（专项突破篇）第四单元·专项03 长方体正方体组合体及不规则物体体积-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册(北师大版)

2024-2025学年度五年级数学下册专项突破篇 专项03 长方体正方体组合体及不规则物体体积 一、仔细想，认真填。 1．一个无盖的长方体玻璃容器，长40厘米，宽15厘米，高40厘米，里面盛有一些红色溶液。淘气想知道溶液的深度，他将一根底面边长5厘米，长1米的木条垂直插到容器底部，取出后量得木条被染红的部分长36厘米。原来容器内红色溶液深( )厘米。 2．将石头放入长方体水箱后，水面从5cm上升到6.5cm（如图所示），这块石头的体积是( )cm3。 3．如图，在一个长方体容器中，放入一个西红柿后（完全浸没），水面高度上升到12厘米（没有溢出）。西红柿的体积是( )立方厘米。 4．把一块矿石完全浸没在底面积是30cm2的长方体容器的水中，把矿石取出后水面下降了1.5cm，这块矿石的体积是( )cm3。 5．如图，我们曾用图1中的“转化”方法计算出三角形面积，借助这样的经验，图2中立体图形的体积是( )cm3。 6．将棱长为3厘米的小正方体按如图方式摆放在地上，露在外面的面积是 cm2，这个图的体积是 cm3。 7．填上适当的单位。 一块橡皮的体积约是10        一本词典的体积约是900 ， 一个文具盒的体积约是0.35    一个讲台的体积约是0.6 。 8．0.35m3＝( )dm3      2.04dm3＝( )cm3 5300dm3＝＝( )m3          2800cm3＝( )dm3 19.6L＝( )mL            1325mL＝( )L 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 9．把皮球放入盛满水的容器中，溢出水的体积比皮球的体积大。( ) 10．把一块石块投入装有水的容器里，溢出的水的体积就是石块的体积。( ) 11．测量不规则物体的体积，可以把不规则物体削成一个规物体再计算出体积来。( ) 12．在一个装有50毫升水的量杯中放入一块石头，水面上升到75毫升，这块石头的体积就是75立方厘米。( ) 13．在棱长是30厘米的正方体玻璃水槽中，放入一个西红柿，水面上升0.5厘米（水未溢出），计算这个西红柿体积的算式是：30×30×0.5。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 14．观察下图，大球的体积是（    ）。 A．4 B．6 C．8 D．10 15．一个长方体水箱，从里面量长5分米，宽4分米，高3分米，箱中水面高2分米，把一个棱长2分米的正方体铁块放入水箱，水面会上升多少分米？（    ） A．0.4分米 B．0.8分米 C．1.2分米 D．1.4分米 16．一块石头浸没到长方体容器中，水面上升并溢出一些，稍后取出石头，水面下降一些。关于石头体积的说法，错误的是（    ）。 A．V石＝上升部分水的体积 B．V石＝上升部分水和溢出部分水的总体积 C．V石＝下降部分水的体积 17．家庭饲养观赏鱼不但可以陶冶情操，还能为家居环境带来生机和活力。黄老师家有一个从里面量长是5dm、宽是3dm的长方体鱼缸。如果把鱼缸里面的某条金鱼捉出来，水面下降1cm，这条金鱼的体积是（    ）dm3。 A．1.5 B．15 C．150 D．1500 18．如图是测量一颗铁球体积的过程： ①将400mL的水倒进一个容量为660mL的杯子中； ②将4颗相同的铁球放入水中，结果水没有满； ③再加一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积在（    ）。 A．66cm3至70cm3之间 B．52cm3至65cm3之间 C．46cm3至51cm3之间 D．32cm3至45cm3之间 四、计算小能手。 19．计算下面立体图形的表面积和体积。 20．求出下列图形的体积。（单位：cm） 五、解决问题。 21．某汽车油箱的长、宽、高如右图所示。（单位：厘米） （1）这个油箱能装多少升汽油？ （2）如果每升汽油可行驶10千米，这箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 22．这块石头的体积是多少？ 23．一个无水鱼缸（如图）中放有一块高28厘米，体积为4200立方厘米的假山石，如果自来水管以每分7立方分米的流量向鱼缸内注水，至少要多少分钟才能将假山石完全淹没？ 24．一个无盖的玻璃鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高35厘米，缸内水位高20厘米（如下图）。 （1）制作这个鱼缸至少需要多少平方厘米的玻璃？ （2）如果向这个鱼缸倒入3000毫升水和一些细沙，这时水面上升到30厘米，倒入了多少立方厘米的细沙（玻璃厚度忽略不计）？ 25．把一个不规则的铁块完全浸没在一个长5分米，宽4分米，高3分米的长方体容器中，放入铁块前水面的高度是2.3分米，放入铁块后水面上升到2.7分米，这个铁块的体积是多少立方分米？ 26．如图，仓库里有A、B两种规格的铁皮各若干张，从中选出5张铁皮焊成一个无盖水箱。 （1）你能想出几种不同的选法？并算出每种选法做成的水箱容积各是多少升？ （2）如果选定容积最大且节省材料的方法做成水箱，请你算出需要多少平方分米铁皮？ （3）用（2）中做成的水箱盛水105升，浸没一个铁块后，水面离箱口0.5分米，铁块的体积是多少立方分米？ 参考答案 1．34.5 分析：根据长方体的体积＝底面积×高＝长×宽×高，先求出木条被染红的部分体积。再求出长40厘米，宽15厘米，高36厘米的长方体的体积（溶液的体积＋木条被染红的部分体积），减去木条被染红的部分体积，即可求出溶液的体积。根据长方体的高（深）＝体积÷底面积，用溶液的体积除以长方体玻璃容器的底面积，即可求出原来容器内红色溶液深多少厘米。 详解：40×15×36－5×5×36 ＝（40×15－5×5）×36 ＝（600－25）×36 ＝575×36 ＝20700（立方厘米） 20700÷（40×15） ＝20700÷600 ＝34.5（厘米） 原来容器内红色溶液深34.5厘米。 2．450 分析：根据题意，将石头放入长20cm、宽15cm的长方体水箱后，水面从5cm上升到6.5cm，那么水上升部分的体积就是这块石头的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这块石头的体积。 详解：20×15×（6.5－5） ＝20×15×1.5 ＝450（cm3） 这块石头的体积是450cm3。 3．300 分析：通过观察可知，西红柿的体积相当于水面上升的体积，根据水面上升的体积＝容器的长×宽×上升部分的高度，代入数据解答。 详解：15×10×（12－10） ＝15×10×2 ＝300（立方厘米） 西红柿的体积是300立方厘米。 4．45 分析：根据用排水法测量实物体积的方法，矿石的体积等于容器的底面积乘水面下降的高度，据此解答即可。 详解：30×1.5＝45（cm3） 则这块矿石的体积是45cm3。 5．75 分析：根据“转化”的思想，可以将图2的图形看成一个长为5cm，宽为3cm，高为（6＋4）cm的长方体体积的一半，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体的体积，再除以2，即可求出图2的体积。 详解：6＋4＝10（cm） 5×3×10÷2 ＝15×10÷2 ＝150÷2 ＝75（cm3） 图2中立体图形的体积是75cm3。 6． 216 243 分析：根据图示，露在外面的小正方体的面从上面看，有6个面；从前面和后面看，都有5个面；从左面和右面看，都有4个面；由此即可求得这个几何体的露在外面的面积；这个几何体中的小正方体一共有2层，第一层有3个，第二层有6个，这个几何体的体积就是这些小正方体的体积之和。 详解：露在外面的小正方体的面有： 6＋5×2＋4×2 ＝6＋10＋8 ＝24（个） 所以露在外面的面积是： 3×3×24 ＝9×24 ＝216（cm2） （2）这个几何体一共有3＋6＝9（个）小正方体组成。 所以它的体积是： 3×3×3×9 ＝9×3×9 ＝27×9 ＝243（cm3） 答：露在外面的面积是216cm2，这个几何体的体积是243cm3。 7． 立方厘米/cm3 立方厘米/cm3 立方分米/dm3 立方米/m3 分析：棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，手指尖的体积大约是1立方厘米，结合单位前面的数据，所以计量一块橡皮、一本词典的体积用“立方厘米”作单位比较合适； 棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，一个粉笔盒的体积约为1立方分米，结合单位前面的数据，所以计量一个文具盒的体积用“立方分米”作单位比较合适； 棱长1米的正方体，体积是1立方米，结合单位前面的数据，所以计量一个讲台的体积用“立方米”作单位比较合适。 详解：一块橡皮的体积约是10立方厘米； 一本词典的体积约是900立方厘米； 一个文具盒的体积约是0.35立方分米； 一个讲台的体积约是0.6立方米。 8． 350 2040 5.3 2.8 19600 1.325 分析：根据进率：1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 详解：（1）0.35×1000＝350（dm3） 0.35m3＝350dm3 （2）2.04×1000＝2040（cm3） 2.04dm3＝2040cm3 （3）5300÷1000＝5.3（m3） 5300dm3＝5.3m3 （4）2800÷1000＝2.8（dm3） 2800cm3＝2.8dm3 （5）19.6×1000＝19600（mL） 19.6L＝19600mL （6）1325÷1000＝1.325（L） 1325mL＝1.325L 9．× 分析：把皮球放入盛满水的容器中，皮球一部分沉没在水中，另一部分漂浮在水面上；溢出水的体积等于皮球沉没在水中的体积，皮球的体积等于沉没在水中的体积加上漂浮在水面上的体积，所以溢出水的体积比皮球的体积小，据此解答。 详解：根据分析可知，把皮球放入盛满水的容器中，溢出水的体积比皮球的体积小。 原题干说法错误。 故答案为：× 点睛：解答本题的关键明确皮球的体积分两部分，一部分沉没在水中，一部分是漂浮在水面上。 10．× 分析：如果这个装水的容器是盛满水，投入一个石块，水溢出了，溢出的水的体积就是石块的体积； 如果这个装水的容器没盛满水，溢出的水就不是石块的体积，据此解答。 详解：根据分析可知，把一块石块投入装有水的容器里，如果容器盛满水，溢出的水的体积就是石块的体积。 原题干说法错误。 故答案为：× 点睛：本题主要考查特殊物体的体积的计算方法，将物体放入或取出水中，水面上升或下降的体积就是物体的体积。 11．× 分析：测量不规则物体的体积，可以利用排水法求物体体积，求物体体积时需要记录两次水面的刻度，上面上升那部分的体积是形状不规则物体的体积，把不规则物体削成一个规则物体，削成规则的体积就比原来小，测量不准确，据此解答。 详解：根据分析可知，测量不规则物体的体积，不可以把不规则物体削成一个规则物体再计算出体积。 原题干说法错误。 故答案为：× 点睛：本题考查不规则物体体积的测量，掌握不规则物体体积的测量方法是解答本题的关键。 12．× 分析：1毫升＝1立方厘米，即50毫升＝50立方厘米，75毫升＝75立方厘米，由于加入石头后，水面上升到75毫升，即75立方厘米，此时的75立方厘米包含了水和石头的体积，用75立方厘米减去原来水的体积即可求出石头的体积。 详解：50毫升＝50立方厘米；75毫升＝75立方厘米 石头的体积：75－50＝25（立方厘米） 故答案为：× 点睛：本题主要考查不规则物体的体积求法，熟练掌握它的求法并灵活运用。 13．√ 分析：根据浸入物体体积＝容器底面积×水面上升或下降高度即可解答。 详解：根据题意可知，西红柿体积的算式是30×30×0.5。 故答案为：√ 点睛：此题主要考查学生对不规则物体体积计算的方法应用。 14．C 分析：先将mL换算成cm3，从图中可知：1个大球＋1个小球＝12cm3，1个大球＋4个小球＝24cm3，用24减去12得到（4－1）个小球的体积，用除法求出一个小球的体积，再用12减去小球的体积，即可得到大球的体积。 详解：24mL＝24cm3 12mL＝12cm3 （24－12）÷（4－1） ＝12÷3 ＝4（cm3 ） 12－4＝8（cm3） 大球的体积是8cm3。 故答案为：C 15．A 分析：水箱中的水面高度＝正方体铁块棱长，将正方体铁块放入水箱，铁块完全浸入水中，水面上升的体积就是铁块的体积，根据正方体棱长＝棱长×棱长×棱长，求出水面上升的体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出水面上升的高度。 详解：2×2×2÷（5×4） ＝8÷20 ＝0.4（分米） 水面会上升0.4分米。 故答案为：A 16．A 分析：根据不规则物体体积的计算方法可知，如果把石头浸没到有水的长方体容器中，水面仅升高，没有溢出，那么石头的体积等于上升部分水的体积；如果水面上升并溢出，那么石头的体积等于上升部分水的体积与溢出部分水的体积之和； 如果把石头从长方体容器中取出，水面下降，那么石头的体积等于下降部分水的体积，据此解答。 详解：A．根据题意，石头浸没到长方体容器后，水面上升并溢出一些，那么上升部分水的体积只是石头体积的一部分，V石≠上升部分水的体积，原题说法错误； B．根据题意，石头浸没到长方体容器后，水面上升并溢出一些，那么V石＝上升部分水和溢出部分水的总体积，原题说法正确； C．根据题意，石头从容器中取出后，水面下降一些，那么V石＝下降部分水的体积，原题说法正确。 故答案为：A 17．A 分析：水面下降的体积就是某条金鱼的体积，根据下降的水的体积＝长×宽×水下降的高度，代入数据即可解答。 详解：1cm＝0.1dm 5×3×0.1 ＝15×0.1 ＝1.5（dm3） 所以这条金鱼的体积是1.5。 故答案为：A 18．B 分析：660mL＝660cm3，400mL＝400cm3。根据题意可知，4颗玻璃球的体积小于（660－400）cm3，5颗玻璃球的体积大于（660－400）cm3，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可。 详解：660mL＝660cm3 400mL＝400cm3 660－400＝260（cm3） 260÷5＝52（cm3） 260÷4＝65（cm3） 根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积在52cm3至65cm3之间。 故答案为：B 19．152平方分米；88立方分米 分析：由图可知：在大长方体的顶点处去掉一个小长方体，虽然体积减少了，但是表面积不变。根据长方体的表面积S＝（ab＋ah＋bh）×2，求出立体图形的表面积。长方体的体积V＝abh，用大长方体的体积减去小长方体的体积，求出立体图形的体积。 详解：立体图形的表面积： ＝（48＋16＋12）×2 ＝（64＋12）×2 ＝76×2 ＝152（平方分米） 立体图形的体积： ＝48×2－4×2×1 ＝96－8 ＝88（立方分米） 图形的表面积是152平方分米，体积是88立方分米。 20．360cm3；729cm3；1760cm3 分析：（1）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出长方体的体积； （2）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，求出正方体的体积； （3）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出长方体的体积。 详解：（1）12×5×6 ＝60×6 ＝360（cm3） 长方体的体积是360cm3。 （2）9×9×9 ＝81×9 ＝729（cm3） 正方体的体积是729cm3。 （3）22×10×8 ＝220×8 ＝1760（cm3） 长方体的体积是1760cm3。 21．（1）60升 （2）600千米 分析：（1）已知汽车油箱长50厘米、宽40厘米、高30厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1升＝1000立方厘米”，求出这个油箱能装汽油的升数。 （2）用每升汽油可行驶的距离乘油箱装汽油的升数，即是这箱油最多可供这辆汽车行驶的距离。 详解：（1）50×40×30 ＝2000×30 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：这个油箱能装60升汽油。 （2）10×60＝600（千米） 答：这箱油最多可以供这辆汽车行驶600千米。 22．17立方厘米 分析：由图可知，原来水的体积是55毫升，放入石头后水和石头的总体积是72毫升，石头的体积＝水和石头的总体积－原来水的体积，最后根据“1毫升＝1立方厘米”把容积单位转化为体积单位，据此解答。 详解：72－55＝17（毫升） 17毫升＝17立方厘米 答：这块石头的体积是17立方厘米。 23．7分钟 分析：假山石高28厘米，只有水面高度达到28厘米，才能将假山石完全淹没。根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长45厘米，宽20厘米，高28厘米的长方体的体积（水与假山石的体积之和），再减去假山石的体积，就得注水的体积。根据1立方分米＝1000立方厘米，将水的体积换算成立方分米。最后根据每分注水7立方分米，用水的体积除以7即可求出注水时间。 详解：45×20×28－4200 ＝25200－4200 ＝21000（立方厘米） 21000立方厘米＝21立方分米 21÷7＝3（分钟） 答：至少要7分钟才能将假山石完全淹没。 24．（1）7100平方厘米 （2）12000立方厘米 分析：（1）这个无盖的玻璃鱼缸有下面和前后左右面积，玻璃的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可，求出需要玻璃的面积。 （2）3000毫升＝3000立方厘米。水面从20厘米上升到30厘米，上升了30－20＝10厘米，这高10厘米的长方体的体积就是倒入的水和细沙的体积之和。根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算，求出体积之和，再减去水的体积，就是沙子的体积。 详解：（1）50×30＋50×35×2＋30×35×2 ＝1500＋3500＋2100 ＝7100（平方厘米） 答：制作这个鱼缸至少需要7100平方厘米的玻璃。 （2）3000毫升＝3000立方厘米 50×30×（30－20）－3000 ＝50×30×10－3000 ＝15000－3000 ＝12000（立方厘米） 答：倒入了12000立方厘米的细沙。 25．8立方分米 分析：根据题意，这个铁块的体积等于上升的水的体积，而上升的水的形状是长5分米，宽4分米，高（2.7－2.3）分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 详解：5×4×（2.7－2.3） ＝5×4×0.4 ＝8（立方分米） 答：这个铁块的体积是8立方分米。 26．（1）三种；216升；252升；252升 （2）198平方分米 （3）126立方分米 分析：（1）根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相对。由此可知，有三种不同的选法，①选5张A；②选1张A和4张B；③选2张A和3张B。根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答。 （2）根据（1）所得容积，选出容积最大且表面积小的选法，第②和③容积一样大，但A的面积小于B，所以③的表面积小，计算需要铁皮的面积即可。 （3）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出铁块和水的体积和，然后减去水的体积就是铁块的体积。 详解：（1）第一种：选5张A，即是一个棱长为6分米的正方体： 6×6×6＝216（立方分米） 216立方分米＝216升 第二种：1张A和4张B，即是一个长6分米，宽6分米，高7分米的长方体： 7×6×6＝252（立方分米） 252立方米＝252升 第三种：2张A和3张B，即是一个长7分米，宽6分米，高6分米的长方体： 6×6×7＝252（立方分米） 252立方分米＝252升 （2）6×6×2＋6×7×3 ＝72＋126 ＝198（平方分米） 答：需要198平方分米铁皮。 （3）6×7×（6－0.5） ＝42×5.5 ＝231（立方分米） 105升＝105立方分米 231－105＝126（立方分米） 答：铁块的体积是126立方分米。 点评：此题主要考查长方体的表面积公式、容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式 学科网（北京）股份有限公司 $$