专题01 条件概率与事件的独立性知识归纳与题型突破（8类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

专题01 条件概率与事件的独立性知识归纳与题型突破 知识点1 条件概率 1.条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫作条件概率.记作P(B|A) 2.计算公式：P(B|A)＝（P(A)>0） 知识点2 事件的独立性 1.两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立. 2.相互独立的性质：如果事件A与B相互独立， 那么A与，与B，与也都相互独立． 3． 推广： 4． 概率计算： ， 该式并不表示相互独立.. 知识点3 乘法公式 1.公式1：P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)，特别地，A,B相互独立时，P(AB)＝P(A)·P(B). 2.公式2：若P(AB)>0，则 3.公式3（概率的乘法公式）： 4.公式4： 知识点4 全概率公式 1.公式5： 2.公式6（全概率公式）： （4） 全概率公式的直观意义： 知识点5 贝叶斯公式 1.贝叶斯公式（逆概率公式）： 2.公式7（贝叶斯公式的推广）： 题型一 条件概率的计算 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）已知，，则（    ） A．0.75 B．0.5 C．0.45 D．0.25 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课后作业）若，，则 ． 【变式1-3】（24-25高二下·全国·课后作业）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是．若已知从中任意取出2粒恰好是同一色，则这2粒都是黑子的概率是 ． 题型二 条件概率的应用 【例2】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二下·全国·课后作业）若，，，则 ； . 题型三 独立事件的判断 【例3】（多选）（22-23高三下·安徽芜湖·阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（    ） A．与不互斥 B．与相互独立 C．与互斥 D．与相互独立 【变式3-1】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现奇数点”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（　　） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 【变式3-3】（多选）（24-25高二上·广东佛山·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”，则（   ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．A与B相等 D． 题型四 独立事件的乘法公式 【例4】（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 【变式4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 【变式4-2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）“原神”作为一款卡牌类养成游戏，“抽卡”也是其中深受大部分人喜欢的一个环节.在最新卡池“风法、雷女”活动中，该活动每次抽奖抽中金色人物的概率为0.02，且每次抽取相对独立，一同学在第一次单独抽中金色人物的前提下，接下来两次再次抽取金色人物的概率是（   ） A．0.0396 B．0.0004 C．0.9996 D．0.02 【变式4-3】（24-25高二上·广西钦州·期末）甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则该题被攻克的概率为（    ） A． B． C． D． 题型五 独立事件的乘法公式的实际应用 【例5】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）甲､乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响.规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲射击一次击中的概率为，乙射击一次击中的概率为，且第一次由甲开始射击. (1)求前3次射击中甲恰好击中2次的概率； (2)求第4次由甲射击的概率. 【变式5-1】（24-25高二上·上海长宁·期末）甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 【变式5-2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行评估，并据此制订针对性的教学方案．该校从初一、初二、初三三个年级的学生中各随机抽取6人进行模拟测试，测试结果显示初一、初二、初三年级学生成绩优秀的占比分别为，，． (1)为了解学生对英语人机测试的真实感受，从测试成绩优秀的学生中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人恰好来自两个年级的概率； (2)若某学生每次测试成绩优秀的概率为，且每次测试相互独立，互不影响，求该学生测试3次至少有2次测试成绩优秀的概率． 【变式5-3】（24-25高二下·四川眉山·开学考试）骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5， (1)先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率； (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由. 题型六 乘法公式的应用 【例6】（24-25高二上·四川·期末）在数学课上，唐老师将班级分为男生、女生两个阵营，分别选出两位代表作答相应问题，已知男生代表作答正确的概率为，女生代表作答正确的概率为，且两位代表是否作答正确互不影响. (1)若唐老师给出1个问题（男生、女生均作答此问题），求仅有一位代表答对问题的概率； (2)若唐老师给出2个问题（男生、女生均作答这两个问题），求女生代表答对问题个数多于男生代表的概率. 【变式6-1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为，则（    ） A．第二次由乙发球的概率为 B．甲先得一分的概率为 C．前两次发球都由乙得分的概率为 D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为 【变式6-2】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为 . 【变式6-3】（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 题型七 全概率公式的应用 【例7】（24-25高二下·全国·课后作业）已知甲袋中有6只红球和4只白球，乙袋中有8只红球和6只白球，随机取一袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二下·全国·课后作业）从集合中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数，第二次取到的数作为个位数字，则所得的两位数能是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47 【变式7-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，，则 . 题型八 贝叶斯公式的应用 【例8】（24-25高二下·全国·课前预习）5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，求这个球来自1号袋中的概率． 【变式8-1】（2024高三·全国·专题练习）某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·江西南昌·期末）托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 . 【变式8-3】（24-25高二下·全国·课后作业）设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，. (1)现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； (2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 条件概率与事件的独立性知识归纳与题型突破 知识点1 条件概率 1.条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫作条件概率.记作P(B|A) 2.计算公式：P(B|A)＝（P(A)>0） 知识点2 事件的独立性 1.两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立. 2.相互独立的性质：如果事件A与B相互独立， 那么A与，与B，与也都相互独立． 3． 推广： 4． 概率计算： ， 该式并不表示相互独立.. 知识点3 乘法公式 1.公式1：P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)，特别地，A,B相互独立时，P(AB)＝P(A)·P(B). 2.公式2：若P(AB)>0，则 3.公式3（概率的乘法公式）： 4.公式4： 知识点4 全概率公式 1.公式5： 2.公式6（全概率公式）： （4） 全概率公式的直观意义： 知识点5 贝叶斯公式 1.贝叶斯公式（逆概率公式）： 2.公式7（贝叶斯公式的推广）： 题型一 条件概率的计算 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】事件为“选到的是团员”，事件为“选到的是男生”，由古典概型概率公式求得则，，再由条件概率计算公式即可求解； 【详解】设事件为“选到的是团员”，事件为“选到的是男生”， 由题意可得：，， 所以． 故选：B． 【变式1-1】（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）已知，，则（    ） A．0.75 B．0.5 C．0.45 D．0.25 【答案】A 【分析】根据条件概率公式，结合已知，即可得出答案. 【详解】根据条件概率公式可得， . 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课后作业）若，，则 ． 【答案】/ 【知识点】计算条件概率 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以． 故答案为： 【变式1-3】（24-25高二下·全国·课后作业）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是．若已知从中任意取出2粒恰好是同一色，则这2粒都是黑子的概率是 ． 【答案】 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】由互斥事件的和事件概率计算及条件概率计算公式即可求解； 【详解】设“从中取出2粒都是黑子”为事件，“从中取出2粒都是白子”为事件， “任意取出2粒恰好是同一色”为事件，则，且事件与互斥． 所以， 即任意取出2粒恰好是同一色的概率为． 故所求概率为． 故答案为： 题型二 条件概率的应用 【例2】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】实际问题中的组合计数问题、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】根据组合数的定义，结合题意，利用分步乘法原理以及分类加法原理，结合古典概型以及条件概率，可得答案. 【详解】由题意，总情况数为， 符合事件的情况有先选定男生甲，再从剩下的人种选出人，则情况数为， 所以， 对于事件“男生甲被选定，且男生乙和女生丙至少一个被选中”， 符合事件的情况有 ①先选定男生甲，再选定男生乙， 最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为， ②先选定男生甲，再选定女生丙， 最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为， ③先选定男生甲，再选定男生乙与女生丙，则情况数为， 所以， 对于事件，易知其对立事件“男生乙与女生丙都不选”， 则事件的情况有从除男生乙与女生丙之外人选人，则情况数为， 所以， 由条件概率公式可得． 故选：ACD． 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，由条件概率公式求解即可． 【详解】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，则，， 由条件概率公式得，则, 故选：B． 【变式2-2】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式进行计算. 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 【变式2-3】（24-25高二下·全国·课后作业）若，，，则 ； . 【答案】 /0.22 /0.55 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】由对立事件、条件概率计算公式即可求解； 【详解】因为，所以， 所以， ， 所以. 故答案为：0.22； 题型三 独立事件的判断 【例3】（多选）（22-23高三下·安徽芜湖·阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（    ） A．与不互斥 B．与相互独立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】ABD 【分析】利用互斥事件与独立事件的定义与概率公式，对选项一一验证即可. 【详解】对于AB，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次， 第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥， 第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立，故AB正确； 对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次， 若第一次的点数为2，第二次的点数3点， 则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误； 对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其总的基本事件为件， 事件 “第一次出现2点”的基本事件有，故， 事件“两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故， 事件“第一次出现2点，且两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故， 所以，则与相互独立，故D正确. 故选：ABD. 【变式3-1】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现奇数点”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、独立事件的判断 【分析】根据事件的定义和独立事件概率乘法公式可判断出结果. 【详解】对于AB，，即事件与可以同时发生， 与不是互斥、对立事件，AB错误； 对于C，，，，， 与相互独立，C正确； 对于D，与不是同一事件，与不相等，D错误. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（　　） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 【答案】B 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】利用互斥事件的概念判断选项A；利用对立事件的定义判断选项B；利用古典概型判断选项C；利用事件独立性概念判断选项D． 【详解】由题可得，样本空间为 ，共有36个样本点， 其中 共包含18个样本点， 共包含9个样本点， ，共有18个样本点， 对于．若为奇数，则一个为奇数，一个为偶数，若为奇数，则都为奇数，∴事件和事件不能同时发生，∴事件与事件是互斥事件，故正确； 对于B．事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，例如， ∴事件与事件是互斥但不对立事件，故B错误； 对C．，C正确； 对D．所以 又因为所以， 所以与相互独立，D正确． 故选：B． 【变式3-3】（多选）（24-25高二上·广东佛山·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”，则（   ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．A与B相等 D． 【答案】BD 【知识点】确定所给事件的包含关系、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件、相互独立事件以及事件相等的概念，再根据抛掷硬币的实际情况来判断各选项. 【详解】对于A，互斥事件是指两个事件不可能同时发生.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，第一次正面朝上（事件A发生）时，第二次仍有可能反面朝上（事件B发生），即A与B是可以同时发生的.所以A与B不是互斥事件，A选项错误. 对于B，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 第一次抛掷硬币的结果不会影响第二次抛掷硬币的结果. 事件A发生的概率， ，即. 所以A与B相互独立，B选项正确. 对于C，事件A是“第一次正面朝上”，事件B是“第二次反面朝上”，它们所包含的具体情况明显不同.所以A与B不相等，C选项错误. 对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上和反面朝上的概率都是. 事件A“第一次正面朝上”的概率，事件B“第二次反面朝上”的概率.所以，D选项正确. 故选：BD. 题型四 独立事件的乘法公式 【例4】（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)事件A和事件B相互独立，理由见解析 【知识点】写出基本事件、有放回与无放回问题的概率、独立事件的判断 【分析】（1）根据题意，用列举法进行求解即可； （2）根据相互独立事件的定义，结合古典概型公式进行求解即可. 【详解】（1）依题意试验的样本空间为： （2）事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以事件A和事件B相互独立. 【变式4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 【答案】A 【知识点】独立事件的乘法公式、条件概率性质的应用 【分析】根据相互独立事件的定义可得. 【详解】相互独立，， ． 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）“原神”作为一款卡牌类养成游戏，“抽卡”也是其中深受大部分人喜欢的一个环节.在最新卡池“风法、雷女”活动中，该活动每次抽奖抽中金色人物的概率为0.02，且每次抽取相对独立，一同学在第一次单独抽中金色人物的前提下，接下来两次再次抽取金色人物的概率是（   ） A．0.0396 B．0.0004 C．0.9996 D．0.02 【答案】B 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】由题意可得：第一次抽中金色人物的概率为0.02， 因为每次抽取相对独立，所以第二次抽中金色人物的概率为0.02， 所以一同学在第一次单独抽中金色人物的前提下，接下来两次再次抽取金色人物的概率是： . 故选：B. 【变式4-3】（24-25高二上·广西钦州·期末）甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则该题被攻克的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的概率公式求解. 【详解】因为该题未被攻克的概率为，所以该题被攻克的概率为. 故选：B 题型五 独立事件的乘法公式的实际应用 【例5】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）甲､乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响.规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲射击一次击中的概率为，乙射击一次击中的概率为，且第一次由甲开始射击. (1)求前3次射击中甲恰好击中2次的概率； (2)求第4次由甲射击的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由前3次射击中甲恰好击中2次，可得前2次甲都击中目标，但第三次没有击中，即可乘法公式即可求解； （2）分“甲连续射击3次且都击中”； “第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中” “第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中” “第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”结合互斥事件和事件计算公式即可求解； 【详解】（1）前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，故它的概率为 （2）设事件“甲连续射击3次且都击中”； 事件“第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中”； 事件“第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中”； 事件“第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”； 事件“第4次由甲射击”两两互斥， 所以第4次由甲射击的概率为 【变式5-1】（24-25高二上·上海长宁·期末）甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 【答案】875 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】先算出甲赢的概率，再用这个概率乘以1000即可. 【详解】甲连胜两局后， 乙最后获胜的情况为后面三局必须乙胜，其概率为：， 即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为， 故甲分得奖金元才公平. 故答案为：875. 【变式5-2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行评估，并据此制订针对性的教学方案．该校从初一、初二、初三三个年级的学生中各随机抽取6人进行模拟测试，测试结果显示初一、初二、初三年级学生成绩优秀的占比分别为，，． (1)为了解学生对英语人机测试的真实感受，从测试成绩优秀的学生中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人恰好来自两个年级的概率； (2)若某学生每次测试成绩优秀的概率为，且每次测试相互独立，互不影响，求该学生测试3次至少有2次测试成绩优秀的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）根据古典概型公式应用列举法求解； （2）先设测试优秀的概率，再应用独立事件概率乘积公式结合互斥事件和对立事件概率公式计算求解. 【详解】（1）由题知测试结果中初一，初二，初三成绩优秀的学生人数分别为1，2，4． 记这7人分别为a，B，C，d，e，f，g，从这7人选出2人的基本事件有 ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个， 其中2人来自不同年级的情况有，，，，，，，，，，，，，，共14个． 记“抽取的2人恰好来自两个年级”为事件，所以． （2）记“该学生测试1次，其成绩优秀”为事件，则． 记“该学生测试3次至少有2次测试成绩优秀”为事件， 则． 【变式5-3】（24-25高二下·四川眉山·开学考试）骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5， (1)先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率； (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由. 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、写出基本事件、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）求出基本事件总数，利用列举法求出事件包含的基本事件个数，再利用古典概型求解即可； （2）分别求出挑战第一关和第二关通过的概率，根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率求解即可. 【详解】（1）先后抛掷骰子两次，基本事件总数， 事件包含的基本事件有：共3个， 事件的概率为； （2）抛掷1次骰子有共6种结果， 出现的点数不小于2的情况有共5种，则挑战第一关通过的概率为； 抛掷骰子两次，基本事件总数， 抛掷2次出现的点数之和不小于7的情况有 共21种， 则挑战第2关通过的概率为， 则连续挑战2关并过关的概率为， 所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 因为，所以这种游戏不公平． 题型六 乘法公式的应用 【例6】（24-25高二上·四川·期末）在数学课上，唐老师将班级分为男生、女生两个阵营，分别选出两位代表作答相应问题，已知男生代表作答正确的概率为，女生代表作答正确的概率为，且两位代表是否作答正确互不影响. (1)若唐老师给出1个问题（男生、女生均作答此问题），求仅有一位代表答对问题的概率； (2)若唐老师给出2个问题（男生、女生均作答这两个问题），求女生代表答对问题个数多于男生代表的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）（2）应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求概率即可； 【详解】（1）记男生答对第个问题为事件，女生答对第个问题为事件，仅有一位代表答对问题为事件M， 则， 故仅有一位代表答对问题的概率为. （2）记女生代表答对问题个数多于男生代表为事件N， 则 ， 故女生代表答对问题个数多于男生代表的概率为. 【变式6-1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为，则（    ） A．第二次由乙发球的概率为 B．甲先得一分的概率为 C．前两次发球都由乙得分的概率为 D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为 【答案】BD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、独立事件的乘法公式 【分析】A直接判断，BC根据独立事件，互斥事件同时发生的概率公式即可求解，D根据对立事件的概率公式求解. 【详解】A，若第一次由甲发球，则第二次由乙发球，故第二次由乙发球的概率为，故A错误； B，甲先得一分的概率为，故B正确； C，前两次发球都由乙得分的概率为，故C错误； D，前两次发球都由甲得分的概率为， 则前两次发球甲、乙各得一分的概率为，故D正确． 故选：BD 【变式6-2】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为 . 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得到至少有一天淋雨的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”. 连续上班两天，上班、下班的次数共4次. （1）次均不下雨，概率为：. （2）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：. （3）有次下雨但不被淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下班时不下雨， ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为：. （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：. （5）次均下雨：. 两天都不淋雨的概率为：， 至少有一天淋雨的概率为： . 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查概率问题，具体思路如下： （1）至少有一天淋雨的概率不易分析，则计算两天都不淋雨的概率. （2）从下雨次数入手分类讨论：次均不下雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；次均下雨.计算概率求和. （3）利用对立事件概率的性质即可得到至少有一天淋雨的概率. 【变式6-3】（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 【答案】(1)； (2) (3)方案一种子选手夺冠的概率更大 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式、写出基本事件 【分析】（1）由题意分析知第一轮选手的对战情况分别为，，，即可得出答案； （2）设事件“选手与选手相遇”，分为对战情况分别为，，，求出其概率，相加即可得出答案. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，由独立事件的乘法公式求出、，比较，的大小即可得出答案. 【详解】（1）第一轮选手的对战情况分别为，，，故总方案数3； （2）设事件“选手与选手相遇”， 当对战为时，，两选手相遇的概率为1； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 抽到三种对战的概率均为，则. 综上可知选手与选手相遇的概率为. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，则 采用方案一，假设分组为， 第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，则种子选手不能获胜， 所以； 采用方案二：假设分组为， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 则，所以， 因此方案一种子选手夺冠的概率更大. 题型七 全概率公式的应用 【例7】（24-25高二下·全国·课后作业）已知甲袋中有6只红球和4只白球，乙袋中有8只红球和6只白球，随机取一袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】设相应事件，由全概率公式可得，进而求条件概率. 【详解】设取到甲袋为事件A，则， 设取到红球为事件B，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高二下·全国·课后作业）从集合中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数，第二次取到的数作为个位数字，则所得的两位数能是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式即可知所得的两位数能是偶数的概率. 【详解】设“两位数的十位是奇数”为事件，“两位数的十位是偶数”为事件，“两位数是偶数”为事件； 则可得， 可得. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式即可求解； 【详解】由，可得 所以：． 故选：D 【变式7-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，，则 . 【答案】 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式和条件概率公式进行计算即可. 【详解】. . 故答案为： 题型八 贝叶斯公式的应用 【例8】（24-25高二下·全国·课前预习）5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，求这个球来自1号袋中的概率． 【答案】 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据贝叶斯公式即可求解. 【详解】设“取到第号袋子”，， “取到白球”， 根据题意得， ，， 由贝叶斯公式得， ． 所以这个球来自1号袋中的概率为． 【变式8-1】（2024高三·全国·专题练习）某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·江西南昌·期末）托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 . 【答案】 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且，，两两互斥．求出，，，以及，，，由全概率公式得，“求次品为第1台车床所加工的概率”，由贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得：，，，， ，.由全概率公式得： ， “如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”， 所以由贝叶斯公式得：. 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高二下·全国·课后作业）设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，. (1)现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； (2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是甲厂生产的概率为 . 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$