六面体：底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体(如图④)． 例1　(1)(多选)下列关于棱柱的说法中，正确的是(　　) A．所有的面都是平行四边形 B．每一个面都不会是三角形 C．两底面平行，并且各侧棱也平行 D．被平面截成的两部分可以都是棱柱 答案　CD 解析　A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； B错误，棱柱的底面可以是三角形； C正确，由棱柱的定义易知； D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱． (2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点． ①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ ②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？用符号表示该棱柱；如果不是，请说明理由． 解　①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义． ②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 反思感悟　棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义． 看“面”，即①观察这个多面体是否有两个互相平行的面；②其余各面是平行四边形． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除． 跟踪训练1　下列命题中正确的是(　　) A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 答案　D 四、棱锥的结构特征 问题3　你能给出下列图形的定义，并类比棱柱的研究过程研究下列图形的结构特征吗？请结合模型说一说． 提示　由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 知识梳理 1．棱锥的结构特征 棱锥 图形及表示 定义：由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥 图中棱锥表示为棱锥S—ABCDEF或棱锥S－AC 相关概念：底面(底)：多边形ABCDEF； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的公共边； 顶点：各个侧面的公共点； 高：顶点到底面的距离； 斜高：正棱锥侧面、底边上的高 分类：(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥也叫作四面体； (2)底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥 2.棱锥的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似． 五、棱台的结构特征 问题4　如图所示，如果用一个平行于棱锥底面的截面把棱锥截成两部分，所截成的两部分几何体会是什么图形？ 提示　棱锥和棱台． 知识梳理 棱台 图形及表示 定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台 图中棱台表示为棱台ABC—A1B1C1 相关概念：上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 高：上底面、下底面之间的距离； 斜高：正棱台侧面等腰梯形的高 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台…… 由正棱锥截得的棱台称为正棱台 例2　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面 C．棱锥的侧棱平行 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 答案　AB 解析　由棱锥的定义知，棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱延长线交于一点，不平行，故C错；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错． (2)有下列四种叙述，其中正确的是(　　) A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 答案　D 解析　A中的平面不一定平行于底面，故A错误； 由棱台的定义知，D正确； B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错误． 反思感悟　判断棱锥、棱台的方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法． (2)直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 跟踪训练2　下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． 答案　①② 解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； ②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥； ③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． 六、空间几何体的平面展开图 例3　如图，在侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值． 解　沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图． 则AA′的长即为截面△AEF周长的最小值， 且∠AVA′＝3×40°＝120°. 在△VAA′中，AA′＝2×2×＝6， 故截面△AEF周长的最小值为6. 反思感悟　求几何体表面上两点间的最小距离 (1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图． (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题． (3)结合已知条件求得结果． 跟踪训练3　如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案　B 解析　沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图)． 由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经过M到达C1的路线最短． 所以最短路线长为BC1＝＝2. 1．知识清单： (1)构成空间几何体的基本元素． (2)多面体的概念． (3)棱柱、棱锥、棱台的结构特征． (4)空间几何体的平面展开图． 2．方法归纳：举反例法、定义法． 3．常见误区：棱台的结构特征认识不清． 1．下列多面体中，是棱柱的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　D 解析　根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足． 2．有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为(　　) A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 答案　B 解析　根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥． 3．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．棱台的两个底面相似 B．棱台的侧棱长都相等 C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 答案　BCD 解析　由棱台的定义知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确． 4．三棱柱的平面展开图是(　　) 答案　B 1．有两个面平行的多面体不可能是(　　) A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．以上都错 答案　B 解析　由棱锥的结构特征可得． 2．下列关于棱柱的说法中，错误的是(　　) A．三棱柱的底面为三角形 B．一个棱柱至少有五个面 C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 答案　C 解析　显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确． 3．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 答案　B 解析　余下部分是四棱锥A′－BCC′B′. 4．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是(　　) A．QMNP B．QMNP C．PMNQ D．QNMP 答案　B 解析　根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直四棱柱}，故选B. 5．下列命题中，正确的是(　　) A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 C．侧面都是矩形的四棱柱是长方体 D．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 答案　B 解析　对于A，根据直棱柱的概念，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，有两个侧面是矩形的棱柱可能是斜棱柱，只有相邻的两个侧面是矩形时，才是直棱柱，故A不正确； 对于B，有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱，可知侧棱垂直于底面，又底面为正多边形，故B正确； 对于C，侧面都是矩形的直棱柱，底面不是矩形时不是长方体，故C不正确； 对于D，侧面都是等腰三角形，底面不是正多边形的棱锥不是正棱锥，故D不正确． 6．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是(　　) A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(1)(4) 答案　B 解析　(1)图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面； (2)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面； (3)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面； (4)图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面； 综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是(2)(3)． 7.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________. 答案　60° 解析　将平面图形翻折，折成空间图形，可得△ABC为等边三角形，故∠ABC＝60°. 8．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若AB⊥AD且AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则BD1的长为________． 答案　5 解析　依题意得，BD＝AB2＋AD2＋AA＝32＋42＋52＝50，∴BD1＝5. 9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？ 解　(1)如图，折起后形成的几何体是三棱锥． (2)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝a2. 10．试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来． (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥； (2)四个面都是等边三角形的三棱锥； (3)三棱柱． 解　(1)如图①所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一)． (2)如图②所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一)． (3)如图③所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一)． 11．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的高为3，则棱台的上、下底面的距离为(　　) A．12 B．9 C．6 D．3 答案　D 解析　设原棱锥的高为h， 由题意得2＝，则h＝6，因而棱台的高为3， 故选D. 12．如图，向由透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变； ③当E在AA1上时，AE＋BF是定值． 其中，正确的说法是________． 答案　①③ 解析　显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，而高线始终为AB，所以AE＋BF是定值，故③正确． 13．在五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条． 答案　10 解析　由题意知正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，正五棱柱的对角线共有2×5＝10(条)． 14．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 答案　 解析　由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm. 15．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝4，M为PA的中点，N为BC的中点，则从点M沿着四棱锥的表面到点N的最短路径的长度为(　　) A．2 B．2 C．4 D．3 答案　C 解析　分以下几种情况讨论： (1)当点M沿着平面PAB，平面PBC到点N，将平面PAB，平面PBC延展为同一平面，如图1所示， 图1 易知△PAB，△PBC均为等边三角形，延展后，∠PAB＝∠PCB＝60°， ∠APC＝∠ABC＝120°， 所以四边形ABCP为菱形， 所以AP∥BC且AP＝BC， 因为M，N分别为AP，BC的中点， 则AM∥BN且AM＝BN， 所以四边形ABNM为平行四边形， 此时MN＝AB＝4. (2)当点M沿着平面PAB，平面ABCD到点N，将平面PAB，平面ABCD延展至同一平面，如图2所示， 图2 连接BM，则BM⊥AP， 且BM＝2，∠ABM＝30°， 所以∠MBN＝90°＋30°＝120°， 因为BN＝2， 由余弦定理可得MN＝ ＝>4. (3)当点M沿着平面PAD，平面ABCD到点N，连接PN，如图3所示， 图3 则PM＝2，PN＝4＋2， ∠MPN＝30°，由余弦定理可得MN＝＝>4. (4)当点M沿着平面PAD，平面PCD，平面PCB到点N，将这三个侧面延展为同一平面，如图4所示，易知A，P，B三点共线， 图4 且BM＝6，BN＝2，∠MBN＝60°， 由余弦定理可得MN＝＝2>4. 综上所述，从点M沿着四棱锥的表面到点N的最短路径的长度为4. 16.经过三棱柱的三个顶点作截面，可以将三棱柱分割成几个三棱锥？试在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中设计出分割方案．(请设计尽可能多的方案) 解　一个三棱柱可以分割成3个三棱锥， 有如下六种方案： 学科网（北京）股份有限公司 $$