大题05 函数与导数（5大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

大题05 函数与导数 根据近几年的高考情况，函数与导数是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查切线方程，单调性，零点，恒成立等综合问题。常利用数形结合去解决该类问题，培养学生的能力，并且该部分常用于拔高。 题型一：利用导数研究函数的单调性 已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； 1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 3、含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 1．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 2．已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在上的值域. 题型二：利用导数研究函数的极值 已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极值； 1、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值；②如果由负变正，则是极小值；③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 根据函数的极值(点)求参数的两个要领： ①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； ②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 1．已知函数在处的切线垂直于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 2．已知． (1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围； (2)若有极大值m，求证： 题型三：利用导数研究函数的最值 已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。 1．已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 2．设函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值． 题型四：利用导数研究函数恒成立问题 已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 1．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 题型五：利用导数研究函数的零点问题 已知函数. (1)证明：曲线是中心对称图形. (2)证明：若是的导函数，当时，有两个零点. 导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。 1．已知函数 ，其中 . (1)讨论 的单调性； (2)证明: 在 上均恰有一个零点. 2．已知函数在处有极值1． (1)求函数的单调区间 (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围． 1．（24-25高三上·山东·模拟）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 2．（24-25高三上·福建泉州·模拟）已知函数，． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，设，若既有极大值又有极小值，求的取值范围． 3．（24-25高三上·北京房山·模拟）已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图所示.求： (1)的值； (2)，，的值； (3)函数在区间上的最大值和最小值. 4．（24-25高三上·江苏盐城·模拟）设函数，. (1)求的极值； (2)已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围； (3)已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围. 5．（23-24高三下·浙江杭州·一模）已知函数. (1)若，求的单调区间; (2)若，求证:; (3)若使得，求证:. 6．（23-24高三下·广东佛山·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若存、在，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，其中是函数的导数，求的取值范围． 1．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 2．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 3．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 4．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 5．（2024·全国·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 6．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 7．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题05 函数与导数 根据近几年的高考情况，函数与导数是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查切线方程，单调性，零点，恒成立等综合问题。常利用数形结合去解决该类问题，培养学生的能力，并且该部分常用于拔高。 题型一：利用导数研究函数的单调性 已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； 【解析】（1）由于，故，解得或. （2）首先有. 若，则在上递减； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增. 综上，当时，在上递减； 当时，在上递减，在上递增； 当时，在上递减，在上递增. 1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 3、含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 1．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【解析】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 2．已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在上的值域. 【解析】（1）因为，所以. 因为在上不单调，所以方程有两个不同的根， 则，解得或， 即实数的取值范围是. （2）因为，所以. 由，得或，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 因为，，， 所以在上的值域为. 题型二：利用导数研究函数的极值 已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极值； 【解析】（1）， ， 故的图象在点处的切线为， 即； （2）的定义域为， 由（1）知， 令得，令得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故在上取得极小值，极小值为，无极大值； 1、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值；②如果由负变正，则是极小值；③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 根据函数的极值(点)求参数的两个要领： ①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； ②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 1．已知函数在处的切线垂直于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 【解析】（1）由可得， 则， 由于，故， （2）， 当或时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极小值为 2．已知． (1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围； (2)若有极大值m，求证： 【解析】（1）函数的定义域为， 可得， 令， 所以， 因为时，，所以单调递减， 时，，所以单调递增， 所以， 因为在定义域上单调递增，所以恒成立， 所以，即； （2）由（1）可知，当有两个不同的零点时，， 此时， 且时，时， 所以，则，，其中， 因为时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以为的极大值点，则， 且， 设，则， 所以在单调递增， 所以，即. 题型三：利用导数研究函数的最值 已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【解析】（1）当时，，则， ∴，则在点处的切线方程为； （2）因为， 由题意，解得，检验符合， 故，列表如下： 4 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为． 由解析式易知，当时；当时，且， 所以． 综上，的增区间为、，减区间为，. 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。 1．已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【解析】（1）， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 2．设函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【解析】（1）由题意知，，即切点为， 由已知，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故在点处的切线方程为： （2）令，即得， 令，则得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为，， 的极小值点为，， 又,, 故在区间上的最大值为，最小值为. 题型四：利用导数研究函数恒成立问题 已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 【解析】（1）若，则，，， 所以切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）若对定义域内，都有恒成立， 即恒成立，只需即可， 设，，则， 令，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 故的取值范围为. 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 1．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数， 所以， 当时，，所以函数在单调递减， 当时，令，得， 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 综上所述，当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； （2）若不等式恒成立，又 则有恒成立 设函数，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，不合题意 当时，令，解得 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以， 由恒成立，则成立， 即成立 令，则 所以函数在上单调递增， 又，， 所以当时，成立. 综上所述，实数的取值范围为 2．已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【解析】（1）， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故． （2）对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故． （3）存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5． 题型五：利用导数研究函数的零点问题 已知函数. (1)证明：曲线是中心对称图形. (2)证明：若是的导函数，当时，有两个零点. 【解析】（1）由， 所以，故是的对称中心， 所以曲线是中心对称图形，得证； （2）当时，， 所以， 又，所以，即是偶函数， 在上，令，则， 由，即在上单调递增， 又，且，故在上存在唯一零点， 由偶函数对称性知：在R上有两个零点，得证； 导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。 1．已知函数 ，其中 . (1)讨论 的单调性； (2)证明: 在 上均恰有一个零点. 【解析】（1）首先求函数的定义域和导数. 函数的定义域为. 对求导可得，，. 然后令，即，则，解得或. 接着分情况讨论： 当时，，当且仅当时取等号.所以在上单调递增. 当时，. 在区间和上，，所以在，上单调递增； 在区间上，，所以在上单调递减. 当时，. 在区间和上，，所以在，上单调递增； 在区间上，，所以在上单调递减.    综上所得， 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）当时，；当时，，且，由（1）可知， 当时，在取得极大值，在上恰有一个零点. 当时，在上单调递增. 在上恰有一个零点. 当时，在取得极大值，且， 所以在上恰有一个零点.   综上所得，，在上均恰有一个零点. 2．已知函数在处有极值1． (1)求函数的单调区间 (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，得， 故，解得， 故， 令，得或；令，得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）， 由（1）可得的极大值为，极小值为， 当x趋向于正无穷大和负无穷大时，也分别趋向于正无穷大和负无穷大， 故函数恰有3个零点，即的图象有3个交点， 故. 2．（24-25高三上·山东·模拟）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 【解析】（1）由题意可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为. （2）当时，.则. 当时，，此时 . 当时，. 故在上恒成立. 再由可知为偶函数， 于是在上恒成立.故在上单调递增. （3）当时，符合题意. 当时，由可得. 令，则. 令，则. 令，则. 令， 当时，，故在上单调递减. 又，则此时.故在上单调递减. 因为，，则存在，使得， 于是在上单调递增，在上单调递减. 由于，，则当时，，此时. 因此在上单调递增. 故当时，. 令，，则. 当时，，则在上单调递增， 此时.故当时，. 故在上恒成立. 因此的取值范围为. 2．（24-25高三上·福建泉州·模拟）已知函数，． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，设，若既有极大值又有极小值，求的取值范围． 【解析】（1）当时，的定义域为，， 当时，恒成立，在上为增函数； 当时，，， 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 当时，，当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． 综上所述，当时，在上为增函数； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， （2）因为，所以， 若既有极大值又有极小值，则至少存在两个变号零点， 即至少有两个不同实数根， 记，则， 当时，，当时，， 所以在时，取得极大值， 又趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于0， 所以，的图像如图所示， 由图可知，当，即时，有两个变号零点， 且分别为极大值点和极小值点，所以的取值范围为． 3．（24-25高三上·北京房山·模拟）已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图所示.求： (1)的值； (2)，，的值； (3)函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）由图象可知：在上，；在上，；在上， 在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，； （2）因为且，，， 得：，解得：，，； （3）由（2）得，则， 可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，， 又，，，， ，. 4．（24-25高三上·江苏盐城·模拟）设函数，. (1)求的极值； (2)已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围； (3)已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围. 【解析】（1）由题设， 时，，即在上递减， 时，，即在上递增， 所以有极小值，无极大值. （2）由且，则， 所以，问题化为，使成立， 令，则，且时， 时，即在上递减，对应值域为； 时，即在上递增，对应值域为； 由于，于是，即，此时， 对于且，则， 故时，即在上递增， 时，即在上递减， 所以，故. （3）由题设，令，而， 所以在上恒成立， 令在上递增，则， 令，则， 故上，即在上递减； 上，即在上递增； 所以， 综上，故只需. 5．（23-24高三下·浙江杭州·一模）已知函数. (1)若，求的单调区间; (2)若，求证:; (3)若使得，求证:. 【解析】（1）当时，，， 则 令，则， 令，∵，∴， ∴在区间上单调递减增，在区间上单调递减， ∴， ∴的单调递减区间是，无增区间. （2）∵， 当时，显然成立， 当时，，令， ∴， ∴在区间上单调递减，∴， ∴在区间上单调递减，∴， 综上所述，当时，. （3）， ∴，令，则， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∵，∴. 不妨设，则，， 先证：， 易知在处的切线方程为，该切线与直线的交点的横坐标为， 令，则， 当时，，此时， ∴当时，图像在下方. ∴，∴， 再证，设，， 易知直线方程为，直线方程为， 则直线，与直线交点的横坐标为，， ∴， ∵，同理可证：， ∴，类似的可以证明， ∴，即， ∴ 6．（23-24高三下·广东佛山·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若存、在，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，其中是函数的导数，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为，． 当时，，在上单调递增； 当时，令，得或（舍去）， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）方法一：当时，，由， 得，即 由于，事实上，令，， 时，；时，；所以， 所以，即． 所以， 当且仅当时，等号成立，所以，得证． 方法二：当时，，， 由（1）知时，在上单调递增， 当时，可证． 不妨设，要证，即证，即证， 因为，所以即证． 令，其中， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以，所以． 当时，因为，所以， 所以，所以． 综上，． （3）方法一：，由， 得，即， 所以对任意的，恒成立， 等价于， 由于，事实上，令，， 时，；时，；所以， 所以，即． 所以， 当且仅当时，等号成立（方程显然有解）， 即，所以． 所以的取值范围是． 方法二：，由，得， 即，所以对任意的，恒成立， 等价于 令， 则， 令，则，所以在上单调递增， 又，，所以， 所以存在，使得， 所以，即，所以， 所以， 令，，所以在上单调递增， 因为，所以 又时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以的取值范围是． 1．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【解析】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 2．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 3．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 4．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【解析】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时， 有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论， 可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 5．（2024·全国·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【解析】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 6．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【解析】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 7．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 【解析】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则，因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域R上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$