重难点01 相交线与平行线（12大题型+24道培优题提分练）（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

专题01 相交线与平行线重难点题型专项训练 12大题型 题型一 命题的定义与判断 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．若一个数的倒数等于它本身，则这个数是 B．互补的两个角一定有一个锐角，一个钝角 C．偶数都能被整除 D．画出一个角的平分线 2．能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是： ， ． 3．（1）判断下列语句是不是命题，若是，写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题． ①同位角相等，两直线平行； ②延长到点C； ③同角的补角相等． （2）举反例说明下列命题是假命题： ①相等的角是同位角； ②大于的角为钝角． 题型二 平面内两条直线的位置关系 4．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 5．在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n ； （2）m与n有且只有 个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n ． 6．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 题型三 对顶角及其性质 7．如图，直线与相交于点F，一束光线沿斜射入水面，在点F处发生折射，沿射入水中．如果，那么光的传播方向改变了（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线相交于点．若，，则的大小为 ． 9．如图，直线与相交，，求的度数． 题型四 垂线的定义及画法 10．过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B．C． D． 11．如图，直线，若，则 ．    12．如图，直线，相交于点O，，，射线平分，求的大小． 题型五 垂线段最短 13．如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 14．如图，在三角形中，，D是边上的动点，则线段的最小值是 ． 15．如下图，王璐和朱贤两位同学相约同时从各自的家中骑自行车去体育馆．如果他们的骑车速度相同，那么谁先到达体育馆？为什么？ 题型六 点到直线的距离 16．点是直线外一点，、、为直线上的三点，，，，则点到直线的距离（   ） A．小于 B．等于 C．不大于 D．等于 17．如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为 ． 18．按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 题型七 同位角、内错角、同旁内角的辨析 19．如图，有下列说法：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，的同位角是 ； ；的内错角是 ；的同旁内角是 ， ， ． 21．如图，试判断下列各对角的位置关系：与，与，与，与，与． 题型八 平行线间的距离 22．点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 23．几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 24．如图，在中，，垂足分别为D，F，则与之间的距离是 的长． 题型九 平行线公理的应用 25．如果，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．两直线平行，同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 26．如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 27．工人师傅在铺设电缆时，为了检查三条电缆是否平行，只检查了其中两条电缆是否与第三条平行．你认为这种做法对吗？请给出合理解释． 题型十 同位角相等，两直线平行 28．如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（   ） A． B． C． D． 29．如图，某学员在练车场练习驾驶小轿车．一开始向左拐弯行驶一段距离后，再向右拐弯．经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向_______（填“相同”或“不同”）． 30．如下图，与分别相交于点分别是和的平分线．若，试说明： 题型十一 内错角相等，两直线平行 31．如图，若，则（　　） A． B． C． D． 32．在下面的括号内，填上推理的依据． 如图，和相交于点O，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（ ）．    题型十二 同旁内角相等，两直线平行 34．如图，在一个弯形管道中，测得，后，就可以知道管道，其依据的定理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 35．如图，如果与 互补，那么．    36．如图，分别是的平分线，且．试说明：． 培优训练 1．对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（   ）    A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 6．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 7．下列命题中，是真命题的是（    ） A．若，则 B．同位角相等，两直线平行 C．若，则 D．相等的角是对顶角 8．如图，在中，为边上一点，为边上一点，为延长线上一点，，，下列条件中不能证明的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 10．如图，已知，则与的位置关系是 ． 11．下列命题是真命题的是 （填序号）．①内错角相等；②周长相等的两个三角形全等；③若，则；④若，则． 12．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 13．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．    14．（1）如图，直线，被所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为( )， ( )， 所以( )    15．如图，在方格纸中给出了线段、、．根据你所学的知识和方法，写出它们之间的位置关系． 16．如图所示，∠AOB=122°32′，CO⊥AO，OD平分∠AOB．求∠COD的度数． 17．如下图，如果，那么与平行吗？与呢？请说明理由． 18．如图，直线交于点O，过点O作射线，使平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 19．如图，已知点在上，平分，平分． (1)求证：； (2)若，，求证：． 20．你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，，．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？ 21．如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线，要求点E、F在点C的异侧，点E在点F的上方； (2)在上取一点M，画线段，使其长度表示点C到的距离； (3)点D是线段与网格线的交点，连结，，写出与互补的角是 ；比较线段的大小： （填“”、“”或“”）． 22．如图，相交于点平分． (1)线段_______的长度表示点到的距离； (2)_______（填“＞”“>”或“＝”），理由：_______； (3)若，求的度数． 23．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 24．如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线重难点题型专项训练 12大题型 题型一 命题的定义与判断 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．若一个数的倒数等于它本身，则这个数是 B．互补的两个角一定有一个锐角，一个钝角 C．偶数都能被整除 D．画出一个角的平分线 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假，根据倒数的定义、互补的定义、偶数的定义及命题的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、若一个数的倒数等于它本身，则这个数是或，原命题是假命题，不合题意； 、互补的两个角可能有一个锐角，一个钝角，也能两个角都是直角，原命题是假命题，不合题意； 、偶数都能被整除，原命题是真命题，符合题意； 、画出一个角的平分线，不是命题，该选项不合题意； 故选：． 2．能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是： ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：，， 故答案为：，（答案不唯一）． 3．（1）判断下列语句是不是命题，若是，写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题． ①同位角相等，两直线平行； ②延长到点C； ③同角的补角相等． （2）举反例说明下列命题是假命题： ①相等的角是同位角； ②大于的角为钝角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了命题： （1）先判断命题的真假，若是真命题，写成“如果……那么……”的形式； （2）根据每个命题写出反例即可． 【详解】解：（1）①是命题、且是真命题，写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行． ②不是命题． ③是命题，且是真命题，写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． （2）①反例：对顶角相等，但不是同位角． ②反例：的角不是钝角． 题型二 平面内两条直线的位置关系 4．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键． 根据平行线的定义判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意； 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意； 故选：C． 5．在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n ； （2）m与n有且只有 个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n ． 【答案】 平行 一 重合 【分析】本题考查了平行线的定义，相交线的定义，熟记定义是解题的关键； （1）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （2）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （3）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； 【详解】解：（1）在同一平面内，不相交（即没有公共点）的两条直线互相平行． （2）在同一平面内，两条直线相交的定义就是有且只有一个公共点． （3）在同一平面内，如果两条直线有无数个公共点，那么这两条直线重合． 故答案为：平行，一，重合． 6．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 题型三 对顶角及其性质 7．如图，直线与相交于点F，一束光线沿斜射入水面，在点F处发生折射，沿射入水中．如果，那么光的传播方向改变了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角相等得出，再求出的度数即可得解． 【详解】解：∵，与是对顶角， ∴． ∵， ∴， ∴光的传播方向改变了． 故选：C． 8．如图，直线相交于点．若，，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，直线与相交，，求的度数．    【答案】 【分析】根据对顶角的性质得出，再由即可得出结论． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等是解题的关键． 题型四 垂线的定义及画法 10．过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键． 根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 只有D选项符合题意， 故选：D ． 11．如图，直线，若，则 ．    【答案】/36度 【分析】本题考查了角度的运算，根据题意得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12．如图，直线，相交于点O，，，射线平分，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了垂线、角平分线的定义， 因为，所以，已知，可得的度数，因为，可得的度数，因为射线平分，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 射线平分， ． 题型五 垂线段最短 13．如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短求解即可得． 【详解】解：在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是垂线段最短， 故选：D． 14．如图，在三角形中，，D是边上的动点，则线段的最小值是 ． 【答案】9.6// 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键； 根据垂线段最短得出当时，的长度最小，再运用等面积法求解即可； 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图． ， ， ， ． 故答案为：9.6． 15．如下图，王璐和朱贤两位同学相约同时从各自的家中骑自行车去体育馆．如果他们的骑车速度相同，那么谁先到达体育馆？为什么？ 【答案】朱贤先到达体育馆．因为从朱贤家到体育馆的路程是垂线段，路程最短． 【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确把握定义是解题关键． 根据垂线段最短求解即可． 【详解】∵体育馆到朱贤家是垂线段， ∴体育馆到朱贤家的距离小于体育馆到王璐家的距离， ∴朱贤先到达体育馆． 理由是：因为从朱贤家到体育馆的路程是垂线段，路程最短． 题型六 点到直线的距离 16．点是直线外一点，、、为直线上的三点，，，，则点到直线的距离（   ） A．小于 B．等于 C．不大于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，正确理解垂线段最短的性质是解题关键．根据垂线段最短分析判断即可． 【详解】解：因为直线外一点到直线上所有的连接线段中，垂线段最短， 所以距离一定不大于， 又因为不知道是不是垂线段， 所以不能确定是否等于， 故选：C． 17．如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为 ． 【答案】6米（答案不唯一） 【分析】本题考查了点到直线的距离，掌握点到直线，垂线段最短是解题的关键． 根据，点到直线，垂线段最短即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴点到的距离，即点到的垂线段长度要小于米， ∴点到的距离可能为米（答案不唯一）， 故答案为：米（答案不唯一） ． 18．按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据点到点的距离的定义，判断即可． （4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求：    （2）解：如上图所示，直线即为所求： （3）解：点M到点N之间的距离是线段的长 故答案为：， （4）解：点O到直线的距离是线段的长， 故答案为： 题型七 同位角、内错角、同旁内角的辨析 19．如图，有下列说法：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，关键是掌握以上概念的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可．． 【详解】解：①与是同位角，正确，故①符合题意； ②与是同旁内角，正确，故②符合题意 ③与是邻补角，不是同旁内角，故③不符合题意； ④与是内错角，正确，故④符合题意． 其中正确的有3个． 故选：C． 20．如图，的同位角是 ； ；的内错角是 ；的同旁内角是 ， ， ． 【答案】 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义解答即可． 本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握定义是解题关键． 【详解】解：的同位角是，； 的内错角是； 的同旁内角是， ，． 故答案为：，，，，，． 21．如图，试判断下列各对角的位置关系：与，与，与，与，与． 【答案】与是同位角；与，与，与是同旁内角；与是内错角 【分析】本题考查了同位角，内错角和同旁内角的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据同位角，内错角和同旁内角的概念，进行作答，即可求解； 【详解】解：同位角定义：两条直线被第三条直线所截，位于这两条被截直线同一方，并且在第三条直线的同一侧的两个角，称为同位角； 内错角定义：两条直线被第三条直线所截，位于这两条被截直线之间，并且在第三条直线的不同侧的两个角，称为内错角； 同旁内角定义：两条直线被第三条直线所截，位于这两条被截直线之间，并且在第三条直线的同一侧的两个角，称为同旁内角； 结合同位角，内错角和同旁内角的概念，可得：与是同位角；与，与，与是同旁内角；与是内错角 题型八 平行线间的距离 22．点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据平行线之间的距离此处相等即可解题． 本题考查了平行线间的距离，属于简单题，熟悉平行线间距离的概念是解题关键． 【详解】解：∵，点到的距离为， ∴到的距离等于． 故选C． 23．几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线间的距离，运用等积法求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点． 因为， 所以． 因为 ， 所以， 所以， 所以平行线与之间的距离为． 24．如图，在中，，垂足分别为D，F，则与之间的距离是 的长． 【答案】 【分析】本题主要考查平行间的距离，先证明，由可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴与之间的距离是的长, 故答案为：． 题型九 平行线公理的应用 25．如果，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．两直线平行，同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：如果，那么，根据是平行于同一条直线的两条直线平行． 故选：D． 26．如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行于同一条直线的两条直线平行即可求解，正确理解平行公理推论是解题的关键， 【详解】解：∵，， ∴， 理由：平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 27．工人师傅在铺设电缆时，为了检查三条电缆是否平行，只检查了其中两条电缆是否与第三条平行．你认为这种做法对吗？请给出合理解释． 【答案】这种做法是对的．理由如下：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解答此题的关键．根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：这种做法是对的．理由如下： ∵平行于同一条直线的两条直线互相平行， ∴为了检验三条电线是否互相平行只检查了其中两条是否与第三条平行即可． 故答案为：这种做法是对的．理由如下：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 题型十 同位角相等，两直线平行 28．如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转角以及平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键．如图，根据要使，运用同位角相等，两直线平行，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】要使，由同位角相等，两直线平行可知 即直线绕点按逆时针方向至少旋转 故选择：D 29．如图，某学员在练车场练习驾驶小轿车．一开始向左拐弯行驶一段距离后，再向右拐弯．经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向_______（填“相同”或“不同”）． 【答案】相同 【分析】本题考查了平行线的判定，根据图形可知两次拐弯得到的角属于同位角； 两次拐弯得到的角都是，再根据同位角相同，两直线平行，即可解题． 【详解】解：根据图意，由同位角相同，两直线平行可知，经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向相同． 故答案为：相同． 30．如下图，与分别相交于点分别是和的平分线．若，试说明： 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，先由分别是和的平分线，得，因为，故，证明，即可作答． 【详解】解：∵分别是和的平分线， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型十一 内错角相等，两直线平行 31．如图，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行知识点是解决问题的关键． 根据内错角相等，两直线平行，即，即可判断． 【详解】解：， （内错角相等，两直线平行）． 故选：A． 32．在下面的括号内，填上推理的依据． 如图，和相交于点O，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（ ）．    【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行进行求解即可． 【详解】解：证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 33．如图，于点，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由已知条件推出，据此可证明． 【详解】证明：， ， ， ， ． 题型十二 同旁内角相等，两直线平行 34．如图，在一个弯形管道中，测得，后，就可以知道管道，其依据的定理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 故选C． 35．如图，如果与 互补，那么．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 根据“两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”即可解答． 【详解】解：， ∴．故答案为：． 36．如图，分别是的平分线，且．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线，角平行线的综合题，平行线的判定，角平分线定义，将两个角的互补关系转化为两条直线的平行关系是解题的关键．根据角平分线定义，平行线的判定问题可以得证． 【详解】解：分别是的平分线， ． ，， ． 培优训练 1．对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查的知识点是命题与定理，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 说明某命题为假命题，可举反例，但反例要满足命题的条件，不符合结论．再根据选项解答即可． 【详解】解：A、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故A选项不符合题意； B、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故B选项不符合题意； C、满足条件“与互补”，不满足结论“”， 故C选项符合题意； D、不满足条件“与互补”， 也不满足结论，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：根据平行线的定义可知①③④是平行线，②天上的彩虹不是直线，故不是平行线， 所以属于平行线的有3个， 故选D． 3．如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线，角平分线定义，对顶角，关键是由垂直的定义，角平分线定义求出的度数．由垂直的定义得到，即可求出，由角平分线定义得到，求出，由对顶角的性质得到 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， 故选： 4．如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线以及余角和补角，根据垂直定义可得，从而利用角的和差关系可得，然后利用邻补角的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的补角的大小为． 故选：B． 5．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（   ）    A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】D 【分析】根据邻补角的定义，可判断A，根据对顶角的定义，可判断B，根据同位角的定义，可判断C，根据内错角的定义，可判断D 【详解】解：A、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，故A正确； B、与的两边互为反向延长线，故B正确； C、与的位置相同，故C正确； D、与是同旁内角．故D错误； 故选：D． 6．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线，外，直线在直线，之间两种情况讨论求解，熟练掌握平行线间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】如图，直线在直线，外时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 如图，直线在直线，之间时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 综上所述，与之间的距离为或， 故选：． 7．下列命题中，是真命题的是（    ） A．若，则 B．同位角相等，两直线平行 C．若，则 D．相等的角是对顶角 【答案】B 【分析】本题主要考查判断真假命题、平行线的性质、绝对值的性质及不等式的性质，关键是熟记概念进行排除选项． 根据平行线的性质、绝对值的性质及不等式的性质、对顶角相等直接进行排除选项即可． 【详解】解：A、若，则，原命题是假命题，不符合题意； B、 同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； C、若，则，原命题是假命题，不符合题意； D、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，如：“同角的余角相等”，故是假命题，不符合题意． 故选B． 8．如图，在中，为边上一点，为边上一点，为延长线上一点，，，下列条件中不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，利用三角形内角和定理求出，，再根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 、∵， ∴，该选项能证明，不合题意； 、添加条件不能证明，该选项符合题意； 、∵， ∴，该选项能证明，不合题意； 、∵， ∴，该选项能证明，不合题意； 故选：． 9．如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，点到点的距离，根据以上知识点逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①线段的长是点到直线的距离，该选项说法错误； ②线段的长是点到直线的距离，该选项说法正确； ③三条线段中，最短，该选项说法正确； ④线段的长是点到点的距离，该选项说法错误； ∴正确的是②③， 故选：． 10．如图，已知，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等，因为，，所以，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 11．下列命题是真命题的是 （填序号）．①内错角相等；②周长相等的两个三角形全等；③若，则；④若，则． 【答案】③ 【分析】本题考查判断命题的真假，利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，逐一进行判断即可，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断． 【详解】解：①两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项为假命题，不符合题意； ②周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为3、4、5的三角形和一个边长为4、4、4的三角形，它们的周长都是12，但它们不是全等三角形，故该选项为假命题，不符合题意； ③若，则，该命题是真命题，故该选项符合题意； ④若，则，比如，但，故该选项为假命题，不符合题意； 故答案为：③． 12．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当在和的同侧时，距离为； 当在之间时，距离为， 故答案为：或． 13．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故答案为：． 14．（1）如图，直线，被所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为( )， ( )， 所以( )    【答案】 已知 对顶角相等 等量代换 【分析】根据对顶角、同位角、内错角及同旁内角的定义，解答即可． 【详解】如图，直线，被所截，则和是同位角，和是内错角，和是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为（已知）， （对顶角相等）， 所以（等量代换） 故答案为：，，，已知，对顶角相等，等量代换． 15．如图，在方格纸中给出了线段、、．根据你所学的知识和方法，写出它们之间的位置关系． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，根据网格的特点可得，，再证明即可得到答案． 【详解】解：延长，由网格的特点可知交于M，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 16．如图所示，∠AOB=122°32′，CO⊥AO，OD平分∠AOB．求∠COD的度数． 【答案】28°44′ 【分析】先根据垂直的定义得∠AOC=90°，由角的差可得∠BOC的度数，由角的平分线的定义可得∠BOD的度数，可得结论． 【详解】∵CO⊥AO， ∴∠AOC=90°， ∵∠AOB=122°32′， ∴∠BOC=122°32′-90°=32°32′， ∵OD平分∠AOB， ∴∠BOD=∠AOB=61°16′， ∴∠COD=∠BOD-∠BOC=61°16′-32°32′=60°76′-32°32′=28°44′． 17．如下图，如果，那么与平行吗？与呢？请说明理由． 【答案】，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，根据对顶角的性质求出，然后可根据“同旁内角互补，两直线平行”判断；根据平角定义求出，然后根据“内错角相等，两直线平行”判断即可． 【详解】解：，． 理由如下： 因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． 因为， 所以 因为， 所以， 所以． 18．如图，直线交于点O，过点O作射线，使平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，对顶角的性质．掌握角平分线的定义与对顶角的性质是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线定义求得，根据，即可求得，又由对顶角的性质得，即可由求解． （2）由垂直定义可得，再根据，即可求得，又由角平分线定义求得，然后由对顶角性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 19．如图，已知点在上，平分，平分． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定，掌握角平分线的定义及平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据平分，平分，得到，，由，得到，即可求解； （2）根据题意可得，由平行线的判定即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 20．你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，，．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行．首先分别求出，的度数，然后根据平行线的判定定理进行判定即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的． 21．如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线，要求点E、F在点C的异侧，点E在点F的上方； (2)在上取一点M，画线段，使其长度表示点C到的距离； (3)点D是线段与网格线的交点，连结，，写出与互补的角是 ；比较线段的大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；． 【分析】此题考查了作图平行线；作图垂线；线段的长短比较；同旁内角的概念， （1）根据作图-垂线结合题意画图即可求解； （2）根据作图-平行线结合题意画图即可求解； （3）根据同旁内角的定义、线段的比较、角结合题意填空即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）的同旁内角为． ∵， ∴， 与互补的角为． 由图可知，． 故答案为：；． 22．如图，相交于点平分． (1)线段_______的长度表示点到的距离； (2)_______（填“＞”“>”或“＝”），理由：_______； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)＞；垂线段最短 (3) 【分析】本题考查的是点到直线的距离，掌握点到直线的距离是解题的关键 （1）根据点到直线的距离解答即可； （2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：线段的长度表示点M到的距离； 故答案为：； （2）解：比较与的大小为：，理由是：垂线段最短； 故答案为：>；垂线段最短； （3）解：平分， ， ． 23．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解： ，， ， 故答案为：． 24．如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 【答案】(1)证明见解析 (2)球袋，见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行性的判定等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证； （2）结合网格特点，根据球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等画图即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵桌角， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等， ∴画出球经过的路径如下：    所以球会进入球袋． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$