（专项突破篇）第四单元·专项2 正比例的意义、辨识、应用及图像的认识-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册(北师大版)

2024-2025学年度六年级数学下册专项突破篇 专项2 正比例的意义、辨识、应用及图像的认识 一、仔细想，认真填。 1．用数学的眼光来看“立竿见影”，我们可以知道同一时间、同一地点，竹竿的高度和影长成（    ）比例关系。根据这种比例关系，完成表格。 竹竿的高度/m 1 2 4 6 7 影长/m 0.8 1.6 4.8 2．春光服装厂童装车间要做612套学生服。头5天做了170套，照这样速度，其余的还需要( )天做完。 3．下图是一个漏水的水龙头的滴水情况统计。这个水龙头平均每小时滴水( )L。 4．有一种花布，如图反映了购买的米数和应付钱数的关系。    (1)由图可见，购买米数和应付的钱数成( )比例。 (2)从图中可知，24元可买( )米布，买8米布应付( )元。 5．在一张小明和妈妈的合照上，量得妈妈在照片上的身高是6.4厘米，小明的身高是4.8厘米。小明知道自己的实际身高是1.2米，妈妈实际身高是( )米。 6．把左边的平行四边形按比例缩小得到右边平行四边形，求未知数x＝( )。（单位：厘米）    二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 7．一件商品八五折出售，现价和原价成正比例。( ) 8．成正比例的两个量在变化时，这两个量的比值不变。( ) 9．若圆锥的底面积一定，则体积与高成正比例。( ) 10．如果A和B成正比例关系，那么2A和B也成正比例关系。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 11．一个圆柱若高增加2分米，则表面积增加25.12平方分米，体积增加。原来圆柱的表面积为（    ）平方分米。 A．188.4 B．157 C．150.72 D．125.6 12．下列说法中，错误的是（    ）。 A．要表示某地一天的气温变化情况，选择折线统计图比较合适 B．6和9的最小公倍数是18 C．圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的 D．平行四边形的底一定，它的面积与这条底对应的高成正比例 13．下图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况，下面说法不符合这个图象的是（    ）。    A．斑马跑12千米用了10分钟 B．长颈鹿奔跑的路程与时间成正比例 C．照这样的速度长颈鹿跑40千米需50分钟 D．斑马比长颈鹿跑得慢 14．一列火车，4小时行320千米。照这样的速度，从甲城到乙城有420千米，（    ）小时可以到达？如果火车速度提高5%，（    ）小时就可以到达。（    ） A．2.25；2 B．8.25；8 C．5.25；5 D．6.25；4 15．小明走250米需要的时间是4分。照这样速度，他从家走到学校用的时间是14分。小明家离学校有（    ）。 A．875米 B．578米 C．857米 D．758米 四、我会操作。 16．乘船的人数与所付船费如下表。 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费/元 0 5 10 15 … （1）把上表填写完整。 （2）所付船费与乘船人数成正比例吗？ （3）先根据上表描点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点（8，40）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 17．汽车行驶的时间和路程如下表，在图中描出表示路程和相应时间的点，然后把它们依次连起来。 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/km 80 160 240 320 400 480 五、解决问题。 18．根据下表中底是6厘米的平行四边形的面积与高相对应的数据，判断它们是不是成正比例，并说明理由。 平行四边形的面积/平方厘米 6 12 18 24 30 平行四边形的高/厘米 1 2 3 4 5 19．手冲咖啡通常按照咖啡粉与水2∶25的比例配制而成，现有咖啡粉28克，需加多少克的水？（用比例解答） 20．手机积分是通过消费话费金额来获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动，1800积分可换30元话费，2400积分可换40元话费，以此类推。王阿姨共有3300积分，可兑换多少话费呢？（用比例解答） 21．如图反映的是一辆汽车从A地出发，到达B地行驶路程和所用时间的关系。 （1）当汽车行驶120千米时，用了（    ）时。 （2）如果用t表示汽车行驶的时间，s表示汽车行驶的路程。t与s成什么比例关系？写出这个关系式。 （3）如果汽车从A地行驶到B地用了3.5时，A，B两地的路程是多少？ 22．李婷走进校园，每天都能看到校园里的教学楼，李婷想：这幢教学楼有多高呢？于是她和同学们合作：在同一时间、同一地点测量了3个数据：李婷的身高1.5米，李婷的影长1.8米，教学楼的影长14.4米。请你帮李婷计算这幢教学楼的高度。 23．一列匀速行驶的高铁，所用时间和行驶路程的关系如下表： 时间/分 1 2 3 4 5 … 路程/千米 4.8 9.6 14.4 … （1）请把上表填写完整。 （2）判断高铁行驶的时间与所走的路程是否成正比例，并说明理由。 （3）在地图上量得深圳至广州的距离是1.6cm，乘坐高铁从深圳到广州至少需要多久？ 24．乐乐家洗澡用的圆柱形水箱以每分30升的速度往水箱里蓄水。下面哪幅图能表示水箱内水的体积随蓄水时间变化的规律？为什么？ 25．奇思画了许多个长一样、宽不一样的长方形，量出了它们的长、宽，计算出了它们的面积，然后把宽和面积所对应的点描在方格纸上。当他把这些点顺次连接起来后，惊喜地发现了一个“秘密”。 （1）这个“秘密”是：（                                                 ）。 （2）你认为这里面蕴含着什么规律吗？ 参考答案 1．正；3.2；5.6 分析： 判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。同一时刻，不同物体的实际高度和它的影长的比值一定的，即物体的实际高度和它的影长成正比例。题目中竹竿的高度和竿影的长度的比值是一定的，代入统计表的数据，即可完成空格里的内容。 详解： 同一时间，同一地点，竹竿的高和竿影的长成正比例。 4÷1.25＝3.2（米） 7÷1.25＝5.6（米） 竹竿的高度/m 1 2 4 6 7 影长/m 0.8 1.6 3.2 4.8 5.6 2．13 分析：由题意，每天加工衣服的速度是一定的，加工的衣服套数与天数的比值是一定的，即加工的衣服套数与天数成正比例，据此列比例求解。 详解：由分析可得； 解：设其余的还需要x天做完， （612－170）∶x＝170∶5 170x＝5×（612－170） 170x＝5×442 170x＝2210 170x÷170＝2210÷170 x＝13 综上所述：春光服装厂童装车间要做612套学生服。头5天做了170套，照这样速度，其余的还需要13天做完。 点睛：解答本题的关键是弄清楚每天加工的速度是一定的，据此判断出加工的衣服套数与天数成正比例。 3．1.2 分析：图像是一条直线，所以滴水量和时间成正比例关系。水龙头1分钟滴水20mL，用乘法求出一小时的滴水量。1L＝1000mL，据此换算单位即可。 详解：1小时＝60分钟 20×60＝1200（mL） 1200mL＝1.2L 这个水龙头平均每小时滴水1.2L。 4．(1)正 (2) 6 32 分析：（1）直接观察图像可以看出购买米数和应付的钱数成正比例关系。 （2）根据图像，直接找出24元对应的米数即可；直接找出买8米布对应的钱数，据此解答。 详解：（1）由图可见，购买米数和应付的钱数成正比例关系。 （2）从图中可知，24元可买6米布，买8米布应付32元。 点睛：此题考查了正比例的应用，明确两个变化的量，如果比值一定则成正比例关系。 5．1.6 分析：6.4厘米＝0.064米，4.8厘米＝0.048米，根据题意可知，图上距离和实际距离的比值一定，它们成正比例关系，据此设妈妈实际身高是x米，列比例为0.064∶x＝0.048∶1.2，然后解出比例即可。 详解：6.4厘米＝0.064米 4.8厘米＝0.048米 解：妈妈实际身高是x米。 0.064∶x＝0.048∶1.2 0.048x＝0.064×1.2 0.048x＝0.0768 x＝0.0768÷0.048 x＝1.6 妈妈实际身高是1.6米。 点睛：本题主要考查了正比例的应用，判断相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 6．2.5 分析：图形的缩小就是将原来的图形按一定的比例缩小，形状不变，图形变小；已知左边平行四边形的底是9厘米，高是4.5厘米；右边平行四边形的底是5厘米，高是x厘米；用5∶9即可求出缩小的比例，据此列比例为x∶4.5＝5∶9，然后解出比例即可。 详解：x∶4.5＝5∶9 9x＝5×4.5 9x＝22.5 x＝22.5÷9 x＝2.5 x的值是2.5厘米。 点睛：本题主要考查了用比例解决问题，掌握图形的缩小的相关知识点是解答本题的关键。 7．√ 分析：判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；据此解答。 详解：由分析可得：现价÷原价×100%＝折扣（一定），商一定，则现价与原价成正比例，原题说法正确。 故答案为：√ 8．√ 分析：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。据此解答。 详解：例如：路程÷时间＝速度，当路程和时间成正比例关系时。速度是一定的。 所以，成正比例的两个量在变化时，这两个量的比值不变。 故答案为：√ 9．√ 分析：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，据此判断圆锥的体积与高是否成正比例。 详解：圆锥的体积÷高＝圆锥的底面积×（一定），是比值一定，圆锥的体积与高成正比例。 故答案为：√ 点睛：此题属于考查了正比例的辨别，关键是看这两种量对应的比值是否是一定断。 10．√ 分析：两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系。如果A和B成正比例关系，则A和B的比值一定。设＝x（一定），那么＝2x（一定），据此解答。 详解：根据正比例的意义，设＝x（一定），那么＝2x（一定），2A和B的比值一定，则2A和B成正比例关系。原题说法正确。 故答案为：√ 点睛：本题考查正比例的意义和辨认。根据A和B的比例关系，推导出2A和B的比值一定是解题的关键。 11．C 分析：根据题意可知，这个圆柱的高增加2分米，表面积增加25.12平方分米，表面积增加的是高为2分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高；底面周长＝侧面积÷高；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径；直径＝周长÷π；据此可以求出圆柱的底面直径，又知高增加2分米，体积增加，因为圆柱的底面积不变，所以圆柱的体积与高成正比例，也就是圆柱高的是2分米，据此可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的表面积侧面积底面积×2，把数据代入公式解答。 详解：圆柱的底面直径： （分米） 圆柱的高： （分米） 圆柱的表面积：3.14×4×10＋3.14×（4÷2）2×2 ＝12.56×10＋3.14×22×2 ＝125.6＋3.14×4×2 ＝125.6＋12.56×2 ＝125.6＋25.12 ＝150.72（平方分米） 一个圆柱若高增加2分米，则表面积增加25.12平方分米，体积增加。原来圆柱的表面积为150.72平方分米。 故答案为：C 12．C 分析：A．折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减变化情况。 B．全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 C．等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积是圆柱体积的。 D．判断两个相关联的量之间是否成正比例，就看这两个量对应的比值是否一定，如果是比值一定，就成正比例。 详解：A．要表示某地一天的气温变化情况，选择折线统计图比较合适。原说法正确。 B．6＝2×3        9＝3×3       6和9的最小公倍数是2×3×3＝18。原说法正确。 C．圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。原说法错误。 D．因为平行四边形的面积÷高＝底（一定），所以平行四边形的面积与这条底对应的高成正比例。原说法正确。 故答案为：C 13．D 分析：根据统计图可知，在10分钟的时候，斑马跑了12千米，A选项据此判断； 长颈鹿的奔跑的路程和时间的商一定，也就是速度一定，可以判断长颈鹿奔跑的路程与时间是否成正比例，B选项据此解答； 根据速度＝路程÷时间，先计算出长颈鹿的速度，再根据路程＝速度×时间，求出长颈鹿50分钟跑的路程，C选项据此判断； 计算出斑马和长颈鹿的速度，再进行比较，即可判断谁跑的快，谁慢，D选项据此解答。 详解：A．观察统计图可知，斑马跑12千米用了10分钟，原题干说法正确； B．观察图形可知，长颈鹿奔跑的速度不变，根据路程÷时间＝速度（一定），长颈鹿奔跑的路程与时间成正比例，原题干说法正确； C．20÷25×50 ＝0.8×50 ＝40（千米） 照这样的速度长颈鹿跑40千米需50分钟，原题干说法正确； D．斑马速度：24÷20＝1.2（千米） 长颈鹿速度：20÷25＝0.8（千米） 1.2千米＞0.8千米，长颈鹿跑得慢。 原题干说法错误。 下图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况，下面说法不符合这个图象的是斑马比长颈鹿跑得慢。    故答案为：D 点睛：本题考查了对成正比例关系图像的认识，根据图像，按要求找出有用的信息进行计算解答本题。 14．C 分析：根据题意可知，路程÷时间＝速度（一定），则路程和时间的比值一定，它们成正比例关系，据此设从甲城到乙城有420千米，x小时可以到达，列比例为420∶x＝320∶4，然后解出比例即可；先用320÷4求出火车的速度，如果火车速度提高5%，则把原来火车的速度看作单位“1”，现在火车的速度是原来的（1＋5%），根据百分数乘法的意义，用原来的速度乘（1＋5%）即可求出现在的速度，然后用420千米除以现在火车的速度，即可求出如果火车速度提高5%，几小时就可以到达。 详解：解：设从甲城到乙城有420千米，x小时可以到达。 420∶x＝320∶4 320x＝420×4 320x＝1680 x＝1680÷320 x＝5.25 320÷4＝80（千米/小时） 80×（1＋5%） ＝80×1.05 ＝84（千米/小时） 420÷84＝5（小时） 从甲城到乙城有420千米，5.25小时可以到达；如果火车速度提高5%，5小时就可以到达。 故答案为：C 点睛：本题主要考查了正比例的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的关系是解答本题的关键。 15．A 分析：根据题意可知，路程÷时间＝速度（一定），路程和时间成正比例，据此设小明家离学校有x米，列比例为x∶14＝250∶4，然后解出比例即可。 详解：解：设小明家离学校有x米。 x∶14＝250∶4 4x＝14×250 4x＝3500 x＝3500÷4 x＝875 小明家离学校有875米。 故答案为：A 点睛：本题主要考查了正比例的应用，判断相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 16．（1）见详解 （2）成正比例 （3）描点见详解：发现这些点在同一条直线上，表示这两种量成正比例关系 （4）在；当人数是8人时，船费是40元 分析：（1）根据表格中的数据，船费与乘船人数之间的关系是每增加1人，船费增加5元。据此补充表格； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。据此判断； （3）根据表格中的数据描点、连线，结合连接后的图像写出发现； （4）根据（3）的直线进行判断，看点（8，40）是否在直线上，如果在直线上，这点表示当人数是8人时，船费是40元。 详解：（1） 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费/元 0 5 10 15 20 25 30 35 … （2）5∶1＝10∶2＝15∶3＝20∶4＝25∶5…＝5（一定），即船费∶人数=单价（一定），比值一定，所以所付船费与乘船人数成正比例； （3）如图： 发现：这些点在同一条直线上，表示这两种量成正比例关系； （4）点（8，40）在这条直线上，表示当人数是8人时，船费是40元。 17．见详解 分析：根据表格中时间和路程的对应关系，找出相应的点，然后把它们按顺序连起来即可。 详解：画图如下： 点睛：此题考查了正比例的意义，即相关联的两种量，如果它们的比值一定，那么这两种量成正比例关系。 18．成正比例；见详解 分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值（商）一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 观察表格，发现表中有平行四边形的面积和高两种相关联的量，平行四边形的面积随着高的变化而变化，且平行四边形的面积和高的商都是一定的，就是底一定，所以平行四边形的面积与高成正比例关系。 详解：6÷1＝12÷2＝18÷3＝24÷4＝30÷5＝6 答：平行四边形的面积与高成正比例关系，因为平行四边形的面积÷高＝底（一定）。 19．350克 分析：从题中我们可以知道，手冲咖啡的咖啡粉与水的比值是不变的，也就是咖啡粉与水的量成正比例关系，根据这个比例关系，可以列出比例方程，再根据比例的基本性质以及等式的性质解比例方程。 详解：解：设需加x克的水。 28∶x＝2∶25 2x＝25×28 2x＝700 x＝700÷2 x＝350 答：需加350克的水。 20．55元 分析：根据题意可得出，积分∶可兑换的话费＝每元话费需要的积分（一定），比值一定，那么积分与可兑换的话费成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 详解：解：设可兑换元话费。 ＝ 1800＝30×3300 1800＝99000 ＝99000÷1800 ＝55 答：可兑换55元话费。 21．（1）1.5 （2）正比例关系； （3）280千米 分析：（1）折线统计图中横轴表示所用时间，纵轴表示路程，折线上的点对应的横轴、纵轴分别表示所用的时间和行驶的路程。找到折线上纵轴120对应的点，所对应的横轴是多少，可得出答案。 （2）可根据折线统计图中，找出行驶1小时路程为80千米，行驶2小时路程为160千米，行驶3小时路程为240千米，可得出它们的比值相等，成正比例，可列出关系式。 （3）据图可求出汽车速度，运用路程＝速度×时间，计算得出A、B两地路程。 详解：（1）当汽车行驶120千米时，用了1.5时。 （2）根据折线统计图：行驶1小时路程为80千米，行驶2小时路程为160千米，行驶3小时路程为240千米，即，则t与s比值一定，成正比例关系。关系式为：。 （3）A、B两地路程为： （千米） 答：A、B两地的路程为280千米。 22．12米 分析：太阳下同一时刻、同一地点，物体身高与影长的比是不变的，也就是成正比例关系，设教学楼的高度为x米，教学楼的实际高度∶教学楼的影长＝李婷的身高∶李婷的影长，据此列正比例解答。 详解：解：设教学楼的高度为x米 x∶14.4＝1.5∶1.8 1.8x＝14.4×1.5 1.8x＝21.6 1.8x÷1.8＝21.6÷1.8 x＝12 答：这幢教学楼的高度是12米。 23．（1）19.2；24 （2）成正比；因为路程和时间的比值一定。 （3）30分 分析：（1）根据：路程＝速度×时间，由表格可知高铁的速度是4.8千米/分，再根据公式求表格中对应的4分钟、5分钟的路程； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系； （3） 先根据：实际距离＝图上距离÷比例尺，计算出从深圳到广州的路程，再根据：时间＝路程÷速度，计算出结果即可。 详解：（1）4×4.8＝19.2（千米） 5×4.8＝24（千米） 填表如下： 时间/分 1 2 3 4 5 … 路程/千米 4.8 9.6 14.4 19.2 24 … （2）高铁行驶的时间与所走的路程成正比例，理由：路程和时间的比值是速度，速度一定，路程和时间成正比例。 （3）1.6÷＝14400000（厘米） 14400000厘米＝144千米 144÷4.8＝30（分） 答：乘坐高铁从深圳到广州至少需要30分。 24．B图；见详解 分析：由题意知：第1分钟蓄水30升，第2分钟蓄水升，第3分钟蓄水升……水的体积与蓄水时间的比值一定，为30升/分，水的体积与蓄水时间成正比例关系，表示正比例关系的是一条直线。据此解答。 详解：答：B图。 水的体积与蓄水时间的比值一定，为30升/分。水箱内水的体积与蓄水时间成正比例，表示正比例关系的是一条直线，所以B图能表示水箱内水的体积随蓄水时间变化的规律。 点睛： 25．见详解 分析：（1）当长一定时，把宽和面积所对应的点描在方格纸上，把这些点顺次连接起来，得到的是一条直线。 （2）根据长方形的面积＝长×宽可知，长方形的面积÷宽＝长（一定），商（比值）一定，则长方形的面积和宽成正比例，正比例的图象是一条直线。 详解：（1）这个“秘密”是：所有的点顺次连接起来是一条直线。 （2）我认为这里面蕴含着规律：长方形的长一定，则长方形的面积和宽成正比例。（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $$