大题02 立体几何（5大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

大题02 立体几何与平面向量 根据近几年的高考情况，立体几何和平面向量是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍很大可能在解答中考查这部分内容而且这类题型是历年高考变化最小的一类题型，更容易拿分。在高考中，主要考查证明平行和垂直问题和线面角、面面角的求解等综合问题，预测2025年考查内容涉及求平面的法向量利用向量研究平行问题、利用向量研究垂直问题、异面直线所成的角、线面角、二面角、距离问题。 题型一： 利用向量研究平行关系 1．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，是PD的中点． 证明：平面． 1．如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，. 求证：平面； 2.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． 求证：平面； 题型二：利用向量研究垂直关系 1．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，是PD的中点． 证明：平面． 1．如图，在四棱锥中，平面为AD的中点． 证明：平面平面PAC； 2.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，． 求证：平面； 题型三：利用向量研究线面角问题 1．如图，在四棱锥中，平面为AD的中点． 求PB与平面PCD所成角的正弦值． 1.（2024·全国·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小． 2. 如图所示，圆锥的底面半径，高，点是弧的中点，点是母线的中点． (1)求圆锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小． 题型四：利用向量研究二面角问题 1．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，是PD的中点． 求平面与平面夹角的余弦值． 1.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，． 求二面角的余弦值． 2．如图，在四棱锥中，平面，，，. (1)证明：； (2)若四棱锥的外接球的表面积为，求二面角的余弦值. 题型五：利用向量研究距离问题 1．如图，在三棱锥中，，，，位居平面异侧，，平面平面，为中点.   到平面的距离； 1．如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点. 求点到平面的距离. 2．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 1．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，   (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，． (1)当时，求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，E是BC中点，F是PC上一点，且. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 4．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面，，E为PB中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 5．（2025天津模拟）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，分别为，的中点，   (1)求证：； (2)若二面角的大小为，求四棱锥的体积. 6．（2025高三模拟）如图，三棱柱所有的棱长为，． (1)求证：平面平面 (2)在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题02 立体几何与平面向量 根据近几年的高考情况，立体几何和平面向量是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍很大可能在解答中考查这部分内容而且这类题型是历年高考变化最小的一类题型，更容易拿分。在高考中，主要考查证明平行和垂直问题和线面角、面面角的求解等综合问题，预测2025年考查内容涉及求平面的法向量利用向量研究平行问题、利用向量研究垂直问题、异面直线所成的角、线面角、二面角、距离问题。 题型一 利用向量研究平行关系 1．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，是PD的中点． 证明：平面． 【解析】连接BD，交AC于点O，连接OM． 因为底面是矩形，所以 O为AC，BD的中点． 因为M是PD的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 利用向量研究平行问题，实质是研究一个平面的法向量与另一条线的关系，解题的思路是： 1、求平面向量的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 2、 巧用结论 线线平行：设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． 线面平行： 3、几何法 1．如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，. 求证：平面； 【解析】 证明：连接交于点，再连接， 如图，把四棱台补成四棱锥， 由棱台的性质，得，又因为， 所以分别为的中点， 在中，因为分别为的中点， 所以， 即，又平面平面， 所以平面； 2.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． 求证：平面； 【解析】（1）取的中点为，连接， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 而，则， 而平面，平面，故平面， 而，则，同理可得平面， 而平面， 故平面平面，而平面，故平面， 题型二：利用向量研究垂直问题 1．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，是PD的中点． 证明：平面． 【解析】因为平面，所以． 因为，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为，M是PD的中点，所以． 因为平面，所以平面． 利用向量研究垂直问题，实质是研究两个平面的法向量，解题的思路是： 1、求平面向量的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 2、巧用结论： 线线垂直：设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． 线面垂直：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． 面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． 1．如图，在四棱锥中，平面为AD的中点． 证明：平面平面PAC； 【解析】（1）因为平面平面ABCD，所以， 连接EC，由， 故四边形ABCE是正方形，故， 因为，PA，平面PAC，所以平面PAC， 因为平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAC； 2.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，． 求证：平面； 【解析】在菱形中，，知为正三角形，又为线段的中点，则，即， 平面平面， 又平面平面， 又平面， 为线段的中点，， 又平面平面. 题型三：利用向量研究线面角问题 1．如图，在四棱锥中，平面为AD的中点． 求PB与平面PCD所成角的正弦值． 【解析】以A为原点，以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面PCD的法向量为， 则有，即， 可取，设PB与平面PCD所成角为， 则， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为． 利用向量研究线面角问题，实质是线与平面法向量位置关系的考查，解题的思路是： 1、求平面向量的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 2、巧利结论：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 1.（2024·全国·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小． 【解析】 （1）底面为平行四边形，故， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面与平面相交于，平面， 所以， 因为不在平面内，平面， 所以平面． （2）取中点，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以，且，． 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 故平面， 所以即是直线与平面所成角． 因为，，所以， 所以中，，得， 所以直线与平面所成角的大小为． 2. 如图所示，圆锥的底面半径，高，点是弧的中点，点是母线的中点． (1)求圆锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小． 【解析】（1）因为，则圆的面积为， 又，所以圆锥的体积为. （2）易知面圆，又点是弧的中点，则， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，又点是母线的中点，所以， 易知平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成的角为， 则， 又，所以. 题型四：利用向量研究二面角问题 1．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，是PD的中点． 求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 由（2）知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，因为，， 所以令，得． 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 利用向量研究二面角问题，实质是两个面法向量的综合应用，解题的思路是： 1、求平面向量的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 2、巧用结论： 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 3、几何法二面角的求法 定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 三垂线法：在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角 1.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，． 求二面角的余弦值． 如图，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设为平面的法向量，由得 令，则，即， 易知为平面的法向量， ， 由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为. 2．如图，在四棱锥中，平面，，，. (1)证明：； (2)若四棱锥的外接球的表面积为，求二面角的余弦值. 【解析】（1）取AB的中点，连接，则由题意知为正三角形， 所以， 由等腰梯形知，设，则，， 故，即得，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由于， 又，为等边三角形， ， 即为四边形外接圆的圆心，且半径， 过作平面的垂线，则， 在平面内作的垂直平分线交与点， 则，即为四棱锥的外接球的球心， 且半径，则， ，则， 过作于，平面， 所以平面，又平面， 则，所以为二面角的平面角， ， 所以二面角的平面角的余弦值为. 题型五：利用向量研究距离问题 1．如图，在三棱锥中，，，，位居平面异侧，，平面平面，为中点.    到平面的距离； 【解析】 由于为正三角形，故，所以以R为原点，为轴，垂直于平面的为轴建立空间直角坐标系. 由于，，， ，由勾股定理逆定理知道， 则都为直角三角形，且全等.过作于，连接. 则，则为二面角的平面角. 在底面上的投影假设为，则一定在延长线上.连接.则 运用等面积法，，则可求得.   为二面角的平面角的补角.则，求得. 则，可设. 且，，代入计算得到. 同理，解得.得：， ，，， ，，， 设平面且，则可作为平面的一个法向量， 令：，，，取. 所以到平面的距离为：. 利用向量研究距离问题，实质是研究法向量与距离公式的综合，解题的思路是： 1、求平面向量的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 2、巧用距离公式： 求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 1．如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点. 求点到平面的距离. 【解析】 由（2）知，平面PAB的一个法向量为 所以点E到平面PAB的距离为 2．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）由，，可得两两垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 所以即                 令，则，，于是，    设直线与平面所成角为， 则，                   所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）因为，                                   所以点到平面的距离为. 试卷第1页，共3页 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 1．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【解析】（1）    连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 （3）[方法一：几何法]    过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法]    辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，． (1)当时，求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【解析】（1） 由题意得， 因为，所以，所以． 又，，，平面PAC， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，所以为的中点，所以， 又，，平面． 所以平面． 因为平面．所以平面平面， （2）解：设分别为的中点，连接． 则，． 又平面，， 所以平面， 又平面，所以． 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，即，． 设平面的法向量为， 则 令，则． 设直线与平面所成角为， 则， 整理得．解得或． 因为．所以． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，E是BC中点，F是PC上一点，且. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）连接AC. 底面为菱形，，是正三角形，是BC中点， ，又， ，又平面， 平面，， 又平面，平面， 又平面， 平面平面. （2） 由（1）知，AE，AD，AP两两垂直， 以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，， 而， 且， 设平面的法向量， ，取时，， . 设平面的法向量为， 设二面角为 ，因为为锐角，所以， 所以二面角的平面角的余弦值为. 4．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面，，E为PB中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）过作，垂足为， 由于等腰梯形对称性可知，则，,， , 所以，， 由于平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以是等腰三角形，因E为PB中点，所以, 因为平面，，故平面. （2） 如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为PB中点，所以 可得， 设平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设二面角为，则， 所以 所以二面角的正弦值为. 5．（2025天津模拟）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，分别为，的中点，    (1)求证：； (2)若二面角的大小为，求四棱锥的体积. 【解析】（1）∵平面，平面， ∴，， ∵，，，，平面， ∴平面，又平面， ∴， 又，，，平面 ∴平面，又平面， ∴； （2）由（1）可知，又， ∴，底面为菱形，为的中点， ∴，是等边三角形， 由（1）， 如图，以为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，    设，则，，，， 平面法向量为， 设平面法向量为，，， 则， 令，则， ∴为平面的一个法向量， 二面角的大小为， ∴， 解得，∴. 四棱锥的体积. 6．（2025高三模拟）如图，三棱柱所有的棱长为，． (1)求证：平面平面 (2)在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：取的中点，连接， 因为，，是的中点， ，， 又，， ， ，，平面， 平面， 又平面， 平面平面. （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 由（1）知平面的法向量为， ， 令 则， 设直线与平面所成角为，则， 解得或（舍）， 所以当时，满足厦意，此时． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$