大题04 平面解析几何（5大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

大题04 平面解析几何 根据近几年的高考情况，平面解析几何是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查圆锥曲线与直线相关的综合问题，考查学生的逻辑推理、直观想象和计算能力。 题型一：圆锥曲线中参数范围与最值问题 1、已知椭圆的短轴长为，且离心率为. (1)求C的方程. (2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 【解析】（1）由已知得， 因为，又由， 可解得， 所以椭圆方程为：. （2） ①设斜率不为0的直线的方程为， 联立直线和椭圆方程可得，化简得， 由于椭圆与直线交于两点，， 因此，所以或， 根据韦达定理可得，， 又因为，， 因此， 令的方程为，椭圆与直线交于两点， 联立直线和椭圆方程，化简得， 同理：，， ， 因此（为定值）． ②由于，又由于， 因此， 化简可得，设，由于，因此， 因此， 又由于当时，，因此， 因此， 所以面积的取值范围为． 圆锥曲线的取范围问题 1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； 3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； 5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 求最值及问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。 1、在直角坐标系中，已知点，平面上的动点满足，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点为． （i）证明：为定值； （ii）求面积的最小值． 【解析】（1）由，得，， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以的方程为； （2）设直线方程为， ，消去得， 则，，， 又， 由焦半径公式，得， 所以 ，即证； （ii）， 结合（2）知， 令，则， 得， 设，则该函数在上单调递减，则， 故，即面积的最小值为12. 2、已知为坐标原点，点，，是抛物线上不同的三点，其中，点在第一象限，直线与平行，直线与交于点，直线与直线交于点． (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的方程； (3)求的最小值． 【解析】（1）由在抛物线上，得，解得， 所以抛物线的准线方程为. （2）直线的斜率，设直线，， 由消去，得，则，， 直线方程为，直线方程为，即， 由，得点纵坐标，即点， 同理得直线方程为，直线方程为，点， 所以直线方程为.    （3）由（2）知，， 令，而，要最小，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 题型二：圆锥曲线中的定点定值问题 1、已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与曲线交于两点、，请问：在轴上是否存在一点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由. 【解析】（1）设动圆的半径为，由题意， ， 又，故的轨迹为以、为焦点，长轴长为6的椭圆.又因为圆和圆内切，所以左顶点不满足， ，，， 故的方程为； （2）假设存在点，使得， 当直线的斜率不存在时，恒成立 当直线的斜率存在时， 设，点， ，得 ，， 因为，所以 ， 所以， 化简得， 代入解得， 即存在点，使得. ； 圆锥曲线的定点问题 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。 圆锥曲线的定值问题 （1）解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 1、已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 (1)求C的标准方程； (2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【解析】（1）由题意知， 解得， 所以的标准方程为； （2） 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得，则， 且， 所以直线的方程为， 令，可得，即，同理， 因为原点为的中点，所以， 即， 所以.所以， 所以或， 若，则直线方程为， 即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点. 2、已知P是抛物线C： ()上任意一点，且点P到C的焦点F的最短距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)设M是直线上除与x轴交点外的一动点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且直线AM与直线BM的斜率之和等于点M纵坐标的相反数，证明：直线l过定点． 【解析】（1）设，易知，准线方程为，所以． 当时，取得最小值，由，解得，则抛物线C为． （2）设 ()，，， 因为直线l的斜率显然不为0，所以设直线l的方程为， 联立，消去x得，， 所以，， 恒成立，解得， 符合，故直线l过定点. 题型三：圆锥曲线中的定直线问题 1、椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上. 【解析】（1）令椭圆方程为，则，可得， 所以椭圆方程为； （2）由题意，设，且， 联立与椭圆，得， 所以，则，， 由，，联立可得， 所以，可得， 所以， 所以点G在一条定直线上，得证. 解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤： 1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的横纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。 1、已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 【解析】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为，， 联立，消去，可得， 则，且， 所以， 所以， 所以，所以， 当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点P在定直线上. 2．已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 【解析】（1）设，由题可知动圆圆心不能在轴左侧，故， 因为动圆与直线相切且与圆外切， 所以， 所以， 化简得， 所以动圆圆心的轨迹的方程为； （2）设，， 由题意，设直线的方程为， 联立 消去得， 所以，①， 所以，②， 假设存在使得， 则由题意可得③， 因为在抛物线上，所以，即④， 又，，， 所以， 将①②③④代入此式并化简，可得， 所以，即， 所以存在直线，使得，且直线的方程为或． 题型四：圆锥曲线中的向量相关问题 1、已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点P的轨迹记为曲线 (1)求曲线C的方程； (2)过的直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点. （i）若，求直线l的方程； （ii）若，求的面积. 【解析】（1）由已知得：， 两边平分并化简得：， 即，即为曲线C的方程； （2）（i）设直线l的方程为， 将其代入，得， 故，即或， 所以， ， ， ， 解得，所以； （ii）由 ， 所以， 所以， 所以， 或， 又 当时，；当时，， 所以或    1、 通过向量关系转化为直线平行、垂直关系，转化为斜率或者韦达定理进行求解。 2、 依据向量关系得出线段比值关系或长度之间的关系进行求解。 1、已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，. (1)求实数的取值范围； (2)直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由，得， 由，得成立. 设，则， 因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点， 所以，即， 所以，综上得， 解得. （2）令得，依题意， 因为，且， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以，计算得，又因为， 所以. 题型五：圆锥曲线中的新定义问题 1．定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 【解析】（1）根据定义，可得的方程为，即， 将其代入的方程得，解得， 不妨取，所以. （2）根据所给结论可知分别是关于点的极线， 如图（1），取，则. 由解得所以和交于点， 要证明直线相交于一点，只需证明直线过点即可. 设. 根据所给结论，可知直线，直线. 因为直线和都经过点，所以， 所以直线的方程为，将代入，得，方程也成立， 所以直线过点，故直线相交于一点. （3）由题意，在点处的切线方程为，则与平行，且经过坐标原点. 如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知. 又因为，所以，所以，所以. 过作，与交于点，则，所以. 另一方面，因为，所以， 从而，所以. 因此，故为定值. 1、 明确新定义；首先仔细阅读题目，明确新定义的内容、符号及其含义 2、 联系常规知识，找出相似之处或转换关系 3、 建立数学模型。利用集合或代数解决问题 4、 灵活应用，对于复杂问题，可能需要综合运用多种知识和方法灵活应对 1、造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为    (1)求a的值; (2)当点在C上时，求证： (3)如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 【解析】（1）因为O在曲线上，所以O到的距离为，而， 所以有，即 （2）方法一：因为，所以曲线C的方程为， 可化为，即， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法二：同上曲线C的方程为， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法三：如图设点P在x轴，直线上的射影分别为Q，R， 则根据定义， 因此，即， 所以，当且仅当且时取等号.    （3）由，得 当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，此时 当两条直线斜率均存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，倾斜角为，由对称性不妨设， ，则直线AB的方程为，其中，直线的方程为， 联立 化简得到， 所以 则， 故， ， 同理，所以， 令， 令， 因为， 所以，即， 所以在上单调递增，当，即时，， 此时， 综上所述四边形面积的最小值为 1．已知椭圆的左右顶点分别为，，且右交点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线交椭圆于（异于）两点，直线的交点为. ①证明：点在定直线上 ②设直线交点为，问是否为定值？若是，求出该值，若不是，说明理由. 【解析】（1）由抛物线的焦点为，则椭圆的半焦距为， 又，得，则， 所以椭圆的方程是. （2）①证明：设直线：，，，且，，如图所示， 联立， 则，，， 又，， 则，解得. 即证点在定直线上. ② 同理可知点在定直线上， 点在直线上，令，得； 同理点在直线上，令，得； 又，， ， 为定值9. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)如图，过椭圆上一动点作圆的两条切线，，两切线的斜率之积为. （i）求的值； （ii）若交椭圆于另一点，与圆切于点，与轴交于点，记、的面积分别为、，若，求直线的方程. 【解析】（1）由题可得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设过点的圆O的切线方程为即， 则圆O的圆心到该切线距离为， 两边平方整理得， 设两切线斜率分别为，则， 所以即. （ii）由（i）圆，由题意可设直线， 令得，即，则， 联立， 则即， 设，则， 则， 所以由即得， 又圆心到距离为，即， 所以， 整理得，故，即， 所以，即， 所以直线的方程为或. 3．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，左右焦点分别为，，离心率为，，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，. ①求证：直线过轴上的定点； ②求的面积的最大值. 【解析】（1） ∵离心率为，，∴， ∴，，则，∴椭圆的方程的方程为：； （2） ①由（1）得，， 直线，的方程分别为：， 由，得 ∴， 可得，， 由，可得 ∴，可得，，， 直线的方程为：， 可得直线过定点， ②设的方程为：，由得， 设，，则， ∴， ∴的面积 令，（），则， ∵，且函数的导数为， 因为，所以恒成立，所以在递增， ∴当，即时，取得最大值. 4．设椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍，上顶点为. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点，过点作与垂直的直线，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求的值. 【解析】（1）解：椭圆经过点，即， 将点坐标代入方程，得， 解得 椭圆的方程为 . （2）如图所示： ，由题意可知，直线的斜率存在，且不为0. 直线的方程为 联立消去，得， 解得或， 点与点不同， ， 直线的方程为 直线 联立，解得 垂直于直线 在直角和直角中， 即 代入 化简得 解得 的值为. 5．已知椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率． 过且斜率为的直线交椭圆于、两点，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且垂直于的直线与椭圆的一个交点为 (在轴上方)，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问：是否存在直线，使得四边形为平行四边形？若存在，求出此时四边形的面积；若不存在，说明理由． 【解析】（1） ∵， 所以． 又因为，即，所以， 所以． 故椭圆的方程为． （2）由题得：， 设直线为：，直线为： 设，， 由消去，得， 则，， 由消去，得， 由，可知，设，又， 则，. 因为四边形为平行四边形， 所以，即， 故． 所以．得． 此时直线为：，直线为：， 两平行线距离， 又因为， 所以四边形的面积， 所以存在直线，使得四边形为平行四边形，此时四边形的面积为. 6．（已知椭圆的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若A、B两点在椭圆C上，坐标原点为O，且满足，求的取值范围. 【解析】（1）由已知可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设， 联立，得， ，即， ，，. ，. , ，即，由，则 ， 由，则，且， 所以，且，则， 当直线的斜率不存在时，设， ，即， 又， 所以， 的取值范围是. 7．已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)已知、是椭圆上的两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点． ①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； ②当，运动时，满足直线、与轴始终围成一个以底边在轴的等腰三角形，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由． 【解析】（1）由抛物线即可得焦点坐标为， 椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点， 设椭圆方程为， 则由，解得， 故椭圆的方程为； （2）设，， ①直线的方程为， 代入中，整理得， ，解得，，， 四边形的面积， 当时，， 所以四边形面积的最大值为； ②当，运动时，满足直线、与轴始终围成一个以底边在轴的等腰三角形，则、的斜率之和为，设直线的斜率为，则的斜率为， 的直线方程为， 代入中整理得：， ，同理， 则，， 从而，即直线的斜率为定值． 8．已知椭圆，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为）. (1)求椭圆的方程； (2)设经过点的直线与椭圆相交于点，若线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围. 【解析】（1）依题意，设椭圆的方程为，焦距为， 因为以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形， 所以，所以. 故椭圆的方程为：； （2）设直线的方程为：， 如图：设点，则线段的中点为， 由，得.① 由， 解得. 因为是方程①的两根，所以，， ， 因为，所以点不可能在轴的右边， 又直线方程分别为， 所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为， 即，即， 解得， 故直线斜率的取值范围是. 1．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【解析】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 【解析】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 方法二：因为，，，则， 由于，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 方法三：由于，作差得， 变形得①， 同理可得， 由（2）知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①， 即，从而，即. 4．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【解析】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解的或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【解析】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题04 平面解析几何 根据近几年的高考情况，平面解析几何是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查圆锥曲线与直线相关的综合问题，考查学生的逻辑推理、直观想象和计算能力。 题型一：圆锥曲线中参数范围与最值问题 1、已知椭圆的短轴长为，且离心率为. (1)求C的方程. (2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 圆锥曲线的取范围问题 1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； 3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； 5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 求最值及问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。 1、在直角坐标系中，已知点，平面上的动点满足，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点为． （i）证明：为定值； （ii）求面积的最小值． 2、已知为坐标原点，点，，是抛物线上不同的三点，其中，点在第一象限，直线与平行，直线与交于点，直线与直线交于点． (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的方程； (3)求的最小值． 题型二：圆锥曲线中的定点定值问题 1、已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与曲线交于两点、，请问：在轴上是否存在一点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由. 圆锥曲线的定点问题 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。 圆锥曲线的定值问题 （1）解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 1、已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 (1)求C的标准方程； (2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 2、已知P是抛物线C： ()上任意一点，且点P到C的焦点F的最短距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)设M是直线上除与x轴交点外的一动点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且直线AM与直线BM的斜率之和等于点M纵坐标的相反数，证明：直线l过定点． 题型三：圆锥曲线中的定直线问题 1、椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上. 解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤： 1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的横纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。 1、已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 2．已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 题型四：圆锥曲线中的向量问题 1、已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点P的轨迹记为曲线 (1)求曲线C的方程； (2)过的直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点. （i）若，求直线l的方程； （ii）若，求的面积. 1、 通过向量关系转化为直线平行、垂直关系，转化为斜率或者韦达定理进行求解。 2、 依据向量关系得出线段比值关系或长度之间的关系进行求解。 1、已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，. (1)求实数的取值范围； (2)直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 题型五：圆锥曲线中的新定义问题 1．定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 1、 明确新定义；首先仔细阅读题目，明确新定义的内容、符号及其含义 2、 联系常规知识，找出相似之处或转换关系 3、 建立数学模型。利用集合或代数解决问题 4、 灵活应用，对于复杂问题，可能需要综合运用多种知识和方法灵活应对 1、造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为    (1)求a的值; (2)当点在C上时，求证： (3)如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 1．已知椭圆的左右顶点分别为，，且右交点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线交椭圆于（异于）两点，直线的交点为. ①证明：点在定直线上 ②设直线交点为，问是否为定值？若是，求出该值，若不是，说明理由. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)如图，过椭圆上一动点作圆的两条切线，，两切线的斜率之积为. （i）求的值； （ii）若交椭圆于另一点，与圆切于点，与轴交于点，记、的面积分别为、，若，求直线的方程. 3．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，左右焦点分别为，，离心率为，，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，. ①求证：直线过轴上的定点； ②求的面积的最大值. 4．设椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍，上顶点为. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点，过点作与垂直的直线，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求的值. 5．已知椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率． 过且斜率为的直线交椭圆于、两点，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且垂直于的直线与椭圆的一个交点为 (在轴上方)，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问：是否存在直线，使得四边形为平行四边形？若存在，求出此时四边形的面积；若不存在，说明理由． 7．已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)已知、是椭圆上的两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点． ①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； ②当，运动时，满足直线、与轴始终围成一个以底边在轴的等腰三角形，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由． 8．已知椭圆，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为）. (1)求椭圆的方程； (2)设经过点的直线与椭圆相交于点，若线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围. 1．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 4．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$