精品解析：2025年江西省初中名校联盟九年级学习效果监测（一）数学

2025年江西省初中名校联盟九年级学习效果检测（一）数学 说明： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 对于一元二次方程，若变形后二次项系数为2，则一次项系数为（　　） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是（a、b、c为常数，）．先把方程化成一元二次方程的一般形式，并变形后二次项系数为2，再找出一次项系数即可． 【详解】解：， ， 若变形后二次项系数为2，可得： 所以一次项系数是， 故选：B． 2. 下列乐谱符号，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 4. 若是双曲线上一点，则下列各点，不在该双曲线上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征——“横纵坐标之积”是解题的关键． 先求出反比例函数解析式，即的值，然后根据反比例函数图象上的点的坐标特征——“横纵坐标之积”逐项分析判断即可． 【详解】解：是双曲线上一点， ， 即：， A. ，该点在双曲线上，故选项不符合题意； B. ，该点在双曲线上，故选项不符合题意； C. ，该点不在双曲线上，故选项符合题意； D. ，该点在双曲线上，故选项不符合题意； 故选：． 5. 火星和地球的赤道可以近似地看作一个圆，其中火星赤道的半径是地球的，若把它们的半径都增加，则赤道周长增加更多的是（　　） A. 地球 B. 火星 C. 一样多 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题的解题关键是认识到圆的周长公式中，周长的增加量仅与半径的增加量有关，而与原始半径的具体大小无关．这意味着，只要两个圆的半径增加相同的量，无论它们原本的半径大小如何，周长的增加量将是一样的． 【详解】解：地球赤道半径增加后的周长增加量为． 火星赤道半径增加后的周长增加量为． 从计算结果来看，无论地球还是火星，只要半径增加相同的量，周长的增加量是相同的，都等于． 故选：C． 6. 已知四点的坐标分别为，这4个点中的3点可确定抛物线，若要使最大，则该抛物线所经过的三点是（　　） A. 点和 B. 点和 C. 点和 D. 点和 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称性，得到二次函数的图象经过点和或点和或点和，根据值最大，则为正数，得到抛物线的开口向上，且开口大小最大，则抛物线对称两点的距离最小，进行判断即可． 【详解】解：由题意，抛物线的图象经过点和或点和或点和， 当抛物线的图象经过点和时，两点关于抛物线对横轴对称， ∵，， 抛物线的图象开口向下，此时； 当抛物线的图象经过点和时，两点关于抛物线对横轴对称， ∵，， 抛物线的图象开口向上，此时，且关于抛物线对称的两点之间的距离为：； 当抛物线的图象经过点和时，两点关于抛物线对横轴对称， ∵，， 抛物线的图象开口向上，此时，且关于抛物线对称的两点之间的距离为：； ∵，抛物线对称两点的距离越小，a的值越大； 要使最大，该抛物线所经过的三点是和， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式的正负判断即可． 【详解】解：原方程可变形为，由题意可得： 解得： 故答案为：4． 8. 小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用边长为的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内掷点，通过大量的重复试验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，得出该不规则图案（恐龙）的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键．用频率和概率之间的关系解答即可． 【详解】解：点落在图案部分的频率稳定在左右， 此不规则图案的面积大约为， 故答案为：． 9. 若点都在反比例函数图象上，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据解析式与点的坐标关系，代入计算即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 10. 如图，是的内接三角形，是它的一个外角，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理和圆的内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形的对角互补是关键．如图所示，在上取点E，连接，，根据三角形外角的性质求出，然后根据圆的内接四边形的对角互补求出，再根据圆周角定理进而求解即可． 【详解】解：如图所示，在优弧上取点E，连接，， ∵是它的一个外角，， ∴ ， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴，即， ∴． 故答案为：． 11. 定义：若线段上有一点满足或，则称点为线段的黄金分割点．在如图所示的五角星图案中，已知点是线段的黄金分割点，若，则线段的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，熟记线段的黄金分割点有两个是解题的关键．根据黄金分割的定义可得，继而由求出，再由线段和差计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为___________． 【答案】1或或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解直角三角形，取中点，中点，过点D作于点G，连接，根据题意，分点在直线上，点在直线上，点在直线上，三种种情况讨论，画出示意图，利用含30度角的直角三角形的性质结合中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，取中点，中点，过点D作于点G，连接， ∵点是斜边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∵在中，是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在直线上时， 则， 由旋转的性质得：， ∴； 当和点在直线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在直线上时，过点F作于点H， 则（平行线间距离相等）， ∵， ∴； 综上，点落在中位线所在直线上，则点到的距离为1或或， 故答案为：1或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2）2 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，比例的性质，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）根据题意得到，，然后代入整体化简即可． 【详解】解：（1）， ， 解得，； （2）∵， ∴，， ∴ ． 14. 为引导学生好读书，读好书，书读好，近期，某中学临江校区开展“好书推荐”系列活动，某班班主任准备从本班的甲、乙、丙、丁名同学中随机抽取名同学担任第一期的“好书推荐官”． （1）事件“抽取的名同学，一定有戊同学”是 事件； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙名同学被抽到的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是事件的含义，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图或列表的方法是解本题的关键． （1）根据事件的分类解答即可； （2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：事件“抽取的名同学，一定有戊同学”是不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 画树状图为：     共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、乙的结果数为， 选中的两名同学恰好是甲，乙的概率为． 15. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数． （1）当时，求得到的新实数； （2）现将实数对放入其中，得到新实数，求的值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查新定义，一元二次方程的求解，理解新定义的运算法则，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题的关键． （1）根据新定义，代入求值即可； （2）根据题意得到一元二次方程，因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数， ∴当时，原式； 【小问2详解】 解：根据题意，将实数对放入其中得到， ∴， 整理得，， 解得，． 16. 图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分，为的中点，为圆心，连接． （1）求证：； （2）经测量，到的距离为，求该的半径． 【答案】（1） 证明：设与交于点， 为的中点， ， ， ； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握吹经定理． （1）设与交于点，由为的中点，可得，推出，即可证明； （2）连接，由题意可得：，根据垂径定理可得，设的半径为，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 由题意可得：， ， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：， 的半径为． 17. 如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，若，，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中画以为边的菱形． 【答案】（1）线段即为所求 （2）菱形即为所求 【解析】 【分析】本题主要考查作图，角平分线的性质，菱形的判定和性质等知识； （1）连接，交于点，即为所求； （2）连接，交于点O，连接并延长，交的延长线于D，连接，利用相似三角形的性质画出即可求出． 【小问1详解】 解：连接，交于点，即为所求， ，， ， 由旋转可得：，， ， ， ， 即平分； 【小问2详解】 解：连接，交于点O，连接并延长，交的延长线于D，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴为平行四边形， 又∵ ∴为菱形，且以为边的菱形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，是半圆的直径，D为半圆上任意一点（不与点A，B重合），射线与直径的垂线相交于点E，连接，已知． （1）当时，分别求线段和的长． （2）判断与的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2）与的乘积为定值，定值是 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）先根据圆周角定理可得，再在中，利用勾股定理即可得的长，再证出，根据相似三角形的性质即可得的长； （2）先根据圆周角定理可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 解：∵是半圆的直径， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 综上，，． 【小问2详解】 解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即与的乘积为定值，定值是． 19. 【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 【答案】 （1）①证明：，，， ， ； ②证明：由①知，， ， ； （2），证明如下： 连接，取的中点，连接， ∵，分别是边，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理： （1）①证明，即可得出结论； ②由得，再由平行线的判定即可证明； （2）连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）略 20. 某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 （1）由表格和图象可知，当时，是的 函数；当时，是的 函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） （2）求的值并补全图象； （3）科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．为了了解一线教育的真实情况，该教育测量专家到一线听了某老师上的一节解题课，听完后，该专家对这堂课进行了点评：“这堂课刚开始进行了3分钟预热，然后开始剖析数学综合题，上到31分钟时，结束对数学综合题的探究，这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著．”请你根据图表中给出的信息，结合测量学，解释该教育专家点评的合理性． 【答案】（1）一次，反比例 （2） 补全图形如下， ； （3） 当时，一次函数解析式为， 当时，， 解得，， ∵这堂课刚开始进行了3分钟预热， ∴符合学生 听课注意力指标数与上课时间的函数关系，合理； 当时，反例含解析式为， 当时，， 解得，， ∵上到31分钟时，结束对数学综合题的探究， ∴这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著； 综上所述，该教育专家点评的合理． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，理解表格信息，函数图象信息，掌握一次函数，反比例函数的计算是解题的关键． （1）根据表格，函数图象分析即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据函数解析式，分别求出时的时间，进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格信息可得，当时，是的一次函数，当时，是的反比例函数， 故答案为：一次，反比例； 【小问2详解】 解：当时，是的一次函数，设解析式为，当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，； 当时，是的反比例函数，当时，， ∴设反比例函数解析式为， ∴， 解得，， ∴反例函数解析式为， 当时，； 综上所述，， 【小问3详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 项目主题 设计一本书的封面 项目要求 1．封面长，宽； 2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形； 3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的； 4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽 项目任务 （1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比； （2）设上、下边衬的宽均为，请你列出关于的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽． 项目反思 （3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题． 【答案】（1）； （2）上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为； （3）设中央矩形的长为、宽为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 上、下边衬的宽均为， 左、右边衬的宽为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）根据题意可得：封面的长宽之比为，则中央矩形的长宽之比也是，设中央矩形的长、宽分别是，，即可求解； （2）设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，则中央矩形的长为、宽为，由题意可得：中央矩形的面积是封面总面积的，据此列方程即可求解； （3）设中央矩形的长为、宽为，根据题意列出方程，求出，最后根据：上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，即可求解． 【详解】解：（1）封面长，宽， 封面的长宽之比为：， 中央矩形的长宽之比也是：， 设中央矩形的长、宽分别是，， 上、下边衬与左，右边衬的宽度之比为：； （2）设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，则中央矩形的长为、宽为， 四周的白色边衬所占面积是封面总面积的，则中央矩形的面积是封面总面积的， ， 整理得：， 解得：，， 当时，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为，不符合实际意义； 当时，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为，符合实际意义； 综上所述，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为； （3）略 22. 综合与实践 根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为时，石块离地面的高度最高，最高高度为． 【解决问题】 （1）当时． ①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． （2）问：石块初发点与的距离在什么范围内，防守方无须加高城墙？ 【答案】（1）①抛物线的解析式为；②进攻方的石块能飞进防守方的城墙，城墙应加建以上 （2）当时，防守方无须加高城墙 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； ②令，求出值，即可判断进攻方的石块能飞进防守方的城墙，用求出的值减去城墙高度即可得到城墙应加建多高； （2）设抛物线的解析式为，，则，得到，抛物线的解析式为，根据题意可得：当时，，即可求解． 【小问1详解】 ①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， ，， ， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙， ，， ， 令，则， ， 进攻方的石块能飞进防守方的城墙， ， 城墙应加建以上； 【小问2详解】 设抛物线的解析式为，，则， 将代入抛物线解析式得：， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， 当时，防守方无须加高城墙． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图1，在中，点分别在直线和上，直线相交于点，某数学兴趣小组在探究四条线段的比例关系时，经历了如下过程： 【特例感知】 （1）①如图2，当时，若，则 ； ②如图3，当时，若，则 ． 【猜想证明】 （2）猜想四条线段的比例关系，并结合图1进行证明．（备注：从图1中的①或②选择一个证明即可） 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，对角线相交于点，若，试求边的长． 【答案】[特例感知]（1）①；②； [猜想证明]（2）四条线段的比例关系为：， 理由如下， 选择图1中的①，四边形是平行四边形，点在线段上，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 图1中的②：四边形是平行四边形，点在直线上，， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，四条线段的比例关系为：； [拓展应用]（3） 【解析】 【分析】（1）①当时，平行四边形是正方形，可证，得到，由此即可求解；②当时，四边形是矩形，则，，，可证，得到，由此即可求解 ； （2）选择图1中的①：根据平行四边形的性质得到，且，可证，得到，，再证明，得到，即，由此即可求解；选择图1中的②：证明方法同上； （3）如图所示，过作交于，则，，设，则，，设，，先证明，得到，解得，，再证明，得到，求出，，最后根据和列方程求解即可． 【详解】解：[特例感知] （1）四边形是平行四边形， ①当时，平行四边形是正方形，如图所示， ∴， ∵ ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②当时，如图所示， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：； [猜想证明]（2）略 [拓展应用]（3）如图所示，过作交于， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∵， ∴ ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 去分母得， 整理得， ∵中，， ∴，整理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江西省初中名校联盟九年级学习效果检测（一）数学 说明： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 对于一元二次方程，若变形后二次项系数为2，则一次项系数为（　　） A. 0 B. 1 C. D. 2. 下列乐谱符号，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 若是双曲线上一点，则下列各点，不在该双曲线上的是（　　） A. B. C. D. 5. 火星和地球的赤道可以近似地看作一个圆，其中火星赤道的半径是地球的，若把它们的半径都增加，则赤道周长增加更多的是（　　） A. 地球 B. 火星 C. 一样多 D. 无法确定 6. 已知四点的坐标分别为，这4个点中的3点可确定抛物线，若要使最大，则该抛物线所经过的三点是（　　） A. 点和 B. 点和 C. 点和 D. 点和 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___________． 8. 小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用边长为的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内掷点，通过大量的重复试验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，得出该不规则图案（恐龙）的面积为___________． 9. 若点都在反比例函数图象上，则的值为___________． 10. 如图，是的内接三角形，是它的一个外角，若，则的度数为___________． 11. 定义：若线段上有一点满足或，则称点为线段的黄金分割点．在如图所示的五角星图案中，已知点是线段的黄金分割点，若，则线段的长为___________． 12. 如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）已知，求的值． 14. 为引导学生好读书，读好书，书读好，近期，某中学临江校区开展“好书推荐”系列活动，某班班主任准备从本班的甲、乙、丙、丁名同学中随机抽取名同学担任第一期的“好书推荐官”． （1）事件“抽取的名同学，一定有戊同学”是 事件； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙名同学被抽到的概率． 15. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数． （1）当时，求得到的新实数； （2）现将实数对放入其中，得到新实数，求的值． 16. 图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分，为的中点，为圆心，连接． （1）求证：； （2）经测量，到的距离为，求该的半径． 17. 如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，若，，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中画以为边的菱形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，是半圆的直径，D为半圆上任意一点（不与点A，B重合），射线与直径的垂线相交于点E，连接，已知． （1）当时，分别求线段和的长． （2）判断与的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 20. 某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 （1）由表格和图象可知，当时，是的 函数；当时，是的 函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） （2）求的值并补全图象； （3）科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．为了了解一线教育的真实情况，该教育测量专家到一线听了某老师上的一节解题课，听完后，该专家对这堂课进行了点评：“这堂课刚开始进行了3分钟预热，然后开始剖析数学综合题，上到31分钟时，结束对数学综合题的探究，这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著．”请你根据图表中给出的信息，结合测量学，解释该教育专家点评的合理性． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 项目主题 设计一本书的封面 项目要求 1．封面长，宽； 2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形； 3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的； 4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽 项目任务 （1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比； （2）设上、下边衬的宽均为，请你列出关于的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽． 项目反思 （3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题． 22. 综合与实践 根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为时，石块离地面的高度最高，最高高度为． 【解决问题】 （1）当时． ①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． （2）问：石块初发点与的距离在什么范围内，防守方无须加高城墙？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图1，在中，点分别在直线和上，直线相交于点，某数学兴趣小组在探究四条线段的比例关系时，经历了如下过程： 【特例感知】 （1）①如图2，当时，若，则 ； ②如图3，当时，若，则 ． 【猜想证明】 （2）猜想四条线段的比例关系，并结合图1进行证明．（备注：从图1中的①或②选择一个证明即可） 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，对角线相交于点，若，试求边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $