精品解析： 湖南省长沙市立信中学2024—2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年度第二学期初三第一次核心素养比赛（数学试卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A B. C. D. 2. 在下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 调查《新闻联播》栏目收视率 B. 调查蒲城县中小学生心理健康情况 C. 调查某市居民线上支付和现金支付的占比情况 D. 调查某神舟号火箭的零件安全情况 3. 下列结论中，正确的是（ ） A. 的平方根是 B. C. D. 的算术平方根是a 4. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若， 5. 如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的图形是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 四棱柱 7. 若一个正边形的每个外角为，则这个正边形的边数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 估计的值应该在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 10. 如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11 若，则__________ 12. 已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____． 13. 若，是一元二次方程的两个根，则________． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为2，则的值为______． 15. 在平面直角坐标系中，若将二次函数图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是______． 16. 如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径是，则的最大值是______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：； 18. 先化简，再求值:，其中. 19. 如图，中，，． （1）求的度数； （2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为______，并说明理由． 20. “阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 书籍类别 学生人数 A文学类 24 B科幻类 m C漫画类 16 D数理类 8 （1）本次抽查的学生人数是_________，统计表中的_________； （2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是_________； （3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数； （4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 21. 如图，在中，于点，点在的延长线上，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长． 22. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 23. 如图，已知是的直径．点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，，． （1）求证，是的切线； （2）求证：； （3）点M是的中点，交于点N．若，求的值． 24. 我们将抛物线（，且）与抛物线称为“美好抛物线”．例如：抛物线与抛物线就是一组“美好抛物线”．根据该约定，解答下列问题： （1）已知抛物线，直接写出其“美好抛物线”的解析式； （2）若抛物线的顶点在其“美好抛物线”的图象上，抛物线的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）在同一平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其“美好抛物线”与轴交于点（在上方）．小明发现无论，为何值时，两抛物线始终有一交点在与轴垂直的某一固定直线上运动．若是以为斜边的等腰直角三角形，当时，求抛物线截轴得到的线段长度的取值范围． 25. 如图，四边形为的内接四边形，对角线为直径，过点作于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）连接，若，求的值； （3）在（2）的条件下， ①记，，的面积分别为，，，若，求的正切值； ②若，交于点，，试用含的式子表示． 、 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期初三第一次核心素养比赛（数学试卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、=，不是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 在下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 调查《新闻联播》栏目的收视率 B. 调查蒲城县中小学生心理健康情况 C. 调查某市居民线上支付和现金支付的占比情况 D. 调查某神舟号火箭的零件安全情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查和抽样调查的意义是解题的关键．根据全面调查和抽样调查的意义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、调查《新闻联播》栏目的收视率适合采用抽样调查，不符合题意； B、调查蒲城县中小学生心理健康情况适合采用抽样调查，不符合题意； C、调查某市居民线上支付和现金支付的占比情况适合采用抽样调查，不符合题意； D、调查某神舟号火箭的零件安全情况适合采用全面调查，符合题意； 故选：D． 3. 下列结论中，正确的是（ ） A. 的平方根是 B. C. D. 的算术平方根是a 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根及立方根，掌握其定义是关键；根据平方根、算术平方根及立方根逐项计算即可． 【详解】解：，即3的平方根是，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； 的算术平方根是，而不是a，故D错误； 故选：C． 4. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若， 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A. 若，则，故不正确； B. 若，则，故不正确； C. 若，则，正确； D. 若，，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 5. 如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，进而可求出的度数． 【详解】解：如图 ∵直径平分弦， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选C． 6. 如图所示的图形是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 四棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】将几何体折叠后即可判断. 【详解】由题中展开图折叠回去即为三棱柱. 故选C. 【点睛】本题考查展开与折叠,关键在于培养空间想象能力. 7. 若一个正边形的每个外角为，则这个正边形的边数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和，由多边形的外角和为，结合每个外角的度数，即可求出的值，此题得解，熟记多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】∵一个正边形的每一个外角都是， ∴， 故选：． 8. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图像问题．根据图像中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】解：由图像知，当或时，一次函数的图像在反比例函数的图像上方， 即， 故选：D． 9. 估计的值应该在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法，估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握“夹逼法”的运用．先根据二次根式的乘法法则计算，再利用夹逼法可得：，从而进一步可判断出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， 即的值在4和5之间． 故选：B． 10. 如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，作交于，由题意可得，，，再由正切的定义计算即可得解． 【详解】解：如图，作交于， ， 由题意可得：，，， ∴， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 12. 已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是掌握坡度和坡角的概念．根据坡度等于坡角的正切即可求解． 【详解】解：设坡角为， 由题意得，， ． 故答案为：． 13. 若，是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 对于一元二次方程，两根和有这样的关系：，，按题意代入即可． 【详解】解： 对于，系数为1，为3， ，是一元二次方程的两个根， ． 故答案为：． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为2，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，由题意得出，再结合反比例函数图象位于第一、三象限即可得出的值． 【详解】解：∵ 轴于点，的面积为2， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象位于第一、三象限， ∴， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，若将二次函数的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数与轴的交点问题，先求出平移后的解析式，再令，求出与轴的交点的横坐标，求差即可得解． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移4个单位长度，得到得解析式为， 令， 解得：，， ∴所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是， 故答案为：． 16. 如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径是，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】作直径，连接，由角的性质得，由三角形中位线定理得到，因此当是圆直径时，有最大值，即可得到答案． 【详解】解：作直径，连接， ， ，， ， 点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 当长最大时，有最大值， 当是圆直径时，最大， 的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、求算术平方根、零指数幂、绝对值，先计算特殊角的三角函数值、算术平方根、零指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可得解． 【详解】解： ． 18 先化简，再求值:，其中. 【答案】 【解析】 【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时,原式 【点睛】考查分式的混合运算，掌握分式混合运算顺序是解题的关键. 19. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为______，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、解直角三角形、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，且，即可得解； （2）解直角三角形可得，由作图可得垂直平分，可得，由直角三角形的性质可得，从而得出，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由作图可得垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. “阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 书籍类别 学生人数 A文学类 24 B科幻类 m C漫画类 16 D数理类 8 （1）本次抽查的学生人数是_________，统计表中的_________； （2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是_________； （3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数； （4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 【答案】（1）80，32 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用A文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数，用抽查总人数乘以B科幻类的百分比即可得到m的值； （2）用乘以“C漫画类”对应的百分比即可得到“C漫画类”对应的圆心角的度数； （3）用该校共有学生数乘以抽查学生中选择“D数理类”书籍的学生的百分比即可得到该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数； （4）画出树状图，找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团的情况数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，本次抽查的学生人数是（人）， 统计表中的， 故答案为：80，32 【小问2详解】 在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是： ， 故答案为： 【小问3详解】 由题意得，（人）， 即估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生为人； 小问4详解】 树状图如下： 从树状图可看出共有16种等可能的情况，小文、小明选择同一社团的情况数共有4种， ∴P（小文、小明选择同一社团）． 【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、样本估计总体、扇形统计图等相关知识，读懂题意，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键． 21. 如图，在中，于点，点在的延长线上，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定，三角函数、以及勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据和平行四边形的性质即可得出且，证得四边形是平行四边形，再根据即可证得四边形是矩形； （2）根据题干条件可求得，再根据勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 且， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：连接， 在中，，， ， ， 在中，，， ． 22. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【答案】（1）A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 （2）A种水果的最低销售单价为元/ 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用， （1）设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克， 根据题意有：， 解得：， ∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 【小问2详解】 设A种水果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故A种水果的最低销售单价为元/ 23. 如图，已知是的直径．点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，，． （1）求证，是的切线； （2）求证：； （3）点M是的中点，交于点N．若，求的值． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）证明过程见详解 （3）18 【解析】 【分析】(1) 已知C在圆上，故只需证明与垂直即可；根据圆周角定理，易得，即；故是的切线； (2)是直径；故只需证明与半径相等即可； (3)连接，，由圆周角定理可得，进而可得，故；代入数据可得． 【小问1详解】 证明：， ， 又，， ， 又是的直径， ， ，即， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 证明：， ， ， 又，， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是的直径，， ，， ， ， ． 【点睛】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解直角三角形的相关计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 24. 我们将抛物线（，且）与抛物线称为“美好抛物线”．例如：抛物线与抛物线就是一组“美好抛物线”．根据该约定，解答下列问题： （1）已知抛物线，直接写出其“美好抛物线”的解析式； （2）若抛物线的顶点在其“美好抛物线”的图象上，抛物线的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）在同一平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其“美好抛物线”与轴交于点（在上方）．小明发现无论，为何值时，两抛物线始终有一交点在与轴垂直的某一固定直线上运动．若是以为斜边的等腰直角三角形，当时，求抛物线截轴得到的线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2）经过两个定点，， （3）抛物线截轴得到的线段长度的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据“美好抛物线”的定义即可解答； （2）求出抛物线的顶点坐标为，由“美好抛物线”的定义可得，的解析式为，将代入得出 ，则的解析式为：，令，解得或，即可得解； （3）求出，由“美好抛物线”的定义可得，的解析式为，从而可得，进而可得，联立可得，求出或，即点的横坐标为，推出，由等腰直角三角形的性质并结合题意可得，且，推出，，结合题意求出，由的解析式为，设其和轴交点的横坐标分别为、，则，，求出，再结合二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由“美好抛物线”的定义可得：“美好抛物线”的解析式为； 小问2详解】 解：经过两个顶点，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由“美好抛物线”的定义可得，的解析式为：， 将代入得：， 解得：， ∴的解析式为：， 令， 解得：或， 则两个定点的坐标为，； 小问3详解】 解：在中，当时，，即， 由“美好抛物线”的定义可得，的解析式为：， 当时，，即， ∵在上方， ∴， 联立可得：， 解得：或， ∵小明发现无论，为何值时，两抛物线始终有一交点在与轴垂直的某一固定直线上运动， ∴点的横坐标为， 当时，，即， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，且， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 的解析式为：， 设其和轴交点的横坐标分别为、，则，， ∴， ∵的对称轴为直线， 故当时，随着的增大而增大，当时，的值最大，为， 当时，的值最小，为， 即， ∴抛物线截轴得到的线段长度的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质、二次函数与一元二次方程综合、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25. 如图，四边形为的内接四边形，对角线为直径，过点作于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）连接，若，求的值； （3）在（2）的条件下， ①记，，的面积分别为，，，若，求的正切值； ②若，交于点，，试用含的式子表示． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，由同角的余角相等可得，再由同弧对的圆周角相等即可得解； （2）证明，得出，设，则，，求出，即可得解； （3）①由题意可得，，，结合，得出，证明，得出，推出，由平行线的性质可得，得出四边形是矩形，由矩形的性质可得，最后由正切的定义即可得解； ②作交于，则，，，从而可得，，，求出，，进而表示出，再由平行线分线段成比例定理可得，由余弦的定义计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵，，的面积分别为，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴在中，； ②如图，作交于， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在中，， 由（2）可得：， ∴，即． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 、 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $